Princípios dos Trabalhos Virtuais

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ANÁLISE ESTRUTURAL I 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
Assunto: 
Princípio dos 
Trabalhos Virtuais 
 
 
 
 
 
 
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1- Força Generalizada, Deformações e Deslocamentos 
 
 O conceito de força generalizada deve ser entendido com o significado de 
uma força, um binário de forças, ou um conjunto de forças e binários atuando em 
uma estrutura. Ao longo do texto este conceito é utilizado freqüentemente 
usando-se apenas a palavra força. Às vezes este conceito é encontrado na 
literatura sob a denominação de ação. Uma força generalizada pode ser interna 
ou externa, e uma força externa pode ser ativa ou reativa. A Fig.1 ilustra o 
significado de forças generalizadas externas (F1, e F2) atuando na extremidade 
livre B de uma viga em balanço, sendo F1 uma carga concentrada vertical e F2 
um momento. As forças F1, e F2 são forças externas ativas, enquanto as reações 
de apoio em A, R1(componente vertical), e R2 (momento) são forças externas 
reativas. 
 
 
R1
F1
F2
R2
A BC
 
 
Forças externas: 
• Ativas: F1, F2 
• Reativas: R1, R2 
Fig. 1 – Viga em Balanço: forças externas e internas 
 
Admitindo-se que a viga da Fig. 1 esteja em equilíbrio sob a ação das forças 
indicadas, secciona-se o trecho CB. Representando-se o diagrama de corpo livre 
desta parte, conforme mostrado na Fig. 2, para manter o equilíbrio da mesma é 
necessária a aplicação de uma componente de força cortante V e de um 
momento fletor M na seção C. A força cortante V e o momento fletor M são os 
esforços internos resultantes da integração das distribuições das tensões de 
cisalhamento e das tensões normais na seção C, respectivamente. Estas 
componentes de tensão caracterizam o que se chama estado de tensão, sendo 
mobilizadas nos diversos pontos do volume da barra pela ação do carregamento, 
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e podem ser calculadas conforme considerações desenvolvidas nos textos de 
Resistência dos Materiais. Os esforços internos na seção C serão também 
entendidos como forças generalizadas, neste caso serão forças internas 
generalizadas. Os valores máximos destas forças internas, isto é, os valores 
máximos que a viga suporta, dependem das características geométricas da 
seção transversal e da resistência do material da viga, sendo chamados 
genericamente de resistência da seção a força cortante e ao momento fletor. 
Durante a fase de projeto, um dos objetivos fundamentais é a definição de 
dimensões suficientes para as seções transversais e a especificação de 
materiais com resistência adequada para que a estrutura suporte com segurança 
os carregamentos atuantes. 
 
 
M
V
C B F2
F1
 
 
 
 Forças internas: 
 V, M 
Fig. 2 - Diagrama de corpo livre de um trecho de viga 
 
Uma estrutura solicitada por um sistema de forças sofre mudança de 
forma, o que é chamado de deformação. Neste processo os pontos da estrutura 
sofrem deslocamentos, ou seja, mudanças de posição em relação às suas 
posições iniciais e em relação uns aos outros. As deformações são definidas 
matematicamente por meio de considerações geométricas em cada ponto do 
volume do corpo ou da barra a partir das funções que descrevem os 
deslocamentos dos pontos segundo as direções dos eixos de referência. Esta 
definição é encontrada para os casos mais simples nos livros de Resistência dos 
Materiais, ou de forma mais rigorosa nos livros de Teoria da Elasticidade. As 
componentes de deformação são grandezas adimensionais e caracterizam 
completamente a mudança de forma de um elemento infinitesimal em torno de 
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um ponto. A deformação, ou estado de deformação, tal como a tensão, é uma 
grandeza tensorial, e para o caso de estruturas planas, contidas no plano xy, 
pode ser definida basicamente pelas componentes: εx εy εz e γxy. 
Os deslocamentos decorrem do efeito acumulado das deformações nos 
pontos do corpo ou da estrutura. Um deslocamento deve ser entendido 
genericamente como uma translação ou rotação de algum ponto da estrutura. A 
translação de um ponto costuma também ser referida como deslocamento linear 
e a rotação como deslocamento angular ou giro. 
Na realidade, os pontos de uma estrutura submetida a um carregamento 
qualquer ficam sujeitos a estados de tensão e se deformam em maior ou menor 
grau, conseqüentemente se deslocam. Durante o projeto estrutural, outro 
objetivo fundamental a ser atingido é especificar as peças da estrutura com 
dimensões e materiais adequados, para que sejam evitados deslocamentos 
excessivos quando a estrutura estiver em funcionamento sob ação dos 
carregamentos. As estruturas usuais, depois de acabadas, trabalham em regime 
de pequenos deslocamentos, conforme hipótese rotineira na análise das 
mesmas. Assim, em geral, estes deslocamentos não são facilmente perceptíveis 
ao usuário, a não ser em casos de comportamento anormal da estrutura. Na Fig. 
3 é mostrada uma viga em balanço, deformada sob a ação de uma força vertical 
P aplicada a extremidade B, e os deslocamentos possíveis: translação ∆ e 
rotação θ. 
 
P
A B
Viga indeformada
Viga deformada
 
Fig. 3 – Deslocamentos numa viga em balanço 
 
O conceito de deslocamento decorrente das deformações, conforme 
exposto anteriormente, não deve ser confundido com deslocamento de corpo 
rígido (deslocamento geométrico), isto é, deslocamentos que ocorrem devido a 
movimentos de corpo rígido de uma estrutura. Estes podem surgir quando a 
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estrutura tem vinculação insuficiente em número ou devido a má disposição dos 
vínculos como é o caso das formas críticas, ou ainda em trechos de uma 
estrutura corretamente vinculada. Na Fig. 4, por exemplo, o trecho em balanço 
AB, da viga ABC, se desloca rigidamente quando a viga, corretamente vinculada, 
é carregada ao longo do vão BC. Os deslocamentos de corpo rígido em geral 
não estão associados à deformação da estrutura, e devem ser evitados a todo 
custo quando puderem advir de vinculação deficiente. 
 
2 - Condições de Compatibilidade de Deslocamentos 
 
 Na análise estrutural, além das condições de equilíbrio, devem ser 
satisfeitos todos os requisitos de compatibilidade de deslocamento. As condições 
de compatibilidade dizem respeito à continuidade dos deslocamentos e dos 
requisitos de vinculação da estrutura nos apoios. Assim, em geral, numa seção 
qualquer de uma barra da estrutura, sendo esta seção definida por um ponto 
sobre o eixo barra, tomando-se um ponto localizado um infinitésimo à esquerda e 
outro ponto situado um infinitésimo à direita, os deslocamentos destes pontos 
vizinhos à esquerda e à direita devem ser iguais ao deslocamento do ponto da 
seção para que haja continuidade de deslocamentos, desde que nesta seção 
não exista nenhum tipo especial de conexão que permita a ocorrência de 
descontinuidades de deslocamento. Assim, na Fig. 4, a flecha no ponto Se e no 
ponto Sd devem ser iguais à flecha ∆ no ponto S. 
 
 
 
A
B
P2P1
Se
1
S Sd C
1 2
2
 
 
Fig. 4 – Linha Elástica de Uma Viga Biapoiada 
 
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 Na viga mostrada na Fig. 4, está representada uma linha elástica 
compatível com a vinculação da viga para um carregamento genérico no vão BC. 
O trecho em balanço AB supõe-se descarregado e, portanto não se deforma, 
mas gira rigidamente em torno de B. Os pontos B e C estão impedidos de se 
deslocarem na direção vertical e o ponto B também não pode se deslocar na 
direção horizontal, pois os respectivos deslocamentos estão impedidos de 
ocorrer pela ação dos apoios. Portanto, uma elástica compatível, tal como 
esboçada na Fig. 4, deve apresentar continuidade dedeslocamentos ao longo da 
estrutura e satisfazer as condições de contorno nos apoios. As rotações θ1 e θ2, 
respectivamente, à esquerda e à direita do apoio B, devem ter mesmo valor 
numérico e mesmo sentido. No ponto B não existe articulação interna entre os 
trechos AB e BC da viga, devendo-se observar que a viga aí se articula 
externamente. 
Na viga da Fig. 3 deve-se notar que o engastamento em A impede todos 
os deslocamentos possíveis da seção, isto é, deslocamento horizontal, vertical e 
giro, enquanto na extremidade B nenhuma componente de deslocamento está 
restringida. 
 As condições de compatibilidade são muito importantes na análise 
estrutural pois permitem complementar o número de equações de equilíbrio 
estático quando se analisa uma estrutura hiperestática pelo método da forças. 
 
3 - Comportamentos Básicos dos Materiais: Linearidade, Não-linearidade, 
Elasticidade, Plasticidade 
 
O comportamento físico de um material é definido pelas relações 
existentes entre as tensões atuantes e as correspondentes deformações por elas 
provocadas. Os conceitos de linearidade e elasticidade são teoricamente 
independentes, mas na prática muitas vezes se confundem. O entendimento 
correto destes conceitos relacionados ao material da estrutura é de fundamental 
importância, pois deles vai depender o comportamento global da estrutura. 
A linearidade física corresponde a uma relação diretamente proporcional 
entre tensões e deformações, conforme ilustrado na Fig. 5-a. Na Fig. 5-b mostra-
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se o caso de um material cuja relação tensão-deformação é não-linear, isto é, as 
tensões não são diretamente proporcionais às deformações. 
 
 σ 
ε a - Linearidade 
Física 
 
(a) 
 
ε 
σ 
b - Não-linearidade
Física 
 
(b) 
 
 σ - Tensão 
 ε- Deformação 
Fig. 5 – Comportamento Linear e Não-linear do Material 
 
 Diz-se que um material é elástico quando, uma vez deformado sob um 
determinado carregamento, ao se retirar este carregamento há um retorno à 
situação inicial (indeformada), isto é, sem deformações residuais. A trajetória 
percorrida no descarregamento é a mesma percorrida no carregamento. 
Portanto, elasticidade é a propriedade que certos materiais idealizados possuem 
de se deformarem quando submetidos a tensões, e de voltarem à condição 
inicial indeformada, quando o estado de tensão que causou a deformação é 
removido. 
 No caso de não haver retorno à situação inicial, isto é, permanecerem 
deformações residuais, quando o material é carregado e em seguida 
descarregado, o material é dito elastoplástico. Neste caso uma parte da 
deformação é recuperável e outra não. Parte da energia absorvida durante o 
processo de carregamento é dissipada internamente para produzir deformações 
plásticas permanentes, alterando assim a estrutura interna do material em nível 
microscópico, e conseqüentemente as propriedades de rigidez e resistência do 
mesmo. Na Fig. 6 são apresentados os diagramas tensão x deformação típicos 
para material elástico não-linear, material elástico linear e material elastoplástico. 
 
