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Números Reais, Funções, Limites e Derivadas

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Notas de Aulas de Ca´lculo Diferencial e
Integral 1
Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 1
Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e
Derivadas
Este e´ um texto introduto´rio de Ca´lculo Diferencial e Integral 1.
O curso esta´ dividido nas seguintes partes:
1 Nu´meros Reais e Func¸o˜es (12 horas-aula)
Nu´meros reais
Desigualdades
Valor Absoluto
Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es, modelos geome´tricos
Func¸o˜es: domı´nio, contra-domı´nio, imagem e gra´fico
Composta de duas func¸o˜es
Func¸o˜es pares, ı´mpares, crescentes, decrescentes e perio´dicas
Func¸o˜es sobrejetoras, injetoras, bijetoras e func¸a˜o inversa
Func¸o˜es trigonome´tricas
Func¸o˜es logar´ıtmicas e exponenciais
Func¸o˜es poteˆncias de expoentes racionais
2 Limites e continuidade (18 horas-aula)
Definic¸a˜o de limite
Teoremas sobre limites
Limites laterais
Limites infinitos
Limites no infinito
Continuidade em um ponto e em um intervalo
Teoremas sobre continuidade, Teorema do Valor Intermedia´rio e o Teorema de Weierstrass
Limites fundamentais
3 Derivadas (24 horas-aula)
Definic¸a˜o, significados geome´trico e f´ısico
Equac¸o˜es das retas tangente e normal
A derivada como taxa de variac¸a˜o instantaˆnea
Diferenciabilidade e continuidade
Regras de derivac¸a˜o
Regra de cadeia
Derivada de func¸a˜o inversa
Derivac¸a˜o impl´ıcita
Derivadas de ordem superior
Taxas relacionadas
4 Teoremas sobre Func¸o˜es Deriva´veis (6 horas-aula)
Teorema de Rolle
Teorema do Valor Me´dio e aplicac¸o˜es
Regra de L’Hoˆspital
5 Aplicac¸o˜es da Derivada (30 horas-aula)
Func¸o˜es crescentes e decrescentes
Ma´ximos e mı´nimos, relativos e absolutos
agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini
Pa´gina 2 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
Teorema do valor extremo
Concavidade e pontos da inflexa˜o
Testes da derivada primeira e da derivada segunda
Ass´ıntotas horizontais e verticais
Esboc¸os de gra´ficos de func¸o˜es
Func¸o˜es hiperbo´licas
Problemas de otimizac¸a˜o
Alguns modelos matema´ticos envolvendo equac¸o˜es diferenciais simples (antiderivac¸a˜o e algumas equac¸o˜es autoˆnomas:
y′ = p (y))
Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br
Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 3
Cap´ıtulo 1
Nu´meros Reais e Func¸o˜es
1.1 Conjuntos Nume´ricos
A teoria envolvendo a construc¸a˜o matema´tica rigorosa dos conjuntos nume´ricos, suas operac¸o˜es e propriedades foge
aos objetivos deste curso introduto´rio. Tal estudo e´ visto em disciplinas mais avanc¸adas de Teoria dos Nu´meros e
Ana´lise Real (ou Ana´lise Complexa).
Abaixo segue um resumo de tais conjuntos.
Conjunto do nu´meros naturais:
N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} .
Alguns autores consideram 0 (zero) como nu´mero natural.
Conjunto dos nu´meros inteiros:
Z = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} .
A palavra nu´meros em alema˜o e´ escrita como zahlen.
Conjunto dos nu´meros racionais:
Q =
{a
b
: a, b ∈ Z e b 6= 0
}
.
Existe uma relac¸a˜o de equivaleˆncia importante em Q:
a
b
=
c
d
⇐⇒ ad = bc.
Assim, por exemplo, 1
2
= 3
6
, pois 1.6 = 2.3 .
Todo nu´mero racional pode ser escrito em uma forma decimal, sendo esta forma “finita” ou “infinita” formando
uma d´ızima perio´dica. Por exemplo,
1
2
= 0, 5
7
8
= 0, 875
1
3
= 0, 3333 . . .
41
333
= 0, 123123123 . . .
Existem nu´meros que na˜o sa˜o racionais. Por exemplo, o comprimento da hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo
cujos catetos medem uma unidade de comprimento. Tal nu´mero e´ indicado por
√
2 e e´ uma raiz da equac¸a˜o x2 = 12+12
(esta equac¸a˜o e´ proveniente do Teorema de Pita´goras), ou seja, x2 = 2.
Ö2
1
1
Mas como saber se
√
2 na˜o pode ser escrito na forma a
b
com a, b ∈ Z e b 6= 0? Necessitamos de uma demonstrac¸a˜o
matema´tica.
Suponhamos que existam a, b ∈ Z com b 6= 0 de tal modo que a
b
=
√
2.
agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini
Pa´gina 4 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
Sabemos que todo nu´mero inteiro maior do que 1 pode ser fatorado em produto de nu´meros primos e tal fatorac¸a˜o
e´ u´nica a menos de permutac¸a˜o dos fatores (este e´ o conhecido Teorema Fundamental da Aritme´tica). Assim, a =
p1p2 . . . pn e b = q1q2 . . . qm com pi, qj nu´meros primos. Logo,
a
b
=
√
2⇒ a2
b2
= 2⇒ (p1p2 . . . pn)2
(q1q2 . . . qm)
2
= 2⇒ p1p1p2p2 . . . pnpn
q1q1q2q2 . . . qmqm
= 2⇒ p1p1p2p2 . . . pnpn = 2q1q1q2q2 . . . qmqm.
Ocorre que na u´ltima igualdade, a quantidade de fatores iguais a 2 no primeiro membro e´ par, enquanto que no
segundo membro e´ ı´mpar. Uma contradic¸a˜o que surgiu do fato de supormos que
√
2 e´ um nu´mero racional. Logo,
conclu´ımos que
√
2 na˜o e´ um nu´mero racional. �
Alia´s, o leitor percebera´ facilmente que o racioc´ınio desenvolvido acima pode ser repetido para qualquer nu´mero
da forma
√
p com p primo.
Podemos associar os nu´meros racionais a pontos de uma reta. Para tanto, basta fixarmos dois pontos A e B
distintos na reta e associarmos os nu´meros 0 e 1, respectivamente. Com isto, estabelecemos uma unidade de medida
geome´trica sobre a reta que, por meio de seus mu´ltiplos e submu´ltiplos, permite a localizac¸a˜o dos demais nu´meros
racionais sobre a reta. Os nu´meros racionais positivos esta˜o associados a pontos da semirreta com origem em A que
passa por B, enquanto que os nu´meros racionais negativos esta˜o associados a pontos da semirreta com origem em A
que na˜o passa por B. A figura abaixo esclarece o procedimento acima.
0 1 2 3-1-2-3
- ,0 5
A B
2 5,
5
2
Existem pontos da reta que na˜o esta˜o associados a nu´meros racionais. Tais pontos esta˜o associados aos chamados
nu´meros irracionais.
A` reunia˜o do conjunto dos nu´meros racionais e do conjunto dos nu´meros irracionais chamamos de conjunto dos
nu´meros reais e indicamos por R.
A reta associada ao conjunto dos nu´meros reais, conforme descrevemos acima, chamamos de reta real ou eixo.
Todo nu´mero irracional pode ser aproximado por nu´meros racionais e possui uma representac¸a˜o decimal “infinita”
que na˜o forma d´ızima perio´dica. Por exemplo,
√
2 = 1, 41421356 . . .
√
3 = 1, 73205080 . . .
√
5 = 2, 23606797 . . . pi = 3, 14159265 . . . e = 2, 71828182 . . .
Ainda ha´ o conjunto dos nu´meros complexos:
C =
{
a+ bi : a, b ∈ R e i = √−1
}
Em resumo:
N Z Q R C
Neste curso trabalharemos apenas com o conjunto dos nu´meros reais, admitindo suas operac¸o˜es usuais, bem como
suas propriedades.
Exerc´ıcio. Representac¸a˜o decimal de nu´meros racionais.
Escreva os nu´meros racionais
0, 42
0, 888 . . .
0, 62555 . . .
0, 999 . . .
em forma de frac¸a˜o com numerador e denominador inteiros.
Resoluc¸a˜o:
Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br
Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 5
(1) 0, 42 = 42
100
= 21
50
.
(2) x = 0, 888 . . .⇒ 10x = 8, 888 . . . Logo, 10x− x = 8, 888 . . .− 0, 888 . . .⇒ 9x = 8⇒ x = 8
9
.
Portanto, 0, 888 . . . = 8
9
.
(3) x = 0, 62555 . . . ⇒ 100x = 62, 555 . . . e 1000x = 625, 555 . . . Logo, 1000x − 100x = 625, 555 . . . − 62, 555 . . . ⇒
900x = 563⇒ x = 563
900
.
Portanto, 0, 62555 . . . = 563
900
.
(4) x = 0, 999 . . .⇒ 10x = 9, 999 . . . Logo, 10x− x = 9, 999 . . .− 0, 999 . . .⇒ 9x = 9⇒ x = 1.
Portanto, 0, 999 . . . = 1. �
1.2 Intervalos, Desigualdades e Valor Absoluto
Ha´ subconjuntos de R que sa˜o especiais para o desenvolvimento da teoria envolvendo Ca´lculo Diferencial e Integral.
Sa˜o os intervalos. Sejam a < b nu´meros reais.
(1) {x ∈ R : a < x < b} = ]a, b[ e´ chamado de intervalo aberto de extremos a e b.
ba
R
(2) {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} = [a, b] e´ chamado de intervalo fechado de extremos a e b.
ba
R
Demodo ana´logo:
(3) {x ∈ R : a < x ≤ b} = ]a, b]
ba
R
(4) {x ∈ R : a ≤ x < b} = [a, b[
ba
R
(5) {x ∈ R : a ≤ x} = [a,+∞[
a
R
(6) {x ∈ R : a < x} = ]a,+∞[
a
R
(7) {x ∈ R : x < b} = ]−∞, b[
b
R
(8) {x ∈ R : x ≤ b} = ]−∞, b]
b
R
(9) R = ]−∞,+∞[ R
Inequac¸o˜es do 1o. grau sa˜o desigualdades redut´ıveis a uma das seguintes formas:
ax > b, ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b.
Exemplo. Encontrar os valores de x tais que 2 (x− 1) < 5x+ 3.
Resoluc¸a˜o:
Temos 2x− 2 < 5x+ 3⇒ −3x < 5⇒ x > −5
3
. Logo, os valores de x esta˜o no intervalo
]
−5
3
,+∞[. �
Definimos o mo´dulo ou valor absoluto de um nu´mero real x como sendo
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
.
Por exemplo, |5| = 5 e |−7| = 7.
Propriedades. Seja k > 0.
(1) |x| = k⇐⇒ x = k ou x = −k.
(2) |x| < k⇐⇒ −k < x < k.
agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini
Pa´gina 6 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
(3) |x| > k⇐⇒ x > k ou x < −k.
(4)
√
x2 = |x|.
Exerc´ıcio. Resolva |2x− 3| > 7.
Resoluc¸a˜o:
(1) Se 2x− 3 ≥ 0, enta˜o x ≥ 3
2
.
Neste caso, |2x− 3| = 2x− 3 > 7⇒ x > 5 .
Portanto, neste caso, x > 5.
(2) Se 2x− 3 < 0, enta˜o x < 3
2
.
Neste caso, |2x− 3| = −(2x− 3) > 7⇒ x < −2 .
Portanto, neste caso, x < −2.
Conclusa˜o: x ∈ ]−∞,−2[ ∪ ]5,+∞[. �
1.3 Func¸o˜es
Sejam X e Y conjuntos e x 7−→ y uma regra que associa a cada elemento x ∈ X um u´nico elemento y ∈ Y.
A` terna (X, Y, x 7−→ y) chamamos de func¸a˜o.
Uma func¸a˜o pode ser indicada por
f : X −→ Y, f (x) = y
ou ainda
f : X −→ Y
x 7−→ y .
O conjunto X e´ chamado de domı´nio da func¸a˜o f.
O conjunto Y e´ chamado de contra-domı´nio da func¸a˜o f.
O conjunto I = {f (x) ∈ Y : x ∈ X} ⊂ Y e´ chamado de conjunto imagem da func¸a˜o f.
O elemento f (x) ∈ Y e´ chamado de imagem do elemento x ∈ X pela func¸a˜o f.
Exemplos e contra-exemplo.
(1) X = {0, 1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6, 7, 8} e f : X→ Y tal que
x y = f (x)
0 8
1 8
2 5
3 5
4 6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
X Y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
2 3 4
(2) X = N, Y = Z e
f : N −→ Z
x 7−→ 2x
Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br
Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 7
4
3
2
4
3
2
1
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2 3 41
0
-1
5
6
7
8
Z
N -1
(3) X = {1, 2, 3}, Y = {1, 2, 3} e f : X→ Y tal que
x y = f (x)
1 1
1 2
2 3
3 3
1
2
3
3
2
1
X
Y 0 1
1
2
3
2 3
Observemos que f na˜o e´ func¸a˜o, pois ao elemento 1 ∈ X na˜o esta´ associado um u´nico elemento de Y.
Seja f : X→ Y, f (x) = y, uma func¸a˜o.
Quando elementos distintos do domı´nio X esta˜o associados a elementos distintos do contra-domı´nio Y dizemos que
f e´ uma func¸a˜o injetiva (ou injetora).
