03 Sistemas Lineares

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Sistemas Lineares
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Programa
1. Introdução
2. Métodos Diretos
a) Eliminação de Gauss
b) Decomposição LU
3. Métodos Iterativos
a) Gauss-Jacobi
b) Gauss-Siedel
Sistemas Lineares 
Introdução
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Introdução
 A resolução de sistemas lineares é um problema que 
surge nas mais diversas áreas 
 Ex: Cálculos de estruturas, Redes de transporte, Redes de 
comunicação, etc
Introdução
Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:
Solução:
Temos que a corrente entre 2 pontos é dada por: . 
Pela lei de Kirchoff a soma das correntes que chega a um nó é 
igual a soma das correntes que saem dele. Assim:
1V
R
VVI ba 
Introdução
Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:
Nó 1:
Nó 3:
Nó 4:
1V
1
0
221
1141312  VVVVVVV
31
2312 VVVV 
3
127
213
3134323 VVVVVVV 
21
1443 VVVV 
Nó 2:
Introdução
Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:
Simplificando as equações:
Nó 1: 
Nó 2:
Nó 3:
Nó 4:
1
0
221
1141312  VVVVVVV
31
2312 VVVV 
3
127
213
3134323 VVVVVVV 
21
1443 VVVV 
026 4321  VVVV
043 321  VVV
25461323 4321  VVVV
032 431  VVV
Introdução
Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:
Montando o sistema:
Nosso problema agora se resume em encontrar os valores 
de V1, V2, V3 e V4 que solucionem o sistema linear 
acima. 







03201
25461323
00143
01126
4321
4321
4321
4321
VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
Introdução
 Um sistema linear com m equações e n variáveis tem a 
seguinte forma geral:
onde:
aij  coeficientes 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
xj  incógnitas j = 1,...,n
bi  termos independentes i = 1,...,m
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa



...
...
...
2211
22222121
11212111

Introdução
 Exemplo:
onde:
2, 4, -5, 4, 1, -5, 2, 4 e 5  coeficientes
x1, x2 e x3  incógnitas
5, 2 e -1  termos independentes






1542
2514
5542
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Introdução
 Relembrando... Multiplicação de Matrizes
O produto de uma matriz A de dimensão n x m por um 
escalar k resulta em uma matriz B = kA de mesma 
dimensão n x m, tal que 
Ex: 
e 
.,, jikab ijij 



654
321
A 


12108
642
2AB
Introdução
 Relembrando... Multiplicação de Matrizes
O produto de uma matriz A (n x m) por um vetor v (m x 
1) resulta em um vetor x (n x 1) de forma que
Ex: 
....,,2,1,
1
nivax
m
j
jiji 





















17
11
5
2
1
,
65
43
21
AvxvA
Introdução
 Relembrando... Multiplicação de Matrizes
O produto de uma matriz A (n x p) por uma matriz 
B (p x m) é uma matriz C = AB (n x m) tal que
o elemento cij é obtido pela soma dos produtos da linha 
i de A pelos correspondentes elementos da coluna j de 
B. Logo, para a multiplicação de duas matrizes, o 
número de colunas da primeira tem que ser igual ao 
número de linhas da segunda
Ex:
....,,2,1...,,2,1,
1
mjenibac
p
k
kjikij 

22
23
32 4841
126
53
04
61
,
653
012
x
x
x
ABCBA 













Introdução
 É possível então reescrever o sistema linear na Forma 
Matricial:
Ax = b
na qual:









mnmmm
n
n
aaaa
aaa
aaa
A
321
22221
11211












mb
b
b
b 
2
1









nx
x
x
x 
2
1
Introdução
 Exemplo:
 Forma Geral:
 Forma Matricial:






1542
2514
5542
321
321
321
xxx
xxx
xxx





























1
2
5
542
514
542
3
2
1
x
x
x
Introdução – Classificação de Sistemas
 Relembrando…. Conceito de Determinante
Uma matriz quadrada (n x n) A, chamada matriz de ordem 
n, tem um número associado denominado determinante, 
cujo valor pode ser obtido pela fórmula de recorrência
onde Mij é a matriz de ordem n-1 resultante da remoção 
da linha i e coluna j de A e sendo o determinante de uma 
matriz (1 x 1) igual a esse único elemento. Logo:
)det()1(...)det()det()det( 11
1
12121111 nn
n MaMaMaA 
1111 )det(][ aAaA 
12212211
2221
1211 )det( aaaaA
aa
aa
A 


Introdução – Classificação de Sistemas
 Relembrando…. Conceito de Determinante
 Matriz A com det (A) = 0  Matriz Singular
 Matriz A com det (A) ≠ 0  Matriz Não Singular










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A

)()()()det( 223132211323313321122332332211 aaaaaaaaaaaaaaaA 
Introdução – Classificação de Sistemas
 Relembrando…. Conceito de Determinante
 Exemplo: calcule o Determinante da Matriz abaixo:
 Precisamos fazer o cálculo utilizando a fórmula geral









10357
2468
7531
86410
A
Introdução – Classificação de Sistemas
 Exemplo: calcule o Determinante da Matriz abaixo:









10357
2468
7531
86410
A




































































357
468
531
det8
1057
268
731
det6
1037
248
751
det4
1035
246
753
det10)det(A
Introdução – Classificação de Sistemas
 Exemplo: calcule o Determinante da Matriz abaixo:









10357
2468
7531
86410
A


















1035
246
753
det10


 


















35
46
det7
105
26
det5
103
24
det310
  2750534310   1425010210
  16210 1620
Introdução – Classificação de Sistemas
 Exemplo: calcule o Determinante da Matriz abaixo:









10357
2468
7531
86410
A


















1037
248
751
det4


 


















37
48
det7
107
28
det5
103
24
det14
  476653414   28330344
  3244 1296
Introdução – Classificação de Sistemas
 Exemplo: calcule o Determinante da Matriz abaixo:









10357
2468
7531
86410
A


















1057
268
731
det6


 


















57
68
det7
107
28
det3
105
26
det16
  276635016   14198506
  1626 972
Introdução – Classificação de Sistemas
 Exemplo: calcule o Determinante da Matriz abaixo:









10357
2468
7531
86410
A

















357
468
531
det8


 


















57
68
det5
37
48
det3
35
46
det18
  2543218   101228
  08 0
Introdução – Classificação de Sistemas
 Exemplo: calcule o Determinante da Matriz abaixo:
Logo:









10357
2468
7531
86410
A




































































357
468
531
det8
1057
268
731
det6
1037
248
751
det4
1035
246
753
det10)det(A
 097212961620)det(A 1296
Introdução – Classificação de Sistemas
 Classificação dos sistemas
 Solução Única
 det (A) ≠ 0 (Matriz de Coeficientes Não Singular)
 Infinitas Soluções ou Sem Solução
 det (A) = 0 (Matriz de Coeficientes Singular)
Introdução – Classificação de Sistemas
 Solução Única
 Exemplo:
det (A) = -6 -1 = -7
 Infinitas Soluções
 Ex:
det (A) = 4 - 4 = 0




23
32
21
21
xx
xx 


1
1
x




624
32
21
21
xx
xx 


 

23
x
Introdução – Classificação de Sistemas
 Sem Solução
 Ex:
det (A) = 4 - 4 = 0




