2015 2 AP1 HM Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
1
a
 Avaliação Presencial de História da Matemática – 2015-2 
(gabarito) 
 
Questão 1 [2,5 pts] – A civilização egípcia é uma das mais antigas do 
nosso planeta. Os itens a seguir versam sobre duas contribuições (uma 
aritmética outra algébrica) desta civilização. 
a) [1,0 pt] Multiplique, como os egípcios, 33 por 18. 
 
b) [1,5 pt] Resolva o seguinte problema do papiro de Ahmes, usando o método da falsa posição: 
Uma quantidade e seu sétimo, somadas juntas, dão 19. Qual é a quantidade? 
Solução: 
a) 
∖1 33 
∖2 66 
∖4 132 
∖8 264 
16 528 
 2 + 16 = 18 ⇒ 33 ⨯ 18 = 66 + 528 = 594. 
 
b) O problema equivale a resolver a equação 
𝑥 + 
𝑥
7
 = 19 
Escolhemos, ao acaso, uma quantidade inteira divisível por 7, digamos 7. Um sétimo de 7 é 1. 
Somando 7 a 
1
7
 de 7 obtemos 8. 
7 + 
1
7
 × 7 = 8 
Mas o que queremos é encontrar o valor de “x” de tal modo que 𝑥 + 
𝑥
7
 = 19 
Para isso, basta resolver a seguinte regra de três simples: 
Quantidade Resultado 
 7 8 
 x 19 
Portanto, 
7
𝑥
= 
8
19
 ⇒ 8𝑥 = 7 . 19 ⇒ 8𝑥 = 133 ⇒ 𝑥 = 
133
8
 . 
 
Questão 2 [1,5 pt] - No tablete YBC 7289 os babilônios consideraram o 
diagonal de um quadrado de lado medindo (0,30) como sendo o produto de 
(0 , 30) por (1 , 24 ; 51 ; 10) – onde o símbolo “,” (vírgula) separa a parte 
inteira da parte fracionária da representação sexagesimal do número. 
Determine a medida da diagonal, isto é, calcule (0 , 30) x (1 , 24 ; 51 ; 10). 
(indique o resultado usando a representação sexagesimal). 
 Solução: 
 (0 , 30) x (1 , 24 ; 51 ; 10) = 
 
30
60
 x (1 + 
24
60
+
51
602
+
10
603
) = 
30
60
 + 
720
602
+
1530
603
+
300
604
 = 
30
60
 + 
12
60
+
1500 + 30
603
+
5
603
 = 
 
42
60
 + 
25
602
+
30
603
+
5
603
 = 
42
60
 + 
25
602
+
35
603
= 0 , 42 ; 25 ; 35 
 
Questão 3 [3,0 pontos]: Com o nome de Pitágoras (séc.VI a.C.) se relaciona uma série de dados um 
tanto quanto não confiáveis. Em particular, o denominado Teorema de Pitágoras era 
indiscutivelmente conhecido entre os povos do Antigo Oriente, dos quais os Gregos formalizaram a 
sua demonstração. Resolva então os seguintes problemas relacionados ao teorema de Pitágoras. 
 
[1,5 pt] - Problema 1: Para o cálculo dos lados de um triângulo retângulo, Pitágoras utilizava as 
seguintes medidas: 2n +1 , 2n
2 
+ 2n e 2n
2
 + 2n +1, com n natural. Tal resultado é denominado 
“Regra de Pitágoras”. Demonstre a validade da “Regra de Pitágoras” e, em seguida, calcule os lados 
dos triângulos para n = 1, 2, 3, 4. 
 
Solução: 
Para demonstrar a “Regra de Pitágoras”, basta verificar a identidade 
(2n +1)
2
 +(2n
2 
+ 2n)
2
 = (2n
2
 + 2n +1)
2
. 
Com efeito: 
(2n
2
 + 2n +1)
2
 = (2n +1)
2
 + 2(2n
2
)(2n +1) +(2n
2
)
2
 = (2n +1)
2
 + 2(2n
2
)(2n) + 2(2n
2
) + (2n
2
)
2
 = 
= (2n +1)
2
 + 2(2n
2
)(2n) + (2n)
2
 + (2n
2
)
2
 = (2n +1)
 2
 + (2n
2 
+ 2n)
2
. 
 
Para n = 1, os lados são 3 (cateto), 4 (cateto) e 5 (hipotenusa) 
Para n = 2, os lados são 5 (cateto), 12 (cateto) e 13 (hipotenusa) 
Para n = 3, os lados são 7 (cateto), 24 (cateto) e 25 (hipotenusa) 
Para n = 4, os lados são 9 (cateto), 40 (cateto) e 41 (hipotenusa) 
 
 
[1,5 pt] - Problema 2: Regra de Platão - “Se, em um triângulo retângulo, tomarmos um dos catetos 
com medida 2p (um número par), então a medida do outro cateto será p
2
 −1 e a medida da hipotenusa 
será p
2 
+1”. Verifique a veracidade do enunciado acima e calcule os lados dos triângulos para p = 2, 
3, 4, 5. 
 