Matematicamente:
x 6= y⇒ f (x) 6= f (y)
ou, equivalentemente,
f (x) = f (y)⇒ x = y.
Quando o conjunto imagem de f coincide com seu contra-domı´nio, isto e´, I = Y, dizemos que f e´ sobrejetiva (ou
sobrejetora).
Quando f e´ injetiva e sobrejetiva dizemos que f e´ bijetiva (ou bijetora, ou ainda que f e´ uma bijec¸a˜o).
Exemplos.
(1) A func¸a˜o
f : N −→ N
x 7−→ x2
e´ injetiva.
De fato, sejam x1, x2 ∈ N tal que
f (x1) = f (x2)⇒ x21 = x22 ⇒√x21 =√x22 ⇒ |x1| = |x2|⇒ x1 = x2
pois x1, x2 > 0.
A func¸a˜o f na˜o e´ sobrejetiva, pois, por exemplo, 2 ∈ N e na˜o e´ quadrado de nu´mero natural, ou seja, 6 ∃x ∈ N tal
que f (x) = x2 = 2. Portanto, I 6= N.
Naturalmente, f na˜o e´ bijetiva.
(2) A func¸a˜o
f : N ∪ {0} −→ N
x 7−→ x+ 1
e´ bijetiva.
De fato, sejam x1, x2 ∈ N ∪ {0} tal que
f (x1) = f (x2)⇒ x1 + 1 = x2 + 1⇒ x1 = x2.
agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini
Pa´gina 8 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
Portanto, f e´ injetiva.
Seja y ∈ N. Temos x = y − 1 ∈ N ∪ {0} e f (x) = f (y− 1) = (y− 1) + 1 = y. Portanto, I = N, ou seja, f e´
sobrejetiva.
Sejam f : A → B e g : C → D func¸o˜es tais que B ⊂ C. Podemos definir uma nova func¸a˜o g ◦ f : A → D tal que
g ◦ f (x) = g (f (x)), chamada de func¸a˜o composta de g com f.
x
A
B DC
fx( ) g( )fx( )
gof
gf
Exemplo. Sejam
f : N −→ N
x 7−→ x2 e g : N −→ Qx 7−→ x
x+1
.
Temos definida a composta de g com f pois o conjunto imagem de f esta´ contido no domı´nio de g. Portanto.
g ◦ f : N −→ Q
x 7−→ x2
x2+1
pois g ◦ f (x) = g (f (x)) = g (x2) = x2
x2+1
.
Observemos que f ◦ g na˜o esta´ definida, pois o conjunto imagem de g na˜o esta´ contido no domı´nio de f.
Neste curso trabalharemos com func¸o˜es do tipo f : X ⊂ R → R, que sa˜o chamadas de func¸o˜es reais de uma
varia´vel real. Observemos que o gra´fico de tais func¸o˜es pode ser representado no plano cartesiano:
G = {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊂ R× R = R2.
1.4 Algumas Func¸o˜es Especiais
A menos que se diga o contra´rio, nas pro´ximas subsec¸o˜es trabalharemos sempre com domı´nios maximais em R, isto e´,
as func¸o˜es f que iremos definir tera˜o sempre o maior domı´nio poss´ıvel em R para o qual a expressa˜o anal´ıtica de f fac¸a
sentido. Tambe´m trabalharemos com o contra-domı´nio de f como sendo R. Assim, os comenta´rios sobre injetividade,
sobrejetividade e bijetividade de f sera˜o feitos tendo em mente essas considerac¸o˜es.
1.4.1 Func¸o˜es Constantes
Sa˜o func¸o˜es do tipo f : R→ R com f (x) = b, sendo b ∈ R constante.
O gra´fico de uma func¸a˜o constante no plano cartesiano e´ uma reta paralela (ou coincidente) ao eixo das abscissas
(eixo x), passando pelo ponto de ordenada b do eixo das ordenadas (eixo y).
x
y
b
Observemos que func¸o˜es constantes na˜o sa˜o injetivas e nem sobrejetivas (portanto, na˜o sa˜o bijetivas).
Edson Agustini sites.google.com/site/edsonagustini agustini@ufu.br
Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 9
1.4.2 Func¸o˜es Lineares
Sa˜o func¸o˜es do tipo f : R→ R com f (x) = ax, sendo a ∈ R constante.
O gra´fico de uma func¸a˜o linear no plano cartesiano e´ uma reta com coeficiente angular igual a a, passando pela
origem do sistema de coordenadas.
x
y
1
q
a
0
Observemos que func¸o˜es lineares sa˜o bijetivas quando a 6= 0 (prove isso). Quando a = 0 temos a func¸a˜o linear
nula, que e´ um caso particular de func¸a˜o constante.
Lembremos, tambe´m, que o coeficiente angular a do gra´fico de f e´ tal que a = tg (θ), sendo θ a medida do aˆngulo
orientado no sentido anti-hora´rio a partir do eixo x que o gra´fico de f forma com esse eixo (veja figura acima).
1.4.3 Func¸o˜es Afins
Sa˜o func¸o˜es do tipo f : R→ R com f (x) = ax+ b, sendo a, b ∈ R constantes. (1)
O gra´fico de uma func¸a˜o afim no plano cartesiano e´ uma reta com coeficiente angular igual a a, passando pelo
ponto de ordenada b do eixo y (isto e´, f (0)) e, quando a 6= 0, passando pelo ponto de abscissa −b
a
do eixo x (isto e´,
a raiz da equac¸a˜o f (x) = 0).
x
y
- /b a
b
Observemos que func¸o˜es afins sa˜o bijetivas quando a 6= 0 (prove isso). Quando a = 0, func¸o˜es afins sa˜o, na verdade,
func¸o˜es constantes. Quando b = 0, temos func¸o˜es lineares.
1.4.4 Func¸o˜es Quadra´ticas
Sa˜o func¸o˜es do tipo f : R→ R com f (x) = ax2 + bx+ c, sendo a, b, c ∈ R constantes e a 6= 0.
O gra´fico de uma func¸a˜o quadra´tica no plano cartesiano e´ uma para´bola com ve´rtice no ponto V =
(
− b
2a
,− ∆
4a
)
passando pelo ponto de ordenada c do eixo y. Quando a > 0 temos a concavidade da para´bola para cima e, quando
a < 0, para baixo. Quando o gra´fico de uma func¸a˜o quadra´tica intersecta o eixo x, essa intersecc¸a˜o ocorre em pontos
de abscissas iguais a`s ra´ızes reais de f (x) = 0.
-D/4a
c
x1 x
y
x2
- /b 2a
V
-D/4a
c
x1
x
y
x2
- /b 2a
V
0
c
x
y
- /b 2a
V
0
c
x
y
- /b 2a
V
-D/4a
c
x
y- /b 2a
V
-D/4a
c
x
y
- /b 2a
V
a > 0
> 0D
a > 0
0D =
a > 0
< 0D
a < 0
> 0D
a < 0
0D =
a < 0
< 0D
Observemos que func¸o˜es quadra´ticas na˜o sa˜o injetivas e nem sobrejetivas.
1Alguns autores consideram a restric¸a˜o a 6= 0 para func¸a˜o afim.
agustini@ufu.br sites.google.com/site/edsonagustini Edson Agustini
Pa´gina 10 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
1.4.5 Func¸o˜es Polinomiais
Sa˜o func¸o˜es do tipo f : R → R com f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0, sendo an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R
constantes.
Func¸o˜es constantes, lineares, afins e quadra´ticas sa˜o casos particulares de func¸o˜es polinomiais.
Exemplos. Consideremos as seguintes func¸o˜es:
(i) f : R→ R, com f (x) = x3 (gra´fico em preto na figura abaixo).
(ii) g : R→ R, com g (x) = 1
2
x3 − x2 − 1
2
x+ 1 (gra´fico em vermelho na figura abaixo);
(iii) h : R→ R, com g (x) = 1
2
x4 − 5
2
x2 + 2 (gra´fico em azul na figura abaixo).
y y y
x x x-1-1 -2210 1 2
1
2
1
1
f g h
Observemos que os gra´ficos das func¸o˜es intersectam o eixos das abscissas (eixos x) nos pontos cujas abscissas sa˜o
as ra´ızes das equac¸o˜es polinomiais f (x) = 0, g (x) = 0 e h (x) = 0 (verifique!).
Ja´ os pontos onde os gra´ficos das func¸o˜es intersectam os eixos das ordenadas (eixos y) sa˜o os pontos cujas ordenadas
sa˜o f (0), g (0) e h (0) (verifique!).
1.4.6 Func¸o˜es Racionais
Sa˜o func¸o˜es do tipo f : X ⊂ R → R com f (x) = p(x)
q(x) , sendo p (x) e q (x) polinoˆnios de tal modo que q (x) 6= 0 para
qualquer x ∈ X.
Func¸o˜es polinomiais sa˜o casos particulares de func¸o˜es racionais. Neste caso, q (x) = 1 para qualquer x ∈ R.
Exemplo 1. Consideremos f : R∗ → R com f (x) = 1
xn
nos casos em que n = 1, 2, 3 e 4. Os quatro gra´ficos dessas
func¸o˜es esta˜o ilustrados na figura abaixo, sendo um de cada cor. Na u´ltima figura todos os gra´ficos esta˜o em um
mesmo sistema de coordenadas, para que possamos entender melhor a dinaˆmica de variac¸a˜o de n para os valores
considerados.
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 11
n 3=
n 2=
-1
-1
0
1
1 x
y
n 2=
n 1=
n 1=
n = 4n = 4
n 3=
n 3=-1
-1 0
1
1 x
y
-1
0
1
1 x
y
n = 4
-1
-1
0
1
1
x
y
n 1= n 2=
-1 0 1
1
x
y
No caso em que n = 1 o gra´fico de f (x) = 1
x
(em cor preta) e´ constituido pelos dois ramos de uma hipe´rbole (provar
isso e´ um bom exerc´ıcio!). Ja´ para n = 2, a func¸a˜o f (x) = 1
x2
possui imagens positivas apenas (gra´fico na cor verde).
Nos casos n = 3, f (x) = 1
x3
possui gra´fico em azul e n = 4, f (x) = 1
x4
possui gra´fico em vermelho.
Observemos que os gra´ficos das func¸o˜es acima na˜o intersectam os eixos das abscissas (eixos x). Isto significa que
as equac¸o˜es f (x) = 0 na˜o possuem ra´ızes (verifique!).
Observemos tambe´m que os gra´ficos das func¸o˜es acima na˜o intersectam os eixos das ordenadas (eixos y). Isto e´
decorreˆncia do fato de x = 0 na˜o pertencer ao domı´nio das func¸o˜es.
Exemplo 2. Consideremos f : X1 ⊂ R → R, com f (x) = 3x+3x2+2x−8 e g : X2 ⊂ R → R, com g (x) = x−5x2+2x−15 . Os
gra´ficos de f e de g esta˜o ilustrados na figura abaixo (as retas pontilhadas verticais na˜o fazem parte dos gra´ficos).
y
x x
y
-5 3
-4
2
f g
-1
- /3 8
1 3/
5
Notemos que o domı´nio X1 da func¸a˜o f na˜o pode conter as ra´ızes de q1 (x) = x
2 + 2x− 8, que sa˜o −4 e 2, ou seja,
X1 = R − {−4, 2}. Ja´ o domı´nio X2 de g na˜o pode conter as ra´ızes de q2 (x) = x2 + 2x − 15, que sa˜o −5 e 3, ou seja,
X2 = R− {−5, 3}.
Observemos que os gra´ficos das func¸o˜es f e g acima intersectam os eixos das abscissas (eixos x) nos pontos de
abscissas iguais a`s ra´ızes das equac¸o˜es f (x) = 0 e g (x) = 0, enquanto que intersectam os eixos das ordenadas (eixos
y) nos pontos de ordenadas iguais a f (0) e g (0) (verifique essas afirmac¸o˜es).
1.4.7 Func¸o˜es Poteˆncias
Sa˜o func¸o˜es do tipo f : X ⊂ R→ R com f (x) = xa, sendo a ∈ R∗ constante.
Casos particulares de func¸o˜es poteˆncia:
Para a = 1 temos que f e´ uma func¸a˜o linear.
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Pa´gina 12 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
Para a = 2 temos que f e´ uma func¸a˜o quadra´tica.
Para a ∈ Z+ temos que f e´ uma func¸a˜o polinomial.
Para a ∈ Z− temos que f e´ uma func¸a˜o racional.
Exemplos. Consideremos f : X ⊂ R → R com f (x) = xa nos casos em que a = −1
2
, −1
3
, −1
5
, 1
5
, 1
3
e 1
2
. Os seis
gra´ficos dessas func¸o˜es esta˜o ilustrados na figura abaixo, sendo um de cada cor. Na u´ltima figura todos os gra´ficos
esta˜o em um mesmo sistema de coordenadas, para que possamos entender melhor a dinaˆmica de variac¸a˜o de a para
os valores considerados.
a 1 2= /
a 1 3= /
a 1 5= /
a 1 5= - /
a 1 3= - /
a 1 2= - /
a 1 5= - /
a 1 3= - /
a 1 3= /
a 1 5= /
-1
-1
0
1
1 x
y
a 1 3= /
-1
-1 0
1
1 x
y
a 1 2= /
0
1
1 x
y
a 1 5= - /
-1
-1
0 1
1
x
y
a 1 5= /
-1
-1
0
1
1 x
y
a 1 2= - /
0
1
1 x
y
a 1 3= - /-1
-1
0 1
1
x
y
No caso em que a = 1
2
o gra´fico de f (x) =
√
x (em cor magenta) e´ parte de uma para´bola, sendo que X = [0,+∞[.