224
32
21
21
xx
xx
Introdução – Sistemas Triangulares
 Possibilidade de resolução da forma Direta
 Sistema Triangular Inferior
 Sistema Triangular Superior 
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Inferior 
 A solução é calculada pelas substituições sucessivas
, ,
































nnnnnnn b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaa
aa
a






3
2
1
3
2
1
321
333231
2221
11
0
00
000
11
1
11111 a
bxbxa 
22
1212
22222121 a
xabxbxaxa 
33
2321313
33333232131 a
xaxabxbxaxaxa 
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Inferior
































nnnnnnn b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaa
aa
a






3
2
1
3
2
1
321
333231
2221
11
0
00
000
nnnnnnnnn bxaxaxaxa   11,2211 ...

nn
nnnnnn
n a
xaxaxab
x 11,2211
... 
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Inferior
As substituições sucessivas podem ser representadas por:
































nnnnnnn b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaa
aa
a






3
2
1
3
2
1
321
333231
2221
11
0
00
000
....,,2,1,
1
1 ni
a
xab
x
ii
i
j
jiji
i 




Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Inferior
Exemplo: Calcular a solução do sistema triangular inferior 
usando as substituições sucessivas:
,



























6
48
1
4
9341
0861
0053
0002
4
3
2
1
x
x
x
x
2
2
442 11  xx 15
231153 221  xxx
5
8
)1(62484886 3321  xxxx
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Inferior
Exemplo: Calcular a solução do sistema triangular inferior 
usando as substituições sucessivas:
Logo, o vetor solução é dado por: 



























6
48
1
4
9341
0861
0053
0002
4
3
2
1
x
x
x
x
3
9
)5(3)1(4)2(66934 44321  xxxxx









3
5
1
2
x
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Superior
 A solução é calculada pelas substituições retroativas:
,
































nnnn
n
n
n
d
d
d
d
x
x
x
x
c
cc
ccc
cccc






3
2
1
3
2
1
333
22322
1131211
000
00
0
nn
n
nnnnn c
dxdxc 
1,1
,11
11,111,1




nn
nnnn
nnnnnnnn c
xcd
xdxcxc
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Superior
,
































nnnn
n
n
n
d
d
d
d
x
x
x
x
c
cc
ccc
cccc






3
2
1
3
2
1
333
22322
1131211
000
00
0
22
23232
222323222
......
c
xcxcdxdxcxcxc nnnn


11313212111 ... dxcxcxcxc nn 
11
13132121
1
...
c
xcxcxcdx nn
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Superior
As substituições retroativas podem ser representadas por:
.1...,,1,,1 



 nni
c
xcd
x
ii
n
ij
jiji
i
































nnnn
n
n
n
d
d
d
d
x
x
x
x
c
cc
ccc
cccc






3
2
1
3
2
1
333
22322
1131211
000
00
0
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Superior
Exemplo: Determinar a solução do sistema triangular 
superior utilizando as substituições retroativas:
, ,



























8
28
2
1
2000
5400
4730
1625
4
3
2
1
x
x
x
x
4
2
882 44  xx 24
45282854 343  xxx
0
3
442722473 2432  xxxx
Introdução – Sistemas Triangulares
 Sistema Triangular Superior
Exemplo: Determinar a solução do sistema triangular 
superior utilizando as substituições retroativas:
Logo, o vetor solução é dado por: 



























8
28
2
1
2000
5400
4730
1625
4
3
2
1
x
x
x
x
3
5
4260211625 14321  xxxxx









4
2
0
3
x
Introdução – Métodos de Solução
 Os métodos numéricos para a solução de sistemas 
lineares podem ser divididos em dois grupos:
 Métodos Diretos  Fornecem a solução do sistema, 
caso ela exista, após um número finito de iterações 
(soluções arredondadas também podem ocorrer)
 Métodos Iterativos  Geram uma sequência de 
vetores {x(k)} a partir de uma aproximação inicial x(0). 
Sob certas condições esta sequência converge para a 
solução x do sistema, caso ela exista
Sistemas Lineares 
Métodos Diretos
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Métodos Diretos
 Pertencem a essa classe todos métodos utilizados no 
primeiro e segundo graus
 Esses métodos não sãoeficientes para a resolução de 
sistemas lineares de grande porte, ou seja, sistemas que 
envolvam um grande número de equações e variáveis
 Para o caso de sistemas lineares n x n, com solução 
única, o vetor x é dado por x = A-1b, onde A-1 é a 
inversa da matriz de coeficientes A. 
 O cálculo de A-1 é demorado e, por isso, não competitivo 
com os métodos que veremos a seguir: Eliminação de 
Gauss e Decomposição LU
Sistemas Lineares
Eliminação de Gauss
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Eliminação de Gauss
 Consiste em transformar o sistema linear original em 
um sistema linear triangular superior equivalente
 Resolução do novo sistema utilizando as substituições 
retroativas
 A solução encontrada para o sistema equivalente será 
a mesma do sistema linear original  Conceito de 
Sistemas Equivalentes
Eliminação de Gauss
 A transformação do sistema linear original em outro 
equivalente é feita através das seguintes operações 
elementares:
 Trocar duas equações
 Multiplicar uma equação por uma constante não nula
 Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra 
equação








222
94
94
222
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx








94
1
94
222
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx








1
832
1
94
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
Eliminação de Gauss – Execução 
 Passo 1: 
 Construção da matriz aumentada Ab
 Importância:
 É necessário transformar matriz A em uma matriz 
triangular superior
 Todavia, todas as operações elementares aplicadas 
sobre as linhas de A, também devem ser refletidas no 
vetor de termos independentes b
 









nnnnnn
n
n
baaaa
baaa
baaa
Ab
321
222221
111211



Eliminação de Gauss – Execução 
 Passo 2:
 Eliminar os coeficientes de x1 presentes nas linhas 
2,3,...,n, fazendo assim a21 = a31, = ... = an1 = 0, sendo 
a11 chamado de pivô e a linha 1 de linha pivotal 
 Substituir a linha 2, L2, pela combinação linear
 Substituir a linha 3, L3, pela combinação linear:
11
21
2112122 :, a
amqualnaLmLL 
11
31
3113133 :, a
amqualnaLmLL 
Eliminação de Gauss – Execução 
 Passo 2:
 Continuar a substituição até a linha n
 Caso algum elemento app=0, achar outra linha k onde 
akp≠ 0 e trocar tais linhas. Caso a linha k não exista, o 
sistema linear não possui solução
 Próximos Passos:
 Eliminar os coeficientes de x2 nas linhas 3, 4, ..., n 
(fazendo a32=a42=...=an2 = 0)
 Eliminar os coeficientes de x3 nas linhas 4, 5, ..., n 
(fazendo a43=a53=...=an3 = 0) e assim 
sucessivamente
Eliminação de Gauss
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Matriz aumentada:






132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 












1132
3344
5132
Ab
Eliminação de Gauss
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Pivô da linha 1: 2






132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
     7120513223344
2
2
11
21
2112122


L
a
amLmLL
     6260513211132
1,
3
11
31
3113133


L
a
amLmLL
Eliminação de Gauss
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Obtemos então a seguinte matriz aumentada:






132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 












6260
7120
5132
Ab
Eliminação de Gauss
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Pivô da linha 2: -2






132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
     15500712036260
3,
3
22
32
3223233


L
a
amLmLL
Eliminação de Gauss
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Nova matriz [Ab] e sistema linear equivalente obtido:






