Intervalo de Confiança e Teste de Hipótese

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2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
1 - Estimação de Parâmetros
2 - Teste de Hipóteses
3 - Análise de Variância
4 – Análise de Regressão
5 - Amostragem de Aceitação
6 – Estatística Não paramétrica
Estatística Avançada
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
1 - Estimação de Parâmetros
Estimação de Parâmetros
Estimação consiste em obter parâmetros de
interesse com base em dados amostrais.
Estimação Pontual
Uma estimativa pontual de uma parâmetro
populacional é um valor numérico de uma
estatística correspondente àquele parâmetro
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da QualidadeEstimação Pontual
Parâmetros (população) Estimador (amostra) 
Nome Notação Notação Fórmula 
Média  
x 
x
x
n
i

 
Desvio padrão  s/c4 
 
s
x x
n
i
i
n





2
1
1
 
Proporção P p 
p
x
n

 
 
1 - Estimação de Parâmetros
onde c4 é um valor tabelado de acordo com o tamanho da amostra.
n 4 5 8 10 12 15 18 20 25
c4 0,921
3
0,940
0
0,965
0
0,972
7
0,977
6
0,982
3
0,985
4
0,986
9
0,989
6
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação Intervalar
Consiste em construir um Intervalo que
contém, com grau de confiança conhecido,
o verdadeiro valor do parâmetro populacional
Os intervalos mais utilizados são de 90 95
e 99% de confiança.
Estimação de Parâmetros
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da QualidadeIntervalo de Confiança para Média
Grandes amostras (n > 30)
O intervalo com 100(1-)% de confiança
para o parâmetro  é dado por:
Estimação de Parâmetros
n
s
zx
n
s
zx
22
  
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Exemplo.: De uma população de 400 peças produzidas
uma amostra de 36 peças apresentou um comprimento
médio de 56 cm de desvio padrão de 5,8 cm. Construa
um I.C. de 95% para a o comprimento médio de toda a
população
Estimação de Parâmetros
36
8,5
96,156
36
8,5
96,156  
89,5711,54  
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
 Para n fixo, aumentar o valor do coeficiente de
confiança significa aumentar o tamanho do
intervalo.
 Um I.C. muito largo não é desejável pois é pouco
preciso, na prática usamos um coeficiente da
ordem 90, 95 e 99%
 n < que o necessário
I.C. muito longo  Impossibilita a tomada de
decisões
 n > que o necessário
I.C. muito estreito  desperdício de tempo e
dinheiro
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Cálculo do tamanho da amostra (população infinita)
Exemplo : Para determinar o tempo de entrega de lote
padrão, foram coletados algumas amostras. O um
desvio padrão encontrado foi de 0,6 horas.
Considerando uma confiança de 98% e erro máximo de
0,1 horas, determine o tamanho da amostra.
Estimação de Parâmetros
19644,195
1,0
6,033,2
2
22
2
2
2
2












E
sz
n

2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Cálculo do tamanho da amostra (população finita)
Para o exemplo anterior considere que o tamanho da população 
seja 1500 pedidos.
Estimação de Parâmetros
174
1961500
1961500







o
o
nN
nN
n
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da QualidadeIntervalo de Confiança para Média
Pequenas amostras (n < 30) com desvio
desconhecido de uma população
com distribuição normal
O intervalo com 100(1-)% de confiança
para o parâmetro  é dado por:
n
s
tx
n
s
tx
22
  
Estimação de Parâmetros
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Exemplo : O recursos humanos decidiu treinar 15
empregados com o novo método de manutenção em
computadores. Foram coletados os dias necessários
parar treinar cada um dos 15 empregados. A média da
amostra é de 53,87 dias e o desvio de 6,82 dias.
Construa IC de 95% para o verdadeiro valor da média
Estimação de Parâmetros
15
82,6
87,53
15
82,6
87,53 025,0025,0 tt  
[50,09 ; 57,65]
15,2,14025,0
2
 tt
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Uma máquina produz peças cilíndricas. Uma amostra acusou
os seguintes valores de diâmetros: 1,01 0,97 1,01 1,03 
0,99 0,98 1,00 1,02 1,03 (polegadas). Admitindo que a 
distribuição dos diâmetros seja aproximadamente normal, 
determinar um intervalo de 98% de confiança para a média
populacional dos diâmetros
Estimação de Parâmetros
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Intervalo de Confiança para Diferença de Duas 
Médias
Suponhamos que 1
2  2
2.
Estimação de Parâmetros
2
2
2
1
2
1
;
2
21
n
s
n
s
txx 