Ja´ para a = −1
2
o domı´nio de f (x) = 1√
x
e´ X = ]0,+∞[ = R+ (gra´fico em verde escuro). Nestes dois casos na˜o
podemos estender o domı´nio aos nu´meros reais negativos pois, caso contra´rio, ter´ıamos nu´meros complexos na imagem
de f.
Nos casos a = 1
3
(gra´fico em azul) e a = 1
5
(gra´fico em preto) o domı´nio de f e´ X = R.
Ja´ nos casos em que a = −1
3
(gra´fico em vermelho) e a = −1
5
(gra´fico em verde claro), o domı´nio de f e´ X = R∗.
O exemplo acima permite algumas observac¸o˜es interessantes. De um modo geral, quando a ∈ Q esta´ escrito em
forma de frac¸a˜o simplificada (isto e´, numerador e donominador primos entre si) e com denominador par, enta˜o o
domı´nio de f e´ X = [0,+∞[ quando a > 0, e X = ]0,+∞[ quando a < 0. Com denominador ı´mpar, X = R quando
a > 0, e X = R∗ quando a < 0.
Ja´ nos casos em que a e´ irracional positivo, temos X = [0,+∞[, enquanto que para a irracional negativo, temos
X = ]0,+∞[.
1.4.8 Func¸o˜es Exponenciais
Sa˜o func¸o˜es do tipo f : R→ R com f (x) = ax, sendo a > 0 e a 6= 1 constante real.
Constantes a negativas na˜o sa˜o consideradas em nossos estudos para que evitemos valores complexos na imagem
de f, como por exemplo (−1)
1
2 =
√
−1 = i.
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 13
Ja´ a = 1 ou a = 0 (com x > 0) conduzem a func¸o˜es constantes que, por sua vez, na˜o sa˜o consideradas func¸o˜es
exponenciais.
Exemplos. Consideremos f : R → R com f (x) = ax, com a = 0, 2; a = 0, 5; a = 0, 7; a = 1, 5; a = 2 e a = e, cujos
gra´ficos sa˜o dados abaixo.
a 0 5= ,
0 x
y
1
a 1 5= ,
0 x
y
1 a 2=
0 x
y
1 a e=
0 x
y
1
a 0 7= ,
0 x
y
1a 0 2= ,
0 x
y
1
Observemos que quando 0 < a < 1 o gra´fico de f e´ decrescente, sempre intersectando o eixo das ordenadas (eixo
y) no ponto de ordenada 1. Observemos tambe´m que, quanto mais a esta´ pro´ximo de 1, tanto mais o gra´fico de f esta´
pro´ximo do gra´fico da func¸a˜o constante g (x) = 1, ∀x ∈ R (que corresponde ao gra´fico de f (x) = 1x).
De modo ana´logo, quando a > 1 o gra´fico de f e´ crescente, sempre intersectando o eixo das ordenadas (eixo y)
tambe´m no ponto de ordenada 1.
Um destaque especial para o u´ltimo gra´fico, que corresponde ao gra´fico da func¸a˜o exponencial de base e, ou seja,
f (x) =ex. Esta func¸a˜o sera´ muito importante para estudos posteriores.
Por fim, observemos que se considerarmos f : R→ R+ as func¸o˜es exponenciais sa˜o bijetivas (prove isso!).
1.4.9 Func¸o˜es Logar´ıtmicas
Sa˜o func¸o˜es do tipo f : R+ → R com f (x) = loga (x), sendo a > 0 e a 6= 1 constante real.
Lembremos que
loga (x) = y⇔ ay = x.
Desta forma, para que trabalhemos restritos ao conjunto dos nu´meros reais e tenhamos a func¸a˜o logar´ıtmica bem
definida, precisamos, de fato, da restric¸a˜o a > 0 e a 6= 1.
Exemplos. Consideremos f : R+ → R com f (x) = loga(x), com a = 0, 2; a = 0, 5; a = 0, 7; a = 1, 5; a = 2 e a = e,
cujos gra´ficos sa˜o dados abaixo.
a 0 5= ,
0
y
a 1 5= , a 2= a e=
1
0
y
0
y
0 x
y
a 0 2= ,
0 x
y
1
a 0 7= ,
0
y
1
1 1 1
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Pa´gina 14 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
Observemos que quando 0 < a < 1 o gra´fico de f e´ decrescente, sempre intersectando o eixo das abscissas (eixo x)
no ponto de abscissa 1. Observemos tambe´m que, quanto mais a esta´ pro´ximo de 1, tanto mais o gra´fico de f esta´
pro´ximo da reta vertical que passa pelo ponto de abscissa 1 do eixo x.
De modo ana´logo, quando a > 1 o gra´fico de f e´ crescente, sempre intersectando o eixo das abscissas (eixo x)
tambe´m no ponto de abscissa 1.
Um destaque especial para o u´ltimo gra´fico, que corresponde ao gra´fico da func¸a˜o logar´ıtmica na base e, ou seja,
f (x) = loge (x), que e´ chamada de func¸a˜o logar´ıtmica natural e denotada por f (x) = ln (x). Esta func¸a˜o tambe´m sera´
muito importante para estudos posteriores.
Por fim, todas as func¸o˜es logar´ıtmicas sa˜o bijetivas (prove tambe´m isso!).
1.4.10 Func¸o˜es Trigonome´tricas
Seja uma func¸a˜o f : X ⊂ R→ R tal que existe um nu´mero real positivo p que cumpre a condic¸a˜o
f (x+ p) = f (x) (1)
para qualquer x ∈ X.
Naturalmente esta mesma condic¸a˜o e´ cumprida para qualquer mu´ltiplo positivo mp (m ∈ N) de p, pois
f (x+mp) = f (x+ (m− 1)p+ p)
= f (x+ (m− 1)p)
= f (x+ (m− 2)p+ p)
= f (x+ (m− 2)p)
...
= f (x+ 2p)
= f (x+ p+ p)
= f (x+ p)
= f (x) .
Uma func¸a˜o f que cumpre a propriedade descrita acima e´ chamada de func¸a˜o perio´dica e o menor nu´mero real
positivo p que satisfaz (1) e´ chamado de per´ıodo da func¸a˜o f.
Func¸a˜o Seno
E´ a func¸a˜o f : R→ R tal que f (x) = sen (x).
A func¸a˜o seno e´ perio´dica de per´ıodo p = 2pi. Sua imagem e´ o intervalo I = [−1, 1]. Seu gra´fico esta esboc¸ado na
figura abaixo.
x
y
0 p/2
3 2p/
2p 5 2p/p
-p/2
-p-3 2p/-2p
-5 2p/
1
-1
Func¸a˜o Cosseno
E´ a func¸a˜o f : R→ R tal que f (x) = cos (x).
A func¸a˜o cosseno e´ perio´dica de per´ıodo p = 2pi. Sua imagem e´ o intervalo I = [−1, 1]. Seu gra´fico esta esboc¸ado
na figura abaixo.
x
y
0 p/2 3 2p/ 2p
5 2p/p
-p/2
-p
-3 2p/-2p
-5 2p/
1
-1
Func¸a˜o Tangente
E´ a func¸a˜o f : X ⊂ R→ R tal que f (x) = tg (x) sendo X = R− {pi
2
+ kpi : k ∈ Z}.
A func¸a˜o tangente e´ perio´dica de per´ıodo p = pi. Sua imagem e´ R. Seu gra´fico esta esboc¸ado na figura abaixo.
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 15
x
y
0
p/2 3 2p/
2p
5 2p/
p
-p/2
-p
-3 2p/
-2p
-5 2p/
Tarefa Importante.
Considere as func¸o˜es
f (x) = a+ b sen (cx+ d)
g (x) = a+ b cos (cx+ d)
h (x) = a+ b tg (cx+ d)
Utilizando o software GeoGebra, estude o comportamento dinaˆmico dos gra´ficos das func¸o˜es acima fazendo com
que os paraˆmetros a, b, c e d variem. Fac¸a um resumo de suas concluso˜es.
As concluso˜es as quais voceˆ chegou valem apenas para as func¸o˜es trigonome´tricas?
1.5 Func¸o˜es Inversas
Seja f : A ⊂ R→ B ⊂ R uma func¸a˜o bijetiva. Logo, podemos definir a func¸a˜o g : B ⊂ R→ A ⊂ R tal que
f (a) = b⇐⇒ g (b) = a.
x
y
0 a = g b( )A
B
f a( ) = b
gráfico de f
A func¸a˜o g e´ chamada de inversa da func¸a˜o f e indicada por g = f−1. Assim, se f e´ invert´ıvel (ou seja, bijetiva)
temos
f (x) = y⇐⇒ f−1 (y) = x.
Com isso,
f ◦ f−1 (y) = f (f−1 (y)) = f (x) = y = Id (y)
e
f−1 ◦ f (x) = f−1 (f (x)) = f−1 (y) = x = Id (x)
sendo Id : R → R a func¸a˜o linear identidade, cujo gra´fico no plano cartesiano e´ a reta bissetriz dos quadrantes
ı´mpares (portanto, coeficiente angular igual a 1).
Propriedade geome´trica das func¸o˜es invert´ıveis.
O gra´fico de uma func¸a˜o f invert´ıvel e o gra´fico de sua inversa f−1 sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o ao gra´fico da func¸a˜o
identidade.
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Pa´gina 16 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
x
y
0 A
B
gráfico de f
x
y
0
x
y
0B
A
gráfico de f 1-
f
f 1-
Id
Exemplos.
(1) Sejam f : R+ → R+ com f (x) = x2 (que e´ bijetiva com esse domı´nio e contra-domı´nio) e sua inversa f−1 : R+ → R+
com f−1 (x) =
√
x.
Temos
f ◦ f−1 (x) = f (f−1 (x)) = f (√x) = (√x)2 = x
e
f−1 ◦ f (x) = f−1 (f (x)) = f (x2) = √x2 = |x| = x
gráfico de f
x
y
0
gráfico de f 1-
f
f 1-
Id
1
1
x
y
0 1
1
x
y
0 1
1
(2) Sejam f : R→ R+ com f (x) = ax, sendo a > 0 e a 6= 1 (que e´ bijetiva com esse domı´nio e contra-domı´nio) e sua
inversa f−1 : R+ → R com f−1 (x) = loga (x).
Temos
f ◦ f−1 (x) = f (f−1 (x)) = f (loga (x)) = aloga(x) = x
e
f−1 ◦ f (x) = f−1 (f (x)) = f (ax) = loga (ax) = x
Na figura abaixo temos os gra´ficos de f (x) = ex e f−1 (x) = ln (x), ou seja, tomamos a = e nas func¸o˜es acima.
gráfico de f
x
y
gráfico de f 1-
Id
1
1
0
f
f 1-
x
y
10
x
y
1
0
1.6 Func¸o˜es Pares e Func¸o˜es I´mpares
Seja f : X ⊂ R→ R uma func¸a˜o.
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 17
Dizemos que f e´ uma func¸a˜o par quando f (−x) = f (x) para qualquer x ∈ X.
Dizemos que f e´ uma func¸a˜o ı´mpar quando f (−x) = −f (x) para qualquer x ∈ X.
Propriedade geome´trica das func¸o˜es pares.
O gra´fico de uma func¸a˜o par e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo das ordenadas (eixo y).
y
x-x x
fx f x( ) = ( )-
Propriedade geome´trica das func¸o˜es ı´mpares.
O gra´fico de uma func¸a˜o ı´mpar e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem do sistemas de coordenadas.
y
x
-x
x
fx( )
f x( ) =- -fx( )
Exemplos.
(1) Sejam f : R→ R tal que f (x) = cos (x) e g : R→ R tal que g (x) = x2.
A func¸a˜o cosseno e´ par, pois f (−x) = cos (−x) = cos (x) = f (x) para qualquer x ∈ R.
De modo ana´logo, g (−x) = (−x)
2
= x2 = g (x) para qualquer x ∈ R.
x
y
0 p/2 3 2p/ 2p
5 2p/p
-p/2
-p
-3 2p/-2p
-5 2p/
1
-1
1
-1 x
y
-2 21
4
f
g
(2) Sejam f : R→ R tal que f (x) = sen (x) e g : R→ R tal que g (x) = x3.
A func¸a˜o seno e´ ı´mpar, pois f (−x) = sen (−x) = − sen (x) = −f (x) para qualquer x ∈ R.
De modo ana´logo, g (−x) = (−x)
3
= −x3 = −g (x) para qualquer x ∈ R.
x
y
0 p/2
3 2p/
2p 5 2p/p
-p/2
-p-3 2p/-2p
-5 2p/
1
-1
y
x0
1
1
g
-1
-1
f
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 19
Cap´ıtulo 2
Limite e Continuidade
2.1 O Conceito de Limite
Consideremos a func¸a˜o f : R∗ → R dada por f (x) = x2+3x
x
. Logo, @f (0) .
Mas
f (x) =
x (x+ 3)
x
=
x6=0
x+ 3.
Logo, intuitivamente, para x pro´ximo de 0, mas diferente de 0, f (x) esta´ pro´ximo de 3.
y
x0
3
fx( )
gráfico de f
-3 x
Quando x tendea 0 (x→ 0), f (x) tende a 3 (f (x)→ 3), ou seja, o limite de f (x) quando x tende a 0 e´ 3 e
escrevemos
lim
x→0
x2 + 3x
x
= 3.
