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Aula 2 Doutoranda e Mestra em Ensino de Ciências e Educação Matemática Unidade de Ensino: 2 Competência da Unidade de Ensino: Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área de exatas. Resumo: Nesta aula enfatizaremos o conceito e aplicação de limites, assim como o conceito de derivada e algumas regras de derivação, tendo como base os conhecimentos sobre funções. Palavras-chave: Limites; derivadas; regras; funções. Título da teleaula: Limites e derivadas Teleaula nº: 2 Cálculo é a parte da matemática em que são estudados mudanças e movimento, limites e áreas. Os objetos básicos de estudo em cálculo são as funções, ou seja, o cálculo é o estudo do efeito sobre as funções, por pequenas mudanças nas variáveis: podemos estudar o efeito de pequenas mudanças (cálculo diferencial) ou o efeito cumulativo de muitas pequenas mudanças (cálculo integral). Disponível em: <http://icmc.usp.br/~maasruas/ensino/calculo/curso.html>. Acesso em: 22 jul. 2016. Qual é a diferença entre os novos cálculos que estudaremos e os cálculos estudados no Ensino Básico ? Que relações existem entre esse novo conhecimento com o de funções? Por que estudar Cálculo é tão importante para o engenheiro? Operações matemáticas básicas Equações polinomiais (algébricas): operações, conjunto solução (raízes), fatoração, produtos notáveis. Sistema de coordenadas cartesianas: representação gráfica. Funções João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar de um processo seletivo para trabalhar como estagiário, em uma empresa multinacional. Teste: mostrar que compreende e é capaz de resolver problemas ligados ao cotidiano. Resolver situações- -problema: que tratam da interdependência de várias coisas. Uma das despesas que compõem o orçamento familiar é o serviço de TV a cabo. Em uma cidade, observa-se que a despesa de uma família com a TV a cabo depende do tempo t, mensal, que os habitantes assistem à TV. Esta quantidade, em centenas de reais, é modelada por: Analise a continuidade da despesa: 𝑃 = 𝑃 𝑡 A despesa de uma família será consideravelmente diferente se o tempo que ela assiste à TV for ligeiramente inferior ou superior a 20 horas? E se for 100 horas? Noção intuitiva de limites: 𝒙 → 𝟏+ 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3,2 1,05 3,1 1,02 3,04 1,01 3,02 𝒙 → 𝟏− 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 0,5 2 0,7 2,4 0,9 2,8 0,95 2,9 0,98 2,96 0,99 2,98 O que observamos? À medida que 𝒙 tende para 𝟏 (𝑥 → 1),𝒚 tende para 𝟑 𝑦 → 3 : 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟑 Disponível em: <http://somatematic a.com.br/superior/li mites/limites.php>. Acesso em: 22 jul. 2016. 3 Definição formal de limites O limite de um função 𝒇, quando 𝒙 tende a c, representado pela notação lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥), é definido como o número L, tal que 𝒇(𝒙) pode se tornar tão próxima a L quanto quisermos, sempre que existir suficientemente próximo de c, com 𝑥 ≠ 𝑐. Se existir, escrevemos: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒄 𝒇 𝒙 = 𝑳 Continuidade de uma função: ∃ 𝑓 𝑎 ∃ lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 Contínua Descontínua Propriedades dos limites: seja c uma constante e supondo que existam os limites lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)e lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥). Então: 1. lim 𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ± lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 2. lim 𝑥→𝑎 [𝑐 ∙ 𝑓(𝑥)] = c ∙ lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 3. lim 𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥) .𝑔𝑥)] = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) . lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 4. lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) se lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ 0 Propriedades dos limites (considere n inteiro e positivo): 6. lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 ]𝑛 = lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑛 7. lim 𝑥→𝑎 𝑐 = 𝑐 8. lim 𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎 9. lim 𝑥→𝑎 𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 10. lim 𝑥→𝑎 𝑛 𝑥 = 𝑛 𝑎 11. lim 𝑥→𝑎 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) Uma das despesas que compõem o orçamento familiar é o serviço de TV a cabo. Ao observar que tal despesa depende do tempo t, mensal, que os habitantes assistem à TV, podemos modelar a quantidade, em centenas de reais, por: Analisar a continuidade das despesas; verificar a despesa para o tempo superior e inferior a 20 horas e para 100 horas. No intervalo 0 ≤ 𝑡 < 20, temos: lim 𝑡→20− 𝐷 𝑡 = lim 𝑡→20 0 = 0 lim 𝑡→20+ 𝐷 𝑡 = lim 𝑡→20 0,1𝑡 = 0,1 ∙ 20 = 2 Função descontínua em 𝑡0 = 20. Despesas para 𝑡 = 100: lim 𝑡→100− 𝐷 𝑡 = lim 𝑡→100 0,1 ∙ 100 = 10 lim 𝑡→100+ 𝐷 𝑡 = lim 𝑡→100 40∙100−1000 2∙100+100 = 10 A função é contínua em t = 100. Fonte: Gibim (2015, p. 79) A empresa multinacional onde João pretende fazer o estágio fabrica um certo produto para o mercado brasileiro. Determina-se que um empregado, após 𝑥 dias de treinamento, monte 𝑚 produtos por dia, onde: 𝑚 𝑥 = 20𝑥² 𝑥2 + 𝑥 + 5 Qual é o comportamento de 𝒎 = 𝒎(𝒙) para treinamentos longos? Limites infinitos e limites no infinito (∞) Seja 𝑓 uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Se podemos, através de uma escolha adequada de 𝑥, nas proximidades de a, fazer os valores de 𝑓(𝑥) ficarem arbitrariamente grandes, então escrevemos: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 = ∞ Lê-se: “O limite de 𝒇(𝒙), quando 𝒙 tende a a, é infinito.” Limites infinitos e limites no infinito (∞) Seja 𝑓 uma função definida e algum intervalo 𝑎,∞ . Então, 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝒇 𝒙 = 𝑳 Lê-se: “O limite de 𝒇(𝒙), quando 𝒙 tende ao infinito, é L.” Significa que os valores 𝑓 𝑥 podem ficar arbitrariamente próximos de L, tornando os valores de 𝑥 grandes. Exemplo: determine lim 𝑥→0 1 𝑥 , com 𝑥 ≠ 0. 𝒙 → 𝟎+ 𝒚 = 𝟏 𝒙 0 Não se define 0,1 10 0,01 100 0,001 1 000 0,0001 10 000 𝒙 → 𝟎− 𝒚 = 𝟏 𝒙 0 Não se define −0,1 −10 −0,01 −100 −0,001 −1 000 −0,0001 −10 000 Quando 𝑥 se aproxima de zero, pela direita, 𝑦 cresce indefinidamente, isto é, 𝑦 tende a mais infinito: lim 𝑥→0+ 1 𝑥 = ∞ Quando 𝑥 se aproxima de zero, pela esquerda, 𝑦 decresce indefinidamente, isto é, 𝑦 tende a menos infinito: lim 𝑥→0− 1 𝑥 = −∞ Observamos que: não existe lim 𝑥→0 𝑓(𝑥); quando 𝑥 cresce indefinidamente, o gráfico quase toca o eixo 𝑥, isto é, 𝑦 tende a zero: lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 = 0 quando 𝑥 decresce indefinidamente, o gráfico quase encosta no eixo 𝑥, isto é, 𝑦 tende a zero: lim 𝑥→−∞ 1 𝑥 = 0 Fonte: Gibim (2015, p. 86) A empresa multinacional onde João pretende fazer o estágio fabrica um certo produto para o mercado brasileiro. E determina-se que um empregado, após 𝑥 dias de treinamento, monte 𝑚 produtos por dia, onde: 𝑚 𝑥 = 20𝑥² 𝑥2 + 𝑥 + 5 Qual é o comportamento de 𝑚 = 𝑚(𝑥) para treinamentos longos? 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 𝒎(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 20𝑥² 𝑥2 + 𝑥 + 5 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 20𝑥² 𝑥² 𝑥² 𝑥² + 𝑥 𝑥² + 5 𝑥² 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 20 1 + 1 𝑥 + 5 𝑥² 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 20 1 + 0 + 0 𝐥𝐢𝐦 𝒙→+∞ 20 1 = 20 Logo, após um longo treinamento, um empregado pode montar 20 computadores por dia: Fonte: Gibim (2015, p. 93) Uma pedra desprende-se do topo do galpão de uma empresa. Qual é a sua velocidade média durante os primeiros dois segundos de queda? Considere que, experimentalmente, 𝑦 = 4,9𝑡². Taxa de variação média: é a razão da variação de uma quantidade em relação à outra. Ex.: a velocidade de um carro. Ao percorrer 300 km em 3 horas 𝑣𝑚 = 100 𝑘𝑚/ℎ Fonte: Gibim (2015, p. 99) O coeficienteangular (m) mostra a variação da inclinação da reta: Taxa de variação instantânea, limite e reta tangente: como encontrar a taxa de variação instantânea para 𝑦 = 𝑥², quando 