AP1 MetEst I Gabarito ROC (1)

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL – Polo ROC 
2º. Semestre de 2017 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (1,0 pt) Considere as notas de 10 alunos de Estatística, cuja média é 6,76. 
Determine o valor de X. 
 
9,6 X 6,8 7,3 5,8 8,0 7,9 8,3 6,2 6,2 
 
 
Solução: 
 
Temos que 
�̅� =
∑𝑥𝑖
𝑛
 
E que �̅� = 6,76 e 𝑛 = 10. Assim: 
 
6,76 =
(9,6 + 6,8 + 7,3 + 5,8 + 8,0 + 7,9 + 8,3 + 6,2 + 6,2) + 𝑋
10
=
66,1 + 𝑋
10
 
 
Logo: 
6,76 × 10 = 66,1 + 𝑋 ⇒ 67,6 = 66,1 + 𝑋 ⇒ 𝑋 = 67,6 − 66,1 = 1,5. 
 
Então: 
𝑿 = 𝟏, 𝟓. 
 
 
USE A TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS PARA DADOS 
AGRUPADOS ABAIXO (ONDE AS MEDIDAS 𝒙𝒊 SÃO OBTIDAS ATRAVÉS 
DOS PONTOS MÉDIOS DAS CLASSES, 𝒇𝒊(%) É A FREQUÊNCIA RELATIVA 
E FAC É A FREQUÊNCIA ACUMULADA) PARA RESOLVER OS 
PROBLEMAS DE 2 A 8. 
 
Classes 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 𝑓𝑖(%) FAC FAC (%) 
4 – 8 6 2 
8 – 12 10 
12 – 16 84 
 18 
 1 
Total 20 
 
2. (1,0 pt) Complete a tabela com os valores que estão faltando (inclusive os 
totais); 
3. (0,5 pt) Determine a média destes dados; 
4. (0,5 pt) Determine a moda; 
5. (0,5 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que 𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2); 
6. (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 
7. (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação; 
8. (1,0 pt) Determine a mediana. 
 
Solução: 
2) Para completar a tabela, considere que as classes são sempre com a mesma 
amplitude, logo, completa-se com as classes (16-20), (20-24). Como os xi são os 
pontos médios das classes, então, completa-se com (8+12)/2=10, 
(12+16)/2=14, (20+24)/2=22. Ou simplesmente, acrescentar 4 ao xi anterior, 
dado que a amplitude de classe é 4. Para a freqüência absoluta, devemos 
observar que, tendo xi e nixi, pode-se obter ni através da divisão: 𝑛𝑖 =
𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑥𝑖
 e 
observando o total, pode-se encontrar a freqüência absoluta faltante. Tendo as 
colunas xi e ni podem-se completar as duas últimas facilmente através de 
produtos de colunas. A parte das três últimas colunas é obtida: 
𝑓𝑖(%) = (
𝑛𝑖
𝑛
) × 100%, a FAC é a soma das frequências absolutas anteriores e 
a FAC(%) é a soma das frequências relativas anteriores. Assim, obtemos: 
 
Classes 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 𝑓𝑖(%) FAC FAC (%) 
4 – 8 6 2 12 72 10 2 10 
8 – 12 10 10 100 1.000 50 12 60 
12 – 16 14 6 84 1.176 30 18 90 
16 – 20 18 1 18 324 5 19 95 
20 – 24 22 1 22 484 5 20 100 
Total 20 236 3.056 100 
 
3) Média: �̅� =
∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
𝑛
=
236
20
= 𝟏𝟏, 𝟖. 
4) Moda: a moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: Como a maior 
freqüência é 10 e a classe com esta freqüência é 8 – 12, então a moda é seu 
ponto médio, ou seja: x*=10. 
5) Para calcular o desvio padrão, usemos a fórmula da variância 𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) 
𝜎2 =
1
𝑛
(∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2) =
1
20
(3.056 − 20 × (11,8)2) =
1
20
(3.056 − 20 × 139,24) 
=
1
20
(3.056 − 2.784,8) =
271,2
20
= 13,56. 
Logo: O desvio padrão será: 
𝜎 = √13,56 = 𝟑, 𝟔𝟖. 
 