Para escrever esta ide´ia de modo mais rigoroso, recordemos que a noc¸a˜o de distaˆncia entre pontos a, b ∈ R e´ dada
pelo mo´dulo da diferenc¸a entre estes pontos, ou seja, |a− b|. Assim, dizer que x esta´ pro´ximo de 0 significa que |x− 0|
e´ um valor pequeno. Analogamente, dizer que f (x) esta´ pro´ximo de 3 significa que |f (x) − 3| e´, tambe´m, um valor
pequeno.
Definic¸a˜o. Sejam f : X ⊂ R → R uma func¸a˜o real de uma varia´vel real e a ∈ R tal que ]a− r, a+ r[ ∩ X 6= ∅ para
qualquer r > 0. (1)
Dizemos que f (x) tem limite L ∈ R quando x tende a a, e escrevemos
lim
x→a f (x) = L,
sempre que: para ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que (2)
0 < |x− a| < δ⇒ |f (x) − L| < ε.
Desta forma, dizer que lim
x→a f (x) = L significa que podemos fazer f (x) arbitrariamente pro´ximo de L, tomando x
suficientemente pro´ximo de a, pore´m, diferente de a.
1Esta condic¸a˜o garante que existem pontos x do domı´nio de f arbitrariamente pro´ximos de a.
20 < |x − a| significa x 6= a.
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Pa´gina 20 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
x
0 a
L
x
y
a+da-d
L-e
L+e
fx( )
gráfico de f
Exemplos. Sejam f, g : R → R tal que f (x) = k, sendo k constante real e g (x) = x. Seja a ∈ R. Mostremos,
utilizando a definic¸a˜o acima, que
lim
x→a f (x) = k
e
lim
x→ag (x) = a.
De fato, no primeiro caso: dado ε > 0, tomando-se qualquer δ > 0, temos
0 < |x− a| < δ⇒ 0 < ε⇒ |k− k| < ε⇒ |f (x) − k| < ε.
No segundo caso: |g (x) − a| < ε⇐⇒ |x− a| < ε⇐⇒
x 6=a
0 < |x− a| < ε ou seja, dado ε > 0, tomando-se δ = ε, temos
por essa cadeia de equivaleˆncias que
0 < |x− a| < δ⇒ |g (x) − a| < ε.
Proposic¸a˜o. Sejam f : X ⊂ R→ R e a ∈ R tais que exista lim
x→a f (x). Enta˜o, este limite e´ u´nico.
Proposic¸a˜o. (regras para ca´lculo de limites) Suponhamos f e g func¸o˜es tais que lim
x→a f (x) = L e limx→ag (x) =M.
(1) lim
x→a (f (x)± g (x)) = limx→a f (x)± limx→ag (x) = L±M. (limite da soma e´ soma dos limites)
(2) lim
x→a f (x)g (x) = limx→a f (x) limx→ag (x) = LM. (limite do produto e´ produto dos limites) (3)
(3) Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a f(x)g(x) =
lim
x→a f(x)
lim
x→ag(x) =
L
M
. (limite do quociente e´ quociente dos limites, desde que o limite do
denominador seja diferente de zero)
Com o aux´ılio desta u´ltima proposic¸a˜o e o conhecimento de alguns limites simples, como os do exemplo acima, e´
poss´ıvel calcular limites mais complexos. Vejamos alguns exemplos:
Exemplos.
(1) Consideremos f : R− {1}→ R tal que f (x) = 2x3−2x2
x−1 . Temos
lim
x→1
2x3 − 2x2
x− 1
= lim
x→1
2x2 (x− 1)
x− 1
= lim
x→1 2x2 = limx→1 2 limx→1 x limx→1 x = 2.1.1 = 2.
1 x
y
2
gráfico de f
3Aqui temos um caso particular interessante: se f (x) = k, k ∈ R, temos
lim
x→a kg (x) = k limx→a g (x) = kM,
pois lim
x→a f (x) = k.
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 21
(2) Consideremos f : R− {a}→ R tal que f (x) = x2−a2
x−a . Temos
lim
x→a x
2 − a2
x− a
= lim
x→a (x− a) (x+ a)x− a = limx→a (x+ a) = limx→a x+ limx→aa = a+ a = 2a.
(3) Consideremos f : R− {−1}→ R tal que f (x) = x2−1
x+1 . Temos
lim
x→−1
x2 − 1
x+ 1
= lim
x→−1
(x− 1) (x+ 1)
x+ 1
= lim
x→−1 (x− 1) = limx→−1 x− limx→−1 1 = −1− 1 = −2.
(4) Consideremos f : R− {2}→ R tal que f (x) = x3−8
x−2 . Temos
lim
x→2
x3 − 8
x− 2
= lim
x→2
(x− 2)
(
x2 + 2x+ 4
)
x− 2
= lim
x→2
(
x2 + 2x+ 4
)
= lim
x→2 x limx→2 x+ limx→2 2 limx→2 x+ limx→2 4 = 2.2+ 2.2+ 4 = 12.
Observac¸a˜o: x3 − a3 = (x− a)
(
x2 + ax+ a2
)
.
(5) Consideremos f : R→ R tal que f (x) = x2 + 1. Temos
lim
x→2
(
x2 + 1
)
= lim
x→2 x limx→2 x+ limx→2 1 = 2.2+ 1 = 5.
Exerc´ıcios.
(1) Sendo a 6= 0, deˆ o domı´nio de f e calcule lim
x→a f (x) para:
(i) f (x) =
1
x
− 1
a
x− a
; (Resposta: X = R− {0, a} e lim
x→a f (x) = − 1a2 )
(ii) f (x) =
1
x2
− 1
a2
x− a
; (Resposta: X = R− {0, a} e lim
x→a f (x) = − 2a3 )
(2) Deˆ o domı´nio de f (x) = x
3−5x2+8x−4
x4−5x−6
e calcule lim
x→2 f (x). (Resposta: X = R− {2,−1} e limx→2 f (x) = 0)
(3) Calcule lim
h→0 (a+h)
3−a3
h
, sendo a ∈ R. (Resposta: 3a2)
2.2 Limites laterais
Recordemos a definic¸a˜o de limite lim
x→a f (x).
Se impusermos a restric¸a˜o x > a, estamos fazendo x tender a a pela direita e denotamos este limite com esta
restric¸a˜o por
lim
x→a+ f (x) .
Se a restric¸a˜o for x < a, estamos fazendo x tender a a pela esquerda e escrevemos
lim
x→a− f (x) .
Os limites acima recebem o nome de limites laterais a` direita e a` esquerda de f, respectivamente, em a.
Estes limites podem existir ou na˜o. Caso um deles na˜o exista ou caso difiram, enta˜o lim
x→a f (x) na˜o existe. Natural-
mente,
lim
x→a f (x) existe⇐⇒ limx→a+ f (x) = limx→a− f (x) = limx→a f (x) .
Exemplos.
(1) Os limites laterais de f (x) = |x|
x
no ponto 0 sa˜o:
lim
x→0+ f (x) = limx→0+
|x|
x
= lim
x→0+
x
x
= lim
x→0+ 1 = 1.
lim
x→0− f (x) = limx→0−
|x|
x
= lim
x→0−
−x
x
= lim
x→0−−1 = −1.
Como lim
x→0+ f (x) 6= limx→0− f (x), temos que na˜o existe limx→0 f (x).
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Pa´gina 22 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
+
x
y
gráfico de f
-1
1
0-
Observac¸a˜o:
{
|x| = x, se x ≥ 0
|x| = −x, se x < 0
.
(2) Os limites laterais de f (x) = |x| no ponto 0 sa˜o:
lim
x→0+ f (x) = limx→0+ |x| = limx→0+ x = 0.
lim
x→0− f (x) = limx→0− |x| = limx→0−−x = 0.
Como lim
x→0+ f (x) = limx→0− f (x), temos que limx→0 f (x) = 0.
+ x
y
gráfico de f
0
-
Exerc´ıcios.
(1) Calcule os limites laterais de f em −1 e 1 sendo f (x) =
 1 se x < −1x2 se − 1 ≤ x ≤ 1
x+ 2 se x > 1
. (Resposta: lim
x→−1− f (x) =
lim
x→−1+ f (x) = 1 e limx→1− f (x) = 1, limx→1+ f (x) = 3)
(2) Calcule, caso exista, lim
x→0 x√x4+4x2 . (Resposta: na˜o existe)
2.3 Func¸o˜es Cont´ınuas
Definic¸a˜o. Sejam f : X ⊂ R→ R, p ∈ X e suponhamos que exista lim
x→p f (x). Dizemos que f e´ cont´ınua em p quando
lim
x→p f (x) = f (p) .
Quando f for cont´ınua para qualquer p ∈ X, dizemos que f e´ cont´ınua em X.
Caso p seja extremo de um intervalo fechado ou semifechado em X, o limite acima deve ser substituido pelo limite
lateral conveniente em p.
Geometricamente, uma func¸a˜o cont´ınua possui gra´fico sem “saltos” em seu domı´nio.
Exemplos.
(1) A func¸a˜o f (x) = x2 e´ cont´ınua em X = R. De fato: lim
x→p f (x) = limx→p x2 = p2 = f (p) para qualquer p ∈ X.
p x
y
p2
gráfico de f
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(2) A func¸a˜o f (x) =
{
x se x 6= 1
2 se x = 1
e´ descont´ınua em p = 1, pois lim
x→1 f (x) = limx→1 x = 1 6= 2 = f (1). Nos demais pontos
f (x) e´ cont´ınua pois, se p 6= 1, lim
x→p f (x) = limx→p x = p = f (p).
x
y
gráfico de f
0 1
1
2
(3) A func¸a˜o f (x) = |x|
x
e´ cont´ınua em X = R∗ pois:
(i) Se p > 0, enta˜o lim
x→p f (x) = limx→p |x|x = limx→p xx = limx→p 1 = 1 = f (p).
(ii) Se p < 0, enta˜o lim
x→p f (x) = limx→p |x|x = limx→p −xx = limx→p−1 = −1 = f (p).
x
y
gráfico de f
-1
1
0
Observac¸a˜o importante: Na˜o faz sentido analisar continuidade em p = 0 pois 0 /∈ X.
(5) A func¸a˜o f (x) =

0, se x2 > 1
1, se x2 < 1
1
2
, se x2 = 1
e´ descont´ınua em p = ±1 e cont´ınua nos demais valores. De fato:
(i) Se p = −1, temos lim
x→−1− f (x) = limx→−1− 0 = 0 e limx→−1+ f (x) = limx→−1+ 1 = 1. Logo, limx→−1 f (x) na˜o existe.Portanto, f (x) e´ descont´ınua em p = −1.
(ii) Se p = 1, temos lim
x→1− f (x) = limx→1− 1 = 1 e limx→1+ f (x) = limx→1+ 0 = 0. Logo, limx→1 f (x) na˜o existe. Portanto, f (x)
e´ descont´ınua em p = 1.
(iii) Se p > 1 ou p < −1 (ou seja, p2 > 1), temos lim
x→p f (x) = limx→p 0 = 0 = f (p). Logo, f (x) e´ cont´ınua nesses
pontos.
(iv) Se −1 < p < 1 (ou seja, p2 < 1), temos lim
x→p f (x) = limx→p 1 = 1 = f (p). Logo, f (x) tambe´m e´ cont´ınua nesses
pontos.
y
gráfico de f
1 2/
1
0 x1-1
Exerc´ıcios.
(1) Analise a continuidade de f (x) =
{
x2, se x ≥ 1
x+ 1, se x < 1
em seu domı´nio. (Resposta: f e´ descont´ınua em p = 1 e
cont´ınua nos demais pontos)
(2) Idem para f (x) =
{
x2, se x ≥ 1
x, se x < 1
. (Resposta: f e´ cont´ınua em R)
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Proposic¸a˜o. Sejam f, g : X ⊂ R→ R func¸o˜es cont´ınuas em X. Enta˜o:
(i) f± g : X ⊂ R→ R tal que (f± g) (x) = f (x)± g (x) e´ cont´ınua em X.
(ii) fg : X ⊂ R→ R tal que (fg) (x) = f (x)g (x) e´ cont´ınua em X.
(iii) f
g
: X ⊂ R→ R tal que f
g
(x) = f(x)
g(x) e´ cont´ınua em X = X− {x ∈ X : g (x) = 0}.
(iv) Se Img ⊂ X, enta˜o f ◦ g : X ⊂ R→ R tal que f ◦ g (x) = f (g (x)) e´ cont´ınua em X. (4)
(v) Se existe f−1 (inversa de f) e X e´ um intervalo, enta˜o f−1 e´ cont´ınua em seu domı´nio.
Com o aux´ılio da proposic¸a˜o anterior, a partir de continuidade de func¸o˜es simples, podemos concluir continuidade
de func¸o˜es mais complexas. Por exemplo, as func¸o˜es f (x) = k, k ∈ R e f (x) = x sa˜o cont´ınuas em R (verifique). A
partir delas e da proposic¸a˜o anterior, temos os seguintes exemplos de func¸o˜es cont´ınuas:
Exemplos.
(1) (polinoˆmios sa˜o cont´ınuos). f (x) = a0 + a1x + ... + anx
n e´ cont´ınua em R, pois f e´ soma e produto de func¸o˜es
cont´ınuas.