𝑥 = 2? *Coeficiente angular da secante: 2+ℎ 2−4 ℎ = ℎ + 4 *Coeficiente angular da tangente = 4 Se considerarmos ℎ = ∆𝑥, temos: 𝑚𝑡𝑔 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0) ∆𝑥 Note que a derivada de uma função num ponto é a taxa de variação instantânea naquele ponto. Uma pedra desprende-se do topo do galpão de uma empresa. Qual é sua velocidade média durante os dois segundos de queda? Experimentos mostram que, ao entrar em queda livre a partir do repouso, próximo da superfície terrestre, um objeto sólido e denso percorreu 𝑦metros nos primeiros t segundos, onde: 𝑦 = 4,9𝑡². Para os primeiros 2 segundos, temos: 𝒕𝟎 = 𝟎 𝑒 𝒕𝟏 = 𝟐 𝒚𝟎 = 𝟎 𝑒 𝒚𝟏 = 𝟒, 𝟗 ∙ (𝟐)² Logo: 𝑣 = ∆𝑦 ∆𝑡 = 4,9 ∙ 2 2 −4,9 ∙ (0)² 2−0 = 9,8𝑚/𝑠 Para qualquer tempo posterior, qual a velocidade média da pedra ao longo do percurso? Considerando 𝑡0 = 2 e 𝑡 = 2 + ℎ, temos: 𝒗 = ∆𝒚 ∆𝒕 = 𝒍𝒊𝒎 𝒉→𝟎 𝟒, 𝟗 ∙ 𝟐 + 𝒉 𝟐 − 𝟒, 𝟗 ∙ (𝟐)² 𝒉 = lim ℎ→0 4,9 ∙ (4 + 4ℎ + ℎ2) − 4,9 ∙ 4 ℎ = lim ℎ→0 19,6 + 19,6ℎ + 4,9ℎ² − 19,6 ℎ = lim ℎ→0 ℎ (19,6 + 4,9ℎ) ℎ = lim ℎ→0 19,6 + 4,9ℎ = 𝟏𝟗, 𝟔 𝐦/𝐬 Um importador do setor automotivo estima que ao vender 𝒙 unidades de uma determinada peça automotiva, consegue uma receita bruta representada pela expressão matemática: 𝑪(𝒙) = 𝟎, 𝟓𝒙2 + 𝟑𝒙 − 𝟐 (em milhares de reais) Quando o empresário conseguir vender três unidades dessas peças, qual será a taxa de variação da receita? Qual é a interpretação desse resultado? Derivada como uma função: a derivada, em geral, assume valores diferentes em pontos diferentes e é também uma função. Diz-se que uma função 𝑓 é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) se comportar, aproximadamente, como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. Notações para a derivada de uma função: 𝑓′ 𝑥 𝑦′ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝐷𝑓 𝑥 𝐷𝑥𝑓(𝑥) Regras de derivação: 1ª) 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 = 0 2ª) 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1 3ª) 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟓 ↓ 𝒇′ 𝒙 = 𝟓𝒙𝟒 𝒇 𝒙 = 𝟏𝟎𝒙𝟑 ↓ 𝒇′ 𝒙 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟑𝒙𝟐 𝒇′ 𝒙 = 𝟑𝟎𝒙² Regras de derivação: 4ª) 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ± 𝑑 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥 + 9 𝑓′ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 (𝑥2 − 8𝑥 + 9) 𝑓′ 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 − 𝑑 𝑑𝑥 8𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 9 𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟖 Exemplo: encontrar uma equação da reta tangente à parábola 𝑦 = 𝑥² – 8𝑥 + 9 no ponto (3, −6) (STEWART, 2010, p. 133). 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 8 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 Logo: 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 8 𝑓′ 3 = 6 − 8 𝑓′ 3 = −2 Assim, temos 𝑚 = −2: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 → 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝒏 Se a reta tangente passa no ponto (3, −6), então: 𝑦 = −2𝑥 + 𝑛 −6 = −2 3 + 𝑛 −6 + 6 = 𝑛 𝒏 = 𝟎 Logo: 𝒚 = −𝟐𝒙 Um importador do setor automotivo estima que ao vender 𝒙 unidades de uma determinada peça automotiva, consegue uma receita bruta representada pela expressão matemática: 𝑪(𝒙) = 𝟎,𝟓𝒙2 + 𝟑𝒙 − 𝟐 (em milhares de reais). Taxa de variação para 3 unidades: 𝐶′ 𝑥 = 0,5𝑥2 + 3𝑥 − 2 𝐶′(𝑥) = 2 ∙ 0,5𝑥 + 3 𝐶′(𝑥) = 𝑥 + 3 ↓ 𝐶′(3) = 3 + 3 𝑪′ 𝟑 = 𝟔𝒎𝒊𝒍/𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 Interpretação Quando a produção é de três unidades, a receita da empresa aumenta para uma taxa de 6 mil reais por unidade. Vimos que para toda função em que existe derivada em um ponto podemos calcular essa derivada por meio da definição. Sabendo que a definição de derivada tem origem na ideia de limite, quando uma função não tem derivada em um ponto? As regras de derivação que foram estudadas têm origem na definição, a partir da ideia de limite. Como seria possível provar que essas regras são realmente válidas?
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