Slides Limites e derivadas

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Aula 2 Doutoranda e Mestra em Ensino de 
Ciências e Educação Matemática
Unidade de Ensino: 2
Competência da 
Unidade de Ensino:
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do
profissional da área de exatas.
Resumo:
Nesta aula enfatizaremos o conceito e aplicação de limites, 
assim como o conceito de derivada e algumas regras de 
derivação, tendo como base os conhecimentos sobre funções. 
Palavras-chave: Limites; derivadas; regras; funções. 
Título da teleaula: Limites e derivadas
Teleaula nº: 2
Cálculo é a parte da matemática em que são 
estudados mudanças e movimento, limites e áreas.
Os objetos básicos de estudo em cálculo
são as funções, ou seja, o cálculo é o
estudo do efeito sobre as funções, por
pequenas mudanças nas variáveis:
podemos estudar o efeito de pequenas
mudanças (cálculo diferencial) ou o
efeito cumulativo de muitas pequenas
mudanças (cálculo integral).
Disponível em: 
<http://icmc.usp.br/~maasruas/ensino/calculo/curso.html>. 
Acesso em: 22 jul. 2016. 
Qual é a diferença 
entre os novos cálculos 
que estudaremos e os 
cálculos estudados no 
Ensino Básico ?
Que relações 
existem entre esse 
novo conhecimento 
com o de funções?
Por que estudar 
Cálculo é tão 
importante para 
o engenheiro?
Operações matemáticas básicas
Equações polinomiais (algébricas):
operações, conjunto solução (raízes), fatoração, 
produtos notáveis.
Sistema de coordenadas cartesianas:
representação gráfica.
Funções
João acabou de concluir o Ensino Médio e irá 
participar de um processo seletivo para trabalhar 
como estagiário, em uma empresa multinacional.
Teste:
mostrar que 
compreende e é 
capaz de resolver 
problemas ligados 
ao cotidiano.
Resolver 
situações-
-problema: 
que tratam da 
interdependência 
de várias coisas.
Uma das despesas que compõem o orçamento 
familiar é o serviço de TV a cabo. Em uma cidade, 
observa-se que a despesa de uma família com a TV a 
cabo depende do tempo t, mensal, que os habitantes 
assistem à TV. Esta quantidade, em centenas de 
reais, é modelada por:
Analise a continuidade da
despesa: 𝑃 = 𝑃 𝑡
A despesa de uma família será 
consideravelmente diferente se o 
tempo que ela assiste à TV for 
ligeiramente inferior ou superior a 
20 horas?
E se for 100 horas?
Noção intuitiva de limites:
𝒙 → 𝟏+ 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
𝒙 → 𝟏− 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
O que observamos?
À medida que 𝒙 tende para 𝟏 (𝑥 → 1),𝒚 tende para 𝟑 𝑦 → 3 :
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟑
Disponível em: 
<http://somatematic
a.com.br/superior/li
mites/limites.php>. 
Acesso em: 22 jul. 
2016. 
3
Definição formal de limites
O limite de um função 𝒇, quando 𝒙 tende a c, 
representado pela notação lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥), é definido como o 
número L, tal que 𝒇(𝒙) pode se tornar tão próxima a L
quanto quisermos, sempre que existir suficientemente 
próximo de c, com 𝑥 ≠ 𝑐.
Se existir, escrevemos:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇 𝒙 = 𝑳
Continuidade de uma função:
∃ 𝑓 𝑎
∃ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎
Contínua Descontínua
Propriedades dos limites: seja c uma constante e 
supondo que existam os limites lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥).
Então:
1. lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
2. lim
𝑥→𝑎
[𝑐 ∙ 𝑓(𝑥)] = c ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
3. lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) .𝑔𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) . lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
4. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
se lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0
Propriedades dos limites (considere n inteiro e positivo):
6. lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 ]𝑛 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑛
7. lim
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐
8. lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
9. lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛
10. lim
𝑥→𝑎
𝑛 𝑥 = 𝑛 𝑎
11. lim
𝑥→𝑎
𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
Uma das despesas que compõem o orçamento familiar é o 
serviço de TV a cabo. Ao observar que tal despesa depende do 
tempo t, mensal, que os habitantes assistem à TV, podemos 
modelar a quantidade, em centenas de reais, por:
Analisar a continuidade das despesas;
verificar a despesa para o tempo 
superior e inferior a 20 horas e para 100 
horas. 
No intervalo 0 ≤ 𝑡 < 20, temos:
lim
𝑡→20−
𝐷 𝑡 = lim
𝑡→20
0 = 0
lim
𝑡→20+
𝐷 𝑡 = lim
𝑡→20
0,1𝑡
= 0,1 ∙ 20 = 2
Função descontínua em 𝑡0 = 20.
Despesas para 𝑡 = 100:
lim
𝑡→100−
𝐷 𝑡 = lim
𝑡→100
0,1 ∙ 100 = 10
lim
𝑡→100+
𝐷 𝑡 = lim
𝑡→100
40∙100−1000
2∙100+100
= 10
A função é contínua em t = 100.
