Princípios da Corrente Alternada - Conceito de Circuito e Função Senoidal

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Prof. Paulo Ricardo 
Princípios da Corrente Alternada 
Aula 06 
O Conceito de Circuito 
 
2 
Saímos de casa bem 
alimentados, cheios de 
energia 
Na escola, se chegamos 
bem nutridos, aprendemos e 
crescemos nosso potencial 
intelectual: 
• Convertemos PÃO em 
CONHECIMENTO. 
A ponte está 
levantada e 
dizemos que o 
circuito está aberto 
neste ponto. Não 
tem como passar e, 
portanto, pegamos 
o caminho paralelo. 
CIRCUITO é um caminho aberto ou fechado em que pode circular algo ou alguém. 
A nossa casa é um dos 
lugares onde obtemos 
energia, a nossa FONTE de 
ALIMENTAÇÃO. Ao nos 
alimentarmos absorvemos 
energia. FONTE DE ENERGIA 
POTENCIAL 
O Conceito de Circulação 
 O que acontece ao cidadão 
corajoso que se conecta aos 
dois circuitos ideais ao lado? 
 (a) Subitamente eletrocutado. 
 
 (b) Absolutamente nada, pois 
não há circulação de corrente 
por ele. 
 
 (c) Só sei que não seria 
voluntário para a verificação 
experimental. 
 
 
1000Vac10Vcc 10 W 1000 W
 
Princípios da Corrente 
Alternada 
Princípios da Corrente 
Alternada 
 
Princípios da Corrente 
Alternada 
Princípios da Corrente 
Alternada 
Sinal Harmônico 
 Sinal senoidal e o movimento circular uniforme. 
 
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.25 0.5 0.75 1
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
Tempo (s)
Am
pli
tu
de
 (V
)
Função Seno e Consseno
 
 
v
1
(t)
v
2
(t)
 
Função Senoidal 
𝑣1(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 0°) 
𝑣2(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 0°) 
- Amplitude do sinal. 
- Expressa em Volts (V). 
 Lembre-se que: 
Função Senoidal 
𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 , 𝜑 = 0° 
- Argumento deslocador no tempo. 
- É sempre expresso em graus (o), todavia, 
para efeito de cálculos, usa-se rad. 
- Porém em um gráfico o deslocamento é 
sempre feito radianos (180o = π rad) 
- Se o deslocamento for igual a 0o, pode-se 
omiti-lo da função. 
- Argumento geral da função senoidal. 
- Sempre contém a variável 
independente (ex., o tempo). 
- Argumento principal, variação no tempo. 
- É sempre expresso com um multiplicador. 
- O multiplicador ω contém a informação 
sobre a frequência do sinal senoidal. 
𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 0° = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 90° , 𝜑 = 90° 
 
- A função cosseno é a própria função seno deslocada de 90º (π/2 rad) no tempo. 
- Em circuitos elétricos utiliza-se apenas a função seno 
 O deslocamento da função seno no tempo, 
representado pelo ângulo 𝛿, é denominado fase. 
 Logo, é correto dizer que v2(t) tem fase 90
º, ou ainda 
que v1(t) está defasado de 90
º de v2(t).
 
Função Senoidal 
𝑣1(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 0°) 
𝑣2 𝑡 = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 90°) 
0 0.25 0.5 0.75 1
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
Tempo (s)
Am
pli
tu
de
 (V
)
Função Seno e Consseno
 
