C C G ANALITICA-1-SLIDE

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Unidade I 
 
 
 
CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
Profa. Isabel Espinosa 
Geometria Analítica 
Veremos nesta unidade 
 Vetores no plano e no espaço. 
 Abordagem geométrica. 
 Abordagem algébrica. 
 Produto escalar, vetorial. 
 
Vetores 
Conceitos básicos: 
 Comprimento ou módulo – medida do vetor. 
 Direção – direção da reta que contém o vetor. 
 Sentido – orientação. 
 Representação geométrica – segmento orientado. 
 Grandezas vetoriais – dadas por sua direção, 
sentido e comprimento. 
 Ex.: força, velocidade. 
 
 
Vetores 
Notação: 
 vetor AB, origem A, extremidade B 
 
 origem C, extremidade D 
 
 
AB - 
CD - 
A 
B 
r 
D 
C 
s 
CD 
AB 
Vetores 
 
 
A 
B 
r 
D 
C 
s 
CD 
AB 
E 
F EF 
t 
 AB ≠ CD sentido contrário 
 AB = EF mesmo sentido, direção e módulo 
Vetores 
 Paralelos (mesma direção, r // s) 
 
 Não paralelos 
AB // CD 
AB // FE 
A B r 
D C s CD 
AB 
 Ortogonais (r e s perpendiculares) 
A B r 
AB 
D 
C 
s 
CD 
AB ⊥ CD 
Vetores 
Vetores 
Exemplos: 
1. Observando o paralelogramo ABCD, determinar os vetores 
que são iguais. 
 
 
 A B 
C D 
Vetores 
 
 
 
 
 
 
AB = DC 
A B 
C D 
AD = BC 
A B 
C D 
Vetores 
2. Observando o cubo, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
AB = EF = DC = HG 
A B 
C D 
E F 
G H 
AE = BF = DH = CG 
AD = BC = EH = FG 
Operações com vetores 
Adição 
1º caso: 
 
 
 
2o caso: 
u 
v 
u + v 
u 
v 
u + v 
u 
v 
Operações com vetores 
Regra do paralelogramo 
 
 
 
u 
v 
A B 
C D 
Operações com vetores 
Exemplos 
1. Determinar a soma dos vetores indicados na figura, 
considerando que ela é formada por quadrados iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
A B C 
D E F 
G H I 
A B C 
D E F 
G H I 
DA = I F 
BC = DE 
DA + E I + BC = DE + EI + IF = DF 
Operações com vetores 
2. Considerando o hexágono regular, determine a soma dos 
vetores indicados. 
 
 
A B 
C 
D E 
F G 
BA = - FG 
A B 
C 
D E 
F G 
A B 
C 
D E 
F G 
BA + FG + FE + ED = FD 
Interatividade 
Para o cubo ABCDEFGH, é correto afirmar: 
a) AB ⊥ EF 
b) AB // BF 
c) AD = FG 
d) HG // BC 
e) BC = DC 
A B 
C D 
E F 
G H 
Resposta 
Para o cubo ABCDEFGH, é correto afirmar: 
a) AB ⊥ EF 
b) AB // BF 
c) AD = FG 
d) HG // BC 
e) BC = DC 
A B 
C D 
E F 
G H 
Operações com vetores 
Multiplicação por escalar (n° real) 
 e α ≠ 0 
 é o vetor que tem: 
direção: mesma de 
sentido: α > 0 , mesmo de 
 α < 0 , contrário 
módulo: 
 
 
v ≠ 0 
α v 
v 
v 
| α v | = |α| .| v | 
v 
Operações com vetores 
Exemplo 
1. Dado o vetor representar os vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
v, 
2 v 
-3 v 
v 
1 
2 
v 
2 v 
-3 v 
v 
1 
2 
Operações com vetores 
2. Dada a equação vetorial, na variável determine 
a sua solução. 
 
 
 
 
2 x + a + b = 4 x – a – b 
2 x – 4 x = – b – a – a – b 
– 2 x = – 2 a – 2 b 
 x = a + b 
 x, 
Coordenadas dos vetores 
 IR2 – (plano) 
 
 
 B = {(1,0), (0,1)} é uma base ortonormal, 
 (2 vetores ortogonais e unitários) 
 
 Exemplo: 
 v = (a, b) = a . i + b . j 
 i = (1, 0) e j = (0, 1) 
x 
y 
j 
a i 
b 
v 
(2,3) 
 v = (2, 3) = 2 . i + 3. j 
Coordenadas dos vetores 
 IR3 – (espaço) 
 
