Apostila Linha de Influência
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Apostila Linha de Influência


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ANÁLISE ESTRUTURAL I 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
Assunto: 
Linhas de Influência 
de Estruturas Isostáticas 
 
 
 
 
Prof. Roberto Márcio da Silva 
 
 
 
 
 
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1-) INTRODUÇÃO 
 
As linhas de influência tem uma importante aplicação no projeto 
de estruturas submetidas a carregamentos móveis, tais como: pontes, 
viadutos, passarelas e vigas de rolamento. 
 
Nos capítulos anteriores foram desenvolvidas técnicas para 
analisar estruturas isostáticas submetidas a carregamento fixo. Será 
mostrado agora como os esforços solicitantes numa estrutura isostática 
variam com a posição do carregamento móvel. 
 
 
2-) DEFINIÇÃO 
 
Uma linha de influência mostra como um determinado esforço 
numa seção varia quando uma carga concentrada move sobre a 
estrutura. A linha de influência é construída sobre o eixo da estrutura 
sendo que as abscissas representam as posições da carga móvel e as 
ordenadas representam os respectivos valores do esforço considerado. 
 
Exemplo: Linha de influência de momento fletor para uma seção S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-) PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE 
 
Será mostrado a seguir os procedimentos para se construir uma 
linha de influência de um esforço numa determinada seção. 
 
3.1-) Vigas sobre 2 apoios 
 
Seja uma carga móvel vertical \u201cP\u201d deslocando-se sobre a viga AB 
mostrada abaixo, e x a posição desta carga. 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1.1-) Linha de influência das reações de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 \u2211MA = 0 
VB.L \u2013 P(x-a) = 0 
VB = P(x-a)/L 
 
dividindo agora ambos os membros pela carga P para tornar o 
carregamento unitário e adimensional, temos: 
VB/P = P(x-a)/(P.L) 
 BV = (x-a)/L 
 
Chama-se BV de \u201clinha de influência\u201d da reação de apoio VB, isto 
é, uma equação que mostra como a reação VB varia com a posição x de 
uma carga unitária que se desloca sobre a estrutura. Nota-se que os 
valores de BV são adimensionais. Dando valores para x determina-se os 
respectivos valores de BV . 
 
x = a \u21d2 BV = 0 (carga sobre o apoio A) 
x = L+a \u21d2 BV = (L+a-a)/L \u21d2 BV = 1 (carga sobre o apoio B) 
x = 0 \u21d2 BV = -a/L (carga na extremidade do balanço esquerdo) 
x = a+L+b \u21d2 BV = (a+L+b-a)/L \u21d2 BV = (L+b)/L > 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ordenada \u201cYS\u201d representa o valor da reação de apoio VB quando 
a carga móvel unitária estiver sobre a seção \u201cs\u201d. Analogamente, obtêm-
se AV : 
 
 \u2211MB = 0 
VA.L \u2013 P(L+a-x) = 0 
VA = P(L+a-x)/L 
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dividindo-se ambos os membros por P, resulta: 
 AV = (L+a-x)/L 
 
Dando valores para x, obtêm-se: 
x = a \u21d2 AV = (L+a-a)/L \u21d2 AV = 1 (carga sobre o apoio A) 
x = L+a \u21d2 AV = [(L+a-(L+a)]/L \u21d2 AV = 0 (carga sobre o apoio B) 
x = 0 \u21d2 AV = (L+a)/L > 1 (carga na extremidade do balanço esquerdo) 
x = a+L+b \u21d2 AV = [-(a+L+b)+L+a]/L \u21d2 AV = -b/L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ordenada \u201cYS\u201d representa o valor da reação de apoio VA quando 
a carga móvel unitária estiver sobre a seção \u201cs\u201d. 
 
Resumindo, pode-se concluir que as linhas de influência das 
reações de apoio de uma viga biapoiada são lineares e têm valor 
unitário no apoio analisado, e zero no outro apoio, prolongando-se a 
reta até as extremidades dos balanços. 
 
 
3.1.2-) Linha de influência da força cortante numa seção entre os 
apoios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A linha de influência de QS pode ser obtida a partir das linhas de 
influência de VA e VB. 
Chamando a carga unitária de P = 1 e as reações de AV e BV , tem-se: 
x<a+c \u21d2 SQ = - BV 
x>a+c \u21d2 SQ = AV 
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Resultando portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ordenada \u201cYS1\u201d representa o valor da força cortante na seção 
\u201cS\u201d, quando a carga unitária estiver na seção \u201cS1\u201d. 
 
