Análise de Variância

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2- Controle da Qualidade
CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
3- Análise de Variância
É a técnica utilizada para determinar se as
médias de três ou mais populações são
iguais, baseado na análise de variâncias
amostrais.
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CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
O teste ( Ho = 1 = 2 = 3 = 4 ) t ao nível de 5%.
Isto acarretaria em seis testes de hipóteses com
um grau de confiança de 0,956 = 0,735
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2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
Considerações
1 – As amostras devem ser aleatórias e
independentes;
2 – As amostras devem ser extraídas de
populações normais;
3 – As populações devem ter variâncias iguais.
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2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
Experimentos são uma parte natural na tomada
de decisões. Considere, por exemplo, que um
engenheiro esteja investigando os efeitos de
diferentes percentuais de concentração de
madeira sobre a resistência de sacolas de papel
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2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
O experimento consistiria em produzir vários
corpos de prova utilizando cada um dos
métodos propostos de cura e então testar a
resistência de cada espécime.
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2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
Neste caso, teríamos um único fator de 
interesse – métodos de cura – e há somente 
dois níveis do fator.
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2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
Exemplo: Resistência de sacos de papel função da madeira
Concentração de madeira (%) Observações Totais Médias
1 2 3 4 5 6
5 7 8 15 11 9 10 60 10
10 12 17 13 18 19 15 94 15,67
15 14 18 19 17 16 18 102 17
20 19 25 22 23 18 20 127 21,17
Total 383 15,96
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CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
Esse é um exemplo de um experimento de um
fator com quatro níveis.
Os níveis do fator são as vezes chamados de
tratamentos (devido as primeiras aplicações na
área agrícola) e cada tratamento tem seis
observações ou replicações.
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2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
Dados típicos para um Experimento de um Fator
Tratamento Observações TotaisMédias
1 y11 y12 ... y1n y1. y1.
2 y21 y22 ... y2n y2. y2.
. . . ... .
. . . ... .
. . . ... .
a ya1 ya2 ... yan ya. ya.
y.. y..
yij é a j.
a observação feita sob o tratamento i.
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CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
Desta maneira, podemos escrever o modelo
Yij =  + i + ij
onde  é um parâmetro comum a todos os
tratamentos, denominado média geral
i é um parâmetro associado ao i.
o tratamento,
chamado de efeito do tratamento.
ij é a componente o erro aleatório.
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2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
Agora vamos testar a igualdade das a médias
populacionais.
Ho : 1 = i = ... = a = 0
H1 : i  0 para pelo menos um i.
Assim, se a hipótese nula é verdadeira, a
mudança dos níveis do fator não tem qualquer
efeito sobre resposta média.
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CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
A análise de variância particiona a variabilidade
total na amostra em duas partes.
Vamos comparar a diferença entre amostras
(tratamentos) e a diferença dentro da
amostra(tratamento).
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CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
 
2
1 1
..
 

a
i
n
j
ijT yySQ
A soma de quadrados total é diferença entre
cada observação e média geral.
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CEP – Controle Estatístico
2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
 
2
1 1
..
 

a
i
n
j
ijT yySQ
      
   

a
i
a
i
n
j
iiji
a
i
n
j
ijT yyyynyySQ
1 1
2
1
.
2
.
2
1 1
.. ..
A soma de quadrados total é dividida na soma de
quadrados das diferenças entre as médias dos
tratamentos e a média geral, e na soma de quadrados
das diferenças entre as observações dentro de cada
tratamento e a média do respectivo tratamento.
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Análise de Variância
Diferenças entre médias de tratamentos
observadas e média geral quantificam
diferenças entre tratamentos. Diferenças das
observações dentro de um tratamento e média
do tratamento podem ser devidas apenas a um
erro aleatório.
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Análise de Variância
ErrostratamentoT SQSQSQ 
  totalquadradosdossomayySQ
a
i
n
j
ijT 
 
2
1 1
..
  stratamentodosquadradosdossomayynSQ
a
i
istratamento 


1
2
. ..
  errosdosquadradosdosyySQ
a
i
n
j
iijErro 
 1
2
1
.
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Análise de Variância
MQtratramentos= SQtratamentos/(a-1)
é denominada média quadrática dos tratamentos.
MQerro = SQerro / a(n-1)
é a média quadrática do erro e um estimador
da variância.
Os denominadores indicam os graus de
liberdade de cada soma de quadrado.
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Análise de Variância
erro
stratamento
o
MQ
MQ
F 
Ela possui distribuição F com a-1 e a(n-1) graus de liberdade.
Além disso, se a hipótese nula for falsa,
o valor esperado de MQtratamenos é maior que MQerro.
Consequentemente, devemos rejeitar H0 para grandes
valores de Fo.
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Análise de Variância
Fórmulas resumidas
N
y
ySQ
a
i
n
j
iyT
2
..
1 1
2 
 
