Aula 1 - Vetores em Sistemas de Coordenadas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG Aula 1 
	
  
	
  
	
  
	
  
ICT 13 
Álgebra 
Linear 
Aula 1 
 
	
   	
   	
  
PROF. DR. MAYK COELHO 	
   SISTEMA CARTESIANO 
Deixando de lado a dependência da geometria 
Deste ponto em diante iremos trabalhar apenas com vetores que se 
originam em um determinado ponto, qualquer outro vetor que não se 
originar neste ponto terá um vetor correspondente, de mesma direção, 
sentido e comprimento, porém com origem em nosso ponto. 
Além disso, definimos direções (para este desenvolvimento serão duas) que 
serão seguidas e que passem por este ponto escolhido. Estas direções nos 
servirão de referencia para endereçarmos cada vetor. Assim, seja 𝑢 um 
vetor qualquer, deve-se posicionar o inicio de 𝑢 no ponto 𝑂 origem do 
sistema, assim, sua extremidade determinará um “endereço” com base nos 
eixos de direção. Este “endereço” é chamado de coordenada e é obtido da 
seguinte maneira: da extremidade do vetor 𝑢 percorre-se paralelamente a 
cada eixo de direção, marcando o ponto de encontro no outro eixo. A 
distância desta marcação até o ponto 𝑂 é a coordenada do vetor 𝑢 neste 
eixo., conforme as figuras abaixo: 
 
 
 
Vetores em um Sistema de 
Coordenadas 
Sistema de Coordenadas no plano 
cartesiano ou espaço cartesiano ou plano 
cartesiano um esquema reticulado 
necessário para especificar pontos num 
determinado "espaço" com dimensões. 
Associando assim geometria à álgebra. 
Cartesiano se refere ao matemático e 
filósofo francês René Descartes. Os seus 
trabalhos permitiram o desenvolvimento de 
áreas científicas como a geometria 
analítica, o cálculo e a cartografia. 
Esta ideia de sistema foi desenvolvida em 
1637 em duas obras de Descartes: 
Discurso sobre o método: Na segunda 
parte, é apresenta a ideia de especificar a 
posição de um ponto ou objeto numa 
superfície, usando dois eixos que se 
intersectam. 
La Géométrie: onde desenvolve o conceito 
que apenas tinha sido referido na obra 
anterior. Esta obra é considerada o marco 
inicial da filosofia moderna, nela Descartes 
defende o método matemático como 
modelo para a aquisição de conhecimentos 
em todos os campos. 
Um sistema de referência consiste em um 
ponto de origem, direção e sentido, isto 
pode ser obtido de diversas formas, porém, 
o sistema de coordenadas cartesianas é o 
mais próximo do mundo real, ele nos 
permite observar as formas da maneira 
mais aproximada possível do nosso modo 
de ver o universo. 
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Deste modo, marcamos um ponto percorrendo 𝑎 unidades 
em uma direção e 𝑏 unidades na outra e dizemos que suas 
coordenadas são (𝑎, 𝑏). Porém, de modo análogo, 
poderíamos chegar neste ponto percorrendo primeiro 𝑏 
unidades na segunda direção e depois 𝑎 na outra, mas deste 
modo teríamos como coordenadas (𝑏,𝑎), desde que fique 
claro em que direção se seguirá primeiro. Para 
padronizarmos, marcaremos sempre (𝑎, 𝑏). 
As coordenadas (𝑎, 𝑏) determinam o extremo do vetor 𝑢. 
Observe que qualquer outro vetor cujo extremo também for 
determinado pelas coordenadas (𝑎, 𝑏) terá mesma direção, 
sentido e comprimento de 𝑢, portanto serão iguais. Assim, 
podemos escrever 𝑢 = (𝑎, 𝑏). 
Assim, sendo 𝑢 = (𝑎, 𝑏) e 𝑣 = (𝑐,𝑑) temos que 𝑢 = 𝑣⟺ 𝑎 = 𝑐  𝑒  𝑏 = 𝑑. 
Apenas para similar melhor os conceitos, iremos utilizar 
eixos com direções perpendiculares por enquanto. Este 
sistema é conhecido como sistema de coordenadas 
cartesianas. 
Mas como utilizar esta nova visão de vetores? 
 
Utilizando coordenadas para somar vetores 
Sejam 𝑢 = (𝑎, 𝑏) e 𝑣 = (𝑐,𝑑) vetores. Utilizando a soma 
geométrica de vetores neste sistema temos que: 𝑢 + 𝑣 = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) 
ou seja, basta somarmos as coordenadas correspondentes. 
De modo análogo obtemos que: 𝑢 − 𝑣 = 𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑑 e 𝛽𝑢 = (𝛽𝑎,𝛽𝑏) 
Exemplo: Sejam 𝑢 = (1, 5) e 𝑣 = (3, 2) vetores. Então: 𝑢 + 𝑣 = 1+ 3, 5+ 2 = (4, 7) 𝑢 − 𝑣 = 1− 3, 5− 2 = (−2, 3) 3𝑣 = (9, 6) 
 
 
 
 
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Calculando o comprimento de um vetor 
Sendo 𝑢 = (𝑎, 𝑏), e 𝑢 o comprimento de 𝑢, 
podemos utilizar o teorema de Pitágoras, neste caso, 
para calcular 𝑢 , ou seja, 𝑢 ! = 𝑎! + 𝑏!. Logo 
temos: 𝑢 = 𝑎! + 𝑏! 
Observe que 𝛽𝑢 = 𝛽 𝑢 ,∀𝛽 ∈ ℝ. Logo, ao 
multiplicar um vetor por um escalar qualquer, o 
comprimento deste novo vetor é proporcional ao 
anterior. 
 