 
3.1.3-) Linha de influência do momento fletor numa seção entre 
os apoios 
 
 
 
 
 
 
 
 
A linha de influência de MS pode também ser obtida a partir das 
linhas de influência de VA e VB. 
 
Fazendo a carga unitária P = 1 e as respectivas reações AV e BV , tem-
se: 
x<a+c \u21d2 SM = BV .d (tração no lado de referência) 
x>a+c \u21d2 SM = AV .c 
 
Resultando portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 A ordenada \u201cYS1\u201d representa o valor do momento fletor na seção 
\u201cS\u201d quando a carga unitária móvel estiver sobre a seção \u201cS1\u201d. Neste 
caso os valores de SM não são adimensionais pois foram obtidos do 
produto de AV ou BV por uma distância \u201cc\u201d ou \u201cd\u201d, tendo portanto a 
dimensão de comprimento. As ordenadas positivas podem ser marcadas 
de qualquer lado desde que se indique o sinal. 
 
 
 
3.2-) Vigas em balanço 
 
3.2.1-) Linha de influência das reações de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\u2211MA = 0 
AM \u2013 1.x = 0 
AM = x 
 
\u2211V = 0 
AV \u20131 = 0 
AV = 1 
 
x = 0 \u21d2 AM = 0; AV = 1 
x = L \u21d2 AM = L; AV = 1 
 
Resultando portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2.2-) Linha de influência da força cortante numa seção do 
balanço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x<c \u21d2 SQ = 0 
x>c \u21d2 SQ = 1 
 
Resultando portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: No caso do balanço para a esquerda o sinal de SQ será negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2.3-) Linha de influência do momento fletor numa seção do 
balanço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x<c \u21d2 SM = 0 
x\u2265c \u21d2 SM = -1(x-c) (tração na face superior) 
 
Dando valores para x obtém-se: 
x = c \u21d2 SM = 0 
x = L \u21d2 SM = -1(L-c) = -1.d = -d 
 
Resultando portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o balanço a esquerda a linha de influência é análoga. 
 
OBS: As linhas de influência dos esforços solicitantes numa seção do 
balanço de uma viga biapoiada são os mesmos obtidos para a viga em 
balanço. 
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3.3-) Exemplo 
 
Para a viga biapoiada abaixo pede-se traçar as linhas de influência de: 
AV , BV , S1Q , S1M , S2Q e S2M . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.4-) VIGAS GERBER 
 Como visto anteriormente, vigas Gerber são estruturas isostáticas 
de eixo reto que resultam da associação de vigas simples (vigas em 
balanço, vigas biapoiadas). 
 O traçado das linhas de influência de vigas Gerber é obtido a partir 
das linhas de influência das vigas simples, levando em consideração a 
transmissão de carga da viga que está apoiada para aquela que serve 
de apoio. Deve-se lembrar que quando a carga móvel está sobre um 
apoio ela é integralmente transmitida para ele. 
 Através de alguns .exemplos mostrar-se-á como traçar as linhas 
de influência para as vigas Gerber. 
 
EXEMPLO 1 
 Para a viga abaixo pede-se as linhas de influência de AV , AM . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Decomposição da estrutura. 
Traça a L.I. para a viga 
AB. Como a viga BCD esta 
apoiada em AB, haverá 
transmissão de carga. 
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EXEMPLO 2 
 Para a viga abaixo, pede-se: CV , EV , S1Q e S1M . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Decomposição 
Regra Geral: Traça-se a LI para a viga simples que contém a seção 
estudada, depois prolonga esta linha para as vigas que transmitem 
carga para a viga que contém a seção estudada. 
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EXEMPLO 3 
 
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3.5-) TRELIÇAS 
 As linhas de influência das reações de apoio das vigas treliçadas 
são as mesmas obtidas para as vigas de alma cheia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\u2211 EM = 0 \u21d2 AV .L - 1(L-x) = O \u21d2 AV = (L-x)/L 
\u2211 AM = 0 \u21d2 EV .L - 1.x = O \u21d2 EV = x/L. 
x = 0 \u21d2 AV = 1; EV = 0 
x = L \u21d2 AV = 0; EV = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cabe salientar que no caso das treliças o efeito do carregamento 
móvel chega nos nós indiretamente, através de elementos estruturais 
secundários como as transversinas. 
 As linhas de influência das forças normais