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ε ε εεε
Material 
elástico
 Material
elástico perfeito
 (linear)
Material elasto-plástico
 ε = εe + εp
εp εe
σσ
σ σσ
σ carga
descarga
εp = Deformação plástica residual εe = Deformação elástica
 
Fig.6 – Diagramas Tensão x Deformação Típicos 
 
Deve-se observar que no caso de material elastoplástico, a trajetória de 
descarregamento não é a mesma do carregamento. A utilização de materiais do 
tipo elástico não-linear ou elastoplástico induz a estrutura a se comportar de 
forma não-linear, isto é, a relação entre as cargas e os deslocamentos não é 
neste caso diretamente proporcional. 
 Uma aproximação teórica muitas vezes utilizada para simular os materiais 
elastoplásticos é o chamado comportamento elastoplástico perfeito, no qual 
abaixo de um certo limite de solicitação fy assume-se que o material apresenta 
comportamento elástico-linear; acima deste limite o comportamento é 
elastoplástico. Este comportamento é ilustrado pelo diagrama tensão x 
deformação da Fig.7, onde a tensão de escoamento fy é admitida como 
coincidente com a tensão limite de proporcionalidade do material. 
 
εeεp
ε ε
fy
σ
patamar de escoamento
 
Fig. 7 – Material Elastoplástico Perfeito 
 
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Para valores de tensão σ abaixo da tensão de escoamento fy o 
comportamento é elástico-linear, enquanto para valores acima de fy o material se 
comporta como perfeitamente plástico, sendo fy o valor máximo de tensão que o 
material suporta. Quando a tensão atinge o valor fy o material começa a se 
deformar indefinidamente sob tensão constante. 
Os modelos de comportamento descritos acima são aproximações 
idealizadas do comportamento real dos materiais. Na realidade, os materiais com 
aplicação estrutural não apresentam o mesmo comportamento para todos os 
níveis de tensão. Para solicitações baixas, o comportamento é quase sempre 
aproximadamente elástico, assimilável a linear. Acima de certos níveis de tensão 
o comportamento passa a ser elastoplástico. 
 Na maioria dos casos, nos projetos estruturais, os fatores de segurança 
aplicados sobre solicitações e resistências fazem com que os materiais quase 
sempre trabalhem em um nível de tensão abaixo de 40 % da sua tensão de 
escoamento. Por esta razão na maioria das vezes considera-se o material com 
comportamento elástico-linear para fins de análise estrutural, com isto obtém-se 
uma simplificação muito significativa na modelagem matemática do 
comportamento da estrutura. Isto vai significar no final do processo que o 
comportamento da estrutura vai ser descrito por um sistema linear de equações 
algébricas em termos das forças internas e externas incógnitas e dos 
carregamentos no caso do Método das Forças, ou em termos dos 
deslocamentos incógnitos e dos carregamentos no caso do Método dos 
Deslocamentos. Caso a hipótese de comportamento linear da estrutura não 
possa ser aplicada recai-se num sistema de equações não-lineares cuja solução 
é muito mais elaborada e dispendiosa. Neste caso os coeficientes das incógnitas 
do sistema de equações são dependentes dos valores das incógnitas e a 
solução do sistema em geral se baseia num esquema de solução incremental e 
iterativo. 
 
 
 
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Comportamento Geométrico das Estruturas: Linearidade e Não-linearidade 
Geométrica 
O comportamento geométrico de uma estrutura é definido pelas relações 
entre forças e efeitos estruturais correspondentes. A linearidade geométrica 
existe quando os efeitos são combinações lineares das causas. 
Exemplo: 
 
 
P
 
2
2P
 
 
P
 
Fig. 8 – Comportamento Linear 
 
Na Fig. 8 apresenta-se uma viga de comportamento linear. Existe 
linearidade, pois os efeitos estruturais são diretamente proporcionais às forças, 
isto é, ao se dobrar o valor da força externa P, o valor do deslocamento ∆ na 
extremidade da viga também fica dobrado. 
 Para se ter comportamento linear numa estrutura exige-se 
necessariamente o comportamento linear do material (linearidade física), e 
linearidade geométrica da estrutura. Para a linearidade geométrica deve-se ter 
um arranjo adequado das barras e dos vínculos de forma que seja possível 
estabelecer as condições de equilíbrio estrutural na posição inicial da estrutura 
indeformada. Para tanto a estrutura deve funcionar em regime de pequenos 
deslocamentos e pequenas deformações. 
Não é possível uma estrutura apresentar comportamento linear se o 
material tiver comportamento não-linear,bem como não há possibilidade da 
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estrutura apresentar comportamento linear se apresentar alguma não-linearidade 
geométrica. 
A
C
B
P
α α
 
Fig. 9 – Estrutura com não-linearidade geométrica 
 
Para estrutura apresentada na Fig. 9, não se consegue o equilíbrio no 
ponto C sem considerar a deformação das barras AC e BC e os conseqüentes 
deslocamentos. Assim, para formular o equilíbrio do nó C, conforme Fig. 9, é 
necessário levar em conta o ângulo α formado entre as barras na posição 
deformada e na posição inicial. Esta estrutura apresenta comportamento não-
linear para qualquer valor de P e qualquer tipo de material, e é considerada uma 
forma crítica da estrutura apresentada na Fig. 10. 
 
A
C
B
P
∆
α α
 
Fig. 10 – Estrutura com Linearidade Geométrica 
 
 Na Fig. 10 apresenta-se uma estrutura derivada da estrutura da Fig. ,9 
mas cuja disposição de barras e vínculos permite a ocorrência de linearidade 
geométrica. Neste caso se a estrutura for composta de material elástico linear 
apresentará comportamento elástico linear como um todo, neste caso há 
proporcionalidade entre P e ∆. 
Se a estrutura da Fig. 10 for composta de barras muito delgadas e material 
muito deformável, de forma que os deslocamentos não possam ser considerados 
como pequenos, e de tal forma que o equacionamento da estrutura na posição 
indeformada leve a resultados significativamente diferentes daqueles obtidos 
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com o equacionamento para o equilíbrio na posição deformada, tem-se 
comportamento não-linear geométrico. Isto significa que não se podem 
desprezar os efeitos das rotações α das barras, e a variação dos comprimentos 
das barras AC e CB. Caso se utilize, neste problema, a simplificação de 
comportamento linear, os resultados serão muito diferentes do comportamento 
real, aparecendo portanto a necessidade de se considerar as rotações α na 
análise e configurando-se a necessidade de se considerar o comportamento não-
linear geométrico. 
 Quando é possível formular o equilíbrio considerando-se a configuração 
inicial indeformada da estrutura, tem-se a chamada teoria de primeira ordem, 
caso contrário, a formulação deve ser em teoria de segunda ordem. 
 
4 - Princípio da Superposição dos Efeitos 
 
 Quando uma estrutura tem comportamento elástico-linear (linearidade 
física e geométrica) pode-se considerar que os efeitos produzidos por várias 
causas podem ser obtidos combinando-se os efeitos produzidos pelas causas 
atuando individualmente. 
 O princípio enunciado acima é conhecido como princípio de 
superposição dos efeitos e, na prática, pode ser aplicado quando o 
comportamento da estrutura é elástico-linear, ou seja: 
a) O material segue a Lei de Hooke (comportamento elástico-linear); 
b) Deslocamentos e deformações nos pontos da estrutura são pequenos 
(linearidade geométrica); 
c) Não existe interação entre efeitos de força axial e momento fletor nas 
barras (linearidade geométrica); 
d) A disposição das barras e de vínculos é tal que se pode formular o 
equilíbrio na posição inicial da estrutura indeformada. 
 Como causas incluem-se forças e momentos externos aplicados, 
deslocamentos de apoio, gradientes de temperatura, e quaisquer carregamentos 
em geral. Como efeitos entendem-se reações de apoio, deslocamentos, tensões 
e deformações. 
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 Na Fig. 11 apresenta-se um exemplo ilustrativo da aplicação do princípio 
de superposição dos efeitos no caso de uma viga submetida a forças externas F1 
e F2. O cálculo de um efeito qualquer pode ser realizado considerando-se a 
aplicação simultânea de F1 e F2, ou alternativamente, pode ser efetuado 
aplicando-se cada uma das forças isoladamente e calculando-se o respectivo 
efeito parcial. O efeito total será a soma dos efeitos parciais se a estrutura tiver 
comportamento elástico linear. Por exemplo, na Fig.11 (a), F1 e F2 são forças 
externas aplicadas (causas) e considerando-se os efeitos RA, RB, MA (reações de 
apoio) e ∆C (deslocamento vertical em C). Na Fig.11 (b) e 11 (c) aplicam-se F1 e 
F2, respectivamente, e obtêm-se os efeitos individuais: R’A, R’B, M’A, ∆’C 
(causados por F1) e R’’A, R’’B, M’’A, ∆’’C (causados por F2), os efeitos totais podem 
ser calculados por meio de: 
 
RA = R’A + R’’A 
MA = M’A + M’’A (1) 
RB = R’B + R’’B 
∆C = ∆’C + ∆’’C 
 
 
F2F1MA
(a)
C
RA
A
RB
B
C
 
F1M'A
(b)
C
R'A
A
R'B
B
'C
F2M''A
(c)
C
R''A
A
R''B
B
"C
 
Fig. 11 – Princípio de Superposição dos Efeitos 
 
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Um outro caso de utilização do princípio de superposição dos efeitos é 
mostrado na Fig. 12, para uma viga submetida a um recalque ∆A e a uma rotação 
de apoio θA em A. A situação é inteiramente análoga à do exemplo anterior e o 
cálculo de um efeito qualquer pode ser efetuado aplicando-se cada um dos 
deslocamentos de apoio especificados, separadamente, e avaliando-se o 
respectivo efeito parcial, sendo o efeito total a soma dos efeitos parciais: 
 
RA = R’A + R’’A 
MA = M’A + M’’A (2) 
RB = R’B + R’’B 
∆C = ∆’C + ∆’’C 
 
MA
RA
A
A B
(a)
C
C
RB
A
 
 
M'A
R'A
A B
(b)
C
C
R'B
'
' A
M''A
R''A
A B
(c)
C
C
R''B
''
A
 
 
 
Fig. 12 - Princípio de Superposição dos Efeitos – Viga com Recalque de Apoio 
 
 
 
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5 - Correspondência entre Força e Deslocamento 
 
 Um conceito importante e muito útil em análise estrutural é o de 
correspondência entre força e deslocamento. Considera-se que força e 
deslocamento são correspondentes quando: 
• São de mesma natureza, isto é, uma força corresponderá a um deslocamento 
linear, e um momento a um deslocamento angular (rotação); 
• Estão localizados no mesmo ponto da estrutura; 
• Têm mesma direção e mesmo sentido considerado como positivo. 
Por exemplo na Fig.13, a força vertical P na extremidade livre da viga em 
balanço corresponde ao deslocamento vertical ∆ neste mesmo ponto e ambos 
são considerados positivos quando estiverem dirigidos para baixo, sentido 
adotado como positivo neste caso. O momento M aplicado naquela mesma 
extremidade livre corresponde à rotação θ da extremidade e como têm o mesmo 
sentido (horário) terão o mesmo sinal. Caso os sentidos sejam contrários 
obviamente os sinais serão contrários. O sentido positivo pode ser arbitrado no 
início da análise e deve ser mantido a partir de então. 
P
M
 