(2) (func¸o˜es racionais sa˜o cont´ınuas). f (x) = P(x)
Q(x) , sendo P e Q polinoˆmios, e´ cont´ınua em R − {x ∈ R : Q (x) = 0},
pois f e´ quociente de func¸o˜es cont´ınuas.
(3) f (x) = n
√
x e´ cont´ınua em
{
R+, se n for par
R, se n for ı´mpar . (f e´ a inversa de g tal que g (x) = x
n que e´ cont´ınua em R+ ou
R)
(4) h (x) = 5
√
x2 − 5x e´ cont´ınua em R. (h pode ser escrita como composta de f, tal que f (x) = 5
√
x, com g, tal que
g (x) = x2 − 5x, que sa˜o cont´ınuas em R)
(5) Consideremos f (x) =
√
x−1
x−1 . Temos X = R+ − {1} e f e´ cont´ınua em seu domı´nio. Ale´m disso:
lim
x→1
√
x− 1
x− 1
= lim
x→1
√
x− 1(√
x− 1
) (√
x+ 1
) = lim
x→1
1√
x+ 1
=
1
lim
x→1
√
x+ 1
=
1
2
.
2.4 Teorema do Confronto e Aplicac¸o˜es
Teorema. (do confronto) Sejam f, g, h : X ⊂ R→ R e a ∈ R tais que g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) para x ∈ X∩ (a− r, a+ r),
sendo r > 0 fixo (5). Nestas condic¸o˜es, se lim
x→ag (x) = limx→ah (x) = L, enta˜o limx→a f (x) = L.
y
gráfico de f
L
0 xa
gráfico de h
gráfico de
1a. Aplicac¸a˜o do TC: As func¸o˜es seno e cosseno sa˜o cont´ınuas em R.
Seja a ∈ R. Devemos mostrar que lim
x→a sen (x) = sen (a) e limx→a cos (x) = cos (a).
4O item (iv) desta proposic¸a˜o pode ser enfraquecido, retirando-se a necessidade de g ser cont´ınua. O enunciado alternativo e´:
Sejam f : Y ⊂ R→ R e g : X ⊂ R→ R func¸o˜es tais que Im g ⊂ Y, lim
x→a g (x) = L e f cont´ınua em L. Enta˜o, limx→a f (g (x)) = f (L).
5Esta condic¸a˜o significa: x pertence a X em uma determinada vizinhanc¸a de a.
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 25
y
1
0 x1
sen a( )
sen x( )
cos a( ) cos x( )
x (o arco)
a (o arco)
| ) -cos x( cos a( )|
| ) -sen x( sen a( )|
| -x a| (o arco)
Inspirados na figura, temos para x pro´ximo de a:
|sen (x) − sen (a)| < |x− a|
|cos (x) − cos (a)| < |x− a|
ou seja (6):
− |x− a| < sen (x) − sen (a) < |x− a|
− |x− a| < cos (x) − cos (a) < |x− a|
que implica
sen (a) − |x− a| < sen (x) < |x− a|+ sen (a)
cos (a) − |x− a| < cos (x) < |x− a|+ cos (a)
Definindo:
g1 (x) = sen (a) − |x− a|,
f1 (x) = sen (x),
h1 (x) = |x− a|+ sen (a),
g2 (x) = cos (a) − |x− a|,
f2 (x) = cos (x) e
h2 (x) = |x− a|+ cos (a),
temos:
g1 (x) < f1 (x) < h1 (x)
g2 (x) < f2 (x) < h2 (x)
e
lim
x→ag1 (x) = limx→ah1 (x) = sen (a)
lim
x→ag2 (x) = limx→ah2 (x) = cos (a)
Pelo Teorema do Confronto: lim
x→a sen (x) = sen (a) e limx→a cos (x) = cos (a), ou seja, sen (x) e cos (x) sa˜o cont´ınuas
em R.
2a. Aplicac¸a˜o do TC: O Limite lim
x→0 sen(x)x . (1o. Limite Fundamental)
Para 0 < x < pi
2
temos sen (x) < x < tg (x).
y
1
0 x1
senx( )
cosx( )
x
tg
tgx( )
6Recordemos que |x| < k⇒ −k < x < k.
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Pa´gina 26 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
Logo,
sen (x) < x <
sen (x)
cos (x)
⇒
1 <
x
sen (x)
<
1
cos (x)
⇒
cos (x) <
sen (x)
x
< 1.
Para −pi
2
< x < 0 temos tg (x) < x < sen (x) e, procedendo de modo ana´logo, temos a mesma desigualdade acima:
cos (x) < sen(x)
x
< 1.
Definindo g (x) = cos (x), f (x) = sen(x)
x
e h (x) = 1, temos
g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) e lim
x→0g (x) = limx→0h (x) = 1.
Logo, pelo Teorema do Confronto,
lim
x→0 f (x) = 1,
ou seja,
lim
x→0
sen (x)
x
= 1.
Exemplos.
(1) lim
x→0 tg(x)x = limx→0
sen(x)
cos(x)
x
= lim
x→0 1cos(x) sen(x)x = limx→0 1cos(x) limx→0 sen(x)x = 1.1 = 1.
(2) lim
x→0 1−cos(x)x = limx→0 (1−cos(x))(1+cos(x))x(1+cos(x)) = limx→0 1−cos
2(x)
x(1+cos(x)) = limx→0 sen(x)x sen(x)1+cos(x) = limx→0 sen(x)x limx→0 sen(x)1+cos(x) = 1.02 = 0.
(3) lim
x→0 1−cos(x)x2 = limx→0 1−cos
2(x)
x2(1+cos(x))
= lim
x→0 sen(x)x sen(x)x 11+cos(x) = 1.1.12 = 12 .
(4) lim
x→0 sen(2x)x = limx→0 2 sen(x) cos(x)x = limx→0 sen(x)x 2 cos (x) = 1.2.1 = 2.
(5) lim
x→0 sen(x)5x = limx→0 15 sen(x)x = 15 .1 = 15 .
(6) lim
x→0 sen(x
2)
x
= lim
x→0 sen(x
2)
x2
x =
x2=y
lim
y→0+ sen(y)y
(±√y) = 1.(±√0) = 0. (7)
Proposic¸a˜o. Se lim
x→a f (x) = 0 e g (x) e´ limitada (8), enta˜o limx→a f (x)g (x) = 0.
Demonstrac¸a˜o:
Como g (x) e´ limitada, temos que ∃M > 0 tal que |g (x)| ≤M. Logo:
|f (x)g (x)| = |f (x)| . |g (x)| ≤M |f (x)|⇒
−M |f (x)| ≤ f (x)g (x) ≤M |f (x)| .
Pelo Teorema do Confronto,
lim
x→a f (x)g (x) = 0
pois:
lim
x→a−M |f (x)| = −M limx→a |f (x)| = −M. |0| = 0 e
lim
x→aM |f (x)| =M limx→a |f (x)| =M. |0| = 0.
Exemplos.
7Observe que neste caso, x→ 0⇒ x2 → 0⇒ y→ 0+ (pois x2 > 0).
8g (x) e´ limitada em X se ∃M > 0 tal que |g (x)| ≤M.
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(1) lim
x→0 x sen
(
1
x
)
= 0, pois f (x) = x e´ tal que lim
x→0 f (x) = 0 e g (x) = sen
(
1
x
)
e´ limitada. (
∣∣sen (1
x
)∣∣ ≤ 1)
Observac¸a˜o: lim
x→0 x sen
(
1
x
) 6= lim
x→0 x. limx→0 sen
(
1
x
)
, pois lim
x→0 sen
(
1
x
)
na˜o existe. (veremos isso adiante)
(2) lim
x→0 x3 cos
(
1
x2
)
= 0, pois f (x) = x3 e´ tal que lim
x→0 f (x) = 0 e g (x) = cos
(
1
x2
)
e´ limitada. (
∣∣cos ( 1
x2
)∣∣ ≤ 1)
(3) lim
x→0 |x| f (x) = 0, sendo f (x) =
{
1, se x ∈ Q
−2, se x ∈ R−Q . De fato: limx→0 |x| = 0 e |f (x)| ≤ 2.
Observac¸a˜o: lim
x→a |x| f (x) na˜o existe se a 6= 0.
(4) lim
x→0 x sen(x)|x| = 0. De fato: limx→0 x = 0 e
∣∣∣ sen(x)|x| ∣∣∣ = |sen(x)||x| ≤ |x||x| = 1.
Exerc´ıcio. Calcule:
(1) lim
x→0
sen3
(
x
2
)
x3
. (Resposta: 1
8
)
(2) lim
x→0 cos(2x)−cos(3x)x2 . (Resposta: 52 )
2.5 Limites no Infinito
Definic¸a˜o. Seja f : X ⊂ R→ R tal que X na˜o e´ limitado superiormente (9). Dizemos que o limite de f (x) quando x
tende a infinito e´ L ∈ R, e escrevemoslim
x→+∞ f (x) = L,
quando: Dado ε > 0, ∃∆ > 0 tal que
x > ∆⇒ |f (x) − L| < ε.
x0 D
L
y
L-e
L+e
fx( )
gráfico de f
x
De modo ana´logo,
lim
x→−∞ f (x) = L
quando: Dado ε > 0, ∃∆ > 0 tal que
x < −∆⇒ |f (x) − L| < ε.
Exemplo. Demonstremos que lim
x→+∞ 1xn = 0, para n ∈ N fixo, utilizando a definic¸a˜o. De fato, observemos que
|f (x) − L| < ε⇐⇒ ∣∣∣∣ 1xn − 0
∣∣∣∣ < ε⇐⇒x>0 1xn < ε⇐⇒ x > n
√
1
ε
.
Desta forma, dado ε > 0 qualquer, fazendo ∆ = n
√
1
ε
, temos pela cadeia de equivaleˆncias acima:
x > ∆⇒ ∣∣∣∣ 1xn − 0
∣∣∣∣ < ε,
9Isto que dizer que @M > 0 tal que x < M para ∀x ∈ X.
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Pa´gina 28 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
que e´ exatamente a definic¸a˜o de lim
x→+∞ 1xn = 0.
De modo ana´logo, demonstra-se que lim
x→−∞ 1xn = 0.
Observac¸a˜o. As regras operato´rias para calcular limites sa˜o va´lidas para calcular limites no infinito. Vamos a alguns
exemplos:
(1) lim
x→+∞ x3−2x+52x3+10x2−2x = limx→+∞
x3
(
1− 2x
x3
+ 5
x3
)
x3
(
2+ 10x
2
x3
− 2x
x3
) = lim
x→+∞
1− 2
x2
+ 5
x3
2+ 10
x
− 2
x2
=
lim
x→+∞ 1− limx→+∞ 2x2 + limx→+∞ 5x3
lim
x→+∞ 2+ limx→+∞ 10x − limx→+∞ 2x2
= 1−0+0
2+0−0 =
1
2
.
(2) lim
x→−∞ 2x5−2x2+33x5+7x4+x2 = limx→−∞
x5
(
2− 2
x3
+ 3
x5
)
x5
(
3+ 7
x
+ 1
x3
) = lim
x→−∞
2− 2
x3
+ 3
x5
3+ 7
x
+ 1
x3
= 2
3
.
(3) lim
x→+∞ x4−2x2+33x5+7x2−2x = limx→+∞
1− 2
x2
+ 3
x4
3x+ 7
x2
− 2
x3
= 0.
(4) lim
x→+∞ sen(x)x = 0, pois limx→+∞ 1x = 0 e |sen (x)| ≤ 1.
(5) lim
x→−∞ 5−cos(x)x2 = 0, pois limx→−∞ 1x2 = 0 e |5− cos (x)| ≤ 6.
(6) lim
x→+∞ x sen
(
1
x
)
= lim
x→+∞
sen
(
1
x
)
1
x
=
y= 1
x
lim
y→0+ sen(y)y = 1. (1o. limite fundamental)
Observac¸a˜o.: quando x→ +∞⇒ 1
x
→ 0+ ⇒ y→ 0+.
(7) lim
x→0 sen
(
1
x
)
na˜o existe. De fato:
Para x = 1
kpi
, k ∈ Z, temos lim
x→0 sen
(
1
x
)
= lim
k→+∞ sen
(
1
1
kpi
)
= lim
k→+∞ sen (kpi) = limk→+∞ 0 = 0.
Para x = 1pi
2
+2kpi , k ∈ Z, temos limx→0 sen
(
1
x
)
= lim
k→+∞ sen
(
1
1
pi
2
+2kpi
)
= lim
k→+∞ sen
(
pi
2
+ 2kpi
)
= lim
k→+∞ 1 = 1.
-1
1
x
y
2/p
- /p2
gráfico de f
Observac¸a˜o. Se α > 0, enta˜o lim
x→+∞ 1xα = 0.
(8) lim
x→+∞ x
3
√
x+1
5x 3
√
x+3x−1
= lim
x→+∞
x 3
√
x
(
1+ 1
x 3
√
x
)
x 3
√
x
(
5+ 3x
x 3
√
x
− 1
x 3
√
x
) = lim
x→+∞
1+ 1
x
4
3
5+ 3
x
1
3
− 1
x
4
3
=
lim
x→+∞ 1+ limx→+∞ 1x 43
lim
x→+∞ 5+ limx→+∞ 3x 13 − limx→+∞ 1x 43
=
1
5
.
