CADERNO 4 DE EXERCÍCIOS - GEOMETRIA ANALÍTICA

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5. Planos 
 
5.1 Equações do plano 
 
Equação geral do plano: 
0 dczbyax
 onde a, b e c são as componentes do 
vetor normal 
n
 , 
000 czbyaxd 
 e 
0. APn
 , 
PA,
. 
 
 
 
Equação vetorial do plano: 
vtutAP

21 
 onde 
u
 e 
v
 são paralelos a 

, 
PA,
 e 
Rtt 21,
. 
 
 
 
Equações paramétricas do plano: 








22110
22110
22110
ctctzz
btbtyy
atatxx
 
 
Produto misto: 
123312231213132321
333
222
111
).( zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyx
zyx
zyx
wvu 
 
onde 
) , ,( 111 zyxu 

, 
) , ,( 222 zyxv 

 e 
) , ,( 333 zyxw 

. 
 
Ângulo entre dois planos: 
21
21
.
.
)cos(
nn
nn



, com 
 900 
. 
 
1. Determine uma equação geral cartesiana do plano 

. Considere o vetor 
n
 
normal a 

 e o ponto A pertencente a 

 onde 
)2 ,5 ,3(n

 e 
)4 ,2 ,1(A
. 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Para escrevermos uma equação geral do plano 

 vamos considerar a expressão 
0. APn
 
Sabemos que o vetor 
AP
 pode ser escrito como 
OAOP
. Sabemos também que 
)2 ,5 ,3(n

. Logo 
0)).(2 ,5 ,3( OAOP
 
Como P é um ponto qualquer de 

, 
) , ,( zyxOP 
 e como 
)4 ,2 ,1(OA
, 
)4 ,2 ,1(A
. Substituindo 
OP
 por 
) , ,( zyx
 e 
OA
 por 
)4 ,2 ,1(
, temos 
0))4 ,2 ,1() , ,).((2 ,5 ,3( zyx
 
Vamos agora subtrair as componentes x-1, y-2 e z-4 
0)4 ,2 ,1).(2 ,5 ,3(  zyx
 
Agora precisamos multiplicar os vetores 
)2 ,5 ,3(
 e 
)4 ,2 ,1(  zyx
 
0)4.(2)2.(5)1.(3  zyx
 
Aplicando a propriedade distributiva, temos 
08210533  zyx
 
Finalmente, vamos somar os termos semelhantes. Nesse caso, -3-10-8 
021253  zyx
 
Portanto, uma equação geral do plano 

 é 
021253  zyx
. 
 
2. Considere o Exercício 1. Encontre uma equação geral para 

 substituindo a, b e 
c pelas componentes do vetor normal 
n
 e calculando o valor de d a partir da 
relação 
000 czbyaxd 
. 
Resolução: 
Como 
)2 ,5 ,3(n

, temos a=3, b=5 e c=2. Substituindo esses valores na expressão 
0 dczbyax
, temos 
0253  dzyx
 
Para que possamos encontrar o valor de d, vamos utilizar a relação 
 
 
000 czbyaxd 
 
Já sabemos quais são os valores de a, b e c. Quanto aos valores de x0, y0 e z0, 
vamos substituí-los pelas coordenadas do ponto 
)4 ,2 ,1(A
, ou seja, x0=1, y0=2 e 
z0=4. Portanto 
4.22.51.3 d
 
Efetuando as respectivas multiplicações, temos 
8103 d
 
que resulta em 
21d
 
Logo, a equação geral do plano 

 é dada por 
021253  zyx
 
 
3. Considere os pontos 
)2 ,6 ,2(A
, 
)4 ,1 ,3(B
 e 
)3 ,2 ,5(C
. Determine uma 
equação geral do plano 

 que contém os pontos A, B e C. 
 