132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 











15500
7120
5132
Ab






155
72
532
3
32
321
x
xx
xxx
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
O novo sistema obtido é resolvido utilizando-se as 
substituições retroativas:
Logo, o vetor solução é dado por: 
24273272 22232  xxxxx
Eliminação de Gauss






132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx









3
2
1
x
3155 33  xx
1225362532 111321  xxxxxx
Eliminação de Gauss
 Verificação da exatidão do resultado obtido através do 
vetor resíduo r = b – Ax:
Logo, a solução x obtida é exata.
A verificação acima pode ser utilizada também para 
validar os resultados encontrados por TODOS os 
métodos diretos que vamos estudar.








































0
0
0
3
2
1
132
344
132
1
3
5
Axbr
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto de 
Eliminação de Gauss. 
Solução:






5734
22
8425
321
321
321
xxx
xxx
xxx




















...333,2
...333,5
...333,1
3/7
3/16
3/4
x
Eliminação de Gauss
 No método de Gauss os multiplicadores das linhas são 
gerados a partir da seguinte fórmula:
sendo aii o pivô e aik o elemento a ser zerado
 Assim, podemos concluir:
 O método de Gauss não funciona quando o pivô é nulo
 Quando o pivô é muito próximo de zero, os multiplicadores 
gerados para as linhas são muito grandes, ocasionando um 
aumento nos erros de arredondamento gerados durante a 
execução do método.
 Solução: Pivoteamento Parcial
nikni
a
am
ii
ik
ik ...,,1...,,1 
Eliminação de Gauss – Pivoteamento Parcial 
 Melhoria do Método de Gauss
 Consiste em escolher o elemento de maior valor (em 
módulo) em cada coluna para ser o pivô
 Garante que os multiplicadores estarão sempre entre 0 e 1
 Minimiza a amplificação de erros de arredondamento 
durante as eliminações
Eliminação de Gauss – Pivoteamento Parcial
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Matriz aumentada:






29564
15182
1123
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 












29564
15182
11231
Ab
Eliminação de Gauss – Pivoteamento Parcial
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Maior elemento (em módulo) da primeira coluna: 4. Logo 
este será o primeiro pivô. Assim:
     75,375,05,102956425,011231
25,0
1
31
11
1331311


L
a
amLmLL
 












29564
15182
11231
Ab
     5,05,15029564)5,0(51182
5,0,
2
31
21
2332322


L
a
amLmLL
Eliminação de Gauss – Pivoteamento Parcial
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Obtemos então a seguinte matriz aumentada:
 












29564
5,05,150
75,375,05,10
Ab






29564
15182
1123
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Eliminação de Gauss – Pivoteamento Parcial
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Maior elemento (em módulo) da segunda coluna: 5. Logo 
este será o segundo pivô. Assim:
     6,32,1005,05,150)3,0(75,375,05,103,0
1
22
12
1221211


L
a
amLmLL
 












29564
5,05,150
75,375,05,10
Ab
Eliminação de Gauss – Pivoteamento Parcial
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
Nova matriz [Ab]:
Trocando a ordem das linhas, chegamos ao seguinte 
sistema equivalente:






29564
15182
1123
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 










29564
5,05,150
6,32,100
Ab






6,32,1
5,05,15
29564
3
32
321
x
xx
xxx
Eliminação de Gauss – Pivoteamento Parcial
 Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:
O novo sistema obtido é resolvido utilizando-se as 
substituições retroativas:
Logo, o vetor solução é dado por: 









3
1
2
x






29564
15182
1123
321
321
321
xxx
xxx
xxx
36,32,1 33  xx
1555,05,455,05,15 22232  xxxxx
28429156429564 111321  xxxxxx
Determinante
 O determinante da matriz de coeficientes pode ser 
obtido através da matriz triangular resultante da 
aplicação da Eliminação de Gauss. 
 Basta considerar no cálculo a influência das operações 
elementares realizadas durante o processo de eliminação
 Vamos então analisar essas 5 relações:
1) Se duas linhas de uma matriz A forem trocadas, então o 
determinante da nova matriz B será:
)det()det( AB 
10)det(
22
41
10)det(
41
22 




  BBeAA
Determinante
2) Se todos os elementos de uma linha de A forem 
multiplicados por uma constante k, então o determinante da 
matriz resultante B será:
3) Se um múltiplo escalar de uma linha de A for somado a 
outra linha, então o determinante da nova matriz B será:
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5)det(
11
41
10)det(
22
41 





 BBeAA
)det()det( AB 
5)det(
50
41
5)det(
11
41 





 BBeAA
Determinante
4) Se A for uma matriz triangular ou diagonal de ordem n, 
então seu determinante será igual ao produto dos elementos 
da diagonal principal, ou seja:



n
i
iinn aaaaaA
1
332211 ...)det(
15)det(
100
050
003
2)det(
10
32 












 BBeAA
Determinante
5) Se uma matriz A for multiplicada por uma matriz B, o 
determinante da matriz resultante C será:
)det()det()det( BAC 
3)det(
11
03
10)det(
43
21 



  BBeAA
30)det(
413
21 

  CC
Determinante
Exemplo: Calcular o determinante da matriz utilizada no 
último exemplo: 
Matriz de coeficientes:
Depois de 3 combinações lineares das linhas e uma troca 
de linhas, chegamos à seguinte matriz triangular:












564
182
231
A






29564
15182
1123
321
321
321
xxx
xxx
xxx







 

2,100
5,150
564
B
Determinante
Exemplo: Calcular o determinante da matriz utilizada no 
último exemplo: 
Pela propriedade 3, não há alteração no determinante de 
B, todavia, pela propriedade 1, , assim:)det()det( AB 
24)2,154()det()det(  BA
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto de 
Eliminação de Gauss, com pivoteamento parcial.
Solução:






3084
104193
426
321
321
321
xxx
xxx
xxx









11
20
138
x
Sistemas Lineares
Decomposição LU
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Decomposição LU
 O objetivo é fatorar a matriz dos coeficientes A em um 
produto de duas matrizes L e U.
Seja:
A = matriz de coeficientes do sistema linear









nnnnn
n
n
aaaa
aaa
aaa
A
321
22221
11211



Decomposição LU
e o produto LU:
sendo:
L = matriz triangular inferior unitária 
U = matriz triangular superior






















nn
n
n
n
nnn u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
LU










000
00
0
1
0
01
001
0001
333
22322
1131211
321
3231
21
 ilii  ,1
Decomposição LU
 temos então:
 Logo, o sistema Ax = b pode ser reescrito como 
Ax = b  LUx = b
 Fazendo Ux = y, a equação acima reduz-se a Ly = b.
 Resolvendo o sistema triangular inferior (utilizando as 
substituições sucessivas) Ly = b, obtemos o vetor y































nn
n
n
n
nnn
nnnnn
n
n
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
LU
aaaa
aaa
aaa
A













000
00
0
1
0
01
001
0001
333
22322
1131211
321
3231
21
321
22221
11211
Decomposição LU
 O vetor y é então utilizado como termo independente 
no sistema triangular superior Ux = y, cuja solução x é 
calculada pelas substituições retroativas
 A Decomposição LU é um dos processos mais 
empregados. Uma das vantagens é que podemos 
resolver qualquer sistema linear que tenha A como 
matriz de coeficientes. Se o vetor b for alterado, a 
solução do novo sistema linear será quase que 
imediata
Decomposição LU – Execução 
 Exemplo:
Resolver o sistema abaixo, utilizando a Decomposição 
LU:
Passo 1: Aplicar o método da Eliminação de Gauss à 
matriz de A. 
Pivô linha 1: 1





