Exerc´ıcio. Calcule lim
x→+∞ 8−x√x2+1 . (Resposta: −1)
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 29
2.6 Limites Infinitos
Definic¸a˜o. Sejam f : X ⊂ R → R e a ∈ R tal que ]a− r, a+ r[ ∩ X 6= ∅ para qualquer r > 0. Dizemos que o limite
de f (x) quando x tende a a e´ infinito, e escrevemos
lim
x→a f (x) = +∞,
quando: ∀M > 0, ∃δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ⇒ f (x) > M.
x
0 a x
y
a+da-d
M
fx( )
gráfico de f
De modo ana´logo,
lim
x→a f (x) = −∞
quando: ∀M > 0, ∃δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ⇒ f (x) < −M.
Exemplo. Demonstremos que lim
x→1 1(x−1)2 = +∞, utilizando a definic¸a˜o. De fato, observemos que
f (x) > M⇐⇒ 1
(x− 1)
2
> M⇐⇒
x6=1
1
M
> (x− 1)
2 ⇐⇒√ 1
M
> |x− 1| .
Desta forma, dado M > 0 qualquer, fazendo δ =
√
1
M
, temos pela cadeia de equivaleˆncias acima:
0 < |x− 1| < δ⇒ 1
(x− 1)
2
> M,
que e´ exatamente a definic¸a˜o de lim
x→1 1(x−1)2 = +∞.
Observac¸a˜o 1. As regras operato´rias para calcular limites sa˜o va´lidas para calcular limites infinitos.
Observac¸a˜o 2. O conceito de limite infinito pode ser considerado de forma a termos limite lateral a direita ou a
esquerda de a. Exemplos: lim
x→2+ 1(x−2)3 = +∞ e limx→2− 1(x−2)3 = −∞. Naturalmente, para que exista limx→a f (x), os
limites laterais devera˜o existir e coincidir.
Observac¸a˜o 3. O conceito de limite infinito com x tendendo a +∞ ou −∞ tambe´m pode ser considerado. Exemplo:
lim
x→−∞ x2 = +∞.
Exemplos.
(1) Para m,n ∈ N fixos, lim
x→0+ 1n√xm = limx→0+ 1xmn = +∞.
(2) Para n ∈ N fixo, lim
x→0− 1xn =
{
+∞, se n for par
−∞, se n for ı´mpar .
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Pa´gina 30 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
(3) Para m,n ∈ N fixos, lim
x→+∞ xmn = +∞.
(4) Para n ∈ N fixo, lim
x→−∞ xn =
{
+∞, se n for par
−∞, se n for ı´mpar .
Exerc´ıcios. Calcular:
(1) lim
x→+∞
(
5x3 − 2x2
)
. (Resposta: +∞)
(2) lim
x→−∞
(
7x5 + 6x2
)
. (Resposta: −∞)
(3) lim
x→0
(
x3 + x
√
x+ 1
x2
)
. (Resposta: +∞)
(4) lim
x→+∞ 3x4−12x3−7x . (Resposta: +∞)
(5) lim
x→−∞ 2x4−3x−x+1 . (Resposta: +∞)
(6) lim
x→−1 5x+2|x+1| . (Resposta: −∞)
(7) lim
x→2 x
2+3x+1
x2+x−6
. (Resposta: na˜o existe)
(8) lim
x→0 |x|x2 . (Resposta: +∞)
(9) lim
x→+∞ x
√
x+1
x 3
√
x−x
. (Resposta: +∞)
(10) lim
x→+∞
(√
3x2 + 2x+ 1−
√
2x
)
. (Resposta: +∞)
(11) lim
x→4 3−xx2−2x−8 . (Resposta: na˜o existe)
2.7 Ass´ıntotas Horizontais e Verticais
Definic¸a˜o. Dizemos que a reta x = a e uma ass´ıntota vertical do gra´fico de uma func¸a˜o f : X ⊂ R→ R quando pelo
menos uma das seguintes condic¸o˜es for verdadeira:
(i) lim
x→a+ f (x) = +∞.
(ii) lim
x→a− f (x) = +∞.
(iii) lim
x→a+ f (x) = −∞.
(iv) lim
x→a− f (x) = −∞.
Exemplo. A reta x = 0 e´ ass´ıntota vertical de f (x) = 1
x
pois lim
x→0+ f (x) = +∞. (ou limx→0− f (x) = −∞)
-1
-1
0
1
1
x
y
gráfico de f
assíntota eixox 0 y= ( )
Definic¸a˜o. Dizemos que a reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico de uma func¸a˜o f : X ⊂ R → R quando
pelo menos uma das seguintes condic¸o˜es for verdadeira:
(i) lim
x→+∞ f (x) = b.
(ii) lim
x→−∞ f (x) = b.
Exemplo. A reta y = 0 e´ ass´ıntota horizontal de f (x) = 1
x
pois lim
x→+∞ f (x) = 0. (ou limx→−∞ f (x) = 0)
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 31
-1
-1
0
1
1
x
y
gráfico de f
assíntota eixoy 0 x= ( )
Exerc´ıcios. Deˆ as ass´ıntotas (e trace os gra´ficos) de:
(1) f (x) = 1
x−2 + 3. (Resposta: vertical x = 2 e horizontal y = 3)
(2) f (x) = tg (x). (Resposta: verticais x =
pi
2
+ kpi, k ∈ Z)
2.8 O Limite lim
x→+∞
(
1+
1
x
)x
(2o. Limite Fundamental)
O valor deste limite segue de uma aplicac¸a˜o do Teorema do Confronto. Para apresenta´-lo, iremos abandonar um pouco
o rigor matema´tico e assumir que a sequ¨eˆncia de nu´meros reais((
1+
1
n
)n)
n∈N
=
((
1+
1
1
)1
,
(
1+
1
2
)2
,
(
1+
1
3
)3
,
(
1+
1
4
)4
,
(
1+
1
5
)5
, . . . ,
(
1+
1
n
)n
, . . .
)
para n ∈ N e´ convergente. Intuitivamente, a` medida que n tende a infinito,
(
1+
1
n
)n
tende a um determinado
nu´mero real irracional. Este nu´mero e´ indicado por e e seu valor aproximado e´ 2, 718281828459045 . . .
Temos, desta forma, a motivac¸a˜o para a seguinte definic¸a˜o:
lim
n→+∞
(
1+
1
n
)n
= e sendo n ∈ N.
Agora, mostremos que lim
x→+∞
(
1+
1
x
)x
= e para x ∈ R.
Sejam x ∈ R e n ∈ N tais que
n ≤ x < n+ 1⇒ 1
n+ 1
<
1
x
≤ 1
n
⇒ 1+ 1
n+ 1
< 1+
1
x
≤ 1+ 1
n
.
Logo,
n ≤ x < n+ 1⇒ (1+ 1
n+ 1
)n
<
(
1+
1
x
)x
≤
(
1+
1
n
)n+1
.
Como
lim
n→+∞
(
1+
1
n+ 1
)n
=
m=n+1
lim
m→+∞
(
1+
1
m
)m−1
= lim
m→+∞
(
1+
1
m
)m(
1+
1
m
)−1
= e.1−1 = e
e
limn→+∞
(
1+
1
n
)n+1
= lim
n→+∞
(
1+
1
n
)n(
1+
1
n
)1
= e.11 = e,
temos, pelo Teorema do Confronto que
lim
x→+∞
(
1+
1
x
)x
= e.
Exerc´ıcios.
(1) Mostre que
lim
x→−∞
(
1+
1
x
)x
= e.
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Pa´gina 32 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
De fato, fazendo x = −(y+ 1), temos
lim
x→−∞
(
1+
1
x
)x
= lim
y→+∞
(
1−
1
y+ 1
)−y−1
= lim
y→+∞
(
y
y+ 1
)−y−1
= lim
y→+∞
(
1+
1
y
)y+1
= lim
y→+∞
(
1+
1
y
)y(
1+
1
y
)1
= e.
(2) Mostre que
lim
x→0 (1+ x)
1
x = e.
De fato, fazendo y = 1
x
, temos:
Para x > 0⇒ y→ +∞ e lim
x→0+ (1+ x)
1
x = lim
y→+∞
(
1+ 1
y
)y
= e.
Para x < 0⇒ y→ −∞ e lim
x→0− (1+ x)
1
x = lim
y→−∞
(
1+ 1
y
)y
= e.
Logo, lim
x→0 (1+ x)
1
x = e.
(3) Mostre que
lim
x→0
ax − 1
x
= ln (a) ,
sendo a > 0, a 6= 1.
De fato, fazendo ax − 1 = y, temos lim
x→0 a
x−1
x
= lim
y→0 yloga(y+1) = limy→0 1loga(1+y) 1y =
1
loga
(
lim
y→0(1+y)
1
y
) = loga(a)loga(e) =
ln (a).
2.9 Teorema do Valor Intermedia´rio, Teorema do Anulamento e Teo-
rema de Weierstrass.
Teorema do Valor Intermedia´rio. Se f : [a, b] ⊂ R→ R e´ cont´ınua (10) e γ e´ um valor entre f (a) e f (b), enta˜o
existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = γ.
y
xa bc
fc( ) = g
fa( )
fb( )
gráfico de f
Observac¸a˜o. Caso f na˜o seja cont´ınua em [a, b], o teorema na˜o vale. No exemplo abaixo na˜o existe c ∈ [a, b] tal que
f (c) = γ.
10Lembrando que nos extremos a e b a continuidade e´ expressa pelos limites laterais convenientes.
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 33
y
xa bc
g
fa( )
fb( )
gráfico de f
fc( )
?
Teorema do Anulamento. Seja f : [a, b] ⊂ R→ R cont´ınua. Se f (a) e f (b) possuirem sinais opostos, enta˜o existe
c ∈ ]a, b[ tal que f (c) = 0.
y
x
a
b
c0
fa( )
fb( )
gráfico de f
Exemplos.
(1) Mostre que a equac¸a˜o x3 − 4x+ 8 = 0 admite ao menos uma raiz real.
De fato, f (x) = x3 − 4x + 8 e´ cont´ınua em R. Para x = −3 (por exemplo), temos f (−3) = −7 < 0 e para x = 0,
temos f (0) = 8 > 0. Logo, pelo Teorema do Anulamento, existe c ∈ ]−3, 0[ tal que f (c) = 0, ou seja, c e´ raiz de f.
(2) Mostre que a equac¸a˜o x3 − 4x+ 2 = 0 admite treˆs ra´ızes reais.
De fato, f (x) = x3 − 4x+ 2 e´ cont´ınua em R.
Para x = 0, temos f (0) = 2 > 0 e para x = 1, temos f (1) = −1 < 0. Pelo Teorema do Anulamento, temos que
existe c1 ∈ ]0, 1[ tal que f (c1) = 0.
Para x = −3, temos f (−3) = −13 < 0 e para x = −2, temos f (−2) = 2 > 0. Pelo Teorema do Anulamento, existe
c2 ∈ ]−3,−2[ tal que f (c2) = 0.
Conclusa˜o: f (x) admite treˆs ra´ızes reais. (Demonstramos a existeˆncia de duas ra´ızes. A terceira raiz e´ obrigatori-
amente real. Por queˆ?)
(3) Mostre que existe x0 ∈
]
0, pi
2
[
tal que cos (x0) = x0.
De fato, devemos mostrar que f (x) = cos (x) − x possui uma raiz no intervalo indicado. Observemos que f (x) =
cos (x) − x e´ cont´ınua em R (em particular no intervalo
[
0, pi
2
]
). Temos que f (0) = 1 > 0 e f
(
pi
2
)
= −pi
2
< 0. Logo,
pelo Teorema do Anulamento, existe x0 ∈
]
0, pi
2
[
tal que f (x0) = 0, ou seja, cos (x0) = x0.
Exerc´ıcios.
(1) Mostre que a equac¸a˜o x3 + 3x2 − 2x− 6 = 0 tem uma raiz entre 1 e 2.
(2) Mostre que todo polinoˆmio de grau ı´mpar tem pelo menos uma raiz real.
(3) Seja P (x) = a2nx
2n + a2n−1x
2n−1 + · · · + a1x + a0 com a2n > 0 e a0 < 0. Mostre que esse polinoˆmio tem pelo
menos duas ra´ızes reais: uma positiva e uma negativa.
(4) Sejam a > 0 e n ∈ N. Mostre que existe um α > 0 tal que αn = a.
Resoluc¸a˜o.
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Considere P (x) = xn−a. Se este polinoˆmio admitir uma raiz positiva (digamos α), teremos αn−a = 0⇒ αn = a.
Logo, devemos mostrar a existeˆncia dessa tal raiz.
Temos que P e´ cont´ınua em R e lim
x→+∞P (x) = +∞⇒ ∃b > 0 tal que P (b) > 0. Como P (0) = −a < 0, temos, pelo
Teorema do Anulamento, que ∃α ∈ ]0, b[ tal que P (α) = 0, ou seja, αn = a.
Teorema de Weierstrass. Se f : [a, b] ⊂ R→ R e´ cont´ınua, enta˜o existem xm, xM ∈ [a, b] tais que f (xm) ≤ f (x) ≤
f (xM), ∀x ∈ [a, b].
y
x
fx( M)
fx( m)
a bxM xm
gráfico de f
Observac¸a˜o:
xm: ponto de mı´nimo de f em [a, b].
xM: ponto de ma´ximo de f em [a, b].
f (xm): valor mı´nimo de f em [a, b].
f (xM): valor ma´ximo de f em [a, b].