 
 
Resolução: 
Precisamos, inicialmente, de um vetor 
n
 normal ao plano 

. Podemos fazer 
ABu 
 e 
ACv 
 . Como 
u
 e 
v
 são paralelos ao plano 

, o vetor 
vun


 é 
normal a 

. Logo, vamos calcular o produto vetorial 
vu


 para que possamos 
encontrar o vetor 
n
 . 
O vetor 
u
 é dado por 
ABu 
 
Logo 
ABu 
 
Substituindo B por 
)4 ,1 ,3(
 e A por 
)2 ,6 ,2(
, temos 
)2 ,6 ,2()4 ,1 ,3( u

 
que resulta em 
)24 ,61 ,23( u

 
donde 
 
 
)2 ,5 ,1( u

 
Para encontrarmos o vetor 
v
 , vamos fazer 
ACv 
 
ou, equivalentemente, 
ACv 
 
Como 
)3 ,2 ,5(C
 e 
)2 ,6 ,2(A
, temos 
)2 ,6 ,2()3 ,2 ,5( v

 
Vamos subtrair as respectivas componentes 
)23 ,62 ,25( v

 
Logo 
)1 ,4 ,3( v

 
Já temos os vetores 
)2 ,5 ,1( u

 e 
)1 ,4 ,3( v

. O produto vetorial 
vu


 é dado 
por 
kvuvujvuvuivuvu
vvv
uuu
kji
vu )()()( 122131132332
321
321 
 
Substituindo as respectivas componentes de 
u
 e 
v
 , temos 
kji
kji
vu ))3).(5()4).(1(())1).(1()3).(2(())4).(2()1).(5((
143
251 


 Pre
cisamos efetuar as multiplicações indicadas acima 
kjivu )154()16()85( 

 
Vamos agora somar os termos que estão entre parênteses 
kjivu 1153 

 
Logo, o vetor 
n
 normal ao plano 

 é dado por 
)11 ,5 ,3(n

 
Podemos agora utilizar a expressão 
0. APn
 
para encontrarmos uma equação geral para o plano 

, pois 
)11 ,5 ,3(n

, 
)2 ,6 ,2(A
 e 
) , ,( zyxP 
. 
Sabemos que 
0. APn
 é equivalente a 
0).( OAOPn
 
Logo 
0))2 ,6 ,2() , ,).((11 ,5 ,3( zyx
 
Subtraindo as respectivas componentes, temos 
0)2 ,6 ,2).(11 ,5 ,3(  zyx
 
Multiplicando 
)11 ,5 ,3(
 por 
)2 ,6 ,2(  zyx
, temos 
0)2.(11)6.(5)2.(3  zyx
 
Que resulta em 
0221130563  zyx
 
Somando os termos semelhantes, temos 
0581153  zyx
 
que é a equação geral do plano 

. 
 
 
 
4. Resolva o Exercício 3 substituindo a, b e c pelas componentes do vetor normal 
n
 
e calculando o valor de d a partir da relação 
000 czbyaxd 
. 
Resolução 
Sabemos que a=3, b=5 e c=11, pois 
)11 ,5 ,3(n

. Vamos substituindo esses valores 
na expressão 
0 dczbyax
 
01153  dzyx
 
O próximo passo é encontrarmos o valor de d utilizando a relação 
000 czbyaxd 
 
Nese caso, a=3, b=5 e c=11 e x0=2, y0=6 e z0=2, pois 
)2 ,6 ,2(A
. 
Logo 
2.116.52.3 d
 
Efetuando as respectivas multiplicações, temos 
22306 d
 
que resulta em 
58d
 
Logo, a equação geral do plano 

 é dada por 
0581153  zyx
 
 
5. Encontre uma equação vetorial do plano 

 que passa pelos pontos 
)2 ,6 ,2(A
, 
)4 ,1 ,3(B
 e 
)3 ,2 ,5(C
 dado no Exercício 3. 
Resolução: 
Considere 
ABu 
 . Como 
ABu 
 
temos 
)2 ,6 ,2()4 ,1 ,3( u

 
que resulta em 
)24 ,61 ,23( u

 
donde 
)2 ,5 ,1( u

 
Vamos considerar 
ACv 
 
Sabemos que 
ACv 
 
Logo 
)2 ,6 ,2()3 ,2 ,5( v

 
donde 
)23 ,62 ,25( v

 
Portanto 
)1 ,4 ,3( v

 
Como já temos os vetores 
u
 e 
v
 e o ponto 
)2 ,6 ,2(A
, a equação vetorial do 
plano pode ser facilmente obtida. Vamos substituir A, 
u
 e 
v
 na expressão 
vtutAP