 
v
1
(t)
v
2
(t)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Tempo (s)
Am
pli
tu
de
 (V
)
Sinal de Tensão/Corrente Alternado
 A função seno alterna infinitamente no tempo, ou seja, ela possui 
um comportamento periódico determinado. 
 O multiplicador ω informa sobre a frequência do sinal senoidal 
variante no tempo. E o multiplicador A representa a amplitude 
deste sinal. 
 Determine ω e A. 
Função Senoidal 
𝑣(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 31,42 rad/s 
𝐴 = 5 𝑉 
𝑓 =
1
𝑇
=
1
0,2 s
= 5 Hz 
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 12,57 rad/s 
𝐴 = 3 𝑉 
𝑓 =
1
𝑇
=
1
0,5 s
= 2 Hz 
Função Senoidal 
 𝑣(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 30°) 
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180
0
0 0.25 0.5 0.75 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X: 0.7
Y: 0.5878
Tempo (s)
X: 0.7
Y: 0.1045
Função Senoidal 
 𝑣(𝑡) = 10𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 60°) 
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180
0
0 0.25 0.5 0.75 1
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
X: 0.55
Y: 5.878
X: 0.55
Y: -4.067
Tempo (s)
Função Senoidal 
 𝑣(𝑡) = 5𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 90°) 
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180
0
0 0.25 0.5 0.75 1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
X: 0.2
Y: 2.939
Tempo (s)
X: 0.2
Y: -4.045
Tipos de Sinais 
 De maneira generalizada, pode-se dizer que existem 
duas grande classes de sinais: 
 Sinais de energia: sinais com energia finita e por isso 
possuem potência média nula. 
 Sinais transitórios, sinais de curta duração. 
 Sinais de potência: sinais com energia infinita e por isso 
possuem potência média no tempo. 
 Sinais periódicos, sinais aleatórios, de longa duração. 
Valor Eficaz ou RMS 
 Como um sinal de potência periódico, é importante se 
determinar um valor que corresponda à energia fornecida pelo 
sinal em um dado instante de tempo. 
 Como a tensão (ou corrente) alternadas variam de um pico 
máximo positivo a um negativo, o Valor Médio (Vm) do sinal 
em um período seria nulo. Logo, o valor médio não pode ser 
usado. 
𝑉𝑚 =
1
𝑇
 𝑣 𝑖
𝑇
𝑖=1
=
1
𝑇
 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
𝑇
𝑖=1
≈ 0 
𝑉𝑚 =
1
𝑇
 𝑣 𝑡 𝑑𝑡
𝑇
0
=
1
𝑇
 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑡
𝑇
0
= 0 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (s)
Am
pl
itu
de
 (V
)
contínuo 
ponto a ponto 
Valor Eficaz ou RMS 
 O valor utilizado é conhecido como Valor Eficaz (Vef) 
ou Valor RMS (Root Mean Square, Vrms), que por 
definição é o valor de a tensão ou corrente que se 
equivale a um valor de tensão ou corrente CC 
positiva que produz a mesma dissipação de potência 
em um dado resistor R. 
𝑉𝑟𝑚𝑠 =
 (𝑣 𝑖 − 𝑣 )2𝑇𝑖=1
𝑇 − 1
=
 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑖 2𝑇𝑖=1
𝑇 − 1
≈
𝑨
𝟐
 
𝑉𝑟𝑚𝑠 =
1
𝑇
 𝑣 𝑡 2 𝑑𝑡
𝑇
0
=
1
𝑇
 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 2 𝑑𝑡
𝑇
0
=
𝑨
𝟐
 
contínuo 
ponto a ponto 
𝑣 = 𝑉𝑚 = 0 
Para um sinal periódico 
alternado o valor médio é nulo. 
O cálculo de valor eficaz (Vrms) 
é o mesmo que calcular o 
desvio padrão amostral de um 
sinal de média nula. 
0 0.0083 0.0167 0.025 0.0333
-150
-100
-50
0
50
100
127,02
150
179,63
Tempo (s)
Am
pli
tud
e (
V)
Tensão da Rede Elétrica - Fase A.
Valor Eficaz ou RMS 
 Sinal da rede elétrica em Minas Gerais (fase A – 0o). 
𝑣(𝑡) = 179,63𝑠𝑒𝑛(2𝜋60𝑡) 
𝑉𝑟𝑚𝑠 =
𝐴
2
=
179,63
2
= 127,02 𝑉 
Caracterização de Dipolos Elétricos 
 Elementos lineares básicos de circuitos: R, L e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 
V 
 
