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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro AP1 – Gabarito – Métodos Determińısticos I – 09/09/2017 Nome: Matŕıcula: Atenção! • Identifique a Prova, colocando nome e matŕıcula. • Sua prova será corrigida online. Siga as • Resoluções feitas nesta folha ou no rascunho não serão corrigidas. instruções na capa deste caderno. • Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. Questão 1 (2.0 pt) Este ano, durante o Carnaval de Ladeirópolis, seus 150 comerciantes tiveram divergências quanto a trabalhar no sábado e na segunda de Carnaval. Foi constatado o seguinte: • O número de comerciantes que trabalharam no sábado e na segunda foi metade do número de comerciantes que trabalharam só segunda. • Apenas um quarto dos comerciantes que trabalharam sábado também trabalharam segunda. • 12 comerciantes resolveram não trabalhar nem sábado nem segunda. Construa o Diagrama de Venn relativo a este problema, escolhendo as variáveis que achar conveni- ente e, utilizando este diagrama, determine o número de comerciantes que trabalharam sábado e segunda. Importante!!! Tenha atenção no preenchimento do Diagrama. Lembre-se que uma resposta bem justificada deve conter as equações que modelam o problema, montadas a partir do Diagrama de Venn constrúıdo, com as variáveis escolhidas, e não a simples verificação de valores intúıdos. Solução: Vamos chamar de U o conjunto de todos os comerciantes de Ladeirópolis, de E o conjunto dos comerciantes que trabalharam na segunda-feira e de A o conjunto comerciantes que trabalharam no sábado. Considerando que um comerciante pode não trabalhar nem segunda nem sábado, apenas em um dos dois dias ou em ambos, temos então o seguinte diagrama de Venn: Métodos Determińısticos I AP1 2 Utilizando as informações dadas, podemos preencher o diagrama com a quantidade conhecida: Vamos agora utilizar as demais informações. Façamos x = n(E − E ∩ A), isto é, x representa o número de comerciantes que trabalharam apenas na segunda-feira. A segunda informação nos diz que o número de comerciantes que trabalharam segunda e sábado é igual à metade do número de comerciantes que trabalharam apenas na segunda-feira; logo, n(E ∩ A) = n(E − E ∩ A)2 = x 2 . Completando o diagrama com essa informação, temos: Sabe-se ainda, que apenas um quarto dos comerciantes que trabalharam sábado também trabalharam segunda. Em outras palavras, sabe-se que o número de comerciantes que trabalharam segunda e sábado representa um quarto dos comerciantes que trabalharam sábado. Traduzindo esta informação, temos que, n(E ∩ A) = n(A)4 , logo n(A) = 4 · n(E ∩ A) = 4 · x2 = 2x. Com isso, temos que o número de comerciantes que trabalhou apenas no sábado foi de n(A− (E ∩ A)) = n(A)− n(E ∩ A) = 2x− x2 = 4x− x 2 = 3x 2 . Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determińısticos I AP1 3 Temos agora todas as informações do diagrama: Para determinar o valor de x, note que x + x2 + 3x 2 + 12 = 150, logo 2x 2 + x 2 + 3x 2 = 150− 12 e, então, 6x 2 = 138. Com isso, 3x = 138 e, portanto, x = 46. Como o número de comerciantes que trabalharam segunda e sábado é x 2 , temos que 46 2 = 23 comerciantes trabalharam nestes dois dias. (Este texto é comum às questões 2, 3 e 4 e a seguir.) Um comerciante de Ladeirópolis, cansado de suas ı́ngremes ladeiras, decidiu fechar suas portas. Desta forma, resolveu liquidar seu estoque. Depois de muito pensar, decidiu que em março daria um desconto de 10% em suas mercadoria e nos meses seguintes um desconto de 20% em relação ao mês anterior. Porém, ele não abaixaria o valor a um valor inferior a 55%, pois este corresponderia ao valor que ele adquiriu a mercadoria e ele não queria ter prejúızo. Questão 2 (1.0 pt) Um mercadoria que custava R$1.000,00 em fevereiro, terá seu preço estacio- nado em que mês? Qual será seu preço então? Solução: Primeiramente, como 55% · 1.000 = 55100 · 1.000 = 55 · 100 = 550, note que a mercadoria terá seu preço estacionado no mês em que seu valor previsto for maior ou igual a R$550,00, mas no mês seguinte, for menor do que R$550,00. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determińısticos I AP1 4 Vamos então analisar os novos preços a começar de março. Em março, o desconto previsto é de 10% no preço p da mercadoria em fevereiro; logo, seu preço em março, que chamaremos de p1 seria de p1 = p− 10% p = p− 10 100 p = ( 1− 110 ) p = 910p. Em abril, o desconto previsto é de 20% no preço p1 da mercadoria em março; logo, seu preço em abril, que chamaremos de p2 seria de p2 = p1 − 20% p1 = p1 − 20 100 p1 = ( 1− 15 ) p1 = 4 5p1. A cada mês seguinte, o preço p da mercadoria teria uma redução prevista em 20% = 20100 = 1 5 em relação ao preço anterior. Com isso, para uma mercadoria que em fevereiro custava R$1.000,00, temos o seguinte, • Preço previsto para março: p1 = 9 10 · 1.000 = 9 · 100 = 900 > 550. • Preço previsto para abril: p2 = 4 5 · p1 = 4 5 · 900 = 4 · 180 = 720 > 550. • Preço previsto para maio: p3 = 4 5 · p2 = 4 5 · 720 = 4 · 144 = 576 > 550. • Preço previsto para junho: p4 = 4 5 · p3 = 4 5 · 576 = 460, 80 < 550. Logo, o preço da mercadoria estacionaria em R$576,00, preço vigente em maio. Em junho não seria mais aplicada a poĺıtica de descontos progressivos. Questão 3 (1.0 pt) Chamando de P o preço de uma mercadoria em fevereiro, determine a ex- pressão de seu novo preço, após decorridos n meses, n ≥ 2, onde n = 1 corresponderia a março, n = 2 a abril e assim sucessivamente, se o comerciante não tivesse colocado um critério para encerrar os descontos. Solução: Vimos, na questão anterior, que o preço da mercadoria em março é 910 de seu preço em fevereiro e que nos meses seguintes é de 45 de seu preço no mês anterior. Assim, sendo P o preço da mercadoria em fevereiro, • Preço em março: P1 = 9 10 · P . • Preço em abril: P2 = 4 5 · P1 = 4 5 · 9 10 · P . • Preço em maio: P3 = 4 5 · P2 = 4 5 · 4 5 · 9 10 · P = (4 5 )2 · 910 · P . • Preço em junho: P4 = 4 5 · P3 = 4 5 · (4 5 )2 · 910 · P = (4 5 )3 · 910 · P . • Preço em agosto: P5 = 4 5 · P4 = 4 5 · (4 5 )3 · 910 · P = (4 5 )4 · 910 · P . Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determińısticos I AP1 5 Prosseguindo assim, vemos que o valor após n meses, onde n = 1 é março, n = 2 é abril e assim por diante, será dado por Vn = (4 5 )(n−1) · 910 · P. Questão 4 (1.0 pt) Se 55% do preço P da mercadoria em fevereiro corresponde ao valor que ele adquiriu esta mercadoria, quando ele coloca a mercadoria a venda na loja em fevereiro, por P , qual o lucro percentual, em relação ao preço adquirido, que ele pretende obter com a venda da mercadoria? Como o comerciante comprou a mercadoria por 55% P , ele a comprou por 55% · P = 55100 · P = 11 20 · P. Como ela a colocou à venda em fevereiro por P , ele obtém um lucro de P − 1120 · P = 20− 11 20 · P = 9 20 · P. Em termos percetuais, o valor do lucro em relação ao valor da compra é dado por 9 20 · P 11 20 · P = 920 · 20 11 = 9 11 = 9 11 · 100 100 = 900 11 100 = 900 11 % ≈ 81.8%, (Este texto é comum às questões 5 e 6 a seguir.) Para imprimir folhetos de propaganda, a gráfica Papel Amassado tem um custo C, composto