 
P correspondente a ∆ 
M correspondente a θ 
Fig.13 – Correspondência entre Força e Deslocamento 
 
 A relação de correspondência é diferente da relação de causa. No exemplo 
anterior, ∆ e θ são ambos causados pela ação conjunta de P e M. Assim na 
Fig.13, parte do deslocamento ∆ é causado pela força P e parte pelo momento 
M, o mesmo raciocínio vale para a rotação θ. Por meio do conceito de 
correspondência entre força e deslocamento pode-se estabelecer um sistema de 
coordenadas (sistema referência) ao longo da estrutura, relacionando estas 
grandezas às suas direções e sentidos e aos respectivos pontos de ocorrência. 
 - 16 -
6 - Trabalho e Trabalho Complementar 
 
 O trabalho W realizado por uma força constante P atuando sobre uma 
partícula durante a trajetória desta entre os pontos A e B, conforme Fig. 14, é 
definido como o produto da força pela projeção da distância AB, na direção de 
sua linha de ação. Portanto, 
θcosABPW ×= (3) 
 
θ 
φ 
θ 
ds 
A 
BS 
P
B´ 
 
 
Força constante Patuando sobre a 
partícula na trajetória S do ponto A ao 
ponto B 
 
θ = ângulo entre a linha de ação da 
força P e a direção AB. 
Fig. 14 – Trabalho de uma força ao longo da trajetória de uma partícula 
 
 O trabalho realizado pela força P durante um deslocamento infinitesimal ds 
medido sobre a trajetória percorrida entre A e B, é dado por: 
dscosPdW φ= (4) 
que integrado ao longo de S fornece o trabalho total produzido por P quando se 
desloca de A até B. 
∫= B
A
dscosPW φ Se P é constante, 
∫= B
A
dscosPW φ 
 Como cos φ ds é a componente de ds na direção de P, 
________
BB`PcosAB PW == θ (5) 
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 O trabalho, portanto, não depende da trajetória percorrida por P, mas 
apenas da componente desta trajetória na direção dela própria (
____
BB` ). 
 Se a força P for aplicada lenta e gradativamente em um corpo elástico, a 
relação entre a força aplicada e o deslocamento correspondente no ponto de 
aplicação da força pode ser representado, de maneira geral, por um gráfico como 
o seguinte: 
 
P
v
 
Pe
Pe + dP
P
P 
dv vf 
 
v
Fig. 15 – Trabalho da força P durante o deslocamento v 
 
Caso de comportamento não-linear 
dscosdv φ= (6) 
sendo dv a componente do deslocamento na direção de P. 
Com base na Fig. 15, o trabalho será dado pela área entre a curva e o eixo 
horizontal. 
∫= f
v
0
dvPW (7) 
Se o comportamento é linear, o gráfico Carga X Deslocamento será conforme 
ilustrado na Fig. 16. 
 
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P 
P 
vf
. 
v
 
 
P = kv 
k= constante 
Fig. 16 – Trabalho da força P no caso de comportamento linear 
Neste caso, como P = kv e ∫= f
v
0
dvPW 
2
kvdvkvW
2
f
v
0
f
== ∫ Pv21W:. = (8) 
No caso da carga P, constante, já estar totalmente aplicada sobre o corpo e 
ocorrer um deslocamento v provocado por outra ação qualquer, o trabalho 
realizado por P durante a ocorrência de v será dado por Pv tal como se mostra 
na Fig.17. 
P
v
dv
Pf
P = constante
v f
 
Fig. 17 - Trabalho de carga integralmente aplicada durante um deslocamento 
posterior à aplicação 
∫∫ == ff
v
0
v
0
dvPdvPW PvW:. = (9) 
O trabalho complementar é definido como: 
∫= P
0
C dPv W (10) 
Conforme Fig. 18, o trabalho complementar fica definido pela área entre a curva 
e o eixo vertical. 
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P
vvfdv
Pf
dP
W c
 
 
 
Caso de comportamento não-linear, 
 com P aplicada lenta e gradualmente. 
Fig. 18 – Trabalho Complementar 
 
Portanto observando-se as Fig. 17 e 18 conclui-se que: 
WPv W C −= (11) 
No caso de comportamento elástico-linear, conforme Fig. 19, 
 
Pf 
P 
Vf 
v
W 
W 
 c 
)12(Pv
2
1WW
WdPvdvPW
C
C
P
0
v
0
==
=== ∫∫
 
Fig. 19 – Trabalho complementar para o caso de comportamento linear 
 
Ou seja, o trabalho é igual ao trabalho complementar. Além disso, neste 
caso é aplicável o Princípio da Superposição dos Efeitos. Então, se houver várias 
cargas aplicadas, tal como se mostra na Fig. 20, o trabalho total é a soma dos 
trabalhos produzidos pelas cargas atuando individualmente. 
 - 20 -
Exemplo 6.1 - 
 
P4
P2P1 P3
v1
v2
v3
v4
 
 
. Caso de aplicação lenta, 
gradual e simultânea das 
cargas. 
Fig. 20 – Trabalho realizado por um sistema de várias cargas 
 
)13()4,3,2,1i(vP
2
1WW ii
4
1i
C === ∑
=
 
7- Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) 
 
7.1- Trabalho Virtual 
 
 Diz-se virtual algo que não é real; imaginário portanto. Um deslocamento 
virtual ou uma força virtual são, respectivamente, um deslocamento imaginário 
ou uma força imaginária, arbitrariamente impostos sobre um sistema estrutural. 
 O trabalho virtual pode ser considerado como o trabalho produzido em 
uma das duas situações abaixo relacionadas: 
• Trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual; 
• Trabalho realizado por forças virtuais durante um deslocamento real. 
Pode-se considerar aqui como deslocamento virtual um deslocamento 
provocado por alguma outra ação que não o sistema de carregamento em 
questão atuante na estrutura. Força virtual, da mesma forma, pode ser 
considerada uma outra força qualquer que não seja a que está provocando o 
deslocamento real. 
 Portanto, na expressão do trabalho virtual, a força e o deslocamento 
envolvidos (virtual e real ou vice-versa) têm uma relação de correspondência, 
mas nunca de causalidade. 
 - 21 -
7.2- Princípio dos Trabalhos Virtuais para Corpos Rígidos 
 
 Seja um corpo rígido sujeito a um sistema de forças reais Pi constantes e 
integralmente aplicadas a um corpo rígido conforme mostrado na Fig. 21. Se ele 
é submetido a um deslocamento virtual δv, sendo δvi as componentes do 
deslocamento virtual correspondentes aos Pi. 
 
P1 
P2
δv2
δ v1
A 
B
P3
δv3
C
B
A
C 
 
Fig. 21 – Trabalho virtual realizado por forças reais 
 
O trabalho virtual realizado é dado pelas forças reais Pi durante o deslocamento 
virtual δv é dado por: 
)14(vPWvPvPvPW
3
1i
ii332211 ∑
=
=++= δδδδδδ 
 
 Todas as grandezas virtuais serão denotadas pela letra δ precedendo a 
grandeza, por exemplo, δv significa deslocamento virtual e δF força virtual. 
Na Fig.21, considerando-se vi deslocamentos reais (provocados por um sistema 
de forças real) e δPi um sistema de forças virtuais (não são elas que provocam 
vi), tem-se uma expressão análoga para o trabalho virtual. 
 
)15(vPW
3
1i
ii∑
=
= δδ 
 
 
 
 - 22 -
Princípio dos Deslocamentos Virtuais - Para Corpos Rígidos 
 
 “Se é aplicado um deslocamento virtual a um corpo rígido sujeito a um 
sistema de forças em equilíbrio, o trabalho virtual total realizado pelas forças é 
igual a zero”. Na Fig. 21 se o sistema de forças Pi estiver equilibrado, tem-se: 
)16(0vPW
3
1i
ii == ∑
=
δδ 
 A recíproca também é verdadeira, ou seja: 
 “Se o trabalho virtual total realizado por um sistema de forças reais 
atuando em um corpo rígido quando ele é submetido a um deslocamento virtual 
é igual a zero, o sistema de forças está em equilíbrio”. 
 
Exemplo 7.2.1- 
 Como nas estruturas isostáticas os deslocamentos de apoio não provocam 
deformações na estrutura nem esforços internos, pode-se considerar que as 
estruturas isostáticas funcionam como corpos rígidos. Utilizando este fato, as 
reações de apoio de uma estrutura podem ser calculadas, como a que se segue, 
usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais aplicado aos corpos rígidos. Assim 
propõe-se calcular a reação vertical VB no apoio B. 
 
 
P
a b
A C B
L
 
Fig. 22 – Exemplo 2 
 
SOLUÇÃO: 
Submetendo a viga ao deslocamento virtual em B, na direção vertical, 
correspondente à reação VB, mostrado abaixo, 
 - 23 -
P
δvc
VA
HA
δvB
VB
 
O trabalho virtual total é dado por: 
)17(0vPW
n
1i
ii == ∑
=
δδ 
 
Notar que o deslocamento virtual correspondente à carga P é dado por: δvC 
Considerando que se pretende obter uma situação de equilíbrio de forças na 
viga, impõe-se a condição de trabalho virtual total nulo, ou seja: 
 
)18(0vVvPW BBC =−= δδδ 
 
)19(0vV
L
avPW,
L
avvComo BBBBC =−== δδδδδ 
 
Deve-se notar que o deslocamento virtual em B foi admitido para baixo, no 
sentido contrário deVB, portanto o trabalho virtual desta fica negativo. Além disto, 
as forças VA e HA não produzem trabalho pois não há nenhum deslocamento 
virtual correspondente a estas ações. Resolvendo a Equação 19 obtém-se: 
)20(
L
aPVB = 
Exemplo 7.2.2 - 
Usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, propõe-se calcular o momento MA no 
apoio A. 
MA PL
L/2
δv3 δv2
L/2
P 2P
δθ1
δθ4
 
Fig. 23 – Exemplo 3 
 - 24 -
SOLUÇÃO: 
Impondo-se uma rotação virtual δθ4 no apoio A, a viga se desloca como um 
corpo rígido, de acordo com o PTV para corpos rígidos o trabalho virtual total é 
nulo, portanto: 
 
)24(
2
PL7M)23(0PLLP2
2
LPM
)22(0PLLP2
2
LPM
2
LveLv
L
vtg;Como
)21(0PLvP2vPM0W
AA
4444A
4342
2
441
1234A
==+++−
=+++−
====
=+++−=
δθδθδθδθ
δθδδθδδδθδθδθ
δθδδδθδ
 