29
15
11
564
182
231
3
2
1
x
x
x
     320231)2(182
2
2
11
21
2112122


L
a
amLmLL
Decomposição LU – Execução 
 Exemplo:
Obtemos então a seguinte matriz de coeficientes:
Pivô linha 2: 2
     3602314564
4,
3
11
31
3113133


L
a
amLmLL











360
320
231
A
     12003203360
3
3
22
32
3223233


L
a
amLmLL
Decomposição LU – Execução 
 Exemplo:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz L é então constituída pelos multiplicadores 
utilizados nas eliminações de cada uma das linhas, 
logo:











1200
320
231
A



























134
012
001
1
01
001
1
01
001
3231
21
3231
21
mm
m
ll
lL
Decomposição LU – Execução 
 Exemplo:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz U é própria matriz de coeficientes, obtida após 
a Eliminação de Gauss:











1200
320
231
A




















1200
320
231
00
0
33
2322
131211
u
uu
uuu
U
Decomposição LU – Execução 
 Exemplo:
Assim:
Substituindo a matriz de coeficientes A no sistema, 
temos então LUx = b. Fazendo Ux = y, temos então 
Ly = b. Assim o próximo passo na solução do problema 
é calcular o valor do vetor y.
































1200
320
231
134
012
001
564
182
231
LUA
Decomposição LU – Execução 
 Exemplo:Passo 2: Calcular a solução do sistema Ly = b:
Logo: 



























29
15
11
134
012
001
3
2
1
y
y
y
111 y
711215152 2221  yyyy
3673114292934 33321  yyyyy
 Ty 36711 
Decomposição LU – Execução 
 Exemplo:
Passo 3: De posse do valor de y, calcular então a 
solução do sistema Ux = y:
Logo: 





























36
7
11
1200
320
231
3
2
1
x
x
x
33612 33  xx
12/)337(732 2232  xxxx
232)1(3111123 11321  xxxxx
 Tx 312 
Exercício
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Solução:






3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx









0
5
3
x










400
3/23/10
423
U









113/4
013/1
001
L









0
3/5
1
y
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
Durante este exercício surgem, normalmente, as seguintes 
dúvidas:
1) Posso trocar linhas durante o escalonamento de A?
Assunto do próximo tópico
2) Posso multiplicar uma linha por uma constante?
3) Posso, durante o escalonamento, colocar o multiplicador 
em outra linha que não seja a linha pivotal? 






3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
2) Posso multiplicar uma linha por uma constante?
Vamos multiplicar os elementos da linha 2 por 5, ANTES
de começar o escalonamento. Logo, teremos o seguinte 
sistema:






3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx






3234
101055
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
2) Posso multiplicar uma linha por uma constante?
Após o escalonamento, vamos obter:
Logo, a multiplicação ANTES do escalonamento não 
influi no resultado final do sistema, como era de se esperar






3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx









0
5
3
x










400
3/103/50
423
U









15/13/4
013/5
001
L









0
3/25
1
y
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
2) Posso multiplicar uma linha por uma constante?
Vamos multiplicar os elementos da linha 2 por 10, 
DEPOIS de executado o primeiro passo do escalonamento. 
Logo, teremos a seguinte matriz A:






3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx




















3/103/10
3/203/100
423
3/103/10
3/23/10
423
AA
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
2) Posso multiplicar uma linha por uma constante?
Continuando nosso escalonamento, vamos encontrar as 
seguintes matrizes L e U:






3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx










400
3/203/100
423
U









110/13/4
013/1
001
L
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
2) Posso multiplicar uma linha por uma constante?
Fazendo então L x U, temos:
Logo podemos perceber que a multiplicação gerou um 
erro da decomposição!






3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
AUL 





































234
211
423
234
841
423
400
3/203/100
423
110/13/4
013/1
001
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
2) Posso multiplicar uma linha por uma constante?
A solução para este problema é replicar os efeitos da 
multiplicação da linha 2 por 10 nos multiplicadores 
relacionados às operações nessa linha. Ou seja:
- O multiplicador 1/3, utilizado para zerar o elemento a21, 
deve ser multiplicado por 10, pois o valor de a21 seria 10 e 
não 1, como está no sistema original






3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
2) Posso multiplicar uma linha por uma constante?
A solução é replicar os efeitos da multiplicação da linha 2 
por 10 nos multiplicadores relacionados a operações nessa 
linha. Ou seja:
- Além disso, o multiplicador 1/10, utilizado para zerar o 
elemento a32, deve ser dividido por 10, pois o valor do pivô 
a22 seria 10 e não 1, como está no sistema original






3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
2) Posso multiplicar uma linha por uma constante?
Logo, passamos a ter os seguintes valores para L e U:
Ainda há uma diferença na decomposição, entretanto, 
agora é possível contornar o problema...






3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
AUL 





































234
211
423
234
201010
423
400
3/203/100
423
113/4
013/10
001
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
2) Posso multiplicar uma linha por uma constante?
Podemos perceber que a diferença entre a matriz A 
original e aquela obtida a partir da multiplicação L x U 
restringe-se à segunda linha (os valores na segunda matriz 
são exatamente um decimo dos valores presentes na 
primeira). Assim, basta multiplicar o valor do segundo 
elemento do vetor b por 10, de maneira que tenhamos então 
2 sistemas equivalentes, ou seja, de mesma solução!






3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
3) Posso, durante o escalonamento, colocar o multiplicador 
em outra linha que não seja a linha pivotal?






3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx









234
211
423
A
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
3) Posso, durante o escalonamento, colocar o multiplicador 
em outra linha que não seja a linha pivotal?
Aplicando a Eliminação de Gauss à matriz A:
Pivô linha 1: 3
     2104232113
3
2
2112212


L
mLLmL
     4/104/10423234
4
3
4
3,
3
3113313


L
mLLmL
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
3) Posso, durante o escalonamento, colocar o multiplicador 
em outra linha que não seja a linha pivotal?
Obtemos então a seguinte matriz de coeficientes:
Pivô linha 2: -1










4/104/10
210
423
A
    12002104/104/104
4
3
3223323


L
mLLmL
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
3) Posso, durante o escalonamento, colocar o multiplicador 
em outra linha que não seja a linha pivotal?
Nova matriz de coeficientes:










1200
210
423
A
Exercício 
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da 
Decomposição LU.
3) Posso, durante o escalonamento, colocar o multiplicador 
em outra linha que não seja a linha pivotal?
Fazendo então A = LU
Podemos perceber que, ao calcularmos a multiplicação 
L x U, não encontramos A. Daí concluímos que a 
multiplicação deve sempre ser feita na linha pivotal, como 
mostra a fórmula trabalhada em sala!
AUL 






































234
211
423
172/54/9
1059
423
1200
210
423
144/3
013
001
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 Os motivos para Pivoteamento Parcial na 
Decomposição LU são os mesmos de sua utilização 
na Eliminação de Gauss:
 Evitar pivô nulo
 Evitar que os multiplicadores mij tenham valores muito 
grandes
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 Relembrando... Matriz Identidade
 É uma matriz quadrada na qual os elementos situados na 
diagonal principal são iguais a um e, os demais, são nulos. 
É denotada por In. 
Sendo A uma matriz de ordem n, temos que









