Lista de Exercício - Vetores e Matrizes - Parte A

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S E R V I Ç O P Ú B L I C O F E D E R A L – M I N I S T É R I O D A E D U C A Ç Ã O 
U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D E A L F E N A S 
B A C H A R E L A D O I N T E R D I S C I P L I N A R E M C I Ê N C I A S E T E C N O L O G I A 
C A M P U S P O Ç O S D E C A L D A S 
 
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ÁLGEBRA LINEAR – LISTA DE EXERCÍCIOS 
VETORES E MATRIZES: PARTE-A
 
1) Resolva as seguintes equações vetoriais: 
a. ( ) ( ) ( ); 
b. ( ) ( ) ( ); 
c. ( ) ( ); 
d. ( ) ( ); 
e. ( ) ( ); 
 
2) Calcule o ( ) para cada item abaixo. 
a. ( ) e ( ); 
b. ( ) e ( ); 
c. ( ) e ( ); 
 
3) Para que valores de os vetores abaixo são 
perpendiculares? 
a. ( ) e ( ); 
b. ( ) e ( ); 
c. ( ) e ( ); 
 
4) Encontre a projeção ortogonal de em , sua componente 
ortogonal a e a norma ‖ ‖. 
a. ( ) e ( ); 
b. ( ) e ( ); 
c. ( ) e ( ); 
 
5) Mostre que ( ) e ( ) são ortogonais. 
6) Sejam ( ), ( ) e ( ). Calcule as 
seguintes expressões: 
a. ( ); b. ‖ ‖( ); 
c. ‖( ) ‖; d. (‖ ‖ ) 
 
7) Encontre os seguintes conjuntos: 
a. { ( )}; 
b. { ( )}; 
c. { ( ) ( ) }; 
8) Calcule a distância entre os seguintes pontos: 
a. ( ) e ( ); 
b. ( ) e ( ); 
9) Determine o comprimento da corda que liga os pontos A e 
B na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
10) Determine o comprimento do elemento AB da treliça 
abaixo: 
 
11) Determine o comprimento dos arames AB, BD, e CD e o 
ângulo entre BD e CD. (D está no centro entre A e B). 
 
12) Determine o ângulo na figura a seguir: 
 
13) Use vetores e encontre os cossenos dos ângulos internos 
do triângulo de vértices em ( ) ( ) e ( ). 
 
14) Mostre que ( ) ( ) e ( ) são vértices 
de um triângulo retângulo. Em qual vértice está o ângulo 
reto? 
 
15) Dizemos que um vetor é unitário se ‖ ‖ . Podemos 
construir um vetor unitário apartir de qualquer vetor 
fazendo 
 
‖ ‖
. Assim, encontre um vetor unitário que é 
ortogonal a ambos vetores ( ) e ( ). 
 
16) Calcule a distancia entre o ponto e a reta dada: 
a. ; ( ); 
b. ( ); 
 
17) Mostre que ‖ ‖ ‖ ‖ (‖ ‖ ‖ ‖ ). 
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18) Mostre que se e então ( ) 
para quaisquer . 
 
19) Identifique o erro nas seguintes expressões: 
a. ( ); b. ( ) 
c. ‖ ‖; d. ( ); 
 
20) A implicação é verdadeira? 
Explique seu raciocínio. 
1) Sejam e matrizes. Determine 
quais expressões matriciais estão definidas. Sendo 
definida, dê a ordem da matriz resultante. 
a. b. 
c. d. 
e. ( ) f. ( ) 
g. h. ( ) 
i. ( ) j. ( ) 
 
2) Considerando as matrizes abaixo, calcule quando possível 
às expressões em cada item. 
 (
 
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 (
 
 
 
) (
 
 
 
) 
 
a. b. 
c. ( ) d. ( ) 
e. f. ( ) 
g. ( ) h. ( ) 
 
3) Sejam e as matrizes do exercício anterior. Usando 
o mínimo possível de contas, determine a entrada na linha-
2 e coluna-3 de ( ). 
 
4) Demonstre as seguintes afirmações: 
a. Se e estão definidas, então e são 
matrizes quadradas. 
b. Seja uma matriz , se ( ) está 
definida, então e uma matriz . 
c. Se tem uma linha de zeros e uma matriz 
qualquer de modo que está definido, então 
 também tem uma linha de zeros. 
 
5) Encontre a matriz [ ] cujas entradas satisfazem 
as condições dadas e verifique se é simétrica. 
a. ; b. 
 ; 
c. {
 
 
; 
d. ; 
 
6) Encontre a matriz [ ] cujas entradas satisfazem 
as condições dadas. (Dê a resposta tão geral quanto 
possível, usando letras nas posições não nulas.) 
a. se ; b. se ; 
c. se ; d. se ; 
 
7) Resolva a equação matricial abaixo: 
(
 
 
 
) (
 
 
 
)
 
(
 
 
 
) 
 
8) Seja (
 
 
), encontre todas as matrizes tais que 
 . 
9) Seja (
 
 
), em cada item encontre ( ). 
a. ( ) b. ( ) 
c. ( ) d. ( ) ( ) 
 
10) Mostre que se é uma matriz quadrada então: 
a. e são simétricas; 
b. é anti-simétrica; 
11) Uma construtora pode construir 3 tipos de casas: A, B e C. 
A quantidade de material empregada em cada tipo de casa 
é dada pela tabela abaixo: 
 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo 
Tipo A 5 20 16 7 17 
Tipo B 7 18 12 9 21 
Tipo C 6 25 8 5 13 
a. Se construir 5, 7 e 12 casas do tipo A, B e C 
respectivamente, quantas unidades de cada 
material serão empregadas? 
b. Os preços por unidade de Ferro, Madeira, Vidro, 
Tinta e Tijolo são respectivamente $15, $8, $5, 
$1 e $10. Qual o preço unitário de cada tipo de 
casa? (Dica: Use produto Matricial). 
c. Qual o custo total do material empregado? 
 
12) Sejam 3 marcas de carros: J, P e U. O termo da matriz 
 abaixo é a probabilidade de um dono de carro da linha-i 
mudar para o carro da coluna-j, quando compra um carro 
novo. 
 Para 
 J P U 
De 
J 0,7 0,2 0,1 
P 0,3 0,5 0,2 
U 0,4 0,4 0,2 
A Matriz representa a probabilidade de se mudar de 
uma marca para outra depois de duas compras. 
a. Calcule e interprete. 
b. Qual a probabilidade de permanecer com a marca 
J depois de 4 compras?