Fonte: Gibim (2015, p. 79)
A empresa multinacional onde João pretende fazer
o estágio fabrica um certo produto para o
mercado brasileiro. Determina-se que um
empregado, após 𝑥 dias de treinamento, monte 𝑚
produtos por dia, onde:
𝑚 𝑥 =
20𝑥²
𝑥2 + 𝑥 + 5
Qual é o 
comportamento de 
𝒎 = 𝒎(𝒙) para 
treinamentos 
longos?
Limites infinitos e limites no infinito (∞)
Seja 𝑓 uma função definida em ambos os lados de a, 
exceto possivelmente em a. Se podemos, através de 
uma escolha adequada de 𝑥, nas proximidades de a, 
fazer os valores de 𝑓(𝑥) ficarem arbitrariamente 
grandes, então escrevemos:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = ∞
Lê-se:
“O limite de 𝒇(𝒙), quando 𝒙
tende a a, é infinito.”
Limites infinitos e limites no infinito (∞)
Seja 𝑓 uma função definida e algum intervalo 
𝑎,∞ . Então, 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒇 𝒙 = 𝑳
Lê-se:
“O limite de 𝒇(𝒙), quando 𝒙
tende ao infinito, é L.”
Significa que os valores 𝑓 𝑥
podem ficar arbitrariamente
próximos de L, tornando os
valores de 𝑥 grandes.
Exemplo: determine lim
𝑥→0
1
𝑥
, com 𝑥 ≠ 0.
𝒙 → 𝟎+ 𝒚 =
𝟏
𝒙
0
Não se 
define
0,1 10
0,01 100
0,001 1 000
0,0001 10 000
𝒙 → 𝟎− 𝒚 =
𝟏
𝒙
0
Não se 
define
−0,1 −10
−0,01 −100
−0,001 −1 000
−0,0001 −10 000
Quando 𝑥 se aproxima de zero, pela direita, 𝑦 cresce
indefinidamente, isto é, 𝑦 tende a mais infinito:
lim
𝑥→0+
1
𝑥
= ∞
Quando 𝑥 se aproxima de zero, pela esquerda, 𝑦 decresce
indefinidamente, isto é, 𝑦 tende a menos infinito:
lim
𝑥→0−
1
𝑥
= −∞
Observamos que:
não existe lim
𝑥→0
𝑓(𝑥);
quando 𝑥 cresce indefinidamente, o gráfico quase 
toca o eixo 𝑥, isto é, 𝑦 tende a zero:
lim
𝑥→+∞
1
𝑥
= 0
quando 𝑥 decresce indefinidamente,
o gráfico quase encosta no eixo 𝑥,
isto é, 𝑦 tende a zero:
lim
𝑥→−∞
1
𝑥
= 0
Fonte: Gibim (2015, p. 86)
A empresa multinacional onde João pretende fazer 
o estágio fabrica um certo produto para o
mercado brasileiro. E determina-se que um
empregado, após 𝑥 dias de treinamento, monte 𝑚
produtos por dia, onde:
𝑚 𝑥 =
20𝑥²
𝑥2 + 𝑥 + 5
Qual é o comportamento de
𝑚 = 𝑚(𝑥) para treinamentos longos?
𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
𝒎(𝒙)
𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
20𝑥²
𝑥2 + 𝑥 + 5
𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
20𝑥²
𝑥²
𝑥²
𝑥²
+
𝑥
𝑥²
+
5
𝑥²
𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
20
1 +
1
𝑥 +
5
𝑥²
𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
20
1 + 0 + 0
𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
20
1
= 20
Logo, após um longo treinamento, um empregado
pode montar 20 computadores por dia:
Fonte: Gibim (2015, p. 93)
Uma pedra desprende-se do topo do galpão de 
uma empresa. Qual é a sua velocidade média 
durante os primeiros dois segundos de queda? 
Considere que, experimentalmente, 𝑦 = 4,9𝑡². 
Taxa de variação média:
é a razão da variação de uma quantidade em relação 
à outra. Ex.: a velocidade de um carro.
Ao percorrer 300 km 
em 3 horas 
𝑣𝑚 = 100 𝑘𝑚/ℎ
Fonte: Gibim (2015, p. 99)
O coeficienteangular (m) mostra a variação da 
inclinação da reta:
Taxa de variação instantânea, limite e reta tangente:
como encontrar a taxa de variação instantânea para 
𝑦 = 𝑥², quando 𝑥 = 2?
*Coeficiente angular da secante: 
2+ℎ 2−4
ℎ
= ℎ + 4
*Coeficiente 
angular da 
tangente = 4
Se considerarmos ℎ = ∆𝑥, temos: 
𝑚𝑡𝑔 = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
Note que a derivada de uma
função num ponto é a taxa de
variação instantânea naquele
ponto. 
Uma pedra desprende-se do topo do galpão de uma 
empresa. Qual é sua velocidade média durante os 
dois segundos de queda?