 
 B = {(1,0, 0), (0,1, 0), (0, 0, 1)} é uma base ortonormal, 
 (vetores ortogonais 2 a 2 e unitários) 
 
 Exemplo: 
 v = (a, b, c) = a . i + b . j + b . k 
 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0,1) 
 v = 2 . i + 1. j + 3. k = (2, 1, 3) 
 u = -1 . i + 4. k = (-1, 0, 4) 
Coordenadas dos vetores 
 Adição no IR2: 
 
 Exemplo: 
 
 
 Adição no IR3: 
 
 
 Exemplo: 
 u + v = (3, 2) + (1, -1) = (3 + 1, 2 - 1) = (4, 1) 
 u + v = (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z) 
 u + v = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 
 u + v = (3, 2, 1) + (-1, 2, 3) = (2, 4, 4) 
Coordenadas dos vetores 
 Multiplicação por escalar: 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 α u = α (a, b, c) = (α a, α b, α c) 
3 u = 3 (3, 1, 0) = (3.3, 3.1, 3.0) = (9, 3, 0) 
- 2 v = - 2 (4, -1, 2) = (- 2.4, -2.(-1), - 2.2) = (- 8, 2, - 4) 
 u = (4, -1, 2), v = (3, 1, 0) 
- 2 v + 3 u = (- 8, 2, - 4) + (9, 3, 0) = (1, 5, - 4) 
Coordenadas dos vetores 
Módulo: 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 u = (a, b) ⇒ |u | = √a2 + b2 
 u = (5, 1) ⇒ |u | = √52 + 12 = √26 
 u = (a, b, c) ⇒ |u | = √a2 + b2 + c2 
 u = (3, -1, 0) ⇒ |u | = √32 + (-1)2 + 02 = √ 10 
Coordenadas dos vetores 
Considere os pontos A = (x,y,z) e B = (a,b,c) e o vetor 
Podemos escrever: 
 
 
Exemplo: 
 
Sendo A = (2,-1,3) e B = (1,0,2), as coordenadas do vetor 
com origem em A e extremidade em B são: 
 
AB . 
AB = B – A = (a, b, c) – (x, y, z) = (a – x, b – y, c – z) 
AB = B – A = (1, 0, 2) – (2, -1, 3) = (-1, 1, -1) 
Coordenadas dos vetores 
Combinação linear: soma de múltiplos 
 
 
Exemplos: 
1. Determinar k para que seja combinação linear 
 de e 
 
 
 (k, 1, 4) = a.(1, 5, 2) + b.(2, 3, 0) 
v = a1. u1 + a2. u2 + . . . + an. un 
u = (k, 1, 4) 
v = (1, 5, 2) w = (2, 3, 0). 
 u = a . v + b . w 
Coordenadas dos vetores 
 (k, 1, 4) = a.(1, 5, 2) + b.(2, 3, 0) 
 (k, 1, 4) = (a, 5a, 2a) + (2b, 3b, 0) 
 (k, 1, 4) = (a + 2b, 5a + 3b, 2a) 
 
 
 
 
 
 a = 2, b = -3 e k = -4 
a + 2b = k 
5a + 3b = 1 
2a = 4 
Coordenadas dos vetores 
2. Escrever como combinação linear dos 
 vetores e 
 
 
 (2, 1, 2) = a.(1, 2, -1) + b.(0, -3, 4) 
 (2, 1, 2) = (a, 2a, -a) + (0, -3b, 4b) 
 (2, 1, 2) = (a, 2a - 3b, -a + 4b) 
u = a. v + b. w 
u = (2, 1, 2) 
v = (1, 2, -1) w = (0, - 3, 4) 
Coordenadas dos vetores 
 (2, 1, 2) = (a, 2a - 3b, -a+4b) 
 
 
 
 
 
 Logo, 
 
u = 2. v + 1. w 
a = 2 
2a - 3b = 1 ⇒ 2.2 – 3b = 1 ⇒ b = 1 
-a + 4b = 2 ⇒ - 2 + 4 . 1 = 2 ⇒ 2 = 2 (V) 
Interatividade 
Dados os pontos A = (4, - 3, 2) e B = (10, - 5, 7), as coordenadas 
do vetor são: 
a) (12, - 4, 10) 
b) (-12, - 4, 10) 
c) (12, 4, 10) 
d) (12, - 4, -10) 
e) (-12, 4, 10) 
 
2 AB 
Dados os pontos A = (4, - 3, 2) e B = (10, - 5, 7), as coordenadas 
do vetor são: 
a) (12, - 4, 10) 
b) (-12, - 4, 10) 
c) (12, 4, 10) 
d) (12, - 4, -10) 
e) (-12, 4, 10) 
 
