06 Ajuste de Curvas

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Ajuste de Curvas
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Programa
1. Introdução
a) Caso Discreto
2. Método dos Quadrados Mínimos
3. Caso Não-Linear
Ajuste de Curvas
Introdução
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Introdução
 No capítulo anterior vimos uma forma de trabalhar com 
uma função definida por uma tabela: a interpolação 
polinomial 
 Nem sempre a interpolação é aconselhável:
 Quando se quer aproximar um valor da função fora do 
intervalo de tabelamento (extrapolação).
 Quando os valores são medidas experimentais com erros. 
Nesse caso, a função deve passar pela barra de erros e 
não pelos pontos.
Introdução
 Graficamente, a extrapolação e o ajuste por barras de 
erros são vistos abaixo:
xexf )(
x
)(xf
x
 xf
Curva ajustada
Curva extrapolada
Barra de 
erros
Introdução
 É necessário então ajustar essas funções tabeladas por 
uma função que seja uma “boa aproximação” e que nos 
permita “extrapolar” com certa margem de segurança
 Devemos então aproximar f(x) por outra função x), 
escolhida de uma família de funções ou por uma soma 
de funções em duas situações distintas:
 Caso discreto: quando a função f é dada por uma tabela 
de valores
 Caso contínuo: quando a função f é dada por sua forma 
analítica
Introdução
 Caso discreto:
 Caso contínuo:
Introdução – Caso Discreto
 Dados os pontos 
em um intervalo [a,b], devemos escolher funções 
, e constantes 
tais que a função
se aproxime de
 Este modelo é dito linear pois os coeficientes a 
determinar aparecem linearmente
 Note que as funções podem ser 
funções não-lineares, como por exemplo
     )(,,......,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n n ,.......,, 21
)(...)()()( 2211 xgxgxgx nn 
)(xf
n ,.......,, 21
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
  .......,1)(,)( 221 xxgexg x 
Introdução – Caso Discreto
 Problema 1
 Como escolher as funções ?
 Podemos escolher as funções 
observando os pontos tabelados (diagrama de 
dispersão) ou a partir de conhecimentos teóricos do 
experimento
 Assim, dada uma tabela de pontos 
, devemos, 
primeiramente, colocar esses pontos em um gráfico 
cartesiano, o que vai nos permitir visualizar a 
curva que melhor se ajusta aos dados
)(,...,)(,)( 21 xgxgxg n
     )(,,......,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
Introdução – Caso Discreto
 Exemplo: Dada a tabela: 
 Devemos construir o diagrama de dispersão
x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1,0
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05
Introdução – Caso Discreto – Diagrama de 
Dispersão
Introdução – Caso Discreto
 Escolhemos a partir da forma dos pontos no 
diagrama de dispersão
 Procuramos a função que se aproxime ao máximo 
de e que tenha a forma 
parábola passando pela origem
 Problema 2: 
 Qual o valor de gera melhor ajuste da parábola?
2
1 )( xxg 
)(xf 211 )()( xxgx  

Introdução – Caso Discreto
 Uma vez escolhidas as funções g1(x), g2(x), ..., gn(x), 
temos de estabelecer o conceito de proximidade entre 
as funções (x) e f(x) para obter as constantes 1, 2, 3, …, n
 Uma possibilidade é impor que o desvio entre f(x) e 
(x), ou seja, dk = (f(xk) - ϕ(xk)) seja mínimo para todos 
os pontos (k =1, 2, ...., m)
 Existem varias formas de impor que os desvios sejam 
mínimos. Estudaremos o Método dos Quadrados 
Mínimos 
Ajuste de Curvas
Método dos Quadrados Mínimos
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Método dos Quadrados Mínimos 
 Método dos Quadrados Mínimos - Consiste em 
escolher os j’s de modo que a soma dos quadrados 
dos desvios seja mínima
 deve ser mínimo


m
k
kk
m
k
k xxf
1
2
1
2 ))()((d
 Recapitulando, no caso discreto temos o tabelamento 
dos pontos como 
entrada do problema
 Dadas as funções , escolhidas 
de alguma forma, nosso objetivo então é encontrar os 
coeficientes tais que a função
Se aproxime ao máximo de f(x)
     )(,...,,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx
)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n
n ,.......,, 21
Método dos Quadrados Mínimos 
)(...)()()( 2211 xgxgxgx nn 
 Seja o desvio em :
 Se a soma dos quadrados dos desvios
é mínima, cada desvio 
será pequeno. Assim, j’s devem ser tais que 
minimizem a função
 Se a aproximação (x) for perfeita  somatório acima 
será nulo, que é o que acontece na interpolação
)()( kkk xxf d