V 
I 
 
Resistor, 
Indutor ou 
Capacitor 
 
 
I 
V 
I 
V 
V = R I v = L di/dt 
 V = (L s) I 
i = C dv/dt 
I = (C s) V 
𝑉 = 𝑅 ∙ 𝐼 𝑣 𝑡 = 𝐿
∆𝑖 𝑡
∆𝑡
= 𝐿
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
 𝑖 𝑡 = 𝐶
∆𝑣(𝑡)
∆𝑡
= 𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
 
 Sendo os três elementos lineares, a 
curva característica destes tem a mesma 
aparência: 
 uma reta que passa pela origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V
I
V
I
V
I
𝑅 𝐿 
𝐶 
Resposta Senoidal 
 De um resistor: 
 Para 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑝∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) e 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑝 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 : 
 
 
𝑉𝑟𝑚𝑠 = 𝑅 ∙ 𝐼𝑟𝑚𝑠 
𝑃𝑟𝑚𝑠 =
𝑽𝒓𝒎𝒔
𝟐
𝑹
 
𝑃𝑟𝑚𝑠 = 𝑽𝒓𝒎𝒔 ∙ 𝑰𝒓𝒎𝒔 =
𝑉𝑝
2
∙
𝑉𝑝
𝑅 2
=
𝑽𝒑
𝟐 
𝟐𝑹
 
V
I
𝑅 
𝑣(𝑡) 
𝑖(𝑡) 
𝑃𝑟𝑚𝑠 = 𝑹 ∙ 𝑰𝒓𝒎𝒔
𝟐 
𝐼𝑟𝑚𝑠 =
𝑽𝒑
𝑹 𝟐
 
Em um resistor, ou em um circuito resistivo, tanto a onda de 
tensão como a onda de corrente se encontram em fase. 
𝑣(𝑡) = 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) 
𝑉𝑟𝑚𝑠 =
𝑉𝑝
2
, 𝐼𝑟𝑚𝑠 =
𝐼𝑝
2
 
𝑉𝑟𝑚𝑠 =
𝑹𝑰𝒑
𝟐
 
Resposta Senoidal 
 De um capacitor: 
 Para 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑝 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) e 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑝 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 : 
 
 𝑖 𝑡 = 𝐶
∆𝑣(𝑡)
∆𝑡
= 𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
 
V
I
𝑣(𝑡) 
𝑖(𝑡) 
𝐶 
𝑖 𝑡 = 𝐶
𝑑
𝑑𝑡
𝑉𝑝 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 
𝑖 𝑡 = 𝜔𝐶𝑉𝑝 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑 
𝑖(𝑡) = 𝜔𝐶𝑉𝑝 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 + 90° 
Em um capacitor, ou em um circuito capacitivo, as ondas de tensão 
e corrente são defasadas, estando a onda de corrente 90o à frente. 
Resposta Senoidal 
 Onde a corrente de pico no capacitor é 𝐼𝑝 = 𝜔𝐶𝑉𝑝. 
 Aplicando-se a lei de Ohm para este resultado: 
 
 
 
 Desta forma, pode-se concluir que em um circuito 
que possui frequência na onda de tensão e corrente, 
um capacitor, produzirá um efeito limitador de 
corrente elétrica similar ao de um resistor conhecido 
como reatância capacitiva (XC). 
 