por um valor fixo de R$ 700,00, mais R$ 930,00 por milheiro de folhetos. A receita que a gráfica obtém imprimindo folhetos para seus cliente é de R$ 2.000,00 por milheiro. O lucro L com um trabalho de impressão dos folhetos é dado pela diferença entre a receita R e o custo C, isto é, R− C. Questão 5 (1.0 pt) Determine a expressão do lucro L da gráfica Papel Amassado em função de n, onde n é o número de milheiros impressos. Solução: Com as informações dadas, sendo n o número de milheiros de folheto, o custo e a receita da gráfica Papel Amassado sãodados por C1 = 700 + 930 n R1 = 2.000 n logo, seu lucro, é dado por L1 = R1 − C1 = 2.000 n− (700 + 930 n) = 2.000 n− 700− 930 n) = 1.070 n− 700. Questão 6 (1.0 pt) Ao lado da gráfica Papel Amassado, foi aberta uma concorrente, a Papel Rasgado. A Papel Rasgado vangloria-se por ter um custo C, composto por um valor fixo de R$ 300,00, mais R$ 950,00 por milheiro de folhetos. Sua receita também é de R$ 2.000,00 por milheiro. Até quantos milheiros o lucro da gráfica Papel Rasgado é maior do que o lucro da gráfica Papel Amassado? Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determińısticos I AP1 6 Solução: Com as informações dadas, sendo n o número de milheiros de folheto, o custo e a receita da gráfica Papel Rasgado são dados por C2 = 300 + 950 n R2 = 2.000 n logo L2 = R2 − C2 = 2.000 n− (300 + 950 n) = 2.000 n− 300− 950 n) = 1.050 n− 300. Para determinarmos até quantos milheiros o lucro da gráfica Papel Rasgado é maior do que o lucro da gráfica Papel Amassado, precisamos resolver a inequação L2 > L1 ⇔ 1.050 n− 300 > 1.070 n− 700. Resolvendo a inequação anterior, temos que 1.050 n− 300 > 1.070 n− 700 ⇔ 1.050 n− 1.070 n > 300− 700 ⇔ −20 n > 400⇔ n < 40020 ⇔ n < 20. Assim, até 19 milheiros de folhetos, o lucro da gráfica Papel Rasgado é maior do que o lucro da gráfica Papel Amassado. Observe que para 20 milheiros de folhetos, os lucros são iguais e para 21 milheiros de folhetos, o lucro da gráfica Papel Rasgado passa a ser menor do que o lucro da gráfica Papel Amassado. Questão 7 (1.0 pt) Racionalize e simplifique o número A = √ 18√ (−2)2 − √ 7 . Solução: Temos que A = √ 18√ (−2)2 − √ 7 = √ 18√ 4− √ 7 = √ 18 2− √ 7 = √ 18 2− √ 7 · 2 + √ 7 2 + √ 7 = √ 18(2 + √ 7) 4− 7 = √ 18(2 + √ 7) −3 = √ 32 · 2 (2 + √ 7) −3 = 3 √ 2 (2 + √ 7) −3 = − √ 2(2 + √ 7). (Este texto é comum às questões 8 e 9 a seguir.) Considere os conjuntos A = {7, 8} e B = {9, 10}. Questão 8 (1.0 pt) Escreva por extenso a proposição abaixo e decida se ela é verdadeira ou falsa, justificando cuidadosamente sua resposta. p : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = a + 2. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determińısticos I AP1 7 Solução: Vamos, primeiramente, escrever a proposição p por extenso. p : Para todo a pertencente a A, existe b pertencente a B tal que b é igual a a mais dois. A proposição p é verdadeira. Para a = 7, tomamos b = 9 e temos que b = a + 2. Para a = 8, tomamos b = 10 e temos que b = a + 2. Questão 9 (1.0 pt) Escreva por extenso a proposição abaixo e decida se ela é verdadeira ou falsa, justificando cuidadosamente sua resposta. q : ∃b ∈ B | ∀a ∈ A, b = a + 2. Solução: Vamos, primeiramente, escrever a proposição p por extenso. q : Existe b pertencente a B tal que, para todo a pertencente a A, b é igual a a mais dois. A proposição q é falsa. Para b = 9, tomamos a = 8, de modo que b 6= a + 2. Para b = 10, tomamos a = 7, de modo que b 6= a + 2. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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