Experimentos mostram que, ao entrar em queda 
livre a partir do repouso, próximo da superfície 
terrestre, um objeto sólido e
denso percorreu 𝑦metros
nos primeiros t segundos,
onde: 𝑦 = 4,9𝑡². 
Para os primeiros 2 segundos, temos:
𝒕𝟎 = 𝟎 𝑒 𝒕𝟏 = 𝟐
𝒚𝟎 = 𝟎 𝑒 𝒚𝟏 = 𝟒, 𝟗 ∙ (𝟐)²
Logo:
𝑣 =
∆𝑦
∆𝑡
=
4,9 ∙ 2 2 −4,9 ∙ (0)²
2−0
= 9,8𝑚/𝑠
Para qualquer tempo 
posterior, qual a 
velocidade média da 
pedra ao longo do 
percurso?
Considerando 𝑡0 = 2 e 𝑡 = 2 + ℎ, temos:
𝒗 =
∆𝒚
∆𝒕
= 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝟒, 𝟗 ∙ 𝟐 + 𝒉 𝟐 − 𝟒, 𝟗 ∙ (𝟐)²
𝒉
= lim
ℎ→0
4,9 ∙ (4 + 4ℎ + ℎ2) − 4,9 ∙ 4
ℎ
= lim
ℎ→0
19,6 + 19,6ℎ + 4,9ℎ² − 19,6
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ (19,6 + 4,9ℎ)
ℎ
= lim
ℎ→0
19,6 + 4,9ℎ = 𝟏𝟗, 𝟔 𝐦/𝐬
Um importador do setor automotivo estima que 
ao vender 𝒙 unidades de uma determinada peça 
automotiva, consegue uma receita bruta 
representada pela expressão matemática: 
𝑪(𝒙) = 𝟎, 𝟓𝒙2 + 𝟑𝒙 − 𝟐
(em milhares de reais)
Quando o empresário 
conseguir vender três 
unidades dessas peças, 
qual será a taxa de 
variação da receita?
Qual é a 
interpretação 
desse resultado?
Derivada como uma função: a derivada, em geral, 
assume valores diferentes em pontos diferentes e é 
também uma função. 
Diz-se que uma função 𝑓 é derivável (ou diferenciável) 
se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função 
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) se comportar,
aproximadamente, como uma
função linear, ou seja, se o seu
gráfico for aproximadamente
uma reta. 
Notações para a derivada de uma função:
𝑓′ 𝑥
𝑦′
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝐷𝑓 𝑥
𝐷𝑥𝑓(𝑥)
Regras de derivação:
1ª)
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = 0
2ª)
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1
3ª)
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑐 ∙
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟓
↓
𝒇′ 𝒙 = 𝟓𝒙𝟒
𝒇 𝒙 = 𝟏𝟎𝒙𝟑
↓
𝒇′ 𝒙 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟑𝒙𝟐
𝒇′ 𝒙 = 𝟑𝟎𝒙²
Regras de derivação:
4ª)
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) ±
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥)
Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥 + 9
𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2 − 8𝑥 + 9)
𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2 −
𝑑
𝑑𝑥
8𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
9
𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟖
Exemplo: encontrar uma equação da reta 
tangente à parábola 𝑦 = 𝑥² – 8𝑥 + 9 no ponto 
(3, −6) (STEWART, 2010, p. 133).
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 8
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏
Logo:
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 8
𝑓′ 3 = 6 − 8
𝑓′ 3 = −2
Assim, temos 𝑚 = −2:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 → 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝒏
Se a reta tangente passa no ponto (3, −6), então: 
𝑦 = −2𝑥 + 𝑛
−6 = −2 3 + 𝑛
−6 + 6 = 𝑛
𝒏 = 𝟎
Logo: 𝒚 = −𝟐𝒙
Um importador do setor automotivo estima que ao 
vender 𝒙 unidades de uma determinada peça
automotiva, consegue uma receita bruta representada 
pela expressão matemática:
𝑪(𝒙) = 𝟎,𝟓𝒙2 + 𝟑𝒙 − 𝟐 (em milhares de reais). 
Taxa de variação para 3 unidades:
𝐶′ 𝑥 = 0,5𝑥2 + 3𝑥 − 2
𝐶′(𝑥) = 2 ∙ 0,5𝑥 + 3
𝐶′(𝑥) = 𝑥 + 3
↓
𝐶′(3) = 3 + 3
𝑪′ 𝟑 = 𝟔𝒎𝒊𝒍/𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆
Interpretação
Quando a produção é de três unidades, a receita da 
empresa aumenta para uma taxa de 6 mil reais por 
unidade. 
Vimos que para toda função em que existe derivada em 
um ponto podemos calcular essa derivada por meio da 
definição. Sabendo que a definição de derivada tem 
origem na ideia de limite, quando uma função não tem 
derivada em um ponto?
As regras de derivação que foram
estudadas têm origem na
definição, a partir da ideia de
limite. 
Como seria possível provar que
essas regras são realmente
válidas?