CADERNO 2 DE EXERCÍCIOS

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Caderno de Exercícios aula2 
 
 
3. Vetores no plano cartesiano ortogonal R2 e no espaço tridimensional R3 
 
3.1 Vetores no plano ortogonal R2 
 
Vetor: 
jyixv


 ou 
),( yxv 

 
 
 
Módulo e direção do vetor 
AB
 com 
),( AA yxA 
 e 
),( BB yxB 
. 
Módulo: 
22 )()(|| ABAB yyxxAB 
 
Direção: 
AB
AB
xx
yy


)(tg 
 
 
 
 
Componentes de um vetor 
AB
: 
OAOBAB 
 
 
 
 
Produto de um vetor por um escalar: 
21 ... vkvkvk 

 onde 
),( 21 vvv 

 e 
Rk
 
 
 
 
Produto escalar: 
2121. yyxxvu 

 onde 
jyixu

11 
 e 
jyixv

22 
. 
 
Produto escalar: 
cos.||.||. vuvu  
, com 
 1800 
 
 
 
3.2 Vetores no espaço tridimensional R3 
 
Vetor: 
kzjyixv


 ou 
),,( zyxv 

 
Módulo: 
222|| zyxv 
 
 
 
 
Módulo do vetor 
AB
: 
222 )()()(|| ABABAB zzyyxxAB 
, com 
),,( AAA zyxA 
 e 
),,( BBB zyxB 
. 
 
 
 
 
 
Produto de um vetor por um escalar: 
321 .... vkvkvkvk 

 onde 
),,( 321 vvvv 

 e 
Rk
 
 
 
 
Produto escalar: 
212121. zzyyxxvu 

 onde 
kzjyixu

111 
 e 
kzjyixv

222 
. 
 
Produto escalar: 
cos.||.||. vuvu  
, onde 

 é o ângulo entre os vetores 
u
 e 
v
 e 
 1800 
. 
 
 
 
Produto vetorial: Dados 
),,( 321 aaaa 

 e 
),,( 321 bbbb 
 , 
 
 
kbabajbabaibaba
bbb
aaa
kji
ba )()()(det 122131132332
321
321 











 
 
 
 
 
 
3.3 Vetores no Rn 
 
Adição de vetores: 
),...,,( 2211 nn vuvuvuvu 

 onde 
),...,,( 21 nuuuu 

 e 
),...,,( 21 nvvvv 

 
 
Subtração de vetores: 
),...,,( 2211 nn vuvuvuvu 

 onde 
),...,,( 21 nuuuu 

 e 
),...,,( 21 nvvvv 

 
 
Produto de um vetor por um escalar: 
nvkvkvkvk .... 21  

 onde 
),...,,( 21 nvvvv 

 e 
Rk
 
 
Produto escalar: 
nn vuvuvuvu .... 2211  

 onde 
),...,,( 21 nuuuu 

 e 
),...,,( 21 nvvvv 

 
 
 
 
1. Dado o vetor 
AB
 onde A=(3, 7) e B=(5, 11), determine 
|| AB
. 
Resolução: 
O vetor 
AB
 tem origem no ponto A e extremidade no ponto B. Portanto, xA=3, 
yA=7, xB=5, yB=11. 
 
 
 
 
 
Como queremos calcular o módulo de 
AB
, vamos utilizar a fórmula 
22 )()(|| ABAB yyxxAB 
. 
O primeiro passo é substituirmos xA, xB, yA e yB pelos respectivos valores 
22 )711()35(|| AB
 
Vamos subtrair os valores que estão entre parênteses 
22 )4()2(|| AB
 
Elevando 2 ao quadrado e 4 ao quadrado, temos 
164|| AB
 
O próximo passo é somarmos 4 e 16 
20|| AB
 
Finalmente, vamos calcular a raiz quadrada de 20 
47,4|| AB
 
Podemos concluir, então, que o módulo de 
AB
 é igual a 4,47. 
 
 
2. Dado o vetor 
AB
 onde A=(3, 7) e B=(5, 11), determine a sua direção. 
Resolução: 
Para determinarmos a direção do vetor 
AB
, basta encontrarmos o valor de 

. 
Vamos utilizar a fórmula 
AB
AB
xx
yy


)(tg 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que xA=3, yA=7, xB=5, yB=11. Substituindo esses valores na fórmula 
acima, temos 
35
711
)(tg



 
Calculando 11-7 e 5-3, temos 
2
4
)(tg 
 
Dividindo 4 por 2, temos 
2)(tg 
 
Como queremos encontrar o valor de 

, precisamos calcular o arco cuja tangente é 
igual a 2, ou seja, vamos utilizar a função arctg 
2arctg
 
Com o auxílio de uma calculadora científica, temos que 
 43,63
 
Sendo assim, a direção do vetor 
AB
 é de 63,43°. 
Observe que, como conhecemos o módulo de 
AB
, podemos obter o valor de 

 
utilizando seno ou cosseno. 
 
 
 
3. Sejam os vetores 
kjiu

472 
 e 
kjiv

365 
. Determine 
vu

.
. 
Resolução: 
O produto escalar 
vu

.
 é obtido a partir da soma dos produtos das componentes dos 
vetores 
u
 e 
v
 , ou seja, 
3x46x75x2. vu
 . Fazendo as devidas multiplicações, 
temos 
124210. vu
 
que resulta em 
 
 
64. vu
 . 
 
 
4. O que são vetores equipolentes? 
Resolução: 
São vetores que, mesmo em diferentes locais de um sistema de eixos coordenados, 
possuem mesmo módulo, direção e sentido. Os vetores 
AB
 e 
CD
, por exemplo, 
apresentados na figura abaixo são equipolentes. 
 
 
 
 
5. Sendo 
)3 ,2(A
 e 
)5 ,8(B
, determine as componentes de 
AB
. 
Resolução: 
Sabemos que 
OAOBAB 
. Logo, para encontrarmos as componentes de 
AB
, 
basta subtrairmos as componentes dos vetores 
OB
 e 
OA
. Os vetores 
OA
 e 
OB
 
são os vetores com origem no ponto O e extremidades nos pontos A e B, 
respectivamente. Sendo assim, 
OAOBAB 
 corresponde a 
)3 ,2()5 ,8( AB
 
Subtraindo as respectivas componentes, temos 
)35 ,28( AB
 
o que resulta em 
)2 ,6(AB
 
Portanto, as componentes do vetor 
AB
 são 
)2 ,6(
. 
A figura abaixo apresenta os vetores 
OA
, 
OB
 e 
AB
 e o vetor 
OP
 que é 
equipolente ao vetor 
AB
 e que tem ponto inicial na origem. 
 
 
 
 
 
 
6. Calcule o módulo do vetor 
kjiv

572 
. 
Resolução: 
Abaixo temos a representação gráfica do vetor 
v
 . 
 
 
 
Para calcularmos o módulo de 
v
 , vamos utilizar a fórmula 
222|| zyxv 
 
Vamos agora substituir as componentes x, y e z por 2, 7 e -5 
222 )5(72|| v
 
Elevando esses termos ao quadrado, temos 
25494|| v
 
O próximo passo é somarmos os termos que estão sob o radical 
78|| v
 
 
 
Calculando a raiz quadrada de 78, temos 
83,8|| v

 
que é o módulo de 
v
 . 
 