m
k
kk
m
k
k xxf
1
2
1
2 ))()((d
)()( kkk xxf d



m
k
kkn xxf
1
2
21 )]()([),,(  F
kx
Método dos Quadrados Mínimos 
 Para obter um ponto mínimo devemos encontrar os 
números críticos, ou seja, valores para os j’s tais que 
as n derivadas parciais se anulem simultaneamente
onde
nj
n
j


2,1,0
),,,( 21



F



m
k
kkn xxf
1
2
21 )]()([),,,(  F
Método dos Quadrados Mínimos 



m
k
knnkkk xgxgxgxf
1
2
2211 )]()()()([  
 Calculando as derivadas parciais para cada um dos j’s
temos:



 m
k
kknnkkk xgxgxgxgxf
n
1
12211
),,,(1
)]()][()()()([2
21
 


F
Método dos Quadrados Mínimos 



 m
k
kknnkkk xgxgxgxgxf
n
1
22211
),,,(2
)]()][()()()([2
21
 


F



 m
k
knknnkkk
n
xgxgxgxgxf
n
1
2211
),,,(
)]()][()()()([2
21
 


F
 
 Igualando a zero, temos:
0)]()][()()()([
1
12211 

m
k
kknnkkk xgxgxgxgxf  
Método dos Quadrados Mínimos 
0)]()][()()()([
1
2211 

m
k
knknnkkk xgxgxgxgxf  
0)]()][()()()([
1
22211 

m
k
kknnkkk xgxgxgxgxf  
 
 Ou seja, temos um sistema linear a resolver:
















0)]()][()()()([
 
0)]()][()()()([
0)]()][()()()([
1
2211
1
22211
1
12211
m
k
knknnkkk
m
k
kknnkkk
m
k
kknnkkk
xgxgxgxgxf
xgxgxgxgxf
xgxgxgxgxf







Método dos Quadrados Mínimos 
 Reescrevendo o sistema
 Sistema linear com n equações e com n incógnitas 
(1, 2, 3, ..., n)
















m
k
knk
m
k
nknkn
m
k
knk
m
k
kk
m
k
nkkn
m
k
kk
m
k
kk
m
k
nkkn
m
k
kk
xgxfxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxg
111
11
1
2
1
2
1
121
1
1
1
1
1
111
)()()]()([)]()([
 
)()()]()([)]()([
)()()]()([)]()([







Método dos Quadrados Mínimos 
 O sistema linear pode ser reescrito na forma matricial 
A = b:
onde A = (aij) tal que 
ou seja, A é uma matriz simétrica, e 
é tal que 






nnnnnn
nn
nn
baaa
baaa
baaa



...
...
...
2211
22222121
11212111

jiki
m
k
kjkj
m
k
kiij axgxgxgxga  

)()()()(
11
tn ]...,,,[ 21  
t
nbbbb ]...,,,[ 21 


m
k
kiki xgxfb
1
)()(
Método dos Quadrados Mínimos 
Método dos Quadrados Mínimos – Passo a 
Passo
 O funcionamento do Método dos Quadrados Mínimos 
pode ser dividido em 4 passos:
 Passo 1:
 Depois de escolhida a função ajuste (x) identificar nela 
as funções auxiliares g(x) tal que (x) seja do tipo:
 Passo 2:
 Montar o sistema de equações. O numero de equações do 
sistema é igual ao numero de funções auxiliares gi(x) ( 
igual ao numero de incógnitas i )
)(...)()()( 2211 xgxgxgx nn 
Método dos Quadrados Mínimos – Passo a 
Passo
 Passo 2:
 No caso da reta
teremos um sistema com 2 equações:
 No caso de uma parábola
teremos um sistema 
com 3 equações:
exgxx 1)()( 121  
xxg )(2







2
1
2
1
2221
1211
b
b
aa
aa


 2321)( xxx 
2
321 )()(,1)( xxgexxgxg 


























3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
aaa
aaa
aaa



Método dos Quadrados Mínimos – Passo a 
Passo
 Passo 2:
 No caso de uma exponencial simples
teremos um sistema com 1 equação:
 Passo 3:
 Calcular os coeficientes aij e bi do passo 2. Esses 
coeficientes são definidos pelos seguintes somatórios e 
após seu calculo obteremos números
número de pontos experimentais
 xex 1)( 
xexg )(1
1111 ba 
jikj
m
k
kiij axgxga 

)()(
1



m
k
kiki xgxfb
1
)()(
Método dos Quadrados Mínimos – Passo a 
Passo
 Passo 4:
 Reescrever o sistema de equações do passo 2 (agora os 
aij e bi são números) e resolvê-lo, por exemplo, utilizando 
o método de eliminação de Gauss ou algum método 
iterativo (Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel).
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para 
Solução:
Nesse caso temos o que resulta em 
termos Para encontrarmos 1 e 
2, resolveremos o sistema de 2 equações abaixo: 
. )(e1)( 21 xxgxg 
xxxf 21)()(  
. )(e1)( 21 xxgxg 







2
1
2
1
2221
1211
b
b
aa
aa


Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para 
Solução:
Escrevendo o sistema em termos dos aij e bi, ficamos assim:
. )(e1)( 21 xxgxg 

















4
1
22
4
1
221
4
1
21
4
1
12
4
1
121
4
1
11
)()()()()()(
)()()()()()(
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
xgxfxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxg


Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para 
Solução:
Calculando os termos da primeira equação:
= 1
= xk = 1
= 1
 


4
1
22222
1
4
1
11 41111)()()(
k
k
k
kk xgxgxg
913131211)()(
4
1
1 
k
kk xgxf
2218171512)()(
4
1
12 
k
kk xgxg
. )(e1)( 21 xxgxg 
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para 
Solução:
Calculando os termos da segunda equação:
= 1 = xk
= xk = xk
= xk
5738372512)()(
4
1
2 
k
kk xgxf
  1428752)()()( 22224
1
2
2
4
1
22 
 k
k
k
kk xgxgxg
2281715121)()(
4
1
21 
k
kk xgxg
. )(e1)( 21 xxgxg 
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para 
Solução:
Logo, chegamos ao seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema acima pela Eliminação de Gauss 
chegamos à solução:
. )(e1)( 21 xxgxg 











57
9
14222
224
5714222
9224
2
1
21
21




T



14
5
7
2
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Encontre a reta de quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos (2, 1), (5, 2), (7, 3), (8, 3). 
Calculemos para 
Solução:
Substituindo os valores encontrados na equação original:
O caso em que a curva f é ajustada a uma reta 
é chamado de Regressão Linear.
. )(e1)( 21 xxgxg 
xxxf 21)()(  
xxxf
14
5
7
2)()( 
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
Método dos Quadrados Mínimos - Retas
 Exemplo: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
Solução:
Para encontrarmos 1, 2 e 3 resolveremos o sistema de 3 
equações a seguir:
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0


























3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
aaa
aaa
aaa



Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Exemplo: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
Escrevendo o sistema em termos dos aij e bi, temos:
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0


































8
1
33
8
1
332
8
1
321
8
1
31
8
1
23
8
1
232
8
1
221
8
1
21
8
1
13
8
1
132
8
1
121
8
1
11
)()()()()()()()(
)()()()()()()()(
)()()()()()()()(
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
xgxfxgxgxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxgxgxg
xgxfxgxgxgxgxgxg



Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
9,2 1 0,2 1 7,1
 1 5,1 1 1,2 1 8,0 1 9,0 1 6,0 1 5,0)()(
8
1
1


k
kk xgxf
361817
161514131211)()(
8
1
12


k
kk xgxg
2041817
161514131211)()(
22
222222
8
1
13


k
kk xgxg
 


8
1
222222222
1
8
1
11 811111111)()()(
k
k
k
kk xgxgxg
Calculando os termos da primeira equação:
= 1
= xk = 1
= xk2 = 1
= 1
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
368171
615141312111)()(
8
1
21