Obtendo as coordenas de um vetor 
Nem sempre nos deparamos com vetores na origem. 
Nestes casos podemos encontrar o vetor equivalente que saia da 
origem do sistema, para isso procedemos da seguinte forma: seja 𝑢 
com origem em um ponto 𝑃 = (𝑝!,𝑝!) e extremo em um ponto 𝑄 = (𝑞!, 𝑞!) conforme a figura ao lado, deste modo temos que 𝑢 = 𝑃𝑄. 
 
 
Observando com um olhar um pouco mais detalhado, pode-se ver o 
vetor 𝑢 como sendo a subtração de dois outros vetores com início na 
origem, os vetores 𝑂𝑄 e 𝑂𝑃. 
Assim, como as coordenadas dos vetores 𝑂𝑄 e 𝑂𝑃 são as de 𝑄 e 𝑃 
respectivamente, segue que as coordenadas de 𝑢 são formadas pela 
subtração das coordenadas destes vetores, ou seja: 𝑢 = 𝑞! − 𝑝!, 𝑞! − 𝑝! . 
Obtendo assim as coordenadas do vetor equivalente a 𝑢 porém, com 
início na origem do sistema. 
 
Exemplo: Sendo 𝑃(1, 2) e 𝑄(4, 2), se 𝑢 = 𝑃𝑄 então as coordenadas de 𝑢 = (3, 0).	
   
 
 
 
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Produto Escalar 
Como havíamos mencionado anteriormente, não há 
como fazer o produto de dois vetores utilizando o 
mesmo conceito de produto de números reais, porém, 
podemos definir outra operação entre dois vetores e, 
além disso, fazer com que o resultado não seja um 
vetor, mas sim um escalar. Esta operação pode ser 
definida da seguinte maneira: sejam 𝑢 = (𝑎, 𝑏) e 𝑣 = (𝑐,𝑑) vetores, definimos o produto escalar entre 𝑢 e 𝑣 como sendo 𝑢. 𝑣 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 
Observe que se fizermos 𝑢.𝑢 = 𝑎! + 𝑏! = 𝑢 !. 
Esta operação só pode ser feita entre dois vetores e 
apresenta algumas propriedades interessantes: 
! 𝑢. 𝑣 = 𝑣.𝑢; 
! 𝑢. 𝑣 + 𝑤 = 𝑢. 𝑣 + 𝑢.𝑤; 
! 𝛽 𝑢. 𝑣 = 𝛽𝑢 . 𝑣 = 𝑢. (𝛽𝑣); 
! 𝑢.𝑢 > 0 se 𝑢 ≠ 0 e 𝑢.𝑢 = 0⟺ 𝑢 = 0; 
! 0.𝑢 = 0  ∀𝑢; 
 
Exemplo: Sejam 𝑢 = (3, 5), 𝑣 = (2, 1), 𝑤 = (5,−3), 𝑠 = (2, 0) e 𝑧 = (3, 0) vetores: 𝑢. 𝑣 = 3×2+ 5×1 = 6+ 5 = 11 𝑣.𝑤 = 2×5+ 1× −3 = 10− 3 = 7 𝑢.𝑤 = 3×5+ 5× −3 = 15− 15 = 0 𝑠. 𝑧 = 2×0+ 0×3 = 0+ 0 = 0 
Observe no exemplo que houve dois casos em que o 
produto escalar resultou em zero sem que nenhum 
deles fosse o vetor nulo, qual o significado disso? 
 
Generalizando conceitos 
 
Até o momento discutimos apenas vetores 
bidimensionais, mas nosso mundo é tridimensional, 
para representar vetores tridimensionais seguimos de 
modo análogo. Assim, precisamos de no mínimo três 
direções para definir um vetor tridimensional, por 
enquanto continuaremos utilizando direções 
perpendiculares entre si. Deste modo, um vetor 𝑢 
tridimensional necessita de três coordenadas, logo 
pode ser representado como uma tripla ordenada, ou 
seja, 𝑢 = (𝑢!,𝑢!,𝑢!). 
Podemos pensar também em vetores 
quadridimensionais, pentadimensionais, e etc, mas 
como representar estes vetores geometricamente? 
Visualizar estes vetores se torna impossível, visto que 
vivemos em um mundo tridimensional. 
É neste ponto que entra a abstração algébrica, pois 
podemos generalizar os conceitos até então estudados. 
Assim, denotando por ℝ! o espaço dos vetores 
bidimensionais, ℝ! o espaço dos vetores 
tridimensionais e ℝ! o espaço dos vetores n-
dimensionais, podemos dizer que sendo 𝑣 e 𝑢 vetores 
n-dimensionais, (𝑣,𝑢 ∈ ℝ!) e 𝛽 ∈ ℝ, se: 𝑣 = (𝑣!, 𝑣!,… ,𝑣!) e 𝑢 = (𝑢!,𝑢!,… ,𝑢!) 
Então temos o seguinte: 
 
Bibliografia 
Anton H. E C. Rorres: Álgebra Linear com Aplicações 
Bookman, 2001 - Ed. 8 Pág 103-107 
A. Steinbruch e P. Winterle: Álgebra Linear Pearson, 
2002 – Ed. 2 Pág 5 - 10 
	
  
𝑢 + 𝑣 = (𝑢! + 𝑣!, 𝑢! + 𝑣!,…   , 𝑢! + 𝑣!) 𝑢 − 𝑣 = (𝑢! − 𝑣!, 𝑢! − 𝑣!,…   , 𝑢! − 𝑣!) 𝛽𝑢 = (𝑢!, 𝑢!,… , 𝑢!) ‖𝑢‖ = !𝑢!! + 𝑢!! +⋯+ 𝑢!! 𝑢.𝑣 = 𝑢!𝑣! + 𝑢!𝑣! +⋯+ 𝑢!𝑣!