 
7. Sejam 
)3 ,1 ,1(M
 e 
)1 ,2 ,3(N
, determine o módulo de 
MN
. 
Resolução: 
Graficamente, temos abaixo o vetor 
MN
. 
 
 
 
Estamos trabalhando com vetores do R3. Por isso podemos encontrar 
|| MN
 
utilizando a fórmula 
222 )()()(|| ABABAB zzyyxxAB 
 
Como as extremidades do vetor estão sendo chamadas de M e de N, podemos 
reescrever a fórmula acima como 
222 )()()(|| MNMNMN zzyyxxMN 
 
Substituindo respectivamente xM, yM e zM por 1, 1 e 3 e xN, yN e zN por 3, 2 e 1, 
temos 
222 )31()12()13(|| MN
 
Vamos agora subtrair os termos que estão entre parênteses 
222 )2()1()2(|| MN
 
Agora iremos elevar 2, 1 e -2 ao quadrado 
414|| MN
 
Fazendo 4+1+4, temos 
9|| MN
 
Finalmente, calculando a raiz quadrada de 9, temos 
3|| MN
 
 
 
Sendo assim, o módulo de 
MN
 é igual a 3. 
 
 
8. Qual é o vetor resultante da multiplicação do escalar 3 pelo vetor 
)6 ,3 ,4( v

? 
Resolução: 
O resultado da multiplicação de 3 pelo vetor 
)6 ,3 ,4( v

 é simples de ser obtido. 
Basta multiplicarmos 3 pelas componentes de 
v
 . 
)6 ,3 ,4(33 v

 
)6x3 ,3)x(3 ,4x3(3 v

 
)81 ,9 ,12(3 v

 
Logo, 
v

3
 é igual a 
)81 ,9 ,12( 
. 
 
 
9. Calcule 
w

5
 onde 
w
 é igual a 
)2 ,4 ,0 ,7 ,1(
. 
Resolução: 
Vamos multiplicar cada componente de 
w
 por 5 para encontrarmos o vetor 
w

5
. 
)2 ,4 ,0 ,7 ,1(w

 
)2 ,4 ,0 ,7 ,1(55 w

 
)2x5 ,4x5 ,0x5 ,7x5 ),1(x5(5 w

 
)01 ,02 ,0 ,53 ,5(5 w

 
Logo, 
w

5
 é igual a 
)01 ,02 ,0 ,53 ,5(
. 
 
 
10. Sejam 
)4 ,10 ,6(P
 e 
)2 ,5 ,2(Q
, calcule 
v
2
 onde 
PQv 
 . 
Resolução: 
 
 
 
Inicialmente, precisamos calcular o valor das componentes de 
v
 . Como 
PQv 
 e 
OPOQPQ 
, podemos fazer 
 
 
OPOQv 
 
É fácil perceber que 
)2 ,5 ,2(OQ
e que 
)4 ,10 ,6(OP
. Portanto 
)4 ,10 ,6()2 ,5 ,2( v

 
Vamos subtrair as respectivas componentes 
)42 ,105 ,62( v

 
Logo 
)2 ,5 ,4( v

 
Agora que temos as componentes de 
v
 , podemos calcular 
v

2
 multiplicando cada 
componente de 
v
 por 2 
)2 ,5 ,4(22 v

 
)2)x(2 ,5)x(2 ),4x(2(2 v

 
)4 ,10 ,8(2 v

 
Enfim, o valor de 
v

2
 é 
)4 ,10 ,8( 
. 
 
 
11. Considere os vetores 
)4 ,1 ,5 ,3(u

 e 
)6 ,2 ,0 ,4(v

. Calcule 
vu

34 
. 
Resolução: 
O valor de 
vu

34 
 pode ser facilmente calculado. Primeiro vamos substituir 
u
 e 
v
 
por 
)4 ,1 ,5 ,3(
 e 
)6 ,2 ,0 ,4(
, respectivamente 
)6 ,2 ,0 ,4(3)4 ,1 ,5 ,3(434  vu

 
O próximo passo é multiplicarmos cada componente de 
)4 ,1 ,5 ,3(u

 por 4 e cada 
componente de 
)6 ,2 ,0 ,4(v

 por 3 
)6x3 ,2x3 ,0x3 ,4x3()4x4 ,1x4 ,5x4 ,3x4(34  vu

 
Que resulta em 
)81 ,6 ,0 ,12()61 ,4 ,02 ,12(34  vu

 
Vamos agora somar as respectivas componentes de cada vetor 
)1861 ,64 ,002 ,1212(34  vu

 
Logo, 
)43 ,01 ,02 ,24(34  vu

. 
Portanto a soma 
vu

34 
 é igual a 
)43 ,01 ,02 ,24(
. 
 
 
12. Determine o produto escalar 
vu

.
 onde 
)7 ,3 ,5 ,1 ,2(u

 e 
)1 ,3 ,8 ,2 ,5(v

. 
Resolução: 
O produto escalar 
vu

.
 pode ser calculado como segue 
nn vuvuvuvu .... 2211  

. 
Em particular, o produto 
vu

.
 com 
)7 ,3 ,5 ,1 ,2(u

 e 
)1 ,3 ,8 ,2 ,5(v

 é igual a 
1x73x38x52x15x2. vu
 
Efetuando as multiplicações, temos 
7940210. vu
 
Somando os termos, temos 
68. vu
 
Logo, o produto escalar 
vu

.
 é igual a 68. 
 
 
13. Calcule o produto escalar entre os vetores 
)0 ,5(u

 e 
)6 ,0(v

 utilizando a 
expressão 
 
 
cos.||.||. vuvu  
. 
Resolução: 
A figura abaixo ilustra os vetores 
u
 e 
v
 . 
 
 
 
Como o ângulo entre esses vetores é igual a 90°, pois cada um desses vetores está 
sobre cada um dos eixos coordenados, temos 
 90cos.60.05. 2222vu
 
Vamos calcular as potências e o valor de cos 90° 
0.360.025. vu
 
Efetuando as somas, temos 
0.36.25. vu
 
Calculando as raízes, temos 
0.6.5. vu
 
Finalmente vamos efetuar as devidas multiplicações 
0. vu
 
Ou seja, o produto escalar 
vu

.
 é igual a 0. 
Observação: O produto escalar entre dois vetores ortogonais é sempre igual a 0. 
 
 
14. Dados os vetores 
)2 ,1 ,4(a

 e 
)1 ,4 ,3( b
 , calcule o produto vetorial 
ba


. 
Resolução: 
Sabemos que 











321
321det
bbb
aaa
kji
ba
 . 
Por isso vamos substituir os valores de a1, a2 e a3 por 4, 1 e 2 e os valores de b1, b2 
e b3 por 3, 4 e -1, o que resulta em 
 












143
214det
kji
ba
 
 
 
ou, equivalentemente, 
kjiba )3x14x4())1(x43x2()4x2)1(x1( 
 . 
Efetuando as multiplicações indicadas, temos 
kjiba )316())4(6()81( 
 
Vamos, agora, efetuar as somas e subtrações. Logo, teremos 
kjiba 13109 
 
Sendo assim, o produto vetorial 
ba


 é igual a 
kji 13109 
. Podemos também 
escrever esse produto como 
)13 ,10 ,9(ba
 . 
 
 
15. Dados os vetores 
)2 ,1 ,4(a

 e 
)1 ,4 ,3( b
 , calcule o produto vetorial 
ab


. 
Resolução: 
Substituindo os valores de a1, a2 e a3 por 4, 1 e 2 e os valores de b1, b2 e b3 por 3, 4 
e -1 na expressão 
kababjababiabab
aaa
bbb
kji
ab )()()(det 122131132332
321
321 











 , 
temos 
 











214
143det
kji
ab
 . 
donde 
kjiab )4x41x3()2x34x)1(()1x)1(2x4( 
 . 
O próximo passo é calcular as multiplicações necessárias 
kjiab )163()64())1(8( 
 
Somando e subtraindo os termos necessários, temos 
kjiba 13109 
 
Logo, o produto vetorial 
ab


 é igual a 
kji 13109 
. Podemos também escrever 
esse produto como 
)13- ,10- ,9(ab
 . 
Observação: Note que o vetor 
ab


 tem o mesmo módulo e direção, mas sentido 
contrário ao vetor 
ba


.