 
7.3 - Princípio dos Trabalhos Virtuais para Corpos Deformáveis 
 
 Nos corpos deformáveis, pontos do interior do corpo podem mover-se uns 
em relação aos outros sem violar as condições de restrição. Portanto, neste 
caso, tanto as forças externas quanto as internas (esforços solicitantes) realizam 
trabalho. 
 Genericamente, uma estrutura como a mostrada abaixo pode sofrer 
deformações deformando-se de forma compatível, isto é, sem apresentar 
descontinuidades e respeitando-se a vinculação nos apoios. 
dx
dx
 
Fig. 24 – Estrutura sujeita a deformações 
 
O elemento de barra dx estará sujeito, também genericamente, a 
resultantes de tensão representadas aqui pelos esforços solicitantes. 
 - 25 -
 q
dx 
N T M 
V 
V + 
N + T + 
M + 
 
q = força externa 
genérica 
V = esforço cortante 
N = força normal 
M = momento fletor 
T=momento de torção 
 Fig. 25 – Esforços solicitantes num elemento infinitesimal 
 
A deformação da estrutura provoca deslocamentos relativos entre as 
seções transversais externas do elemento, mostradas a seguir: 
 
 
d δ 
dx 
def. 
axial 
 
dx
def. de 
flexão 
dθ 
 
 
dx 
def. de 
cisalhamento 
d λ 
 
 
A
A´
d φ 
dx 
def. de 
torção 
 
(por simplicidade de representação, fixou-se a extremidade da esquerda do 
elemento). 
 - 26 -
 Nas ilustrações anteriores, devem ser notadas as seguintes relações de 
correspondência: 
 N ↔ dδ (dδ = deslocamento relativo entre as seções extremas do elemento 
de barra na direção do eixo da barra) 
 M ↔ dθ (dθ = rotação relativa entre as seções extremas do elemento de 
barra no plano da mesma) 
 V ↔ dλ (dλ = deslocamento relativo no plano da barra entre as seções 
extremas do elemento de barra na direção perpendicular ao eixo) 
 T ↔ dφ (dφ = rotação relativa entre as seções extremas do elemento em 
torno do eixo da barra) 
 Portanto, existe um trabalho real interno produzido por estes esforços que, 
no caso de comportamento elástico linear é dado por pela integral do trabalho 
infinitesimal sobre cada elemento de barra dx. No caso das estruturas de 
comportamento elástico linear, este trabalho interno é a energia de deformação 
total que é igual ao trabalho realizado pelas forças externas durante o processo 
de deformação da estrutura. Todo o trabalho realizado pelo carregamento real é 
armazenado como energia de deformação e pode ser recuperado se o 
carregamento for removido. 
O trabalho interno total (energia de deformação) será: 
 
)25(]dTdVdMdN[
2
1W
estr estr estr estr
int ∫ ∫ ∫ ∫+++= φλθδ 
 
Pelo Princípio da Conservação da Energia, o trabalho das forças internas é igual 
ao trabalho das forças externas: 
 
)26(WW intext = 
 - 27 -
Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Deformáveis 
 
 “Quando a uma estrutura deformável, em equilíbrio sob a ação de um 
sistema de carregamento, é dada uma pequena deformação virtual compatível, o 
trabalho virtual realizado pelas forças externas (carregamento) é igual ao 
trabalho virtual realizado pelas forças internas (esforços solicitantes)”. 
 Chamando δWext o trabalho virtual das forças externas e δWint o trabalho 
virtual das forças internas, tem-se de acordo com o referido princípio: 
 
)27(WW intext δδ = 
. 
Observação: 
 Os deslocamentos ou deformações virtuais devem ser compatíveis com 
as condições de contorno geométricas (apoios) e não devem violar a 
continuidade das deformações da estrutura. 
 
Considerando a estrutura seguinte: 
δθB
θB
P M
vc
A B
C
δvcδv
 
δv = elástica virtual 
(ponto genérico). 
 Fig. 26 – Estrutura com deformações reais e virtuais 
Onde: 
 P e M: força e momento externos 
 VC e θB: deslocamentos correspondentes a P e M, originados da 
deformação (real) causada pelo carregamento (P e M) 
 δvC e δθB: deslocamentos virtuais correspondentes a P e M, impostos após 
a deformação real da estrutura . Não são provocados por P e M, 
mas sim da deformação virtual. 
 Neste caso, o trabalho virtual externo será BCext MvPW θδδδ += 
 - 28 -
(notar que as reações de apoio não realizam trabalho pois os deslocamentos 
virtuais correspondentes são nulos). 
 A deformação virtual imposta provoca deslocamentos virtuais das seções 
transversais, correspondentes aos esforços solicitantes reais atuantes nestas 
seções. Portanto, conforme figuras anteriores, o trabalho virtual das forças 
internas realizado ao longo de todo o comprimento da estrutura pode ser 
expresso por: 
)28(d)dMM(d)dVV(W
B
A
B
A
int θλδ ∫∫ +++= 
 
pois, na viga em questão, os dois únicos esforços solicitantes existentes são V e 
M. Na expressão acima e para o que se segue, φδθλ d,d,d,d representam as 
deformações virtuais de um elemento de barra dx, associadas à deformação 
virtual imposta na barra. 
 Aplicando o PTV, no equilíbrio tem-se δWext = δWint, portanto, 
 
)29(d)dMM(d)dVV(MvP
B
A
B
A
θλθδδ ∫∫ +++=+ 
 
 A expressão geral para estruturas deformáveis planas, considerando-se a 
existência dos quatro esforços solicitantes (N, M, V, T) e um carregamento 
externo qualquer, será: 
 
)30(d)dTT(d)dVV(d)dMM(d)dNN(Wext ∫ ∫ ∫ ∫ +++++++= φλθδ 
 
Desprezando-se os produtos de dois infinitésimos, tem-se: 
 
)31(dTdVdMdNWext ∫ ∫ ∫ ∫+++= φλθδ 
 
δW ext terá uma expressão para cada caso, genericamente: 
 
)32(vPW i
n
1i
iext δδ ∑
=
= 
 - 29 -
Princípio das Forças Virtuais para Corpos Deformáveis 
 
 De forma análoga ao PTV para deslocamentos virtuais, tem-se o Princípio 
das Forças Virtuais, que pode ser enunciado como: 
 “Se a um corpo deformável que sujeito a deslocamentos reais provocados 
por um sistema de forças em equilíbrio é aplicado um sistema equilibrado de 
forças virtuais, o trabalho virtual externo (produzido pelas forças virtuais externas 
quando ocorrem os deslocamentos reais) é igual ao trabalho virtual interno 
(produzido pelos esforços virtuais internos quando ocorrem as deformações reais 
das barras)”. 
intext WW δδ = (δWext e δWint são trabalhos virtuais complementares) 
 Considerando-se a mesma viga anterior, 
P M
v2
A B
δQ
θ
v1
 
Fig. 27 – Estrutura com deformações reais e carga virtual 
Onde: 
P e M: força e momento externos reais 
δQ: força virtual 
v1, v2, θ : deslocamentos reais correspondentes a δQ, P, M (provocados 
por P e M). 
 
Tem-se então, neste caso, para o trabalho virtual externo, 1ext vQW ⋅= δδ 
A expressão para o trabalho virtual interno é a mesma anterior, sendo que, aqui, 
os esforços solicitantes são virtuais (provocados pela força virtual δQ) e os 
deslocamentos são reais (provocados por P e M): 
 
)33(d)dMM(d)VdV(W
B
A
B
A
int θλδ ∫∫ +++= 
 
 - 30 -
 Generalizando e desprezando os produtos de dois infinitésimos,tem-se a 
mesma uma expressão análoga à anterior para o PTV: 
 
)34(dTdVdMdNWext ∫ ∫ ∫ ∫+++= φλθδδ 
 
Aqui também, δWext terá uma expressão para cada caso. Genericamente: 
 
)35(vQW i
n
1i
iext ∑
=
= δδ 
 
 Nota-se que, como nenhuma restrição foi feita ao comportamento da 
estrutura, o PTV é aplicável a estruturas de comportamento elástico linear ou 
não-linear. 
 
8 - Método da Carga Unitária (MCU) 
 
 A particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais) na 
qual se considera a força virtual (ou forças virtuais) com valor unitário é 
conhecida como Método da Carga Unitária (MCU). Também conhecido como 
Método do Trabalho Virtual, Método da Carga Substituta e Método de Maxwell-
Mohr, o MCU pode ser utilizado para calcular deslocamentos (devidos a 
deformações reais causadas pelo carregamento) em estruturas isostáticas. 
 Como o MCU é uma sistematização do PTV, sua formulação geral pode 
ser utilizada em estruturas de comportamento elástico linear e não-linear. 
 Seja calcular um determinado deslocamento ∆ , por exemplo o 
deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita a um 
sistema de cargas qualquer. 
 - 31 -
M
C
A B
P
q
C
 
∆ = deslocamento vertical do 
ponto C (real) 
 Fig. 28 – Estrutura sujeita a carga real 
Pelo MCU, considera-se um outro sistema de carregamento atuando sobre 
a mesma estrutura constituído de uma carga virtual unitária P correspondente ao 
deslocamento provocado ∆, 
A B 
P = 1 
C
 
P = força virtual unitária correspondente a ∆ 
 Fig. 29 – Estrutura sujeita a carga virtual unitária 
Tem-se, pelo PTV, intext WW δδ = . O trabalho virtual neste caso é devido a forças 
virtuais e deslocamentos reais. 
O trabalho virtual externo será: ∆∆∆δ =×=⋅= 1PWext 
O trabalho virtual interno será, como visto anteriormente, 
 
)36(dTdVdMdNW
estr estr estr estr
int ∫ ∫ ∫ ∫+++= φλθδδ 
 
Sendo T,V,M,N os esforços solicitantes devidos à carga unitária P, e dδ, dθ, 
dλ, dφ as deformações elementares reais devidas ao carregamento prescrito. 
Igualando-se: 
)PTV(WW intext δδ = 
 - 32 -
 Tem-se 
)37(dTdVdMdN
estr estr estr estr
∫ ∫ ∫ ∫+++= φλθδ∆ 
 
 Conforme mencionado esforços TeV,M,N referem-se à força virtual 
unitária e daqui por diante serão denotados, no que se segue, por n, m, v, t. 
Portanto, a equação geral do MCU será escrita: 
 
)38(dtdvdmdn
estr estr estr estr
∫ ∫ ∫ ∫+++= φλθδ∆ 
 
Sendo válida para estruturas de comportamento elástico linear ou não-linear. 
 Os deslocamentos dδ, dθ, dλ e dφ são provocados por carregamento 
externos em geral, bem como por variação de temperatura, recalques de apoio, 
modificações impostas na montagem; isto é, qualquer tipo de solicitação externa 
real que produza deformações na estrutura. 
 Nas análises cotidianas em geral, admite-se que a estrutura apresente 
comportamento elástico-linear, isto é, estrutura constituída de material elástico-
linear seguindo Lei de Hooke (σ = E.ε), apresentando linearidade geométrica. As 
cargas externas produzem tensões, representadas aqui por suas resultantes, os 
esforços solicitantes reais N, M, V, T e deformações reais dδ, dθ, dλ e dφ 
relacionadas entre si pelas expressões: 
 
)39(dx
GJ
Tddx
GA
Vfddx
EI
Mddx
EA
Nd S ==== φλθδ 
 
Nos quais E = módulo de elasticidade longitudinal, 
 G = módulo de elasticidade transversal, 
 A = área da seção transversal, 
 I = momento de inércia da seção transversal, 
 J = constante de torção da seção transversal, 
 - 33 -
 fs = fator de forma para cisalhamento; depende da forma da 
 seção transversal e leva em conta a distribuição da tensão 
 de cisalhamento na seção. 
 