1000
010
001



nI
AAIIA nn  ..
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 No pivoteamento parcial, a decomposição é feita da 
forma:
PA = LU
onde P é uma matriz de permutações que será 
construída das linhas de uma matriz identidade I, 
colocadas na mesma ordem das linhas que geram a 
matriz triangular superior U. A matriz L é formada 
pelos multiplicadores utilizados na eliminação nas 
respectivas linhas de U. Assim, para resolver o 
sistema Ax = b, temos:
Ax = b PAx = Pb  LUx = Pb
Fazendo Ux = y, então Ly = Pb
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Resolver o sistema abaixo, utilizando a Decomposição 
LU, com Pivoteamento Parcial:
Passo 1: Aplicar o método da Eliminação de Gauss, com 
Pivoteamento Parcial, à matriz A. 
Primeiro pivô: 4





























29
15
11
564
182
231
3
2
1
x
x
x
     75,05,1056425,0231
25,0
1
31
11
1331311


L
a
amLmLL
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Obtemos então a seguinte matriz de coeficientes:
Segundo pivô: 5
     5,150564)5,0(182
5,0,
2
31
21
2332322


L
a
amLmLL











564
5,150
75,05,10
A
     2,1005,150)3,0(75,05,10
3,0
1
22
12
1221211


L
a
amLmLL
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz L é então constituída pelos multiplicadores 
relativos a cada uma das linhas pivotais, logo:







 











2,100
5,150
564
564
5,150
2,100
A




























13,025,0
015,0
001
1
01
001
1
01
001
1213
23
3231
21
mm
m
ll
lL
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz U é própria matriz de coeficientes, obtida após 
o pivoteamento:







 











2,100
5,150
564
564
5,150
2,100
A







 










2,100
5,150
564
00
0
33
2322
131211
u
uu
uuu
U
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz P possui as linhas de uma matriz identidade na 
ordem das linhas pivotais. P pode ser vista ainda como 
uma matriz similar à identidade com as linhas colocadas 
de modo que os elementos iguais a 1 estejam nas 
colunas relativas aos índices das linhas pivotais.







 











2,100
5,150
564
564
5,150
2,100
A









001
010
100
P
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Assim:
Assim, para resolver o sistema Ax = b, temos:
Ax = b PAx = Pb  LUx = Pb
Fazendo Ux = y, então Ly = Pb







 






























2,100
5,150
564
13,025,0
015,0
001
564
182
231
001
010
100
LUPA
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Passo 2: Calcular a solução do sistema Ly = Pb:
A multiplicação Pb ordena as linhas de b na ordem das 
linhas pivotais
Logo: 




























11
15
29
13,025,0
015,0
001
3
2
1
y
y
y
291 y
5,0295,015155,0 2221  yyyy
5,03,02925,011113,025,0 3321  yyyy
 Ty 6,35,029 
6,33 y
Decomposição LU – Pivoteamento Parcial
 Exemplo:
Passo 3: De posse do valor de y, calcular então a 
solução do sistema Ux = y:
Logo: 

























 
6,3
5,0
29
2,100
5,150
564
3
2
1
x
x
x
36,32,1 33  xx
15/)35,15,0(5,05,15 2232  xxxx
  4/35)1(62929564 1321  xxxx
 Tx 312 
21 x
Determinante
 Considerando que:
PA = LU  det (PA) = det (LU)
pela propriedade dos determinantes vista anteriormente:
 matriz triangular
 produto dos pivôs
 troca de linhas necessárias para 
transformar a matriz de permutações P em 
uma matriz identidade.
)det(
)det()det()det(
P
ULA 
1...)det(
1
332211  

n
i
iinn lllllL



n
i
iiuU
1
)det(
tP )1()det( 
Determinante
 Considerando que:
PA = LU  det (PA) = det (LU)
pela propriedade dos determinantes vista anteriormente:
Logo:
)det(
)det()det()det(
P
ULA 


 


n
i
ii
t
t
n
i
ii
u
u
A
1
1 )1(
)1(
1
)det(
Determinante
Exemplo: Calcular o determinante da matriz utilizada no 
último exemplo: 
Para calcular o determinante, precisamos encontrar o valor 
de t, isto é, o número de trocas de linhas necessárias para 
transformar a matriz P em uma matriz identidade. Voltando 
na matriz, percebemos que somente uma troca é 
suficiente. Assim, temos t=1 e:
242,154)1()1()det( 1
1
 

n
i
ii
t uA







 













2,100
5,150
564
564
182
231
A
Sistemas com Matriz Singular
 Quando a matriz de coeficientes do sistema linear for 
singular, ou seja, det(A) = 0, o sistema pode ter infinitas 
soluções ou não ter solução. Será mostrado como 
diferenciar essas situações.
 Exemplo:
Resolver os sistemas Ax = b e Ax = c utilizando a 
decomposição LU com pivoteamento parcial, sendo






























80
10
20
10
12
22
,
151
182
231
cebA
Sistemas com Matriz Singular
 Exemplo:Os três fatores são:
Para Ax=b, a solução do sistema Ly = Pb é dada por:
















 










100
001
010
000
5,110
182
,
115,0
015,0
001
PeUL




































0
16
12
10
22
12
115,0
015,0
001
3
2
1
y
y
y
y
Sistemas com Matriz Singular
 Exemplo:
A solução do sistema Ux = y é dada por:
Logo:

























 
0
16
12
000
5,110
182
3
2
1
x
x
x
)(00 333 soluçãoéxdequalquerxx 
5,116165,1 232  xxx
  2/)5,116(8121282 1321  xxxx
5,6701 x
Sistemas com Matriz Singular
 Exemplo:
Assim, o vetor solução do sistema é dado por
, ou seja, o sistema Ax=b
apresenta infinitas soluções, uma para cada valor de 
.
Para resolver o sistema Ax=c, não é necessário calcular 
novamente L, U e P. Como a matriz de coeficientes A é 
comum aos dois sistemas (Ax=b e Ax=c), os cálculos 
feitos anteriormente podem ser reaproveitados.
 Tx  5,1165,670 
 |
Sistemas com Matriz Singular
 Exemplo:
Assim, para Ax = c, solução de Ly = Pc é




































70
15
10
80
20
10
115,0
015,0
001
3
2
1
y
y
y
y
Sistemas com Matriz Singular
 Exemplo:
A solução do sistema Ux = y é dada por:
Logo:
Assim, o sistema Ax = c não tem solução pois tal 
que . 

