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 35
Cap´ıtulo 3
Derivadas
3.1 Noc¸o˜es Geome´tricas
Problema: Como definir a reta r tangente a uma curva c qualquer passando por um de seus pontos?
c
P
r
Sabemos fazer isso em uma circunfereˆncia. Neste caso, as retas tangentes sa˜o ortogonais aos raios.
c
P
r
Tomemos uma curva c dada pelo gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua f : X ⊂ R→ R e seja P ∈ c.
Sejam Q ∈ c pro´ximo de P e s a reta que os conte´m.
Fazendo Q tender a P sobre c, a reta s pode tender a uma reta r.
P
x
y
0
c: gráfico de f
fx( )
x
Q
Q
QQ
Q
x0
f( )x0
r
s
s
sss
ax
Quando existe a reta r conforme descrita acima, dizemos que r e´ a reta tangente a c por P.
Fac¸amos P = (x0, f (x0)) e Q = (x, f (x)). Sejam αx0 e αx as medidas dos aˆngulos (orientados no sentido anti-
hora´rio) que as retas r e s formam com o eixo das abscissas
Temos tg (αx0) e tg (αx) como sendo os coeficientes angulares das retas r e s, respectivamente.
Mas
tg (αx) =
f (x) − f (x0)
x− x0
.
Quando x→ x0 temos s→ r e, tambe´m, αx → αx0 . Portanto, tg (αx)→ tg (αx0), ou seja,
tg (αx0) = lim
x→x0 tg (αx) = limx→x0
f (x) − f (x0)
x− x0
.
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As considerac¸o˜es acima motivam a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o. Seja f : X ⊂ R→ R e x0 ∈ X. Quando existe lim
x→x0 f(x)−f(x0)x−x0 ∈ R, dizemos que f e´ deriva´vel em x0 e
seu valor e´ denotado por f′ (x0), ou seja,
f′ (x0) = lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x− x0
e´ a derivada de f em x0.
Como f′ (x0) = tg (αx0) e´ o coeficiente angular de r, temos que a reta tangente ao gra´fico de f no ponto P =
(x0, f (x0)) possui equac¸a˜o
y− f (x0) = f
′ (x0) (x− x0) .
P
x
y
0
gráfico de f
r
ax0
x0
f( )x0
tg( )a = ¢( )x 00 f x
Exemplo 1. Calcule a derivada de f : R → R tal que f (x) = x2 em x0 = 1 e a reta tangente ao gra´fico de f em
P = (1, 1).
Exemplo 2. Calcule a derivada de f : R → R tal que f (x) = x3 em x0 = 2 e a reta tangente ao gra´fico de f em
P = (2, 8).
Observac¸a˜o. Como f′ (x0) = lim
x→x0 f(x)−f(x0)x−x0 , fazendo h = x− x0, temos x→ x0 implicando em h→ 0. Logo,
f′ (x0) = lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0)
h
.
Exerc´ıcio 1. Calcule a derivada de f : R→ R tal que f (x) = 3x2 + 5 em x0 = 1 e a reta tangente ao gra´fico de f
em P = (1, 8).
Exerc´ıcio 2. Calcule a derivada de f : R+ → R tal que f (x) = √x em x0 = 4 e a reta tangente ao gra´fico de f em
P = (4, 2).
Exerc´ıcio 3. Calcule a derivada de f : R∗ → R tal que f (x) = 1
x
em x0 = −1 e a reta tangente ao gra´fico de f em
P = (−1,−1).
Exerc´ıcio 4. Calcule a derivada (se existir) de f : R → R tal que f (x) = { x2, se x ≤ 1
1, se x > 1
em x0 = 1 e a reta
tangente (se existir) ao gra´fico de f em P = (1, 1).
3.2 Func¸a˜o Derivada
Definic¸a˜o. Sejam f : X ⊂ R → R e X′ = {x ∈ X : ∃f′ (x) ∈ R}. Definimos a func¸a˜o derivada de f como sendo
f′ : X′ ⊂ R→ R dada por
f′(x) = lim
h→0
f (x+ h) − f (x)
h
e dizemos que f e´ deriva´vel ou diferencia´vel em X′.
Exemplo 1. Seja f : R→ R dada por f (x) = x2. Obtenha f′.
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 37
Resoluc¸a˜o: temos
f′ (x) = lim
h→0
f (x+ h) − f (x)
h
= lim
h→0
(x+ h)
2
− x2
h
= lim
h→0
x2 + 2xh+ h2 − x2
h
= lim
h→0 (2x+ h) = 2x.
Logo, f′ : R→ R e´ tal que f′ (x) = 2x.
Exemplo 2. Seja f : R+ → R dada por f (x) = √x. Obtenha f′.
Resoluc¸a˜o: temos
f′ (x) = lim
h→0
f (x+ h) − f (x)
h
= lim
h→0
√
x+ h−
√
x
h
= lim
h→0
x+ h− x
h
(√
x+ h+
√
x
) = lim
h→0
1√
x+ h+
√
x
=
1
2
√
x
.
Logo, f′ : R+ → R e´ tal que f′ (x) = 12√x .
Exemplo 3. Seja f : R∗ → R dada por f (x) = 1
x
. Obtenha f′.
Resoluc¸a˜o: temos
f′ (x) = lim
h→0
f (x+ h) − f (x)
h
= lim
h→0
1
x+h −
1
x
h
= lim
h→0
x−(x+h)
x(x+h)
h
= lim
h→0
−h
x(x+h)
h
= lim
h→0
−1
x (x+ h)
= −
1
x2
.
Logo, f′ : R+ → R e´ tal que f′ (x) = − 1x2 .
Outras notac¸o˜es para a derivada.
Vimos que f′ (x) = lim
h→0 f(x+h)−f(x)h . Consideremos a figura abaixo.
P
x
y
0
gráfico de f
f x h( + )
x h+x
f( )x
r
q
h x= D
Dy
tg f x(q) = ¢( )
Fazendo ∆y = f (x+ h) − f (x) e ∆x = h, o limite acima apresenta forma f′ (x) = lim
h→0 ∆y∆x , que podemos denotar
por dy
dx
, ou seja,
f′ (x) =
dy
dx
,
que e´ chamada notac¸a˜o de Leibniz. Quando queremos representar a derivada de f em a na notac¸a˜o de Leibniz
escrevemos f′ (a) = dy
dx
∣∣∣
x=a
.
Ha´ ainda mais duas notac¸o˜es.
f′ =
df
dx
,
e, portanto, f′ (x) = df
dx
(x). Nesta notac¸a˜o, quando queremos representar a derivada de f em a escrevemos f′ (a) =
df
dx
(a).
E, de y = f (x) temos y′ = f′ (x), que sugere
y′ =
dy
dx
ou y′ =
df
dx
(x) .
A notac¸a˜o y′ = dy
dx
e´ muito utilizada nas chamadas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias.
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Pa´gina 38 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
3.3 Derivada e Continuidade
Teorema. Se f : X ⊂ R→ R e´ deriva´vel em x = a, enta˜o f e´ cont´ınua em x = a.
Demonstrac¸a˜o.
Como f e´ deriva´vel em a, existe f′ (a) = lim
h→0 f(a+h)−f(a)h = limx→a f(x)−f(a)x−a . Definamos
g (x) =
f (x) − f (a)
x− a
− f′ (a) .
Logo,
g (x) (x− a) = f (x) − f (a) − f′ (a) (x− a)⇒
f (x) = g (x) (x− a) + f (a) + f′ (a) (x− a)⇒
lim
x→a f (x) = limx→a (g (x) (x− a) + f (a) + f′ (a) (x− a))⇒
lim
x→a f (x) = f (a) ,
ou seja, f e´ cont´ınua em a.
Observac¸o˜es.
(1) A rec´ıproca do teorema acima na˜o e´ verdadeira. Por exemplo, f : R → R tal que f (x) = |x| e´ continua em
x = 0, pois lim
x→0 f (x) = 0 = f (0). Mas f na˜o e´ deriva´vel em x = 0, pois na˜o existe limh→0 f(x+h)−f(x)h (fac¸a).
(2) A contrapositiva do teorema nos diz que se f for descont´ınua em x = a, enta˜o f na˜o e´ deriva´vel em x = a.
Exemplo. Seja f : R → R tal que f (x) = { x+ 1, se x ≥ 2
x− 1, se x < 2
na˜o e´ cont´ınua em x = 2, pois lim
x→2+ f (x) = 3 e
lim
x→2− f (x) = 1, ou seja, na˜o existe limx→2 f (x).
x
y
0
gráfico de f
21
1
2
3
-1
A func¸a˜o f na˜o e´ deriva´vel em x = 2 pois
lim
x→2+ f(x)−f(2)x−2 = limx→2+ x+1−3x−2 = limx→2+ x−2x−2 = 1 e
lim
x→2− f(x)−f(2)x−2 = limx→2− x−1−3x−2 = limx→2− x−4x−2 = +∞,
ou seja, na˜o existe f′ (2).
3.4 Derivadas de Algumas Func¸o˜es Espaciais
Motivac¸a˜o: se f : R→ R tal que f (x) = 3√x2+cos(5x)
(x2+1)10
, como calcular f′? Veremos como fazer isso.
Algumas derivadas fa´ceis de serem calculadas:
(1) Se f : R→ R tal que f (x) = k, sendo k constante real, enta˜o f′ (x) = 0.
De fato, lim
h→0 f(x+h)−f(x)h = limh→0 k−kh = limh→0 0h = 0.
Por exemplo: f (x) = 10⇒ f′ (x) = 0.
(2) Se f : R→ R tal que f (x) = xn, sendo n ∈ N, enta˜o f′ (x) = nxn−1.
Por exemplo: f (x) = x20 ⇒ f′ (x) = 20x19.
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 39
(3) Se f : R∗ → R tal que f (x) = x−n, sendo n ∈ N, enta˜o f′ (x) = −nx−n−1.
Por exemplo: f (x) = x−12 ⇒ f′ (x) = −12x−13.
(4) Se f : R+ → R tal que f (x) = x 1n = n√x, sendo n ∈ N, enta˜o f′ (x) = 1nx 1n−1 = 1n n√x1−n = 1n n√xn−1 .
Por exemplo: f (x) = 3
√
x⇒ f′ (x) = 1
3
3√
x2
.
Regras de Derivac¸a˜o
(1) Se f e g sa˜o func¸o˜es deriva´veis em X ⊂ R, enta˜o f+ g e´ deriva´vel em X e:
{
(f (x) + g (x))
′
= f′ (x) + g′ (x)
(f (x) − g (x))
′
= f′ (x) − g′ (x)
.
Por exemplo: se f, g : R+ → R dadas por f (x) = √x e g (x) = x2, enta˜o
(f (x) + g (x))
′
= f′ (x) + g′ (x) = 1
2
√
x
+ 2x e
(f (x) − g (x))
′
= f′ (x) − g′ (x) = 1
2
√
x
− 2x.
(2) Se f e´ deriva´vel em X ⊂ R e k ∈ R, enta˜o kf e´ deriva´vel em X e:
(kf (x))
′
= kf′ (x) .
Por exemplo: se f : R→ R dada por f (x) = x10 e k = 200, enta˜o (kf (x))′ = kf′ (x) = 200 (10x9) = 2000x9.
(3) Se f e g e´ deriva´vel em X ⊂ R, enta˜o fg e´ deriva´vel em X e:
(f (x)g (x))
′
= f′ (x)g (x) + f (x)g′ (x) .
Por exemplo: se f, g : R+ → R dadas por f (x) = √x e g (x) = x3, enta˜o (f (x)g (x))′ = f′ (x)g (x) + f (x)g′ (x) =
1
2
√
x
x3 +
√
x3x2.
(4) Se f e g e´ deriva´vel em X ⊂ R, enta˜o f
g
e´ deriva´vel em X = {x ∈ X : g (x) 6= 0} e:
(
f (x)
g (x)
)′
=
f′ (x)g (x) − f (x)g′ (x)
g2 (x)
.
Por exemplo: se f, g : R+ → R dadas por f (x) = √x e g (x) = x4, enta˜o ( f(x)g(x))′ = f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x) =
1
2
√
x
x4−
√
x4x3
x8
.
Exerc´ıcios. Derive utilizando as regras acima.
(1) f : R→ R dada por f (x) = 2.
(2) f : R→ R dada por f (x) = x6.
(3) f : R→ R dada por f (x) = 7x5.
(4) f : R→ R dada por f (x) = 3x5 − 7x2 + 9.
(5) f : R→ R dada por f (x) = 3x2+5
x2+1
.
(6) f : R∗→ R dada por f (x) = 1
x6
.
(7) f : R∗→ R dada por f (x) = 5
x8
.
(8) f : R∗→ R dada por f (x) = x5 + 1
x5
.
(9) f : R→ R dada por f (x) = (3x2 − 6x) (8x3 + 1).
(10) f : R∗→ R dada por f (x) = (1+ 5
x5
) (
−7x2 + x+ 13
)
.
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Pa´gina 40 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
3.5 Derivadas de Func¸o˜es Trigonome´tricas
Sabemos que {
sen (a+ b) = sen (a) cos (b) + sen (b) cos (a)
sen (a− b) = sen (a) cos (b) − sen (b) cos (a)
Fac¸amos {
a+ b = p
a− b = q
⇒
 a =
p+q
2
b = p−q
2
Assim, {
sen (a+ b) = sen (a) cos (b) + sen (b) cos (a)
sen (a− b) = sen (a) cos (b) − sen (b) cos (a)
⇒
{
sen (p) = sen
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
+ sen
(
p−q
2
)
cos
(
p+q
2
)
sen (q) = sen
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
− sen
(
p−q
2
)
cos
(
p+q
2
) ⇒
 sen (p) + sen (q) = 2 sen
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
sen (p) − sen (q) = 2 sen
(
p−q
2
)
cos
(
p+q
2
)
(1) Derivada da func¸a˜o seno.