21 
 
o que resulta em 
)1 ,4 ,3()2 ,5 ,1()2 ,6 ,2() , ,( 21  ttzyx
 
Multiplicando t1 por 
)2 ,5 ,1( 
 e t2 por 
)1 ,4 ,3( 
, temos 
)1 ,4 ,3()2 ,5 ,1()2 ,6 ,2() , ,( 222111 ttttttzyx 
 
Vamos agora somar as respectivas componentes 
)22 ,456 ,32() , ,( 212121 ttttttzyx 
 
 
 
que é a equação vetorial de 

. 
 
6. Utilize o produto misto para encontrar uma equação vetorial do plano 

 que 
passa pelos pontos 
)2 ,6 ,2(A
, 
)4 ,1 ,3(B
 e 
)3 ,2 ,5(C
 apresentados no 
Exercício 3. 
Resolução: 
Sabemos que o produto misto 
).( wvu


 é calculado a partir do determinante da 
matriz formada pelas componentes dos vetores 
u
 , 
v
 e 
w
 : 
123312231213132321
333
222
111
).( zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyx
zyx
zyx
wvu 
 
Precisamos, então, definir a partir dos pontos A, B, C e P, os vetores 
u
 , 
v
 e 
w
 . É 
importante ressaltar que P é um ponto pertencente a 

 tal que 
) , ,( zyxP 
. 
Vamos fazer 
APu 
 , 
ABv 
 e 
ACw 
 . 
O vetor 
APu  é obtido como segue: 
APu 
 
)2 ,6 ,2() , ,(  zyxu

 
)2 ,6 ,2(  zyxu

 
Para encontrarmos o vetor 
ABv 
 , basta fazer: 
ABv 
 
)2 ,6 ,2()4 ,1 ,3( v

 
)24 ,61 ,23( v

 
)2 ,5 ,1( v

 
O vetor 
ACw 
 também pode ser facilmente obtido 
ACw 
 
)2 ,6 ,2()3 ,2 ,5( w

 
)23 ,62 ,25( w

 
)1 ,4 ,3( w

 
Como já temos os vetores 
u
 , 
v
 e 
w
 , podemos calcular o produto misto 
).( wvu


 
e, para obtermos a equação geral do plano, igualar esse produto misto a zero. 
0
143
251
262
).( 




zyx
wvu
 
Que corresponde a 
0)3)(5)(2()1)(1)(6()4)(2)(2( 
)4)(1)(2()3)(2)(6()1)(5)(2().(


zyx
zyxwvu
 
Vamos agora efetuar as multiplicações indicadas 
03015616884366105  zyxzyx
 
Somando os termos semelhantes, temos 
0581153  zyx
 
que é a equação geral do plano 

. 
 
7. Considere o plano 

 definido por 
020254  zyx
. Determine os pontos A, 
B e C de intersecção do plano 

 com os eixos coordenados x, y e z, 
respectivamente. 
 