Solução: 
Podemos chegar a uma demonstração da Regra de Platão, dobrando os valores obtidos na Regra de 
Pitágoras. Tome p = 2n +1; 2p é um número par. 
As medidas dos catetos e da hipotenusa do triângulo serão dados por, respectivamente, por: 
2(2n +1)= 2p 
2(2n
2
 + 2n)= 4n
2
 + 4n = (2n +1)
2−1= p2 −1 
2(2n
2 
+ 2n +1)= 4n
2
 + 4n + 2 = (2n +1)
2
 +1= p
2
 +1 
Para n = 2p, os lados são 2p (cateto), p
2 −1 (cateto) e p2 +1 (hipotenusa) 
Assim, 
Para p = 2, os lados são 4 (cateto), 3 (cateto) e 5 (hipotenusa) 
Para p = 3, os lados são 6 (cateto), 8 (cateto) e 10 (hipotenusa) 
Para p = 4, os lados são 8 (cateto), 15 (cateto) e 17 (hipotenusa) 
Para p = 5, os lados são 10 (cateto), 24 (cateto) e 26 (hipotenusa) 
 
 
Questão 4 [1,0 pt]: Um clássico problema sobre o qual Arquimedes se debruçou foi a projeção de 
supefície esférica sobre uma superfície cilíndrica que a envolve. Talvez o mestre de Siracusa já 
quisesse fazer mapas do globo terrestre. A seguir, apresenta-se o enunciado do problema de 
Arquimedes. 
 
Considere um cilindro, cuja base é o círculo máximo de uma dada 
esfera e cuja altura é o diâmetro desta mesma esfera. O volume do 
cilindro é igual a uma vez e meia do volume da esfera e a área do 
cilindro também é igual a uma vez e meia da área da esfera. 
Atenção: “uma vez e meia” é igual a 
 
1+
1
2
=
3
2
 
 
Usando seus conhecimentos atuais de geometria espacial, mostre que Arquimedes estava certo, 
isto é, considerando o cilindro e a esfera nas condições do enunciado, demonstre que: O volume do 
cilindro é igual a uma vez e meia do volume da esfera e a área do cilindro também é igual a uma vez 
e meia da área da esfera. 
 
Solução: 
Pelas informações do problema, sejam a esfera de raio R e o cilindro de raio da base r = R e altura 
h = 2R. Temos: 
 
 
 
Questão 5 [1,5 pt]: Thabit ibn Qurra (836-901) viveu em Bagdá e foi 
um membro do grupo neo-pitagórico chamado Sabians. Escreveu sobre 
política, gramática, a República de Platão (um diálogo de Platão), varíola, 
anatomia dos pássaros, salinidade do mar, equações cúbicas e 
trigonometria esférica. Ao contrário de Aristóteles, acreditava em um 
verdadeiro infinito (atual). No seu livro “Livro Sobre a Determinação de 
Números Amigáveis” ele apresentou o seguinte teorema: 
 
 “Sejam 𝑛 ∈ 𝑍+, 𝑛 > 1, 𝑝 = 3 × 2
𝑛 − 1, 𝑞 = 3 × 2𝑛−1 − 1 e 𝑟 = 9 × 22𝑛−1 − 1. Se p, q e r são 
primos, então 2
n
 pq e 2
n
r são números amigáveis.” (Obs: dizemos que dois números são amigos se 
cada um deles é igual a soma dos divisores próprios do outro). 
Verifique que 220 e 284 formam um par amigável a partir do teorema acima, identificando os 
valores de n, p, q e r. 
 
Solução: 220 2
110 2
55 5
11 11
1
 
284 2
142 2
71 71
1
 
 
Temos que 220 = 22 × 5 × 11 e 284 = 22 × 71. Observemos inicialmente que, na 
decomposição em fatores primos,22 aparece para 220 e 284. Assim, n = 2. Além disso, observemos 
também 220 é da forma 2
n
 pq e 284 é da forma 2
n
r. 
Vejamos agora os valores de p, q e r. Temos que: 
 𝑝 = 3 × 22 − 1 = 11 
𝑞 = 3 × 22−1 − 1 = 5 
𝑟 = 9 × 22×2−1 − 1 = 71 são primos. Assim, 220 e 284 são números amigáveis. 
 
 
 
 
Um abraço fraterno, 
Prof. Wanderley.