6) O coeficiente de assimetria é dado por 
𝑒 =
�̅� − 𝑥∗
𝜎
=
11,8 − 10
3,68
=
1,8
3,68
= 𝟎, 𝟒𝟗. 
7) O coeficiente de variação é dado por 
 
𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
× 100 =
3,68
11,8
× 100 = 0,3118 × 100 = 𝟑𝟏, 𝟏𝟖%. 
 
8) Para o cálculo da mediana, incialmente encontremos a classe que possui 50% 
dos dados: É a classe de 8 – 12. Que acumula de 10% a 60% (que inclui 50%), 
visto na FAC(%). Então, fazendo as proporções adequadas, teremos: 
 
12 − 8
𝑄2 − 8
=
60% − 10%
50% − 10%
 ⇒ 
4
𝑄2 − 8
=
50
40
=
5
4
 
16 = 5(𝑄2 − 8) ⇒ 16 = 5𝑄2 − 40 
 
5𝑄2 = 16 + 40 = 56 ⇒ 𝑄2 =
56
5
= 𝟏𝟏, 𝟐. 
 
 
CONSIDERE O LANÇAMENTO DE DOIS TETRAEDROS (FIGURA 
ESPACIAL COM 4 FACES - FIGURA 1) REGULARES COM AS FACES 
NUMERADAS DE 1 A 4 E VERIFICAR AS FACES QUE FICAM NA BASE. 
COM ESTE EXPERIMENTO, RESOLVA OS PROBLEMAS DE 9 A 13. 
 
 
Figura 1: Tetraedro 
 
9) (0,5 pt) Qual o espaço amostral deste experimento? 
10) (0,5 pt) Explicite o evento A; 
11) (0,5 pt) Explicite o evento B; 
12) (0,5 pt) Explicite o evento A-B; 
13) (0,5 pt) Explicite o evento A ∩ B. 
 
 Solução: 
9) O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} 
e {1,2,3,4}. Ou seja, 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
 
Considere os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das faces 
na base maior que 5}. 
 
10) O conjunto A será os destacados em cinza: 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
Logo: 
𝑨 = {(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟑); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} 
 
 
11) O conjunto B será os destacado em cinza: 
 
𝛀 = {
(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟐); (𝟏, 𝟑); (𝟏, 𝟒)
(𝟐, 𝟏); (𝟐, 𝟐); (𝟐, 𝟑); (𝟐, 𝟒)
(𝟑, 𝟏); (𝟑, 𝟐); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒)
(𝟒, 𝟏); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)
} 
 
 Logo: 
 
𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟑, 𝟒); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟑); (𝟒, 𝟒)} 
 
 
12) 
A-B é o conjunto dos elementos de A que não estão em B. 
 Logo: 
𝑨 − 𝑩 = {(𝟏, 𝟏); (𝟏, 𝟑); (𝟐, 𝟐); (𝟑, 𝟏)} 
 
 
 
13) 𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. 
 Logo: 
 
𝑨 ∩ 𝑩 = {(𝟐, 𝟒); (𝟑, 𝟑); (𝟒, 𝟐); (𝟒, 𝟒)} 
 
 
 
14) (0,5 pt) Defina Amostra. 
 
Solução: É um subconjunto da população. 
 
15) (0,5 pt) Defina Variável Quantitativa. 
 
Solução: São as variáveis que mensuram a característica dos dados (Podem 
assumir valores numéricos). 
 
16) (0,5 pt) Defina Variável Qualitativa. 
 
Solução: São as variáveis que descrevem a característica dos dados (Podem 
assumir valores não numéricos). 
 
17) (0,5 pt) Defina Pesquisa censitária (ou censo). 
 
Solução: Pesquisa envolvendo todos os elementos da população.