k
kk xgxg
 
20487
654321)()()(
22
222222
8
1
2
2
8
1
22


 k
k
k
kk xgxgxg
50,5 8 0,2 7 7,1
 6 5,1 5 1,2 4 8,0 3 9,0 2 6,0 1 5,0)()(
8
1
2


k
kk xgxf
12968877
665544332211)()(
22
222222
8
1
23


k
kk xgxg
Calculando os termos da segunda equação:
= 1 = xk
= xk = xk
= xk2 = xk
= xk
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
2048171
615141312111)()(
22
222222
8
1
31


k
kk xgxg
12968877
665544332211)()(
22
222222
8
1
32


k
kk xgxg
319,1 8 0,2 7 7,1 6 5,1
 5 1,2 4 8,0 3 9,0 2 6,0 1 5,0)()(
222
22222
8
1
3

k
kk xgxf
 
877287
654321)()()(
44
444444
8
1
2
3
8
1
33


 k
k
k
kk xgxgxg
Calculando os termos da terceira equação:
= 1 = xk2
= xk = xk2
= xk2 = xk2
= xk2
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
Logo, chegamos ao seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema acima pela Eliminação de Gauss 
chegamos à solução:







1,31987721296204
5,50129620436
2,9204368
321
321
321



 T0,01550,07740,4071

























1,319
5,50
2,9
87721296204
129620436
204368
3
2
1



Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Exemplo: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
Solução:
Substituindo os valores encontrados na equação original:
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  
x 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0
2
321)()( xxxxf  
20155,00774,04071,0)()( xxxxf 
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Voltando ao nosso primeiro exemplo…
 Encontre a parábola através dos quadrados mínimos que 
melhor se ajusta aos pontos da tabela
Solução:
Nesse caso, podemos fazer o ajuste por uma parábola da 
forma . Todavia, vimos pelo 
diagrama de dispersão que uma parábola que passa pela 
origem seria também uma boa escolha, ou seja , 
com Para encontrarmos 1, basta resolvermos 
a equação .
x -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1,0
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05
2
321)()( xxxxf  
2
1)( xx  
. )( 21 xxg 
1111 ba 
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
Montando os termos da equação:
Calculando os termos:



11
1
1
11
1
111 )()()]()([
k
kk
k
kk xgxfxgxg 
 
8464,2)1()7,0()5,0()4,0()2,0(
)0()3,0()5,0()6,0()75,0()0,1()(
44444
444444
11
1
4


k
kx
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
   


11
1
2
1
11
1
4 )()()(
k
kk
k
k xfxx 
  2111
1
11
11
1
2
1 )()()()( kk
k
kk
k
k xxgcomoxgxfxg  


Calculando os termos:
Substituindo na equação original, temos
 
8756,505,2)1(2,1)7,0(
512,0)5,0(6,0)4,0(2,0)2,0(0)0(
5,0)3,0(4,0)5,0(45,0)6,0(
153,1)75,0(05,2)0,1()()(
22
2222
222
22
11
1
2




k
kk xfx
2
11 0642,2)(0642,28756,58464,2 xx  
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Comentários:
 Note que a parábola pela origem que melhor ajusta os 
pontos fornecidos, através Método dos Quadrados 
Mínimos, é dada por
 Uma parábola da forma permitiria 
um melhor ajuste dos pontos, entretanto seria necessária 
a resolução de um sistema 3x3, o que aumentaria o tempo 
de processamento
20642,2)( xx 
2
321)( xxx  
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
 Exercício: Ajuste os dados abaixo pelo método dos 
quadrados mínimos utilizando uma parábola do tipo
Resposta: 
2
321
2
321 )()(,1)()( xxgexxgxgxxx  
x 0 1 2 3 4
f(x) 27 42 60 87 127
Método dos Quadrados Mínimos – Parábolas
221,464,703,28)( xxx 

