As grandezas seguintes presentes nos denominadores da Eq.39, são 
relacionadas abaixo com a respectiva nomenclatura : 
 
EA = módulo de rigidez à deformação axial; 
EI = módulo de rigidez à flexão; 
GA = módulo de rigidez ao cisalhamento; 
GJ = módulo de rigidez à torção; 
 
Substituindo-se as expressões das deformações nos elementos de barra, dadas 
pela Eq.39, na equação geral do MCU (Eq.38), tem-se: 
 
)40(dx
GJ
Ttdx
GA
Vvfdx
EI
Mmdx
EA
Nn
estr estr estr estr
S∫ ∫ ∫ ∫+++=∆ 
 
que é a expressão do MCU para estruturas de comportamento elástico-linear 
sujeita a um sistema de cargas externas qualquer. 
Em resumo, o cálculo de um deslocamento de uma estrutura isostática 
feito através do MCU pode ser sistematizado nas seguintes etapas (estrutura 
elástica-linear sujeita a cargas) 
1. FASE L, quando a estrutura dada é submetida ao carregamento real 
especificado que produz o deslocamento ∆. Determinam-se os esforços 
solicitantes devidos ao carregamento real: N, M, V, T. 
2. FASE U, quando aplica-se à estrutura descarregada uma carga unitária 
virtual correspondente ao deslocamento procurado e calculam-se os 
esforços solicitantes virtuais devidos a este novo carregamento: n, m, v, t. 
3. Substituem-se os esforços das fases L e U na expressão do MCU, em 
seguida integra-se a contribuição de cada esforço ao longo de toda a 
 - 34 -
estrutura e no final somam-se todas as contribuições para a obtenção do 
deslocamento procurado ∆. 
 
A respeito da expressão do MCU podem ser feitas algumas observações: 
 
a) Os esforços virtuais n, m, v, t devem ter dimensão de força (ou 
momento) por unidade de carga para que se obtenha ∆ com 
dimensão de comprimento linear (ou rotação). 
 
)41(1][:.][1 ÷=∆=∆ ∫∫ 
 
b) Devem ser usadas as mesmas convenções de sinal para os 
esforços solicitantes das fases L e U. Assim, por exemplo, se é 
adotada a convenção de força normal considerando esforço de 
tração (N) com sinal positivo na Fase L, na Fase U deve-se adotar 
tração com sinal positivo na determinação de n. 
Conseqüentemente, o deslocamento ∆ terá sempre como sentido 
positivo o sentido arbitrado para a carga unitária virtual. 
c) A contribuição das deformações devidas a alguns esforços 
solicitantes no cálculo dos deslocamentos pode ser desprezada, em 
certas circunstâncias, visando reduzir trabalho de cálculo manual. 
Nesse sentido, o efeito das deformações devidas à força cortante 
costuma ser desprezado na determinação dos deslocamentos de 
vigas, pórticos planos e grelhas, por ter em geral uma influência 
secundária em comparação com as deformações decorrentes do 
momento fletor. Da mesma forma, a desconsideração da 
deformação axial das barras devida à força normal na análise de 
pórticos planos costumava ser adotada. Estas simplificações são 
encontradas com muita freqüência nos textos clássicos de Estática 
e Análise Estrutural. Entretanto, atualmente, com os recursos 
computacionais disponíveis, estas simplificações podem e devem 
ser evitadas, principalmente no caso de análise de estruturas de 
 - 35 -
grande responsabilidade, ou com grande número de barras, ou 
ainda quando não for possível se assegurar a adequação deste tipo 
de simplificação. A disponibilidade de modernos programas 
computacionais que incorporam todas estas deformações na análise 
tornam totalmente dispensáveis estas simplificações e eliminam 
quaisquer dúvidas na precisão dos resultados decorrentes de sua 
aplicação. 
 - 36 -
Considerações sobre a escolha da carga unitária 
 
 a) Cálculo de Deslocamentos Absolutos 
 a.(1) Deslocamento linear de um ponto (translação) 
 Neste caso, a carga unitária a ser aplicada é uma força concentrada 
no ponto considerado, na direção do deslocamento procurado e no sentido 
positivo considerado para este deslocamento, ou seja, correspondente uma 
carga unitária correspondente ao deslocamento. (Fig.30) 
 
1
 
Fig. 30 – Carga Unitária para cálculo de deslocamento linear 
 
 a.(2) Rotação de uma seção transversal 
 A carga unitária correspondente é um momento aplicado no ponto 
em questão. (Fig. 31) 
 
1
 
Fig. 31 – Carga Unitária para cálculo de rotação 
 
a.(3) Rotação de Corda 
 Corda é a linha reta que liga dois pontos quaisquer da estrutura. Portanto, 
uma rotação de corda é a rotação deste segmento em relação à posição inicial e, 
neste caso, deve-se aplicar na corda um momento unitário por meio de um 
binário de forças nas extremidades desta corda. (Fig.32) 
 
 - 37 -
 
A'
A
L
1/L
B B'
1/L
 
 
1L
L
1M == 
A figura mostra o binário 
que produz um momento 
unitário sobre a corda 
AB . 
Fig. 32 – Carga Unitária para cálculo de rotação de corda 
 
Em treliças sujeitas apenas a cargas nos nós, as rotações sofridas pelas barras 
são movimentos de corpo rígido, calculados, portanto, como rotações de cordas. 
 
L
1/L 1 1/L
 
 
 
. Rotação da barra AB calculada com 
a ajuda do binário indicado na figura 
(produz um momento unitário) 
 Fig. 33 – Carga Unitária para cálculo de corda na treliça 
 
b)Cálculo de Deslocamentos Relativos 
 
 O cálculo de um deslocamento relativo entre dois pontos A e B, numa dada 
direção, pode ser feito em duas etapas: 
 - Cálculo do deslocamento absoluto em A na direção especificada; 
 - Cálculo do deslocamento absoluto em B na direção especificada; 
 Se as cargas unitárias aplicadas em A e B, nestas etapas anteriores, 
possuem sentidos iguais, a diferença dos dois resultados fornecerá o 
deslocamento relativo procurado. Se os sentidos das cargas unitárias forem 
 - 38 -
contrários, o deslocamento relativo será encontrado através da soma dos dois 
deslocamentos. 
O cálculo de deslocamentos relativos pode ser simplificado fazendo-se as 
duas etapas de uma só vez, isto é, aplicando-se à estrutura, duas cargas 
unitárias de sentidos contrários. O resultado final será o deslocamento 
procurado. 
 
b.(1) Variação da distância entre 2 pontos 
 Caso se queira calcular o deslocamento linear relativo entre dois pontos A 
e B, na direção da linha que os une, o sistema de cargas virtuais aplicado será 
como o mostrado na Fig.34. 
 
1 A
A' B'
B 1
 
Obtém-se desta maneira o 
deslocamento ∆, cujo valor será 
∆ = ∆´+ ∆´´ 
 Fig. 34 – Deslocamento Relativo entre dois pontos 
 
b.(2) Rotação relativa das extremidades de duas barras (em uma articulação) 
 
A
1 C 1
B
 
 
Obtém-se θ cujo valor será 
θ = θ´ + θ´´ 
 
 Fig. 35 – Rotação relativa entre as seções adjacentes numa rótula interna
 
No caso de uma rotação relativa entre duas seções tal como se mostra na 
Fig.35, pode ser aplicado um par de momentos unitários de sentidos opostos. 
 
b.(3) Rotação relativa de cordas (ou de barras de treliça) 
 - 39 -
 
No caso de rotação relativa entre duas cordas da estrutura, aplicam-se dois 
momentos unitários de sentido contrário, através dos binários correspondentes 
(Fig.36). 
A
L1 C
1
B
C'
L2
1
1/L1
1/L1
1/L2
1/L2
 
 Fig. 36 – Carga unitária para cálculo de rotação relativa entre duas cordas 
 
θ = θ´ + θ´´ é a rotação relativa entre as cordas AC e CB. 
A Fig.37 mostra a diferença entre rotação relativa de cordas e de seções. 
DA
B
γ
C β 
DA
B
α
C
ω
 
 Fig. 37 – Rotação relativa entre duas seções e entre duas cordas 
 
Rotação relativa entre barras na seção C Æ φ = β - γ 
Rotação relativa entre as cordas BC e CD Æ θ = α - ω 
 - 40 -
9 - Exemplos de aplicação 
9.1 – Solução por integração analítica 
 
 Nos exemplos seguintes vai-se aplicar a equação do MCU com as 
simplificações tais como as mencionadas anteriormente visando a redução do 
trabalho de cálculo e como forma de facilitar o entendimento global do processo. 
Para efeito didático, atribuiu-se um número romano a cada termo da equação: 
 
∫ ∫ ∫ ∫+++=
estr estr estr estr
S dxGJ
Ttdx
GA
Vvfdx
EI
Mmdx
EA
Nn
)IV()III()II()I(
∆ 
 
Exemplo 9.1.1 – 
Calcular o deslocamento vertical do ponto B da estrutura, desprezando-se o 
efeito das deformações devidas à força cortante. EI = 2 x 105 kNm2 (constante) 
B = ?
25 kN/m 50 kN
3 m
BA
 
SOLUÇÃO: 
O deslocamento vertical (flecha) em B será considerado positivo se for para 
baixo (afundamento do ponto B) 
 
FASE L – Estrutura com carregamento real 
 - 41 -
A B
25 kN/m
3 m
VA =125 kN
M A =262,5 kN.m
x
262,5
50 kN
Diagrama de momento fletor (M)
 
3
0
2
2
x25x50M −−=
 
Observar que adotou-se a convenção clássica de momentos fletores, 
considerando o momento que produz tração na face inferior (face de referência) 
como momento fletor positivo. 
 