Se f : R→ R e´ tal que f (x) = sen (x), temos que sua derivada pode ser expressa por
f′ (x) = lim
h→0
sen (x+ h) − sen (x)
h
= lim
h→0
2 sen
(
x+h−x
2
)
cos
(
x+h+x
2
)
h
= lim
h→0
sen
(
h
2
)
cos
(
2x+h
2
)
h
2
= lim
h→0
sen
(
h
2
)
h
2
cos
(
2x+ h
2
)
= cos (x) .
Conclusa˜o: f′ : R→ R e´ tal que f′ (x) = cos (x).
De modo ana´logo, sabemos que{
cos (a+ b) = cos (a) cos (b) − sen (b) sen (a)
cos (a− b) = cos (a) cos (b) + sen (b) sen (a)
Fac¸amos {
a+ b = p
a− b = q
⇒
 a =
p+q
2
b = p−q
2
Assim, {
cos (a+ b) = cos (a) cos (b) − sen (b) sen (a)
cos (a− b) = cos (a) cos (b) + sen (b) sen (a)
⇒
{
cos (p) = cos
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
− sen
(
p−q
2
)
sen
(
p+q
2
)
cos (q) = cos
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
+ sen
(
p−q
2
)
sen(
p+q
2
) ⇒
 cos (p) + cos (q) = 2 cos
(
p+q
2
)
cos
(
p−q
2
)
cos (p) − cos (q) = −2 sen
(
p−q
2
)
sen
(
p+q
2
)
(2) Derivada da func¸a˜o cosseno.
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 41
Se f : R→ R e´ tal que f (x) = cos (x), temos que sua derivada pode ser expressa por
f′ (x) = lim
h→0
cos (x+ h) − cos (x)
h
= lim
h→0
−2 sen
(
x+h−x
2
)
sen
(
x+h+x
2
)
h
= lim
h→0
(
−
sen
(
h
2
)
sen
(
2x+h
2
)
h
2
)
= lim
h→0
(
−
sen
(
h
2
)
h
2
sen
(
2x+ h
2
))
= − sen (x) .
Conclusa˜o: f′ : R→ R e´ tal que f′ (x) = − sen (x).
Podemos deduzir as derivadas das demais func¸o˜es trigonome´tricas pelas regras de derivac¸a˜o.
(3) Derivada da func¸a˜o tangente.
Se f : X ⊂ R → R, sendo X = {x ∈ R : x 6= pi
2
+ kpi, k ∈ Z}, e´ tal que f (x) = tg (x), temos que sua derivada pode
ser expressa por
f′ (x) = (tg (x))′ =
(
sen (x)
cos (x)
)′
=
cos (x) cos (x) + sen (x) sen (x)
cos2 (x)
=
1
cos2 (x)
= sec2 (x) .
(4) Derivada da func¸a˜o cotangente.
Se f : X ⊂ R → R, sendo X = {x ∈ R : x 6= kpi, k ∈ Z}, e´ tal que f (x) = cotg (x), temos que sua derivada pode ser
expressa por
f′ (x) = (cotg (x))′ =
(
cos (x)
sen (x)
)′
=
− sen (x) sen (x) − cos (x) cos (x)
sen2 (x)
=
−1
sen2 (x)
= − cossec2 (x) .
(5) Derivada da func¸a˜o secante.
Se f : X ⊂ R→ R, sendo X = {x ∈ R : x 6= pi
2
+ kpi, k ∈ Z}, e´ tal que f (x) = sec (x), temos que sua derivada pode
ser expressa por
f′ (x) = (sec (x))′ =
(
1
cos (x)
)′
=
0. cos (x) + 1 sen (x)
cos2 (x)
=
1
cos (x)
.
sen (x)
cos (x)
= sec (x) tg (x) .
(6) Derivada da func¸a˜o cossecante.
Se f : X ⊂ R→ R, sendo X = {x ∈ R : x 6= kpi, k ∈ Z}, e´ tal que f (x) = cossec (x), temos que sua derivada pode ser
expressa por
f′ (x) = (cossec (x))′ =
(
1
sen (x)
)′
=
0. sen (x) − 1 cos (x)
sen2 (x)
= −
1
sen (x)
.
cos (x)
sen (x)
= − cossec (x) cotg (x) .
3.6 Regra da Cadeia
Teorema. (Regra da Cadeia) Sejam h : X ⊂ R → R e g : Y ⊂ R → R func¸o˜es deriva´veis tais que Imh ⊂ Y. Enta˜o,
f = g ◦ h : X ⊂ R→ R e´ deriva´vel e f′ (x) = (g ◦ h)′ (x) = g′ (h (x)) .h′ (x).
Observac¸a˜o: na Regra da Cadeia, se escrevermos y = g (u) e u = h (x) temos y = g ◦ h (x) e, na notac¸a˜o de Leibniz,
dy
dx
= dy
du
du
dx
.
Exemplo 1. Derive f : R→ R tal que f (x) = (x2 + 5x)13.
Resoluc¸a˜o. A func¸a˜o f pode ser vista como a composta f = g ◦h tal que g (x) = x13 e h (x) = x2+ 5x, que sa˜o func¸o˜es
deriva´veis.
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Pa´gina 42 UFU Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas
Logo, pela Regra da Cadeia, f′ (x) = g′ (h (x))h′ (x) = 13 (h (x))12 h′ (x) = 13
(
x2 + 5x
)12
(2x+ 5).
Exemplo 2. Derive f : R→ R tal que f (x) = sen (x5 − 2x+ 1).
Resoluc¸a˜o. A func¸a˜o f pode ser vista como a composta f = g ◦ h tal que g (x) = sen (x) e h (x) = x5 − 2x+ 1, que sa˜o
func¸o˜es deriva´veis.
Logo, pela Regra da Cadeia, f′ (x) = g′ (h (x))h′ (x) = cos (h (x))h′ (x) = cos
(
x5 − 2x+ 1
) (
5x4 − 2
)
.
Exemplo 3. Derive f : X ⊂ R→ R, com X = {x ∈ R : x 6= pi
2
+ kpi, k ∈ Z}, tal que f (x) = tg6 (x).
Resoluc¸a˜o. A func¸a˜o f pode ser vista como a composta f = g ◦ h tal que g (x) = x6 e h (x) = tg (x), que sa˜o func¸o˜es
deriva´veis.
Logo, pela Regra da Cadeia, f′ (x) = g′ (h (x))h′ (x) = 6 (h (x))5 h′ (x) = 6 tg5 (x) sec2 (x).
Exemplo 4. Derive f : R→ R tal que f (x) = (1−2x
1+x4
)4
.
Resoluc¸a˜o. A func¸a˜o f pode ser vista como a composta f = g ◦ h tal que g (x) = x4 e h (x) = 1−2x
1+x4
, que sa˜o func¸o˜es
deriva´veis.
Logo, pela Regra da Cadeia, f′ (x) = g′ (h (x))h′ (x) = 4h (x)3 h′ (x) = 4
(
1−2x
1+x4
)3(−2(1+x4)−(1−2x)4x3
(1+x4)2
)
.
Exemplo 5. Derive f : R→ R tal que f (x) = (x2−1)3
(1+x2)2
.
Resoluc¸a˜o. Pela regra do quociente, f′ (x) =
(
(x2−1)
3
)′
(1+x2)
2
−(x2−1)
3
(
(1+x2)
2
)′
((1+x2)2)
2 . Temos duas compostas a serem
derivadas:((
x2 − 1
)3)′
= 3
(
x2 − 1
)2
2x((
1+ x2
)2)′
= 2
(
1+ x2
)
2x
Logo, f′ (x) =
3(x2−1)
2
2x(1+x2)
2
−(x2−1)
3
2(1+x2)2x
((1+x2)2)
2 .
3.7 Derivadas de Func¸o˜es Inversas
Teorema. Seja g : Y ⊂ R → X ⊂ R deriva´vel e invert´ıvel tal que g−1 seja cont´ınua e, ainda, g′ (g−1 (x)) 6= 0 para
todo x ∈ X. Enta˜o, g−1 : X ⊂ R→ Y ⊂ R e´ deriva´vel e (g−1)′ (x) = 1
g′(g−1(x)) .
Observac¸o˜es:
(1) se escrevermos y = g−1 (x) e x = g (y) temos, na notac¸a˜o de Leibniz, dy
dx
= 1dx
dy
.
(2) um procedimento pra´tico para o ca´lculo da derivada de uma func¸a˜o inversa, considerando g e g−1 sejam
deriva´veis, vem da Regra da Cadeia:
g
(
g−1 (x)
)
= x⇒ (g (g−1 (x)))′ = (x)′ ⇒ g′ (g−1 (x)) . (g−1)′ (x) = 1⇒ (g−1)′ (x) = 1
g′ (g−1 (x))
,
supondo, obviamente, que g′
(
g−1 (x)
) 6= 0.
Exemplo 1. Derive f : ]−1, 1[ ⊂ R→ ]−pi
2
, pi
2
[ ⊂ R tal que f (x) = arcsen (x).
Resoluc¸a˜o. A func¸a˜o f e´ a inversa da func¸a˜o seno, ou seja, f = g−1 sendo g :
]
−pi
2
, pi
2
[ ⊂ R → ]−1, 1[ ⊂ R tal que
g (x) = sen (x).
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Nu´meros Reais, Func¸o˜es, Limites e Derivadas UFU Pa´gina 43
x
y
0
gráfico de f
1
p/2
-1
-p/2
A func¸a˜o g e´ deriva´vel, g−1 e´ cont´ınua e g′
(
g−1 (x)
) 6= 0 no domı´nio considerado.
Logo,
(
g−1
)′
(x) =
1
g′ (g−1 (x))
⇒
f′ (x) =
1
cos (arcsen (x))
⇒
f′ (x) =
1√
1− sen2 (arcsen (x))
(em
]
−pi
2
, pi
2
[
cosseno e´ positivo)⇒
f′ (x) =
1√
1− x2
.
Pelo “procedimento pra´tico”:
sen (arcsen (x)) = x⇒ (sen (arcsen (x)))′ = (x)′ ⇒ cos (arcsen (x)) (arcsen (x))′ = 1⇒
(arcsen (x))
′
=
1
cos (arcsen (x))
⇒ f′ (x) = 1√
1− sen2 (arcsen (x))
⇒ f′ (x) = 1√
1− x2
.
Exemplo 2. Derive f : ]−1, 1[ ⊂ R→ ]0, pi[ ⊂ R tal que f (x) = arccos (x).
Resoluc¸a˜o. A func¸a˜o f e´ a inversa da func¸a˜o cosseno, ou seja, f = g−1 sendo g : ]0, pi[ ⊂ R → ]−1, 1[ ⊂ R tal que
g (x) = cos (x).
x
y
0
gráfico de f
1
p/2
-1
p
A func¸a˜o g e´ deriva´vel, g−1 e´ cont´ınua e g′
(
g−1 (x)
) 6= 0 no domı´nio considerado.
Logo,
(
g−1
)′
(x) =
1
g′ (g−1 (x))
⇒
f′ (x) =
1
− sen (arccos (x))
⇒
f′ (x) =
−1√
1− cos2 (arccos (x))
(em ]0, pi[ seno e´ positivo)⇒
f′ (x) =
−1√
1− x2
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Pelo “procedimento pra´tico”:
cos (arccos (x)) = x⇒ (cos (arccos (x)))′ = (x)′ ⇒ − sen (arccos (x)) (arccos (x))′ = 1⇒
(arccos (x))
′
=
−1
sen (arccos (x))
⇒ f′ (x) = −1√
1− cos2 (arccos (x))
⇒ f′ (x) = −1√
1− x2
.
Exemplo 3. Derive f : R→ ]−pi
2
, pi
2
[ ⊂ R tal que f (x) = arctg (x).
Resoluc¸a˜o. A func¸a˜o f e´ a inversa da func¸a˜o tangente, ou seja, f = g−1 sendo g :
]
−pi
2
, pi
2
[ ⊂ R → R tal que
g (x) = tg (x).
x
y
0
gráfico de f
p/2
-p/2
A func¸a˜o g e´ deriva´vel, g−1 e´ cont´ınua e g′
(
g−1 (x)
) 6= 0 no domı´nio considerado.
Logo,
(
g−1
)′
(x) =
1
g′ (g−1 (x))
⇒
f′ (x) =
1
sec2 (arctg (x))
⇒
f′ (x) =
1
1+ tg2 (arctg (x))
⇒
f′ (x) =
1
1+ x2
Pelo “procedimento pra´tico”:
tg (arctg (x)) = x⇒ (tg (arctg (x)))′ = (x)′ ⇒ sec2 (arctg (x)) (arctg (x))′ = 1⇒
(arctg (x))
′
=
1
sec2 (arctg (x))
⇒ f′ (x) = 1
1+ tg2 (arctg (x))
⇒ f′ (x) = 1
1+ x2
.
Exemplo 4. Derive f : R→ ]0, pi[ ⊂ R tal que f (x) = arccotg (x).
Resoluc¸a˜o. A func¸a˜o f e´ a inversa da func¸a˜o cotangente, ou seja, f = g−1 sendo g : ]0, pi[ ⊂ R → R tal que
g (x) = cotg (x).
x
y
0
gráfico

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