3097
931
343
35410030
1003010
30105
3
2
1












21,4
64,7
03,28

Ajuste de Curvas
Caso Não-Linear
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Caso Não-Linear
 Em alguns casos, a família de funções escolhidas pode 
não ser linear nos parâmetros
 Ex: Função exponencial do tipo , 
sendo 1 e 2 positivos 
 Para aplicar o Método dos Quadrados Mínimos torna-se 
necessário o uso de alguma transformação linear
 Ex: . Se 
e que é um problema 
linear nos parâmetros b1 e b2
xaexxf 21)()(
 
xyzey xa 211 )ln()ln(2    )ln( 11 b
)()ln( 2122 xxbbyb  
Caso Não-Linear
 Aplicamos então o Método dos Quadrados Mínimos na 
resolução do problema linearizado. Utilizamos então os 
valores encontrados para calcular os parâmetros 
originais
 Observação: Os parâmetros 1 e 2 não serão ótimos 
dentro do critério dos quadrados mínimos, pois vamos 
aplicar o método ao problema linearizado e não ao 
problema original
Caso Não-Linear
 Exemplo: Suponhamos que em um laboratório 
obtivemos experimentalmente os seguintes valores para 
f(x) sobre os pontos xi, i = 1, 2, ..., 8
Fazendo diagrama de dispersão dos dados
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
f(x) 36,547 17,264 8,155 3,852 1,820 0,860 0,406 0,246
Caso Não-Linear
O gráfico de dispersão nos sugere um ajuste
xexy 21)(
 
Caso Não-Linear
 Como vimos, a linearização a ser feita é
 Logo, ajustaremos por quadrados mínimos, 
encontrando , onde 
. Assim, temos: 
)()ln()ln()ln( 211 2 xxeyz
xa   
)ln( yz 
xbbx 21)(  eb )ln( 11 
22 b
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Solução:
Montando o sistema linear. Utilizando 
(caso linear) e lembrando que b1 e b2 serão a solução desse 
sistema:

















8
1
22
8
1
221
8
1
21
8
1
12
8
1
121
8
1
11
)()()()()()(
)()()()()()(
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
xgxzbxgxgbxgxg
xgxzbxgxgbxgxg
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
xxgxg  )(e1)( 21
Solução:
Calculando os termos da primeira equação:
= 1
= xk = 1
= 1
 


8
1
2
1
8
1
11 8)()()(
k
k
k
kk xgxgxg
041,8)()(
8
1
1 
k
kk xgxz
3,0)()(
8
1
12 
k
kk xgxg
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Solução:
Calculando os termos da segunda equação:
= 1 = xk
= xk = xk
= xk
646,8)()(
8
1
2 
k
kk xgxz
59,3)()(
8
1
22 
k
kk xgxg
3,0)()(
8
1
21 
k
kk xgxg
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Solução:
Logo, chegamos ao seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema acima pela Eliminação de Gauss 
chegamos à solução:












646.8
041,8
59,33,0
3,08
646,859,33,0
041,83,08
2
1
21
21
b
b
bb
bb
 Tb 5,2099,1 
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Solução:
Agora,
Assim, a função 
Caso Não-Linear
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
5,2
001,3)ln(
222
099,1
1111
1




b
eeb b
xx eex 5,21 001,3)( 2
  
 Existem outras situações em que será preciso fazer a 
linearização da curva ajustada aos pontos do diagrama 
de dispersão:
 Hipérbole:
 Curva Exponencial:
 Curva Trigonométrica:
Caso Não-Linear
)(1
21
x
xy   xyz 21
1  
)(21 xy
x  
))()ln()ln()ln(,0( 2121 xxbbxyzyse  
1b 2b
)()cos(21 xwxy  
ttwxt 21)()cos(  
Teste de Alinhamento
 Há uma maneira simples de averiguar se a curva de 
ajuste foi ou não bem escolhida:
 Nos m pontos experimentais {(x1,y1), ..., (xm,ym)}, calcular 
as correspondentes trocas de variáveis
 Por exemplo, 
 Fazer o diagrama de dispersão desses novos dados (z, x)
 Verificar o alinhamento dos pontos
miyz i  1,ln1
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
y 36,547 17,264 8,155 3,852 1,820 0,860 0,406 0.246
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z = ln(y) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Teste de Alinhamento
 Exercício: O número de bactérias, por unidade de 
volume, existente em uma cultura após x horas é dado 
na tabela abaixo:
a) Ajuste os dados acima à curva pelo método dos 
quadrados mínimos.
Resposta: 
b) Quantas horas seriam necessárias para que o número de 
bactérias por unidade de volume ultrapasse 2000?
Resposta: 11,64 hrs
Caso Não-Linear
x 0 1 2 3 4 5 6
y 32 47 65 92 132 190 275
xey 21

xeyxy 355,0104,32355,0469,3ln 