FASE U - Cálculo dos esforços solicitantes virtuais : 
 Aplicando-se à estrutura uma força unitária virtual correspondente ao 
deslocamento procurado (∆B): 
A B
3 m
x
VA =1
M A = 3
1
 
 - 42 -
3
Diagrama de momento fletor (m) 3
0
x1m −= 
 
Observar que a carga vertical unitária foi aplicada para baixo conforme sentido 
positivo assumido para a flecha em B e que a convenção de sinais de m é a 
mesma utilizada na Fase L. 
 
Na expressão do MCU, as integrais I e IV referem-se a esforços inexistentes (N e 
T) neste caso, portanto se anulam. A integral III não será calculada pois será 
desprezado o efeito de da força cortante conforme previsto no início do 
problema. A expressão reduz-se então a: 
 
m10x516,3:setemIntegrandodx)x5,12x50()x(
EI
1
dx
EI
Mm
3
B
2
B
−=−−−−=
=
∫
∫
∆∆
∆
 
 
 O sinal positivo de ∆B indica que o deslocamento tem o mesmo sentido da 
carga unitária, isto é, para baixo. Se a carga unitária tivesse sido arbitrada para 
cima, ∆B resultaria com sinal negativo o que indicaria, também, o sentido para 
baixo. 
 
Exemplo 9.1.2 – 
Na viga do Exemplo 9.1.1, calcular a rotação da seção B, desprezando-se o 
efeito das deformações devidas à força cortante. 
 
SOLUÇÃO: 
 Como a estrutura e o carregamento são os mesmos do Exemplo 9.1.1, a 
FASE L é a mesma. Portanto, 
 - 43 -
3
0
2
2
x25x50M −−= 
FASE U 
 Como o deslocamento procurado é a rotação em B, a carga unitária 
correspondente a ser adotada é um momento unitário em B. Adotar-se-á o 
momento unitário no sentido horário: 
 
A B
3 m
MA = 1
VA = 0
1
 
 
Diagrama de momento fletor (m)
1
 
3
0
1m −= 
Substituindo-se os valores, 
 
rad10x688,1
dx)x5,12x50()1(
EI
1
3
B
3
0
2
B
−=
−−−= ∫
θ
θ 
 
Notar que na Fase U a convenção de sinais de momento fletor usada foi a 
mesma do Exemplo 9.1.1. Como foi arbitrado o sentido horário para a carga 
unitária e θB obtido foi positivo, isto significa que a rotação em B é horária, ou 
seja, o sentido de θB concorda com o sentido do momento unitário. 
 
A configuração deformada da viga é mostrada a seguir, 
 - 44 -
B = 3,516 x 10 m
B = 1,688 x 10 rad
-3
-3
 
 
Exemplo 9.1.3 – 
Calcular o deslocamento vertical do ponto C da viga abaixo, desprezando o 
efeito das deformações devidas à força cortante. Dado: EI = 2,0 x 10 5 kNm2 
(constante) 
A B
20 kN/m
5 m
C
3,5 m1,5 m
 
SOLUÇÃO: 
 
FASE L 
A B
20 kN/m
C
5 m
x
V A = 50 kN V B = 50 kN
 
 
 - 45 -
(M)
Mmax = 62,5 kN.m 5
0
2
2
x20x50M −= 
FASE U 
Notar que o deslocamento procurado é a flecha ∆C. Adota-se neste caso força 
unitária vertical em C para cima. (força unitáriavirtual correspondente a ∆C). 
 
A B
3,5 m
x
V A = - 0,70 V B = - 0,30
1
1,5 m
C
 
 
M max = 1,05
(m) 5
5,1
5,1
0
)5,1x(1x70,0m
x70,0m
−+−=
−=
 
 
 Sendo força normal e momento de torção inexistentes e desprezando-se o 
efeito da força cortante tem-se: 
∫= dxEIMm∆ 
Substituindo-se as expressões de M e m obtém-se: 
 
∫∫ −−+−+−−=∆
5
5,1
2
5,1
0
2
C dx)x10x50()5,1xx70,0(EI
1dx)x10x50()x70,0(
EI
1 
 
Integrando-se: 
 - 46 -
m10x617,6 4C
−−=∆ 
 
O sinal negativo indica que o deslocamento tem o sentido oposto ao arbitrado 
para a carga unitária, isto é, para baixo. 
 
Exemplo 9.1.4 – 
Calcular o deslocamento horizontal do nó D do pórtico abaixo, desprezando-se 
as influências das deformações axiais e da força cortante. EI = 2,0 x 10 5 kNm2 
(constante) 
DA
B C
5 m
3 m
50 kN
 
 
SOLUÇÃO: 
FASE L 
DA
B C
50 kN
x
H A = 50 kN x x
VD = 30 kNVA = - 30 kN
 
 
 - 47 -
 
(M)
150
150
 
5
0BC
3
0CD
3
0AB
x30150M
0M
x50M
−=
=
=
 
FASE U 
 
DA
B C
x
x x 1
VA = 0 VD = 0
H A = -1
 
 
 
Deslocamento procurado: 
∆D horizontal ↔ força 
unitária horizontal em D 
(arbitrada para a 
esquerda) 
3 3
3
(m )
3
0CD
5
0BC
3
0AB
x1M3Mx1m −=−=−= 
Observar que foi adotada uma coordenada xi acompanhando o eixo de cada 
barra, com os respectivos sentidos indicados no início da solução para se 
formularem as expressões de momento fletor na Fase L (M) e na Fase U (m). 
 - 48 -
Como no caso não ocorre momento de torção, além disto desprezando-se 
o efeito das deformações axiais e de cisalhamento da força cortante, tem-se para 
a expressão do MCU: 
∫= dxEIMm∆ 
 
 
Substituindo as expressões de M e m na expressão anterior obtém-se: 
 
]dx)0()x(dx)x30x150()3(dx)x50()x([
3
0
5
0
3
0
D ∫∫∫ ⋅−+−⋅−+⋅−=∆ 
 
Integrando-se, tem-se: ∆D = -7,875 x 10-3 m (sinal negativo, significando que o 
deslocamento horizontal ∆D é para a direita). 
 
9.2 – Solução Utilizando Tabelas de Integrais de Produto de Duas Funções 
 
 Ao observar-se a equação do MCU para estruturas com comportamento 
elástico-linear sujeitas a cargas, 
 
∫ ∫ ∫ ∫+++=
estr estr estr estr
S dxGJ
Ttdx
GA
Vvfdx
EI
Mmdx
EA
Nn∆ 
 
Nota-se que, para estruturas (ou trechos de estruturas) com E, G, I e A 
constantes, cada integral se resume a uma integral do produto de duas funções 
polinomiais, ou seja, 
 
∫ ∫ ∫ ∫+++=
estr estr estr estr
S dxtT
GJ
1dxvV
GA
fdxmM
EI
1dxnN
EA
1∆ 
 
Cada uma das integrais tem a forma: 
 
∫ ⋅=Ι 2
1
x
x
dx)x(g)x(f 
 
 - 49 -
 
Onde f(x), g(x) podem ser funções de x0, x1, x2, ..., x n . 
 Para facilitar o processo de integração, valores de integrais de produto de 
diversas funções f(x) e g(x) foram tabeladas (tabela de Kurt-Bayer). Esta tabela 
encontra-se no Anexo 1 (Tabela 1), assim como alguns exemplos de sua 
utilização. 
 
Exemplo 9.2.1 – 
Calcular o deslocamento vertical do nó C do pórtico abaixo, considerando efeitos 
de flexão e deformação axial. Dados: EA = 2,1 x 107 kN; EI = 4,375 x 105 kNm2 
A B
3 m
C
80 kN
20 kN.m
2 m
1,5 m
 
 
Desprezando-se o esforço cortante: ∫ ∫+=
estr estr
C dxmMEI
1dxnN
EA
1∆ 
 
SOLUÇÃO: 
FASE L: 
VA = 80 kN
80 kN
MA = 420 kN.m 20 kN.m
(N)
(M)
48
420
160
180
A B
C
 
 
 
FASE U: 
 - 50 -
A B
C
1
MA = 5 0,6
2
5
(n)
(m)
2
1
 
Usando-se Tabela 1: 
- parcela de ∆C devida à deformação axial: ∫ dxEANn 
∫∫ += BCAB)N(C (dx)__________([EA1∆
0,6 48
]dx) 
 
m10429,3)5,26,048()10
21
1( 6NC
6N
C
−×=∆×××=∆
 
 
- parcela de ∆C devida à flexão: dxEI
mM∫ 
 
 
∫= AB)M(C ([EA1∆
5
2
420
180
∫+
BC
(dx)
1602
]dx) 
 
)]}5,2)(160)(2(
3
1[)]180)(5()420)(2()]180)(2()420)(5[(2{
6
1{[
EI
1
BCAB
)M(
C −−+−−+−−+−−+−−=∆
 
m10221,8 3)M(C
−×=∆
 
- deslocamento total em C: 
)M(
C
)N(
C ∆+∆ 
)baixopara(m10224,8 3)M(C
−×=∆ 
 
obs.: O deslocamento devido à força normal corresponde a 0,04 % do total (em 
C). 
 - 51 -
Exemplo 9.2.2 – 
Calcular o deslocamento vertical e a rotação da extremidade D, em torno do eixo 
CD, na grelha. Desprezar o efeito da força cortante. 
 
A
40 kN 20 kN.m
4 m
20 kN
C D
2 m
2 m
B
 
EI = 1,5 x 105 Nm2 GJ = 9,9 x 10 4 KNm2 (ângulo de 90°) 
 
Desprezando-se o efeito das deformações devidas à força cortante, 
 
∫∫ +=
estrestr
)N(
C dxtTGJ
1dxmM
EI
1∆ 
 
SOLUÇÃO 
1) Deslocamento vertical ∆D 
FASE L: 
 
C
40 kNMA=480 kN.m
VA=100 kN
A
TA=200 kN.m
B
20 kN
D
20 kN.m
(M)
80
(T)
80
480
80
200
200
 
 - 52 -
FASE U: (carga unitária correspondente a ∆D) 
A
B
1
C D
1
2
6
6
2
2
2
2
2
(m) (t)
 
 
 
∫= ABC ([EI1∆
6
2 80
480
∫+
BC
(dx)
2 200
∫+ *
CD
(dx)
2 80
]dx) 
∫+
AB
([
GJ
1
2002
∫+
BC
(dx)
2 80
]dx)0_____0____(dx)
CD
∫+ 
* O diagrama M da barra CD deve ser decomposto (a tangente não é nula em 
D), e a integral na barra CD fica: 
∫=Ι
CD
(
2 80
∫+
CD
(dx)
2
10 dx) 
 