2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Graus de liberdade
Estimação de Parâmetros
   
1
/
1
/
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1











n
ns
n
ns
n
s
n
s

2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Exemplo: Um gerente deseja comparar dois métodos de
treinamento. O método A foi aplicado a uma amostra de
33 pessoas e o método B foi aplicado a 37 pessoas. Os
resultados foram os seguintes:
x1 = 56 var1= 21,55 n1 = 33 x2 = 50,5 var2=
12,56 e n2 = 37
Construa um intervalo de 95% de confiança para a
diferença entre os desempenhos médios dos dois
métodos.
Estimação de Parâmetros
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
       
6,59
0165,0
985,0
137
37/56,12
133
33/55,21
37
56,12
33
55,21
1
/
1
/
22
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1























n
ns
n
ns
n
s
n
s

Assim temos que o valor tabelado é t 0 025 60 2 0, ; , .
49,751,399,150,5
37
56,12
33
55,21
0,25,5056 21  
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
Na situação em que as variâncias das duas populações
em estudo são supostas iguais, teremos:
2
2
2
1  
21
;2/21
11
nn
stxx p  
221  nn
2
)1()1(
21
2
22
2
11



nn
snsn
sp
Onde:
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
Intervalo de Confiança para Amostras Emparelhadas
n
s
td
n
s
tddd
d
22
  
Exemplo: Considerar os dois métodos de produção. A empresa possui 6 empregados. 
Considere que os tempos seguem uma distribuição normal 
 
Operador TP M1 TP M2 Diferença(d) 
 1 6 5,4 0,6 
 2 5 5,2 -0,2 
 3 7 6,5 0,5 
 4 6,2 5,9 0,3 
 5 6 6 0 
 6 6,4 5,8 0,6 
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
A média foi de 0,3 minutos e o desvio padrão da diferença 
de 0,335 minutos. Considerando um I.C de 95% e n =6, temos
65,005,0
35,03,035,03,0
6
335,0
57,23,0
6
335,0
57,23,0
22




d
d
d
d
d
d
n
s
td
n
s
td



 
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Intervalo de Confiança para Proporção
 Considerando que np  5 e n(1-p)  5, o intervalo
com 100(1-)% de confiança para o parâmetro P
é dado por:
n
pp
zpP
n
pp
zp
)1()1(
22



 
EXEMPLO:
De um lote de 3000 peças, foi extraída uma de 200 peças sendo
que 5 foram classificadas como defeituosas.. Construir um
intervalo de 95% confiança para P a proporção de peças
defeituosas em todo lote..
Estimação de Parâmetros
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
p = x / n = 5 /200 = 0,025 e z
0 025,
 = 1,96
200
)025,01(025,0
96,1025,0
200
)025,01(025,0
96,1025,0



 P
=>0,0034  P  0,0466
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
2
2
2
)1(
E
ppz
n










Cálculo do tamanho da amostra
Exemplo : Numa amostra inicial encontramos 3% de peças 
defeituosas. Determine o tamanho da amostra para uma 
confiança de 98% e um erro máximo 1%.
n = 2,332 x 0,03 (1-0,03) / 0,012 = 1580.
Onde p é proporção inicial. Caso não tenha esta estimativa utilize p=0,5.
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
I.C. para Diferença entre Duas Proporções
   
2
22
1
11
2
21
11
n
pp
n
pp
zpp



 
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
Exemplo : Em uma pesquisa entre 100 funcionários
do primeiro turno e 50 do segundo, verificou-se que
70% dos funcionários do primeiro turno são contrários
ao trabalho aos sábados e enquanto 60% do segundo turno
são contrários a esta estratégia da produção.
Construa um I.C. 95% para a diferença entre as proporções
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Estimação de Parâmetros
p1 = 0,70 n1 = 100 p2 = 0,60 n2 = 50
       
