metodo do deslocamentos - resolvidos

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CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA 
CURSO: Engenharia Civil 
TURMA: CIV0501N / CIV0504N 
VISTO DO 
COORDENADOR 
PROV
A TRAB. GRAU 
RUBRICA DO 
PROFESSOR 
DISCIPLINA: Hiperestática 
AVLIAÇÃO 
REFERENTE: 
A1 � A2 � A3 � 
PROFESSOR: Marcos Martins MATRÍCULA: GABARITO 
Nº NA 
ATA: 
 
DATA: 18 / 06 / 2010 
NOME DO 
ALUNO: 
GABARITO 
 
1. (5,0 Pontos) Determine as reações de apoio e trace os diagramas de esforços para a viga a seguir 
através do método da flexibilidade: 
 
 
 
 
2. (5,0 Pontos) Determine as reações de apoio e trace os diagramas de esforços para o quadro a seguir 
através do método da rigidez, dados E = 2 × 106 tf/m2 e J = 0,024 m4: 
 
 
A B C D 
A 
B C D 
E 
 
Questão 1: Método da Flexibilidade. 
 
Sistema Principal: 
 
 
DMF Carregamento [tf.m] (DMF0): 
 
 
DMF X1 [tf.m] (DMF1): 
 
 
DMF X2 [tf.m] (DMF2): 
 
 
Cálculo dos Coeficientes: 
 
DMF0 × DMF1: tabela, linha 5, coluna 7: ( ) 1010 13
1 MMl αβδ += 
( ) 77,347381,325,110
21
16
21
5121
3
1
10 −=−⋅





⋅+⋅=δ tf.m 
 
X1 X2 
 
DMF0 × DMF2: tabela, linha 5, coluna 7: ( ) 2020 13
1 MMl αβδ += 
( ) 26,493814,525,110
21
9
21
12121
3
1
20 −=−⋅





⋅+⋅=δ tf.m 
 
DMF1 × DMF1: tabela, linha 10, coluna 7: 1111 3
1 MlM=δ 
( ) ( ) 6127,10181,381,321
3
1
11 =−⋅−⋅⋅=δ tf.m 
 
DMF1 × DMF2: 
Trecho AB: tabela, linha 2, coluna 2: 2112 3
1 MlMAB =δ 
( ) ( ) 589,1314,281,35
3
1
12 =−⋅−⋅⋅=
ABδ tf.m 
 
Trecho BC: tabela,linha 4, coluna 3: ( ) ( )[ ]BCCCBBBC MMMMMMl 22122112 226
1
+++δ 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 8805,7214,214,5214,214,514,2281,37
6
1
12 =−+−⋅⋅−+−+−⋅⋅−⋅⋅=
BCδ tf.m 
 
Trecho CD: tabela, linha 2, coluna 2: 2112 3
1 MlMCD =δ 
( ) ( ) 9988,3214,514,29
3
1
12 =−⋅−⋅⋅=
CDδ tf.m 
 
Coeficiente total: CDBCAB 12121212 δδδδ ++= 
δ12 = 13,589 + 72,8805 + 32,9988 = 119,4683 tf.m 
 
DMF2 × DMF2: tabela, linha 10, coluna 7: 2222 3
1 MlM=δ 
( ) ( ) 9372,18414,514,521
3
1
22 =−⋅−⋅⋅=δ tf.m 
 
Sistema de Equações e Solução: 
 






=





−
+






⋅





0
0
26,4938
77,3473
2
1
9372,1844683,119
4683,1196127,101
X
X
 
 
294,45194683,1194683,1199372,1846127,101 =×−×=∆ 
( ) ( ) 91,524634683,11926,49389372,18477,34731 =×−−×−−=∆ 
( ) ( )[ ] 33,8678477,34734683,11926,49386127,1012 =−−×−−×=∆ 
60887,1111 =
∆
∆
=X tf 
20307,1922 =
∆
∆
=X tf 
 
 
Cálculo das Reações de Apoio Restantes: 
 
0: =Σ Ax HF tf 
 
2628,70
2
2121251221: =⇒=××−⋅+⋅+⋅Σ DBCDA VVVVM tf 
 
92526,30212: =⇒=×−+++Σ ADCBAy VVVVVF tf 
 
Cálculo dos Momentos Fletores: 
 
3737,525592526,3
2
5525 =+×−=××+⋅−= AeB VM tf.m 
 
6348,158192628,7
2
9929 −=−×=××−⋅= D
d
C VM tf.m 
 
Diagrama de Esforços Cortantes [tf]: 
 
 
Diagrama de Momentos Fletores [tf.m]: 
 
 
 
Questão 1: Método da Rigidez. 
 
Sistema Principal: 
 
 
Cálculo dos Desequilíbrios devidos à Carga Externa: 
 
25,6
8
52
8
22
1
10 −=
×
−=−=
qlβ tf.m 
 
61,8
12
72
12
22
2
10 =
×
==
qlβ tf.m, 61,8210220 −=−= ββ tf.m 
 
25,20
8
92
8
22
3
20 =
×
==
qlβ tf.m 
 
Cálculo dos Desequilíbrios devidos aos Giros Unitários das Chapas: 
 
EJEJ
l
EJ 6,0
5
331
11 ===β tf.m/rad 
 
EJEJ
l
EJ 571428,0
7
442
22
2
11 ==== ββ tf.m/rad, EJEJl
EJ 285714,0
7
222
12
2
21 ==== ββ tf.m/rad 
 
EJEJ
l
EJ 3,0
9
333
22 ===β tf.m/rad 
 
Cálculo dos Desequilíbrios Totais: 
 