 
70
15
10
000
5,110
182
3
2
1
x
x
x
xxx  33 700
3x
00 3 x
Exercício
Resolva o sistema linear pela Decomposição LU, utilizando o 
pivoteamento parcial, e verificar a exatidão e unicidade da 
solução:
Solução:






234
322
943
31
321
321
xx
xxx
xxx










12/14/1
014/3
001
L











8/3500
4/1340
304
U







 

4/35
2/21
2
y









2
1
1
x









010
001
100
P 70)det( A
Exercício
Resolva o sistema linear pela Decomposição LU, utilizando o 
pivoteamento parcial, e verificar a exatidão e unicidade da 
solução:
Demonstrando a solução:
Fazendo a eliminação com pivoteamento parcial na matriz A:
Primeiro Pivô: 4











304
221
143
A
     4/13403044/3143
4
3
1
31
11
1331311


L
a
amLmLL






234
322
943
31
321
321
xx
xxx
xxx
Exercício
Resolva o sistema linear pela Decomposição LU, utilizando o 
pivoteamento parcial, e verificar a exatidão e unicidade da 
solução:
Obtemos então a seguinte matriz de coeficientes:
Segundo Pivô: -4
     4/11203044/1221
4
1,
2
31
21
2332322


L
a
amLmLL











304
4/1120
4/1340
A
     8/35004/1340)2/1(4/1120
2
1
1
22
12
3221211


L
a
amLmLL
Exercício
Resolva o sistema linear pela Decomposição LU, utilizando o 
pivoteamento parcial, e verificar a exatidão e unicidade da 
solução:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz P é então constituída pelas linhas da matriz 
Identidade, com as linhas trocadas, assim como em A, 
logo:






















8/3500
4/1340
304
304
8/3500
4/1340
A









010
001
100
P
Exercício
Resolva o sistema linear pela Decomposição LU, utilizando o 
pivoteamento parcial, e verificar a exatidão e unicidade da 
solução:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz L é então constituída pelos multiplicadores 
utilizados nas eliminações de cada uma das linhas, logo:



















12/14/1
014/3
001
1
01
001
3231
21
ll
lL






















8/3500
4/1340
304
304
8/3500
4/1340
A
Exercício
Resolva o sistema linear pela Decomposição LU, utilizando o 
pivoteamento parcial, e verificar a exatidão e unicidade da 
solução:
Nova matriz de coeficientes:
A matriz U é própria matriz de coeficientes, obtida após as 
eliminações e a troca de linhas:




















8/3500
4/1340
304
00
0
33
2322
131211
u
uu
uuu
U






















8/3500
4/1340
304
304
8/3500
4/1340
A
Exercício
Resolva o sistema linear pela Decomposição LU, utilizando o 
pivoteamento parcial, e verificar a exatidão e unicidade da 
solução:
Calcular a solução do sistema Ly = Pb:
A multiplicação Pb ordena as linhas de b na ordem das 
linhas pivotais.
Fazendo os cálculos, vamos encontrar:


























 3
9
2
12/14/1
014/3
001
3
2
1
y
y
y
 Ty 4/352/212
Exercício
Resolva o sistema linear pela Decomposição LU, utilizando o 
pivoteamento parcial, e verificar a exatidão e unicidade da 
solução:
De posse do valor de y, calcular então a solução do 
sistema Ux = y:
Fazendo os cálculos, vamos encontrar:
 Tx 211 







 




















4/35
2/21
2
8/3500
4/1340
304
3
2
1
x
x
x
Exercício
Resolva o sistema linear pela Decomposição LU, utilizando o 
pivoteamento parcial, e verificar a exatidão e unicidade da 
solução:
Provando a unicidade da solução:
Como o det (A) ≠ 0, logo o sistema tem solução 
única!






















8/3500
4/1340
304
304
221
143
A
70
8
3544)1()1()det( 2
1
 

n
i
ii
t uA
Cálculo da Matriz Inversa
 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, não-singular, 
isto é, det (A) ≠ 0. Uma matriz A-1 é a inversa de A se
A . A-1 = A-1 . A = I
onde V = A-1 é usado para simplificar a notação. 
Para calcular V, basta resolver os n sistemas lineares da 
forma:
Avi = ei, i = 1, 2, …, n
onde vi e ei são as i-ésimas colunas das matrizes 
inversa e identidade, respectivamente


























1000
010
001
321
22221
11211
321
22221
11211









nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
vvvv
vvv
vvv
aaaa
aaa
aaa
Cálculo da Matriz Inversa
 Exemplo: Calcular a inversa da matriz abaixo:
Solução:
Precisaremos então calcular a solução dos seguintes 
sistemas: Av1 = e1, Av2 = e2, Av3 = e3, onde:











3052
5106
264

































































1
0
0
,,
0
1
0
,,
0
0
1
,,
3052
5106
264
3
33
23
13
32
32
22
12
21
31
21
11
1 e
v
v
v
ve
v
v
v
ve
v
v
v
vA
Cálculo da Matriz Inversa
 Exemplo: Calcular a inversa da matriz abaixo:
Solução:
Como a matriz de coeficientes é mesma para os três 
sistemas, fazemos então a Decomposição LU de A:

































1000
3/853/50
5106
,
15/23/2
013/1
001
,
3052
5106
264
ULA









001
100
010
P
Cálculo da Matriz Inversa
 Exemplo: Calcular a inversa da matriz abaixo:
Solução:
Calculando então a solução de cada um dos sistemas:
Coluna 1: 
Para Av1 = e1, a solução do sistema Ly = Pe1 é dada por:
A solução do sistema Uv1 = y é dada por:





































1
0
0
1
0
0
15/23/2
013/1
001
3
2
1
y
y
y
y





































10/1
10/17
4/11
1
0
0
1000
3/853/50
5106
1
31
21
11
v
v
v
v
Cálculo da Matriz Inversa
 Exemplo: Calcular a inversa da matriz abaixo:
Solução:
Calculando então a solução de cada um dos sistemas:
Coluna 2: 
Para Av2 = e2, a solução do sistema Ly = Pe2 é dada por:
A solução do sistema Uv2 = y é dada por:





































5/4
3/1
1
0
0
1
15/23/2
013/1
001
3
2
1
y
y
y
y





































25/2
25/29
10/17
5/4
3/1
1
1000
3/853/50
5106
2
32
22
12
v
v
v
v
Cálculo da Matriz Inversa
 Exemplo: Calcular a inversa da matriz abaixo:
Solução:
Calculando então a solução de cada um dos sistemas:
Coluna 3: 
Para Av3 = e3, a solução do sistema Ly = Pe3 é dada por:
A solução do sistema Uv3 = y é dada por:





































5/2
1
0
0
1
0
15/23/2
013/1
001
3
2
1
y
y
y
y





































25/1
25/2
10/1
5/2
1
0
1000
3/853/50
5106
3
33
23
13
v
v
v
v
Cálculo da Matriz Inversa
 Exemplo: Calcular a inversa da matriz abaixo:
Solução:
Consequentemente, A-1 = V = [v1 v2 v3], ou seja:
A relação A . A-1 = I pode ser verificada: 


















04,008,01,0
08,016,17,1
1,07,175,2
25/125/210/1
25/225/2910/17
10/110/174/11
1A






























100
010
001
04,008,01,0
08,016,17,1
1,07,175,2
3052
5106
264
A
Exercício
Calcule a inversa da matriz abaixo:
Solução:









101
719
203
A












301
312
201
1A
Sistemas Lineares 
Métodos Iterativos
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Métodos Iterativos
 A solução de problemas complexos com sistemas 
lineares tende à geração/existência de matrizes de 
coeficientes grandes e/ou esparsas
 Grandes Comum para n > 100.000
 Esparsas Maioria dos coeficientes nulos
 Resolução de sistemas esparsos por métodos diretos
 Processos de triangularização e fatoração Onerosos, 
por não preservarem a esparsidade original, que pode ser 
útil por facilitar a resolução do sistema. 
Métodos Iterativos
 Métodos mais apropriados para a resolução de 
sistemas de natureza esparsa  Métodos Iterativos 
 Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel
Métodos Iterativos
 Os métodos iterativos consistem em gerar, a partir de 
um vetor inicial x0, uma sequência de vetores {x0, x1, x2, 
…, xk, …} que deve convergir para a solução x do 
sistema