16,010,0
50
60,0160,0
100
70,0170,0
96,160,070,0
11
2
22
1
11
2
21 








n
pp
n
pp
zpp 
-0,06 P1 - P2  0,26
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
2- Teste de Hipóteses
Teste de Hipóteses
Uma hipótese estatística é uma afirmação
sobre um ou mais parâmetros da população
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
2 - Teste de Hipóteses
A hipótese nula, denotada por H0, é uma
declaração sobre o parâmetro considerada
verdadeira até que seja obtida alguma prova
em contrário.
A hipótese alternativa, H1, será considerada
verdadeira caso H0 seja julgada falsa
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da QualidadeExemplo : Considere um modelo particular
de automóvel que atualmente atinge uma
eficiência média de combustível de 24 km/l
Um grupo de pesquisa de produto
desenvolveu um novo motor especificamente
projetado para aumentar a relação de km/l.
2- Teste de Hipóteses
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
2- Teste de Hipóteses
Para avaliar o novo motor, diversos deles
serão fabricados, instalados em automóveis
e submetidos aos testes de condução 
controlados pela pesquisa.
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da QualidadeNote que o grupo de pesquisa está buscando
evidências para concluir que o novo motor
aumenta a média de quilômetros por litro.
Nesse caso, a hipótese de pesquisa é que o
novo motor fornecerá uma média de km/l
que exceda 24;isto é,  > 24.
Teste de Hipóteses
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Teste de Hipóteses
Uma hipótese de pesquisa deve ser formulada 
como H1..
Assim:
H0 :   24 vs H1:  > 24
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
A va cujo valor é utilizado para determinar
a ação a ser seguida em um teste de
hipóteses é denominada estatística de teste.
O conjunto de valores de uma estatística
de teste para os quais H0 deve ser rejeitada
é denominado região crítica (ou rejeição) do
teste.
Teste de Hipóteses
2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
Erro tipo I e II
Situação real e desconhecida
H0 verdadeira H0 falsa
Decisão Não rej. H0 Correta Erro tipo II
Rejeitar H0 Erro tipo I Correta
A prob máxima de cometer o erro tipo I é .
Também é denominado nível de significância.
A prob. Máxima de cometer o erro tipo II é 
Teste de Hipóteses
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Procedimentos para Teste de Hipóteses
1 - Identifique o parâmetro de interesse.
2 - Estabeleça a hipótese nula, H0
3 – Estabeleça uma hipótese alternativa apropriada, H1
4 – Escolha o nível de significância (  )
5 – Determine a Estatística de Teste apropriada.
6 – Determine a região de rejeição do Teste.
7 – Calcule o valor da Estatística de Teste.
8 – Decida se H0 deve ou não ser rejeitada
9 – Apresente a decisão no contexto
Teste de Hipóteses
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA - GRANDES AMOSTRAS
H0 :  = 0 vs H1 :   0
ns
x
z
/
0
0


Hipóteses 
Estatística de teste
rejeitar H0 se |z0 | > z / 2
Teste de Hipóteses
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da QualidadeExemplo : De uma população de 400 peças produzidas
uma amostra de 36 peças apresentou um comprimento
médio de 56 cm de desvio padrão de 5,8 cm.
Queremos testar se o comprimento médio populacional
das 400 peças é igual a 50.
Utilize um nível de significância de 5%.
Teste de Hipóteses
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Como 6,20 > 1,96 devemos rejeitar H0 , ao nível
significância de 5%. Os dados fornecem evidências
que o comprimento médio da população é diferente
de 50 cm.
Solução:
Dados : x = 56 s = 5,8 n = 36  = 0,05
Da tabela Z temos z
0 025,
 = 1,96.
Queremos testar as hipóteses : H0 :  = 50 vs H1 :   50
z
x
s n
0
0
56 50
5 8 36
6 20





/ , /
,
Teste de Hipóteses
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Teste de Hipóteses
O P-valor (ou probabilidade de significância ou p)
é a probabilidade de ocorrência do valor particular
observado para a estatística de teste ou de valores
mais extremos,na direção da região crítica,
quando a hipótese nula H0 é verdadeira
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Teste de Hipóteses
Exemplo : Para o teste acima temos :
P-valor = 2 P(  | z0 | ).
= 2 [1- P (  | 6,2| )] 
= 2 [0,00003] 
= 0,000
=> Os dados fornecem uma forte evidência para
rejeitarmos H0, pois P-valor < 0,05
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Teste de Hipóteses
Relação entre Testes de Hipóteses e I.C.
Exemplo: Para as hipóteses: H0 :  = 50 vs H1 :   50.
Podemos utilizar o intervalo construído anteriormente
para decidirmos:
Como o valor 50 não pertence ao intervalo de 95% de
confiança, devemos rejeitar a hipótese nula ao nível de
significância de 5%.
54 11 57 89, , 
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Teste de Hipóteses
Testes de Hipóteses para Diferença entre
Médias
Suponha 1
2  2
2.
As hipóteses são : H0 : 1 = 2 H1 : 1  2.
2
2
2
1
2
1
21
0
n
s
n
s
xx
t