691,161,825,621011010 =+−=+= βββ tf.m 
 
308,1225,2061,832022020 =+−=+= βββ tf.m 
 
EJEJEJ 171429,1571428,06,021111111 =+=+= βββ tf.m/rad 
 
EJ285714,02212112 === βββ tf.m/rad 
 
EJEJEJ 904762,03,0571428,032222222 =+=+= βββ tf.m/rad 
 
1 2 
1 2 3 
 
Sistema de Equações e Solução: 
 






−
=






⇒






=






+






⋅





9099,13
756489,1
2
1
0
0
308,12
691,1
2
1
904762,0285714,0
285714,0171429,1
EJX
EJX
EJX
EJX
 
 






×−
×
=






−
−
4
5
10898,2
10659,3
2
1
X
X
rad 
 
Cálculo dos Momentos de Engastamento: 
 
19511,5756489,16,025,616,025,611111101 −=×+−=⋅+−=+= XEJXM B ββ tf.m 
 
19511,512 =−= BB MM tf.m 
 
( ) 61337,159099,133,025,2023,025,2023223203 =−×+=⋅+=+= XEJXM C ββ tf.m 
 
61337,1532 −=−= CC MM tf.m 
 
Cálculo das Reações de Apoio: 
 
0: =Σ Ax HF tf 
 
960978,319511,5
2
55251 =⇒=××+⋅−= AAB VVM tf 
 
265181,761337,15
2
99293 =⇒−=××−⋅= DDC VVM tf 
 
22314,195
2
212121675: =⇒





−××−⋅+⋅+⋅−Σ CDCAB VVVVM tf 
 
5507,110212: =⇒=×−+++Σ BDCBAy VVVVVF tf 
 
 
 
 
Questão 2: Método da Rigidez. 
 
Sistema Principal: 
 
 
Cálculo dos Desequilíbrios devidos à Carga Externa: 
 
6
8
86
8
1
10 =
×
==
Plβ tf.m, 6
8
86
8
1
20 −=
×
=−=
Plβ tf.m 
 
18
8
64
8
22
2
20 =
×
==
qlβ tf.m 
 
0310 =β , 030 =Aβ 
 
0420 =β , 040 =Eβ 
 
Cálculo dos Desequilíbrios devidos aos Giros Unitários das Chapas: 
 
EJEJ
l
EJ 5,0
8
441
22
1
11 ==== ββ tf.m/rad, EJEJl
EJ 25,0
8
221
12
1
21 ==== ββ tf.m/rad 
 
EJEJ
l
EJ 5,0
6
332
22 ===β tf.m/rad 
 
EJEJ
l
EJ 6,0
6
443
11 ===β tf.m/rad, EJEJl
EJ
A 3,06
223
1 ===β tf.m/rad 
 
EJEJ
l
EJ 6,0
6
444
22 ===β tf.m/rad, EJEJl
EJ
E 3,06
224
2 ===β tf.m/rad 
 
1 2 
3 4 
1 2 
 
Cálculo dos Desequilíbrios Totais: 
 
606310
1
1010 =+=+= βββ tf.m 
 
120186420
2
20
1
2020 =++−=++= ββββ tf.m 
 
EJEJEJ 61,16,05,031111111 =+=+= βββ tf.m/rad 
 
EJ25,01122112 === βββ tf.m/rad 
 
EJEJEJEJ 6,16,05,05,042222212222 =++=++= ββββ tf.m/rad 
 
Sistema de Equações e Solução: 
 






×−
×−
=






⇒






−
−
=






⇒






=






+






⋅





−
−
4
5
10384,1
10749,7
2
1
64207,6
71956,3
2
1
0
0
12
6
2
1
6,125,0
25,061,1
X
X
EJX
EJX
EJX
EJX
rad 
 
Cálculo dos Momentos de Engastamento: 
 
( ) 323985,171956,33,013,0013130 −=−×=+=⋅+= EJXXM AAA ββ tf.m 
 
( ) 321402,264207,63,023,0024240 −=−×=+=+= EJXXM EEE ββ tf.m 
 
( ) 62,479771965,36,016,0013113103 −=−×=×+=+= XEJXM B ββ tf.m 
 
31
BB MM −= 
 
( ) 14,67896564207,65,01825,01822222202 =−×+=⋅+=⋅+= XEJXMC ββ tf.m 
 
( ) 64,4280464207,66,026,0024224204 −=−×=⋅+=⋅+= EJXXMC ββ tf.m 
 ( ) ( ) 310,250918642804,4678965,14421 −=−−=+−= CCC MMM tf.m 
 
Cálculo dos Momentos nos Meios dos Vãos: 
 
10,6605175
2
678965,14
8
64
28
222
2
=−
×
=−=
C
m
MqlM tf.m 
 
634658,5
2
3250918,1064797,2
8
446
2
11
1
=
+
−
××
=
+
−=
CB
m
MM
l
PabM tf.m 
 
 
Cálculo das Reações de Apoio: 
 
619937,0323985,16664797,23 =⇒−⋅=+⋅== AAAAB HHMHM tf 
 
107012,1321402,266642804,44 =⇒−⋅=+⋅== EEEEC HHMHM tf 
 
726948,10: −=⇒=++Σ DDEAx HHHHF tf 
 
553506,9
2
6646678965,142 =⇒××−⋅=−= DDC VVM tf 
 
=×+⋅−⋅+== 46863250918,101 AAAC VHMM
02861,22486619937,0323985,13250918,101 =⇒+⋅−×+−== AAC VVM tf 
 
41788,180646: =⇒=×−−++Σ EDEAy VVVVF tf 
 
Diagrama de Esforços Normais [tf] e Reações de Apoio: 
 
 
 
 
Diagrama de Esforços Cortantes [tf]: 
 
 
Diagrama de Momentos Fletores [tf.m]: