Resolução Exercícios de Geometria Analítica

Prévia do material em texto

Resolução Exercícios de Geometria Analítica
22/04/2014
(Vunesp-SP) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértice P(0,0), Q(6,0) e R(3,5), é:
Equilátero
Escaleno
Isósceles
Retângulo
N.d.a.
Para determinar qual o tipo do triângulo, vamos medir a distância entre seus lados, se os três lados tiverem a mesma distância então ele é equilátero, se dois lados tiverem a mesma distância então ele é isósceles, se a medida da distância de um dos lados elevada ao quadrado for igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, então ele é retângulo, se os três lados forem diferentes e não ocorrer a condição anterior, então ele é escaleno. Assim:
 
Note que os lados e tem a mesma medida. Sabemos que ele é isósceles, mas precisamos testar se ele não é retângulo. Assim:
Portanto o triângulo cujos vértices são os pontos P(0,0), Q(6,0) e R(3,5) é um triângulo isósceles.
Alternativa C.
(Unifor) A distância do ponto P(0,-4) à reta bissetriz dos quadrantes pares é:
Para medir a distância entre um ponto e uma reta, utilizamos a fórmula:
Sabe-se que P(0,-4) e que r é bissetriz dos quadrantes pares, logo passa pelo ponto O(0,0) e possuí o coeficiente angular igual a tangente de 135° que é -1. Daí temos:
Tendo a equação da reta, agora basta encontrar a distância entre o ponto P e a reta r:
Portanto a alternativa B é a correta.
(Unicamp) Uma reta intersecciona nos pontos A(3,4) e B(-4,3) uma circunferência centrada na origem.
Qual é o raio dessa circunferência?
Qual é a equação reduzida dessa circunferência?
Tem-se uma circunferência centrada na origem O(0,0) e dois pontos pertencentes a essa circunferência: A(3,4) e B(-4,3). Pede-se o raio da circunferência e a equação reduzida da circunferência. É informado ainda que uma reta intersecciona essa circunferência nos pontos A e B, porém essa informação só nos mostra que A e B pertencem a circunferência. Sendo assim temos:
Com x e y sendo qualquer um dos pontos da circunferência (no caso vamos tomar o ponto A(3,4)) e a e b sendo o centro da circunferência (O(0,0)) e r (raio) o valor a ser encontrado. Dessa forma:
Raio encontrado.
Agora basta substituir os valores na equação reduzida da reta, assim:
Equação reduzida da circunferência encontrada.
(UFSC) Dados os pontos A(1,-1), B(-1,3) e C(2,7), determine a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC.
Os pontos A(1,-1), B(-1,3) e C(2,7) são vértices do triângulo ABC. Para determinar a altura do triângulo relativa ao lado BC, basta encontrar a equação da reta que passa por B e C e, em seguida, calcular a distância de A até a reta encontrada. Assim:
Primeiro vamos encontrar o coeficiente angular da reta que passa por B e C:
Em seguida vamos encontrar a reta que passa pelos pontos B e C:
Uma vez encontrada a reta r: 4x-3y+13=0, vamos encontrar a distância entre o ponto A(1,-1) e a reta r.
Vamos encontrar a distância de duas formas distintas:
Primeiramente encontramos a equação da reta s que passa por A e é perpendicular a r, logo:
Pela condição da perpendicularidade temos: 
Encontrando s: 
Em seguida basta encontrar o ponto de intersecção entre r e s:
Como ambas as equações são iguais a zero, vamos resolver o sistema:
Substituindo o valor de y em uma das equações temos: 
Achamos que o ponto em comum é , agora nos resta calcular a distância de A até Q para sabermos a altura.
Encontramos dessa forma que a altura relativa ao lado BC do triângulo é igual a 4 unidades de medida.
Vamos agora calcular a altura utilizando a fórmula: 
Isso implica que:
Logo encontramos que a distância entre A e a reta r que passa pelos pontos B e C é igual a 4 unidades de medida, e essa distância representa a altura do triângulo em relação ao lado BC.