 
Resolução: 
O ponto de intersecção do plano 

 com o eixo x ocorre quando y=0 e z=0. Logo, 
vamos substituir esses valores na equação 
020254  zyx
 
o que resulta em 
020)0(2)0(54 x
 
Multiplicando 5 por 0 e 2 por 0, temos 
020004 x
 
Logo 
0204 x
 
Somando 20 nos dois membros da equação 
20020204 x
 
Donde 
204 x
 
Dividindo ambos os membros por 4, temos 
4
20
4
4

x
 
Portanto 
5x
 
Logo, o ponto A de intersecção do plano 

 com o eixo x é igual a 
)0 ,0 ,5(A
. 
Para encontrarmos o ponto de intersecção do plano 

 com o eixo y vamos 
considerar agora x=0 e z=0. Substituindo esses valores na equação 
020254  zyx
 
temos 
020)0(25)0(4  y
 
Os cálculos para encontrarmos o valor de y são análogos aos realizados 
anteriormente 
020050  y
 
0205 y
 
205 y
 
5
20
y
 
4y
 
Portanto, o ponto B de intersecção do plano 

 com o eixo y é igual a 
)0 ,4 ,0(B
. 
O ponto de intersecção do plano 

 com o eixo z ocorre quando x=0 e y=0. Logo 
0202)0(5)0(4  z
 
020200  z
 
0202 z
 
202 z
 
2
20
z
 
10z
 
Assim, o ponto C de intersecção do plano 

 com o eixo z é igual a 
)01 ,0 ,0(C
. 
A figura a seguir apresenta os pontos A, B e C onde o plano 

 intercepta os eixos 
coordenados x, y e z, respectivamente. 
 
 
 
 
 
8. Seja o plano 

 definido por 
020254  zyx
 conforme o Exercício 7. 
Determine as intersecções do plano 

 com os planos xy, yz e xz. 
Resolução: 
O plano 

 intercepta o plano xy quando z=0. 
020254  zyx
 
Logo 
020)0(254  yx
 
020054  yx
 
02054  yx
 
2054  yx
 
O plano 

 intercepta o plano yz quando x=0. 
020254  zyx
 
Logo 
02025)0(4  zy
 
020250  zy
 
02025  zy
 
2025  zy
 
O plano 

 intercepta o plano xz quando y=0. 
020254  zyx
 
Logo 
0202)0(54  zx
 
020204  zx
 
02024  zx
 
2024  zx
 
 
 
 
 
 
 
9. Encontre um sistema de equações paramétricas do plano 

 que passa pelos 
pontos 
)2 ,6 ,2(A
, 
)4 ,1 ,3(B
 e 
)3 ,2 ,5(C
 dados no Exercício 3. 
Resolução: 
A partir dos pontos A, B e C, precisamos definir os vetores diretores do plano 

: 
O primeiro vetor pode ser 
ABu 
 : 
ABAB 
 
)2 ,6 ,2()4 ,1 ,3( AB
 
)2 ,5 ,1( AB
 
O segundo vetor diretor pode ser 
ACv 
 : 
ACAC 
 
)2 ,6 ,2()3 ,2 ,5( AC
 
)1 ,4 ,3( AC
 
Como as equações paramétricas são dadas por 








22110
22110
22110
ctctzz
btbtyy
atatxx
 
basta substituirmos x0, y0 e z0 pelas respectivas coordenadas do ponto A, a1, b1 e c1 
pelas respectivas coordenadas do vetor 
u
 e a2, b2 e c2 pelas respectivas 
coordenadas do vetor 
v
 : 








)1()2()2(
)4()5()6(
)3()1()2(
21
21
21
ttz
tty
ttx
 
Logo, as equações paramétricas de 

 são 
 
 








21
21
21
22
456
32
ttz
tty
ttx
 
 
10. Seja r a reta dada pelas equações 








tz
ty
tx
21
5
32
. Verifique se r é paralela ao plano 

 dado por 
)233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  . 
Resolução: 
 
)21 ,5 ,32() , ,(: tttzyxr 
 
Vetor diretor: 
)2 ,1 ,3(b
 
 
Plano: 
)2 ,1 ,2()3 ,1 ,1()3 ,3 ,1() , ,(: 21 ttzyx  
 
Donde 
)3 ,1 ,1(u

 
)2 ,1 ,2(v

 
 
212
311
kji
vun


 
 
12212
11311
jikji
vun


 
 
kijkji
jikji
vun



23262
12212
11311  
 
kji
jikji
vun



 4
12212
11311 
 
)1 ,4 ,1( n

 
 
Ortogonalidade: 
 
)2 ,1 ,3(b
 
)1 ,4 ,1( n

 
 
 
 
)1 ,4 ,1).(2 ,1 ,3( nb
 
)1).(2()4).(1()1).(3( nb
 
243 nb
 
1nb
 
 
não são ortogonais 
 
11. Considerando o Exercício 10, verifique se r está contida no plano 

. 
Resolução: 
Para que uma reta esteja contida no plano, essa reta deve ser paralela ao plano e é 
preciso ainda mostrar que dois pontos quaisquer da reta pertencem ao plano. Como 
r e  não são paralelos, a reta r não está contida no plano . 
 
12. Verifique se o ponto 
)3 ,2 ,4(A
 pertence ao plano 
)233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  definido no Exercício 10. 
Resolução: 
Para sabermos se um ponto pertence ou não a um plano, basta substituirmos as 
coordenadas x, y e z desse ponto na equação do plano e verificarmos se os 
parâmetros t1 e t2 satisfazem a equação do plano. Nesse caso, temos 
)233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  . 
Sendo assim, 
)233 ,3 ,21()3 ,2 ,4( 212121 tttttt 
 
donde 








3233
23
421
21
21
21
tt
tt
tt
 
Agrupando os termos semelhantes, temos 








3323
32
142
21
21
21
tt
tt
tt
 
Ou, equivalentemente, 








023
1
32
21
21
21
tt
tt
tt
 
Precisamos agora resolver o sistema de três equações e duas incógnitas para 
encontrarmos, caso existam, os parâmetros t1 e t2 que satisfazem o sistema de 
equações. Podemos resolver, inicialmente, o sistema formado pelas duas primeiras 
equações. Caso exista solução, devemos substituir t1 e t2 na terceira equação para, 
enfim, sabermos se o sistema possui solução e, consequentemente, se o ponto 
)3 ,2 ,4(A
 pertence ao plano . Logo 





1
32
21
21
tt
tt 
Multiplicado a segunda equação por -1 temos 





1
32
21
21
tt
tt 
 
 
Vamos agora somar os termos semelhantes 
40 
1
32
2
21
21






t
tt
tt
 
Logo, 
42 t
. Podemos substituir esse valor na equação 
121  tt
, o que resulta 
em 
121  tt
 
141 t
 
411 t
 
51 t
 
Finalmente, para sabermos se o ponto A pertence ao plano , vamos substituir 
51 t
 e 
42 t
 na equação 
023 21  tt
. 
023 21  tt
 
0)4(2)5(3 0815 
 
07 
 
Como 
07 
, podemos concluir que o ponto 
)3 ,2 ,4(A
 não pertence ao plano 
)233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  . 
 
13. Encontre o ângulo formado entre os planos 
05:  zyx
 e 
01232:  zyx
. 
Resolução: 
O ângulo entre dois planos é dado pelo menor ângulo entre os vetores normais 
desses dois planos. A fórmula a ser utilizada é a seguinte 
21
21
.
.
)cos(
nn
nn



. 
O vetor normal ao plano  é 
)1 ,1 ,1(1 n

 e o vetor normal ao plano  é 
)1 ,3 ,2(2 n

. 
Substituindo esses vetores na expressão 
21
21
.
.
)cos(
nn
nn



 
temos 
)1 ,3 ,2(.)1 ,1 ,1(
)1 ,3 ,2).(1 ,1 ,1(
)cos( 
 
222222 132.111
)1).(1()3).(1()2).(1(
)cos(



 
194.111
132
)cos(



 
14.3
6
)cos( 
 
4807,6
6
)cos( 
 
9258,0)cos( 
 
 
 
)9258,0arccos(
 
21,22
 
Nesse caso, o ângulo entre os planos 
05:  zyx
 e 
01232:  zyx
 é 
igual a 22,21°.