)0(
)0(
3
)0(
2
)0(
1
nx
x
x
x















)1(
)1(
3
)1(
2
)1(
1
nx
x
x
x















)2(
)2(
3
)2(
2
)2(
1
nx
x
x
x
















)(
)(
3
)(
2
)(
1
k
n
k
k
k
x
x
x
x

Métodos Iterativos
 Lembretes importantes:
 Como todo processo iterativo, estes métodos sempre 
apresentarão um resultado aproximado, que será tão 
próximo do resultado real conforme o número de 
iterações realizadas. 
 Além disto, também é preciso ter cuidado com a 
convergência destes métodos.
Métodos Iterativos – Funcionamento 
 Os métodos iterativos funcionam a partir da 
transformação do sistema linear Ax = b em x = Cx + g, 
onde:
A: matriz dos coeficientes (n x n)
 x: vetor das variáveis (n x 1)
 b: vetor dos termos constantes, (n x 1)
C: matriz n x n
 g: vetor n x 1
Métodos Iterativos – Funcionamento 
 Conhecida a estimativa inicial, x(0), obtemos 
consecutivamente os vetores: 
 De um modo geral, a aproximação x(k+1) é calculada 
pela fórmula:
x(k+1) = C x(k) + g, k = 0, 1, ...
chamada de função de iteração, dada na 
forma matricial
o)aproximaçã ésima-(k ,
o)aproximaçã (segunda ,
o)aproximaçã (primeira ,
)1()(
)1()2(
)0()1(
gCxx
gCxx
gCxx
kk 




Sistemas Lineares 
Gauss - Jacobi
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Método de Gauss – Jacobi 
 Dado o sistema linear:
e supondo , i = 1, …, n.






nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111

0iia
Método de Gauss – Jacobi 
Isolamos então o vetor x mediante a separação pela 
diagonal. Assim, a partir da primeira equação do 
sistema:
obtemos:
e, analogamente:
11212111 ... bxaxaxa nn 
)...(1 13132121
11
1 nnxaxaxaba
x 
)...(1 23231212
22
2 nnxaxaxaba
x 

)...(1 112211  nnnnnn
nn
n xaxaxaba
x
Método de Gauss – Jacobi 
 Dessa forma, temos x = C x + g, onde:
x(k+1) C x(k) g














































nnnnnnnnnnnnn
n
n
n
n ab
ab
ab
ab
x
x
x
x
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
x
x
x
x
/
/
/
/
0
0
0
0
333
222
111
3
2
1
321
33333323331
22222232221
11111131112
3
2
1







Método de Gauss – Jacobi 
 O método de Gauss-Jacobi consiste em, dado , 
aproximação inicial, obter através da 
relação recursiva :
)0(x   ......,1 kxx    gCxx kk 1














)...(1
)...(1
)...(1)(
11,
)(
22
)(
11
)1(
)(
2
)(
323
)(
1212
22
)1(
2
)(
1
)(
313
)(
2121
11
)1(
1
k
nnn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
kkk
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x

Método de Gauss – Jacobi 
 O processo é repetido até que o vetor esteja 
suficientemente próximo ao vetor
 A distância entre duas iterações é dada por
assim, dada uma precisão , o vetor será 
escolhido como , solução aproximada da solução 
exata, se
 Podemos utilizar também como critério de parada o a 
distância relativa:
 1kx kx
 - max d (k)i
)1(k
i
1)(k xx  
 1kx
x
 d 1)(k 
 
 
 max 
d
 d )1(
1)(k
1)(k
r  


k
ix
Método de Gauss – Jacobi 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi com : 05,0
0,6
1,6-
0,7
)0( 








 ex






6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Método de Gauss – Jacobi 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
O processo iterativo é dado por:






6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 












10
6 0 
10
3
10
2 3 26
10
1 
5
8 
5
1 0
5
1 8
5
1 
10
7 
10
1 
10
20) 2 (7 
10
1
)(
3
)(
2
)(
1
)(
2
)(
1
)1(
3
)(
3
)(
2
)(
1
)(
3
)(
1
)1(
2
)(
3
)(
2
)(
1
)(
3
)(
2
)1(
1
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
Método de Gauss – Jacobi 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Na forma matricial temos:






6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx



03/10– 1/5-
1/5-01/5-
1/10 -2/10 -0
C
    gCxx kk 1









6/10
8/5-
7/10
ge
Método de Gauss – Jacobi 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Assim para k=0 e temos:






6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx






94,06,0)6,1(3,07,02,0 6,0 3,02,0 
86,16,16,02,07,02,06,1 2,0 2,0 
96,07,06,0 1,0 )6,1(2,07,0 1,0 2,0
)0(
2
)0(
1
)1(
3
)0(
3
)0(
1
)1(
2
)0(
3
)0(
2
)1(
1
xxx
xxx
xxx









0,6
1,6-
0,7
)0(x
Método de Gauss – Jacobi 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Logo: 






6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx









0,94
1,86-
0,96
 g C (0)(1) xx
 1828,0
86,1
34,0
max
34,0d
)1(
)1(
i
r x
Método de Gauss – Jacobi 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Calculando , para temos: d(1)r


















0,94
1,86-
0,96
 
6,0
6,1-
7,0
 (1))0( xex






6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
34,0 -
26,0 -
26,0 -
)0(
3
)1(
3
)0(
2
)1(
2
)0(
1
)1(
1



xx
xx
xx
Método de Gauss – Jacobi 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Assim para k=1 e temos:






6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx






966,06,0)86,1(3,096,02,0 6,0 3,02,0 
98,16,194,02,096,02,06,1 2,0 2,0 
978,07,094,0 1,0 )86,1(2,07,0 1,0 2,0
)1(
2
)1(
1
)2(
3
)1(
3
)1(
1
)2(
2
)1(
3
)1(
2
)2(
1
xxx
xxx
xxx









0,94
1,86-
0,96
)1(x
Método de Gauss – Jacobi 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Logo: 






6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx









0,966
1,98-
0,978
 g C )1()2( xx
 0,0606
98,1
12,0
max
12,0d
)2(
)2(
i
r x
Método de Gauss – Jacobi 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Calculando , para : d(2)r


















0,966
1,98-
0,978
 
0,94
1,86-
0,96
 )2()1( xex






6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
026,0 -
12,0 -
018,0 -
)1(
3
)2(
3
)1(
2
)2(
2
)1(
1
)2(
1



xx
xx
xx
Método de Gauss – Jacobi 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Prosseguindo com as iterações temos:
Para k=2






6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 0,0163 
1,9888
0,0324 d
0,9984
1,9888-
0,9994
 g C (2)r
(2)(3) 








 xx
Método de Gauss – Jacobi 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Jacobi : 
Logo a solução obtida pelo método de Gauss-Jacobi é:






6 10 3 2 
8 5 
7 2 10
321
321
321
xxx
xxx
xxx









0,9984
1,9888-
0,9994
 (3)xx
Método de Gauss – Jacobi – Convergência 
 No exemplo estudado, o valor de foi fornecido 
como entrada do problema. Todavia, a convergência 
ou não dos métodos iterativos independe da 
aproximação inicial escolhida
 Teorema: Critério das Linhas
Dado um sistema Ax=b, é condição suficiente para a 
convergência do método iterativo de Gauss-Jacobi:
ou seja, o somatório do módulo de todos os elementos 
da linha, exceto o elemento da diagonal principal, 
deve ser menor que este elemento
(0)x
n ..., 3, 2, 1,i para ,
1


ii
n
ij
j
ij aa
 Analisando a matriz A do sistema linear do exemplo 
anterior:
Assim:
Logo, como temos a 
convergência garantida para o método de Gauss-Jacobi
Método de Gauss – Jacobi – Convergência 









1032
151
1210
A
53210
2115
31210
323133
232122
131211



aaa
aaa
aaa
3 2, 1,i para 
1


ii
n
ij
j
ij aa
 Exemplo: Dado o sistema:
O critério das linhas não é satisfeito pois:
Contudo, se permutarmos a primeira equação com a 
segunda, temos o sistema linear: 
Método de Gauss – Jacobi – Convergência 






686
3225
23
32
321
321
xx
xxx
xxx
4131 131211  aaa






686
23
3225
32
321
321
xx
xxx
xxx
 Exemplo: Dado o sistema:
O novo sistema é equivalente ao sistema original e 
sua matriz A satisfaz o critério de linhas:
Método de Gauss – Jacobi – Convergência 






686
3225
23
32
321
321
xx
xxx
xxx








860
131
225
A
 Conclusão:
 Sempre que o critério de linhas não for satisfeito, 
devemos tentar uma permutação de linhas e/ou colunas 
de forma a obtermos uma disposição para a qual a 
matriz dos coeficientes satisfaça o critério de linhas
Método de Gauss – Jacobi – Convergência 
 Calcule as 3 primeiras iterações do método de Gauss-
Jacobi do sistema linear abaixo. Verifique, para a 
ultima iteração, se a distância relativa entre e é 
menor que :
Utilize como chute inicial:
Sol.: 
Exercício






5152
3865
7924
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 Tx 321 )0( 









533,0
667,3
5,7
 )1(x










656,0
039,5
783,4
 )2(x









686,0
361,4
246,2
 )3(x
05,0 
)3(x )2(x
 611,1
361,4max
783,4246,2
d )3(r
Sistemas Lineares 
Gauss - Seidel
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Método de Gauss – Seidel 
 Similarmente ao método de Gauss-Jacobi, conhecida a 
estimativa inicial, x(0), obtemos consecutivamente os 
vetores x(1), x(2), ..., x(k)
 Todavia, ao calcularmos xj(k+1), utilizamos todos os 
valores x1(k+1), x2(k+1), ..., xj-1(k+1) que já foram calculados 
e os valores xj+1(k), xj+2(k), ..., xn(k) restantes 
Método de Gauss – Seidel 
 O processo do método de Gauss - Seidel se dá a partir 
das equações: 
 
 
 
 






















1
11,
1
22
1
11
1
311,3
1
232
1
1313
33
1
3
211,2323
1
1212
22
1
2
111,13132121
11
1
1
...1
...1
...1
...1
k
nnn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
k
nn
kkk
k
nn
k
nn
kkk
k
nn
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x

Método de Gauss – Seidel 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel com : 05,0
0
0
0
)0( 








 ex






0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Método de Gauss – Seidel 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
O processo iterativo é dado por:
 
 












 
6
3
6
3
6
0 3 30
6
1 
 
4
1 
4
3
4
6 36
4
1 
 
5
1 
5
1
5
5) 5( 
5
1
)1(
2
)1(
1
)1(
2
)1(
1
)1(
3
)(
3
)1(
1
)(
3
)1(
1
)1(
2
)(
3
)(
2
)(
3
)(
2
)1(
1
kkkkk
kkkkk
kkkkk
xxxxx
xxxxx
xxxxx






0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Método de Gauss – Seidel 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Assim para k=0 e temos:






875,075,05,015,00 5,05,00 
75,0025,0175,05,1 25,0 75,05,1 
10 2,0 02,01 2,0 2,01
)1(
2
)1(
1
)1(
3
)0(
3
)1(
1
)1(
2
)0(
3
)0(
2
)1(
1
xxx
xxx
xxx









0
0
0
)0(x






0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Método de Gauss – Seidel 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Logo: 










875,0
75,0
1
 g C (0)(1) xx






0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
875,0 -
75,0 -
1 -
)0(
3
)1(
3
)0(
2
)1(
2
)0(
1
)1(
1



xx
xx
xx
Método de Gauss – Seidel 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Calculando , para temos: d(1)r



















875,0
75,0
1
 
0
0
0
 (1))0( xex






0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 1
1
1
max
1d
)1(
)1(
i
r x
Método de Gauss – Seidel 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Assim para k=1 e temos:






9875,095,05,0025,15,00 5,05,00 
95,0875,025,0025,175,05,1 25,0 75,05,1 
025,1875,0 2,0 75,02,01 2,0 2,01
)2(
2
)2(
1
)2(
3
)1(
3
)2(
1
)2(
2
)1(
3
)1(
2
)2(
1
xxx
xxx
xxx









0,875-
0,75
1
)1(x






0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Método de Gauss – Seidel 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Logo: 










9875,0
95,0
025,1
 g C )1()2( xx






0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 1951,0
025,1
2,0
max
2,0d
)2(
)2(
i
r x
Método de Gauss – Seidel 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Calculando , para : d(2)r




















9875,0
95,0
025,1
 
875,0
75,0
1
 )2()1( xex






0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
1125,0 -
20,0 -
025,0 -
)1(
3
)2(
3
)1(
2
)2(
2
)1(
1
)2(
1



xx
xx
xx
Método de Gauss – Seidel 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Prosseguindo com as iterações temos:
Para k=3
ε 4090,0 d
9930,9
9912,0
0075,1
 g C )3(r
)2()3( 









 xx






0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Método de Gauss – Seidel 
 Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-
Seidel: 
Prosseguindo com as iterações temos:
Logo a solução obtida pelo método de Gauss-Seidel é:






0 6 3 3
6 4 3
5 5
321
321
321
xxx
xxx
xxx










9930,9
9912,0
0075,1
 )3(xx
Método de Gauss – Seidel – Convergência 
 Para o método de Gauss - Seidel, utilizaremos os 
seguintes critérios de convergência
 Critérios das Linhas
 Critério de Sassenfeld (novo!)
Critério de Sassenfeld
 Sejam o valores dados por:
n - ordem do sistema linear que desejamos resolver
aij - coeficientes das equações do sistema
Este critério garante que o método de Gauss-Seidel 
convergirá para um dado SEL se o valor M, definido por: 
for menor que 1 (M<1). Além disso, quanto menor o 
valor de mais rápida será a convergência 
n ..., 3, 2, i para
11
1
1
12
1
11
1



  



n
ij
ij
i
j
jij
ii
i
n
j
j aaa
ea
a

i
iM ni max1 

Critério de Sassenfeld
 Seja A a matriz dos coeficientes dada por:
 Atenção: assim como no Critério das Linhas a 
permuta de equações também pode ser utilizada no 
Critério de Sassenfeld com o objetivo de 
garantir a convergência








44434241
34333231
24232221
14131211
 
 
 
 
aaaa
aaaa