N
y
n
y
SQ
a
i
sTratamento
2
..
1
2
. 

stratamentoTErro SQSQSQ 
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Análise de Variância
Exemplo: Use um nível de significância de 1%
Concentração de madeira (%) Observações Totais Médias
1 2 3 4 5 6
5 7 8 15 11 9 10 60 10
10 12 17 13 18 19 15 94 15,67
15 14 18 19 17 16 18 102 17
20 19 25 22 23 18 20 127 21,17
Total 383 15,96
2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
96,512
24
383
20...87
2
222
2
..
1 1
2



  N
y
ySQ
a
i
n
j
iyT
2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
79,382
24
383
6
1271029460 22222
2
..
1
2
.





 N
y
n
y
SQ
a
i
sTratamento
2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
17,13079,38296,512 ErroSQ
2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
MQtratramentos= SQtratamentos/(a-1) = 382,79 / (4-1) = 127,60.
MQerro = SQerro / a(n-1) = 130,17 / 4(6-1) = 6,51.
2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
61,19
51,6
60,127

erro
stratamento
o
MQ
MQ
F
O valor tabelado F, (a-1), a(n-1).= F0,01, 3, 20 = 4,94
Como Fo é maior que o valor tabelado, devemos rejeitar Ho.
Existe diferenças entre as médias.
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Análise de Variância
Análise de Variância (ANOVA)
Fonte de variação Soma dos quadrados Graus de liberdade MédiaQuadrática Fo
Tratamentos SQtratamentos a-1 MQtratmentos MQT/ MQE
Erro SQErro a(n-1) MQerro
Total SQtotal an-1
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Análise de Variância
Porém, fica uma dúvida: onde está diferença
significativa? Será que todas as médias das
dos tratamentos são diferentes?
Para responder a estas perguntas devemos
realizar comparações múltiplas..
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Análise de Variância
Método da diferença mínima signficativa
Para cada par de médias
    
n
QM
naaqT
onde
TyyseHrejeitarDevemos
HH
ERRO
ji
jiji
1;
::
..0
10






2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
17,417,2117
33,117,2167,15
33,11767,15
17,1117,2110
71710
67,567,1510
.20.15
.20.10
.15.10
.20.5
.15.5
.10.5






yy
yy
yy
yy
yy
yy
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Análise de Variância
Comparações múltiplas de Tukey.
Este método constrói intervalos de confiança
para cada par de médias mantendo um nível
signficância total .
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Análise de Variância
Grouping Information Using Tukey Method
Concentração
(%) N Mean Grouping
20 6 21,167 A
15 6 17,000 B
10 6 15,667 B
5 6 10,000 C
Means that do not share a letter are significantly different.
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Análise de Variância
Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals
All Pairwise Comparisons among Levels of Concentração (%)
Individual confidence level = 98,89%
Concentração (%) = 5 subtracted from:
Concentração
(%) Lower Center Upper ----+---------+---------+---------+-----
10 1,542 5,667 9,791 (-----*-----)
15 2,876 7,000 11,124 (-----*-----)
20 7,042 11,167 15,291 (-----*-----)
----+---------+---------+---------+-----
-7,0 0,0 7,0 14,0
2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
Concentração (%) = 10 subtracted from:
Concentração
(%) Lower Center Upper ----+---------+---------+---------+-----
15 -2,791 1,333 5,458 (-----*-----)
20 1,376 5,500 9,624 (-----*-----)
----+---------+---------+---------+-----
-7,0 0,0 7,0 14,0
Concentração (%) = 15 subtracted from:
Concentração
(%) Lower Center Upper ----+---------+---------+---------+-----
20 0,042 4,167 8,291 (-----*-----)
----+---------+---------+---------+-----
-7,0 0,0 7,0 14,0
2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
Concluímos que não existe diferença significativa
somente entre as concentrações de 15% e 10% pois o
seu intervalo ( -2,791 , 5,458) contém o valor zero.
Existe diferença entre os demais pares de médias (5 e
10, 5 e 15, 5 e 20 , e 10 e 20).
2- Controle da Qualidade2- Controle da Qualidade
Análise de Variância
Como os valores das diferenças significativas são
negativos, os níveis de concentrações menores (que
estão nas colunas) apresentam resistências menores.
Portanto, o nível de concentração 20% apresenta uma
resistência maior que os demais e o tratamento 1 (5%)
apresenta uma força de resistência menor que os
demais.