2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Teste de Hipóteses
   
1
/
1
/
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1











n
ns
n
ns
n
s
n
s

Graus de Liberdade
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Teste de Hipóteses
Exemplo : Uma indústria siderúrgica deseja aumentar a 
eficiência do sistema de corte e pesagem de tarugos 
(barras grossas de aço). 
Uma característica de qualidade crítica do tarugo 
é o seu comprimento. A indústria implementou, 
em caráter experimental, um novo sistema de corte em 
uma das máquinas utilizadas no processo. 
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Teste de Hipóteses
Vamos comparar o sistema experimental com sistema atual.
Uma amostra de 15 tarugos para o sistema atual e outra 
de 15 tarugos foram selecionadas. 
A média do sistema atual é 513,28 (mm) e o desvio de 5,69.
Para o sistema experimental os valores são 498,20 e 13,69.
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Teste de Hipóteses
Queremos testar H0 : 1 = 2 H1 : 1  2
   
94,3
15
69,13
15
69,5
20,49828,513
22
2
2
2
1
2
1
21
0 






n
s
n
s
xx
t
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Teste de Hipóteses
   
   
     
197,18
115
15/69,13
115
15/69,5
15
69,13
15
69,5
1
/
1
/
2222
2
22
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1


























n
ns
n
ns
n
s
n
s

2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Teste de Hipóteses
Assim, o valor tabelado é : 
t0,025;19 = 2,093.
Como 3,94 > 2,093 os dados fornecem evidências para 
rejeitarmos a hipótese nula. Como o objetivo da empresa
é ter um comprimento próximo de 500, o sistema
experimental é melhor.
2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÃO
Hipóteses
H0 : P = p0 vs H1 : P  p0
  npp
pp
z
/1 00
0
0



Estatística de teste :
rejeitar H0 se |z0 | > z / 2
Teste de Hipóteses
CEP – Controle Estatístico
Exemplo :
Um jornal alega que 25% dos seus leitores
pertencem a classe A
Para testar a afirmação do jornal, foi extraída
uma amostra de 740 leitores, onde 156
pertenciam a classe A.
Teste de Hipóteses
CEP – Controle Estatístico
H0 : P = 0,25 vs H1 : P  0,25
 
 
46,2
740/25,0125,0
25,02108,0
/1 00
0
0








npp
pp
z
rejeitar H0 pois 2,52 > 1,96 
Teste de Hipóteses
n= 740 , p0 = 0,25, p = 156 / 740 = 0,2108
CEP – Controle EstatísticoTeste de Hipóteses
Teste de Hipóteses - Diferença de Duas Proporções
As hipóteses: H0 : P1 = P2 e H1 : P1 . P2.
























2121
21
21
21
21
0
11
1
nnnn
xx
nn
xx
pp
z
devemos rejeitar H0 se |z0 | > z / 2.
CEP – Controle EstatísticoTeste de Hipóteses
Exemplo : Em uma pesquisa entre 100 funcionários do 
primeiro turno e 50 do segundo, verificou-se que 70% 
dos funcionários do primeiro turno são contrários ao 
trabalho aos sábados e enquanto 60% do segundo turno 
são contrários a esta estratégia da produção. Existe diferença
entre os turnos no que se refere a preferência por trabalhar 
aos sábados? Utilize  = 0,05.
CEP – Controle EstatísticoTeste de Hipóteses
Solução: 
p1 = 0,70 n1 = 100 p2 = 0,60 n2 = 50
As são hipóteses H0 : P1 = P2 e H1 : P1 . P2
22,1
082,0
10,0
50
1
100
1
50100
3070
1
50100
3070
60,070,0
11
1
2121
21
21
21
21
0

















































nnnn
xx
nn
xx
pp
z
CEP – Controle EstatísticoTeste de Hipóteses
Como 1,22 < 1,96 os dados não dão evidências para 
rejeitar H0. Portanto não podemos rejeitar a hipótese 
de igualdade entre os turnos. 
Isto também pode ser concluído através do intervalo de 
confiança (-0,06 P1 - P2  0,26), pois o mesmo contém
o valor zero.