 
 
𝑉𝑟𝑚𝑠
𝐼𝑟𝑚𝑠
=
𝑉𝑝 2 
𝜔𝐶𝑉𝑝 2 
=
𝟏
𝝎𝑪
 
𝑿𝑪 =
𝟏
𝝎𝑪
 [𝛀] 
Resposta Senoidal 
 De um indutor: 
 Para 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑝 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) e 𝑖 𝑡 = 𝐼𝑝 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 : 
 
 
V
I
𝑣(𝑡) 
𝑖(𝑡) 
𝐿 
𝑣 𝑡 = 𝐿
𝑑
𝑑𝑡
𝐼𝑝 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 
𝑣 𝑡 = 𝜔𝐿𝐼𝑝 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑 
𝑣(𝑡) = 𝜔𝐿𝐼𝑝 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 + 90° 
Em um indutor, ou em um circuito indutivo, as ondas de tensão e 
corrente são defasadas, estando a onda de tensão 90o à frente. 
𝑣 𝑡 = 𝐿
∆𝑖 𝑡
∆𝑡
= 𝐿
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
 
Resposta Senoidal 
 Onde a tensão de pico no capacitor é 𝑉𝑝 = 𝜔𝐿𝐼𝑝. 
 Aplicando-se a lei de Ohm para este resultado: 
 
 
 
 Da mesma forma, pode-se concluir que em um 
circuito que possui frequência na onda de tensão e 
corrente, um indutor produzirá um efeito limitador 
de corrente elétrica similar ao de um resistor 
conhecido como reatância indutiva (XL). 
 
 
 
𝑉𝑟𝑚𝑠
𝐼𝑟𝑚𝑠
=
𝜔𝐿𝐼𝑝 2 
𝐼𝑝 2 
= 𝝎𝑳 
𝑿𝑳 = 𝝎𝑳 [𝛀] 
V
I
V
I
V
I
𝑉𝑟𝑚𝑠 
𝐼𝑟𝑚𝑠 
𝑉𝑟𝑚𝑠 
𝐼𝑟𝑚𝑠 
𝑉𝑟𝑚𝑠 
𝐼𝑟𝑚𝑠 
Resposta Senoidal 
Resistor, Capacitor e Indutor 
 Resumindo... 
 
 
 
 
𝑅 𝐿 
𝐶 
𝑉𝑟𝑚𝑠 = 𝑅 ∙ 𝐼𝑟𝑚𝑠 
𝑉𝑟𝑚𝑠 = 𝑋𝐿 ∙ 𝐼𝑟𝑚𝑠 
𝑉𝑟𝑚𝑠 = 𝑋𝐶 ∙ 𝐼𝑟𝑚𝑠 
𝑉𝑟𝑚𝑠 = 𝝎𝑳 ∙ 𝐼𝑟𝑚𝑠 𝑉𝑟𝑚𝑠 =
𝟏
𝝎𝑪
∙ 𝐼𝑟𝑚𝑠 
Tensão e corrente 
em fase 
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑 + 90°) 
Corrente 90º à frente 
da tensão 
Tensão 90º à frente 
da corrente 
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑 + 90°) 
𝑖 𝑡 = 𝐼𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
1000Vac10Vcc 10 W 1000 W
O Conceito de Circulação 
 A corrente circula em 
circuitos fechados! 
 Se o circuito for ideal, nada 
acontecerá ao voluntário, pois 
não há caminho fechado para a 
corrente circular por ele. 
 Se o circuito for real, é bom 
lembrar que todos nós estamos 
eletricamente conectados, como 
afirmou J. C. Maxwell. 
 A corrente de deslocamento circula 
por capacitores (literalmente um 
circuito aberto para corrente 
contínua, mas fechadíssimo para 
corrente alternada, embora seja um 
caminho de alta impedância). 
Cparasita
Exercícios 
 Lista de Exercícios 06: 
 
 Livro Análise de Circuitos, O’Malley: 
 Exercícios Cap. 10: 10.47, 10.49, 10.50, 
10.52, 10.55, 10.56, 10.58, 10.59, 10.60, 
10.65, 10.68, 10.69, 10.71, 10.72, 10.73, 
10.74, 10.75, 10.77, 10.81, 10.82, 10.84, 
10.85, 10.86, 10.87, 10.88, 10.89, 10.90 e 
10.91