Usando-se a Tabela 1: ∆D = 0,0552 m (para baixo) 
2) Rotação θ D ( em torno do eixo CD) 
FASE L: a mesma do item B-1 
FASE U: (carga unitária correspondente a θ D) 
 - 53 -
A
B
C D
(m) (t)
1
0
0 1
1 1
1
0_____(
EI
1
AB
D ⎢⎢⎣
⎡= ∫θ 
480
80
∫+
BC
(dx)
1 200
+dx) 
0______(
CD
∫
80
⎢⎣
⎡+ ∫
AB
(
GJ
1]dx)
1 200
+dx) 
0_____(
BC
∫
80
+dx) ∫
CD
1
0
]dx) 
Usando a tabela 1: θD = 0,0094 rad ( no mesmo sentido da carga unitária) 
 
Exemplo 9.2.3 – 
Calcular o deslocamento vertical do nó G e a rotação da barra 7 da treliça. 
EA = 2 x 10 6 kN (constante) 
A B C D E
11
5
10
F
1
2 m
8 9
100 kN
G
6
7
12
H
13
2 m
2 3
2 m
4
2 m
2 m
2 m
50 kN
 
 - 54 -
 Como o único esforço solicitante presente em treliças é a força normal, a 
expressão para o deslocamento se reduz a: 
dx
EA
nN
estr
∫=∆ 
 Como, além disso, a força normal em cada barra é constante, tem-se: 
 
i
N
1i i
ii
i
N
1i i
ii L
EA
Nn
dx
EA
Nn ∑∫∑
==
==∆ 
 
 
(Onde N é o número de barras da treliça e Li o comprimento da barra i) 
 
SOLUÇÃO: 
1) Deslocamento vertical ∆G 
FASE L: Força normal nas barras (Ni) 
50
100 
H A = -50 
V A = 75 VE = 25
 
N1 = -25 N7 = 0 
N2 = -25 N8 = 0 
N3 = -25 N9 = 0 
N4 = -25 N10 = 106,07 
N5 = 0 N11 = 106,07 
N6 = 0 N12 = 35,36 
 N13 = 35,36 
 
FASE U: (Carga unitária correspondente a ∆G) Força normal nas barras (ni): 
 - 55 -
1 
H A = 0 
V A = 0,5 VE = 0,5
 
n1 = -0,5 n7 = 0 
n2 = -0,5 n8 = 0 
n3 = -0,5 n9 = 0 
n4 = -0,5 n10 = 0,7071 
n5 = 0 n11 = 0,7071 
n6 = 0 n12 = 0,7071 
 n13 = 0,7071 
 Por simplicidade, o cálculo do deslocamento será, neste caso, calculado 
através de um quadro, como o mostrado a seguir. 
i
13
1i i
ii
G LEA
Nn∑
=
=∆ 
BARRA ni Ni Li (EA)i 
i
iii
)EA(
LNn 
1 -0,5-25 2,0 2 x 10 6 1,25 x 10 -5 
2 -0,5 -25 2,0 2 x 10 6 1,25 x 10 -5 
3 -0,5 -25 2,0 2 x 10 6 1,25 x 10 -5 
4 -0,5 -25 2,0 2 x 10 6 1,25 x 10 -5 
5 0 0 2,0 2 x 10 6 0 
6 0 0 2 √2 2 x 10 6 0 
7 0 0 4,0 2 x 10 6 0 
8 0 0 2 √2 2 x 10 6 0 
9 0 0 2,0 2 x 10 6 0 
 - 56 -
10 0,7071 106,07 2 √2 2 x 10 6 10,61 x 10 -5 
11 0,7071 106,07 2 √2 2 x 10 6 10,61 x 10 -5 
12 0,7071 35,36 2 √2 2 x 10 6 3,536 x 10 -5 
13 0,7071 35,36 2 √2 2 x 10 6 3,536 x 10 -5 
 ∑ = 33,281 x 10 
-5
 Fazendo o somatório dos elementos da última coluna, 
∆ G = 33,281 x 10 -5 m (para baixo) 
2) Rotação da barra 7 (θ 7): 
FASE L: A mesma do item C.1 
FASE U: (Carga unitária correspondente à rotação da barra: binário que produz 
um momento unitário) 
 Força normal nas barras (ni) 
 
V A =-0,125 
0,25 
0,25 HA = 0 
VE = 0,125
 
n1 = 0,125 n7 = 0 
n2 = 0,125 n8 = 0 
n3 = -0,125 n9 = 0 
n4 = -0,125 n10 = - 0,1768 
n5 = 0 n11 = - 0,1768 
n6 = 0 n12 = 0,1768 
 n13 = 0,1768 
obs.: 0,25 L3 = 0,25 4 = 1 → momento unitário na barra 7 
Montando o quadro: 
 - 57 -
BARRA ni Ni Li (EA)i 
i
iii
)EA(
LNn 
1 0,125 -25 2,0 2 x 10 6 -3,125 x 10 -6 
2 0,125 -25 2,0 2 x 10 6 -3,125 x 10 -6 
3 -0,125 -25 2,0 2 x 10 6 3,125 x 10 -6 
4 -0,125 -25 2,0 2 x 10 6 3,125 x 10 -6 
5 0 0 2,0 2 x 10 6 0 
6 0 0 2 √2 2 x 10 6 0 
7 0 0 4,0 2 x 10 6 0 
8 0 0 2 √2 2 x 10 6 0 
9 0 0 2,0 2 x 10 6 0 
10 -0,1768 106,07 2 √2 2 x 10 6 -2,652 x 10 -5 
11 -0,1768 106,07 2 √2 2 x 10 6 -2,652 x 10 -5 
12 0,1768 35,36 2 √2 2 x 10 6 8,840 x 10 -6 
13 0,1768 35,36 2 √2 2 x 10 6 8,840 x 10 -6 
 ∑ = -3,536 x 10 
-5 
rad10536,3L
)EA(
Nn 5
i
13
1i i
ii
7
−
=
×−== ∑θ 
(No sentido oposto ao do binário aplicado, portanto, anti-horário). 
 - 58 -
Exemplo 9.2.4 – 
Calcular a rotação relativa entre as barras 1 e 4 da treliça. 
EA = 2,0 x 10 6 kN (constante) 
 
2 m
30 kN 
60 kN 
1
2 43 
5
A B
C D
2 m 
 
SOLUÇÃO: 
FASE L: FASE U: 
 
30 
60 
A 
H C = 30 
V C = 90 VD = -30
 
 0,5 
A
HC = 0
VC = 0 V D = 0 
0,5 
0,5 
0,5 
Forças normais Ni das barras no 
quadro 
Forças normais ni das barras no quadro 
 - 59 -
Obs.: binários unitários (0,5 x 2 m) de sentidos contrários, nas barras 1 e 4 levam 
ao valor da rotação relativa diretamente 
BARRA ni Ni Li (EA)I 
i
iii
)EA(
LNn 
1 0 30 2,0 2 x 10 6 0 
2 -0,7071 -42,4 2,828 2 x 10 6 4,24 x 10 -5 
3 0,5 -60 2,0 2 x 10 6 -3,0 x 10 -5 
4 0 30 2,0 2 x 10 6 0 
5 0,5 0 2,0 2 x 10 6 0 
 ∑ = 1,24 x 10 -5 
 
rad1024,1L
)EA(
Nn 5
i
5
1i i
ii
41
−
=
− ×== ∑θ 
 
(No sentido dos binários, isto é, aumentando o ângulo entre as barras). 
 
Exemplo 9.2.5 – 
Calcular a rotação relativa das seções da articulação do pórtico tri-articulado. 
E = 2,1 x 10 8 kN/m2. Considerar apenas efeito de flexão. 
Momentos de inércia: I1 = 39727 cm4 I2 = 19062 cm4 I3 = 55962 cm4 
Áreas: A1= 100 cm2 A2 = 72,6 cm2 A3 = 118 cm2 
 - 60 -
 
5 m 
8 m 8 m
20 kN 
10 kN / m
B 
A 
C D
E
I 1 /A 1 
I2/A2 I3/A3
I3/A3
 
FASE L: 
 
20 
10 
B 
A 
C D
E
H A = 21,9 
V A = 13,7 V E = 66,3
HE = 41,9
- - 
- - 
(M) 
109,5 
109,5 209,5
209,5
A
B C D 
E 
 
FASE U: (dois momentos unitários de sentidos contrários no ponto C) 
 
B 
A 
C D
E
H A = 0,2 
V A = 0 V E = 0
HE = 0,2
1 1 
- - 
- 
(m)
1
1
1
1
 
 
∫=
AB1
r (EI
1θ
109,51
∫+
BC2
(
EI
1dx)
109,51
+dx) 
∫
*
CD3
(
EI
1
209,51
∫+
DE3
(
EI
1dx)
209,51
dx) 
 - 61 -
* O diagrama M da barra CD deve ser decomposto. Portanto, a integral da 
barra CD fica: 
⎢⎢⎣
⎡ ∫
CD3
(
EI
1
209,51
∫+
CD
(dx) 80
1
]dx) 
Usando a Tabela 1 para as integrações, obtém-se: 
θ = 1,96 x 10 -2 rad (No mesmo sentido dos momentos) 
 
 
Efeito da FORÇA CORTANTE no cálculo de deslocamentos 
 A parcela correspondente à força cortante na expressão do deslocamento, 
isto é: 
∫= λ∆ dvC 
é, muitas vezes, avaliada considerando-se dx
GA
Vd S ⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞== αλ , onde τ
τα LNS = 
 ( LNτ = tensão de cisalhamento na linha neutra, A
V=τ = tensão de cisalhamento 
média, Sα = coeficiente de cisalhamento). 
 Esta maneira de avaliar dλ é aproximada porque não considera a variação 
das deformações de cisalhamento ao longo da altura da viga (baseou-se o 
cálculo na distorção na linha neutra da flexão simples). 
 A consideração das deformações por cisalhamento pode ser feita de 
maneira mais precisa calculando-se o trabalho virtual interno sobre o elemento 
infinitesimal de volume e considerando-se a distribuição de tensões e 
deformações de cisalhamento na seção transversal da barra. 
θ1 θ2 θr = θ1 +θ2
 - 62 -
 No MCU, δWext = δWint , onde o trabalho virtual externo é δWext = 1 x ∆ e o 
trabalho virtual interno foi considerado como δWint = ( esforços solicitantes x 
deformações correspondentes), integrados no comprimento da barra. 
 Para considerar-se a distribuição de tensões no cálculo, toma-se um 
elemento de volume dx dy dz de uma barra sujeita a flexão e força cortante. 
 
dy 
dx 
dz 
dy 
dx
τ xy 
τ xy
σ x σ x
 
σ x - tensão normal 
τ xy - tensão de cisalhamento 
- distribuição da tensão normal e deformação correspondente: 
h 
dx 
σ 
y 
LN 
d θ 
ε dx 
dx
h
 
- distribuição da tensão de cisalhamento e deformação correspondente: 
 
z 
y 
b 
x h 
dx 
τ γ 
h
dx 
γ dx
 
No MCU, as tensões são virtuais e as deformações são reais. Portanto, 
considerando validade da Lei de Hooke: σ = Eε e τ = G γ, tem-se: 
 - 63 -
. FASE L: (deformações causadas por 
carregamento real) 
GIb
VQ
EI
yM =⋅= γε 
Pelas figuras nota-se que: 
dx
GIb
VQdxd
dx
EI
M
yEI
yMdx
y
d
=≡
===
γλ
εθ
 
Onde: 
M = momento fletor na seção 
Y = distância do ponto à linha neutra 
I = momento de inércia da seção 
V = força cortante na seção 
Q = momento elástico da área acima 
do ponto considerado. 
B = largura da seção no ponto 
E = módulo de elasticidade longitudinal 
G = módulo de elasticidade transversal 
 
. FASE U: (tensões causadas por carregamento virtual) 
Ib
VQ
I
ym == τσ 
Onde m = momento fletor virtual na seção 
 v = força cortante virtual na seção. 
O trabalho virtual interno realizado por σ e τ quando acorrem ε e γ no elemento 
dx dy dz, é 
δWint = (σ dydz) . (ε dx) + (τ dy dz) . ( γ dx) 
 = resultante = dδ = resultante = dλ 
 de de força na 
 força na seção seção 
Substituindo os valores de σ, ε, τ, γ: 
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞+⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞= dzdydx
bGI
QVvdzdydx
EI
mMyW 22
2
2
2
intδ 
 - 64 -
Integrando no volume, tem-se o trabalho interno total: 
dzdydx
bGI
QVvdzdydx
EI
mMyW
V
22
2
V
2
2
int ∫∫ += 
Como numa seção reta da barra m, M, v, V, E, G, I são constantes, a expressão 
acima pode ser escrita: 
dxdzdy
b
Q
GI
Vvdxdzdyy
EI
mMW
A
2
2
2
A
2
2int ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡= ∫∫∫∫ 
Mas, Idzdyy
A
2 =∫ (momento de inércia da seção) 
Chamando 
dzdy
b
Q
I
Af
A
2
2
2S ∫=
 , 
Pode-se escrever: A
Ifdzdyb
Q 2
S
A
2
2
=∫
 
O valor fs é chamado fator de forma para cisalhamento (característica geométrica 
da seção). 
Então, 
∫ ∫+=
estr estr
Sint dxGA
Vv
fdx
EI
Mm
W 
 Observa-se que a parcela devida à flexão não teve o seu valor modificado 
quando se integrou a tensão no volume. 
Como Wext = Wint, para o caso de uma barra sujeita a força cortante e momento 
fletor: 
∫ ∫+=
estr estr
S dxGA
Vv
fdx
EI
Mm∆ 
 
 Os valores de fs e de αs para algumas seções transversais comuns estão 
listadas a seguir. 
 - 65 -
Seção 
Transversal 
 
α s 
 
fs 
 
 
 
 
2
3 
 
 
5
6 
 
 
 
 
3
4 
 
 
9
10 
 
*
 
 
 
2 
 
 
2 
*
 
* paredes finas 
 
 
alma
total
A
A 
 
 
 
alma
total
A
A 
Fonte: Mecânica dos Sólidos Vol. 2 - Timoshenko / Gere 
 
Nota-se que, em geral, fs ≤ αs, portanto, os deslocamentos calculados com fs são 
menores que os calculados com αs. Na tabela anterior, deve-se observar que nos 
casos de seções constituídas de retângulos finos, a alma é constituída pelos 
retângulos verticais, caso de perfis I e caixão, que são os elementos 
responsáveis pela resistência à força cortante. 
 
9.3 – Solução usando parcela da força cortante 
 
Exemplo 9.3.1 – 
 
A estrutura seguinte foi resolvida anteriormente considerando-se somente o 
efeito da flexão, e foi encontrado para o deslocamento horizontal em D o valor: 
 - 66 -
∆D (M) = -7,875 x 10 -3 m (para a direita). Calcular agora a parcela do 
deslocamento devido à influência das deformações devidas à força cortante. 
Dados: EI = 2 x 10 5 kNm2 , GA = 14 x 10 5 kN (constantes) e seção transversal 
retangular: 
5
6fS = . 
 
A 
B
50 kN 
D
C
3 m
5 m
 
50
(V)
30
 
 
A H =-1 
V A = 0 V D = 0 
FASE U 
 1 
 
 
 
1 1
(v)
 
 
 Utilizando a tabela de integração de produtos, o deslocamento horizontal 
de D devido à força cortante será: 
50 kN
H
A
 =50 kN
V A = -30 kN V D = 30 kN
FASE L
 - 67 -
⎢⎣
⎡=∆ ∫
AB
S)V(
D (GA
f
1 50
0____(dx)
BC
∫
30
∫
CD
(dx)
1
]dx)0____ 
 
[ ] [ ]3)50)(1(
10145
6)LVv(
GA
f
5AB
S)V(
D ×−××=⋅⋅=∆ 
 
 
m10286,1 4)V(D
−×−=∆ 
 
O deslocamento total, devido ao momento e à força cortante, será 
m10004,8 3)V(D
)M(
DD
−×−=∆+∆=∆ . A parcela devida à cortante é portanto; 1,61 % do 
deslocamento total. 
 
Exemplo 9.3.2 – 
 
Calcular a flecha no meio do vão da viga abaixo, considerando a contribuição 
das deformações de flexão e do cisalhamento. 
 
 45 kN/m 
10,0 m 
A B
 
23
24
cm/kN108G
)aço(cm/kN101,2E
×=
×= Seção transversal 
Perfil VS - 800 x 111 
(dimensões em mm) 
 
- Propriedades geométricas: 
4cm155074I = 
2
mesa cm80A = Fator de forma para cisalhamento * : 
2
alma cm62A = 29,262
142
A
A
f
alma
total
S === 
∴ 2almamesatotal cm142AAA =+= * obtido na tabela anterior 
 
 l l
320
12,5 
775 
12,
5 
8
 - 68 -
FASE L: 
(V)
225
225
 
562,5
(M)
FASE U: 
 1 
V A =0,5 
H A = 0 
 V B =0,5 
5 m 5 m 
 
(v)
0,5
0,5
 
 
(m)
2,5
 
dx
GA
vVfdx
EI
mM
estr
S
estr
∫∫ +=∆
 
 
 
CM ∆∆ 
Infl. do momento Infl. da cortante 
 
. O deslocamento é composto de 
duas parcelas, uma devida à flexão e 
outra ao cisalhamento. 
 
Utilizando a tabela de integrais de produtos (Anexo 1), tem-se : 
 
1) Contribuição do momento fletor )( M∆ 
 
⎢⎣
⎡=∆ ∫5
0
)M( (
EI
1
2,5 562,5
∫+
10
5
(dx)
2,5 562,5
]dx) 
 
Substituindo os valores: m018,0M =∆ 
 
2) Contribuição da força cortante )( C∆ : 
⎢⎣
⎡=∆ ∫5
0
)C( (
GA
1
2250,5
∫+
10
5
(dx)
0,5 225
]dx) 
45 kN/m 
V 
A =225 
H 
A = 0 
V 
B 
=225
A 
B
 - 69 -
Substituindo os valores: m001134,0C =∆ 
A flecha será então: m01913,0001134,0018,0CM =∆+=∆+∆=∆ 
A influência da força cortante no deslocamento total é, então, 
0593,0
C
=∆
∆ → ∆ C corresponde a 5,93 % do deslocamento total 
 
 - 70 -
10- Deslocamentos devidos a Variações de Temperatura e Deformações 
 Prévias 
 
 As estruturas isostáticas, quando submetidas a variações de temperatura 
ou quando algumas de suas partes são executadas com dimensões diferentes 
das especificadas em projeto, podem sofrer deformações e, portanto, 
deslocamentos de pontos devidos a estas deformações. 
 O cálculo destes deslocamentos envolve a determinação, para cada caso, 
dos valores dos deslocamentos reais dδ e dθ na expressão geral do MCU: 
∫∫ +=∆
estrestr
dmdn θδ 
 É importante observar que não há o aparecimento de tensões em 
estruturas isostáticas sujeitas a estes tipos de agente, pelo fato de não haver 
impedimento às deformações que ocorrem. 
 
10.1- Deslocamentos devidos a Variações de Temperatura 
 
 Serão considerados aqui os seguintes tipos de variação de temperatura: 
variação uniforme e variação linear ao longo da altura da seção da barra, que 
provocam deformações distintas. 
 
a) Variação Uniforme de Temperatura 
 Uma variação uniforme de temperatura provoca uma variação volumétrica 
na barra com mudanças nas suas dimensões sem alteração nas relações entre 
estas dimensões. O efeito é similar ao efeito produzido por três tensões normais 
σx, σy, σz, de valores iguais, num estado triplo de tensões. 
 Tratando-se de estruturas reticuladas, pode-se simplificar a análise e 
considerar como única deformação a deformação axial (variação no comprimento 
da barra) análoga à produzida por uma força axial. 
 
 - 71 -
A
B B’
L
L
 
AB - comprimento inicial 
AB’ - Comprimento final 
- Barra AB sujeita a um aumento uniforme de temperatura ∆T 
 
 A variação no comprimento de um elemento dx da barra, devida a uma 
variação uniforme de temperatura, pode ser calculado pela expressão: 
 
dxTd ⋅∆⋅= αδ 
dx dδ 
Onde: α = coeficiente de dilatação térmica (comumente tomado como 
 10 -5 °C -1 para concreto e aço) 
 ∆T = valor da variação de temperatura 
 Esta variação térmica axial é análoga à deformação axial provocada pela 
força normal. 
Obs: Por “variação uniforme” de temperatura entende-se que todas as 
fibras da barra, numa seção, sofrem um mesmo valor de ∆T, isto é, numa seção 
transversal, ∆T é constante. Mas, ao longo do eixo da barra, ∆T pode variar, o 
que não muda o caráter axial da deformação. 
 Portanto, o valor de um determinado deslocamento devido a uma variação 
uniforme de temperatura á, no MCU, obtido pela expressão: 
 
dxTn
estr
⋅∆⋅⋅=∆ ∫ α 
 A deformação térmica axial, sendo análoga à deformação axial da força 
normal, deve ter convenção de sinais compatível com os sinais das deformações 
da força normal. Assim, como em geral, considera-se força normal de tração com 
sinal positivo, que tende a alongar a elemento de barra produzindo deformação 
axial positiva, o acréscimo de temperatura ∆T tende a causar alongamento do 
elemento de barra, deformação axial térmica que deverá ser considerada 
 - 72 -
positiva. Portanto, considerando-se acréscimos de temperatura como positivos e 
decréscimos como negativos, obtém-se uma convenção de sinais compatível 
com as deformações normais baseadas na convenção de sinais onde força 
normal de tração é positiva e de compressão, negativa. 
 
 b) Variação Linear de Temperatura (na altura da barra) 
 Se a variação de temperatura numa face da barra é diferente da variação 
na face oposta, pode-se