Resposta 
2 AB 
2 AB = 2 ( B – A) = 2 (6, -2, 5) = (12, - 4, 10) 
Produto escalar 
Produto escalar (resultado é número real) 
 
u = x1 . i + y1 . j + z1 . k 
v = x2 . i + y2 . j + z2 . k 
u . v = x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2 
u . v lê-se u escalar v 
Produto escalar 
Exemplos: 
 
u . v = 1 . (-1) + 2 . 1 = 1 
a) u = (1, 2) e v = (- 1, 1) 
v . u = (-1) . 1 + 1 . 2 = 1 
b) u = (1, 3, -1) e v = (0, 1, 2) 
u . v = 1 . 0 + 3 . 1 + (-1) . 2 = 1 
v . u = 0 . 1 + 1 . 3 + 2 . (-1) = 1 
Produto escalar 
Algumas propriedades: 
 
 u . u = 0 ⇔ u = 0 
 u . u = | u |2 
 u . v = | u | . | v | . cos θ, 
 θ = âng(u, v), u e v não nulos 
 u . v = 0 ⇔ u e v são ortogonais 
Produto escalar 
Exemplos: 
1. Dados, , determine | a | = 4, | b | = 5 e a e b ortogonais 
 (2a + b) . (3a + 2 b) 
Produto escalar 
 
 
| a | = 4, | b | = 5 e a e b ortogonais 
= 2a . 3a+ 2a . 2b + b . 3a + b .2 b = 
= 6a . a + 4a . b + 3b . a + 2 b . b = 
| a |2 0 0 | b |2 
= 6 . 42 + 0 + 0 + 2 . 52 = 
= 96 + 50 = 146 
 (2a + b) . (3a + 2 b) = 
Produto escalar 
2. Determinar cosθ, sendo θ = ang(u , v ), sabendo que: 
 | u | = 5, | v | = 3 e u . v = 6 
 u . v = | u | . | v | . cos θ 
 u . v 
 |u| . |v| 
 cos θ = 
 cos θ = = 6 
 5 . 3 
 2 
 5 
Produto escalar 
3. Determinar a projeção ortogonal de na direção de , 
dados: 
 u = (1, -1, 2) e v = (0, 2, -1) 
u proj = v 
v 
 u . v 
 |v|2 
u proj = . (0, 2, -1) 
v 
-4 
 5 
u v 
 u . v = | u | . | v | . cos θ 
 u . v = 3. 4 . cos 60º 
 u . v = 3. 4 . 0,5 
 u . v = 6 
Produto escalar 
4. Sendo 
 determine o produto escalar 
 
 
| u | = 3 , | v | = 4 e θ = ang ( u, v ) = 60º, 
 u . v 
Produto escalar 
 5. Determinar o vetor tal que: 
 
 
 
 
 u = (x, y, z), 
 u é vetor unitário, 
 u é ortogonal ao vetor a = (1, 1, 0) e 
 u é ortogonal ao vetor b = (0, 0, 1) 
Produto escalar 
 
 
 
 
u unitário ⇔ | u | = 1 ⇔ x2 + y2 + z2 = 1 
u ⊥ a ⇔ (x,y,z) ⊥ (1,1,0) ⇔ (x,y,z) . (1,1,0) = 0 
 
u ⊥b ⇔ (x,y,z) ⊥ (0,0,1) ⇔ (x,y,z) . (0,0,1) = 0 
x2 + y2 + z2 = 1 
(x,y,z) . (1,1,0) = 0 
 
(x,y,z) . (0,0,1) = 0 
Produto escalar 
 Temos então: 
 
 
 
 
 Resolvendo o sistema, temos: 
 
 
 
 
x2 + y2 + z2 = 1 
x.1+ y.1 + z.0 =0 ⇒ x + y = 0 ⇒ x = - y 
 
x.0 + y.0 + z.1=0 ⇒ z = 0 
1 
2 
x = ± 
2 
2 
x = ± 
Produto escalar 
 Substituindo em y, temos: 
 
 
 
 
 assim, 
 
 
2 
2 
u = - , , 0 2 
2 
2 
2 
u = ,- , 0 2 
2 
2 
2 
x = 2 
2 
y = - 
2 
2 
x = - 2 
2 
y = 
Interatividade 
Sabendo que 
o valor de é: 
a) 15 
b) 5 
c) 6 
d) 3 
e) ½ 
 
| u | = 5 , | v | = 6 e θ = ang ( u, v ) = 60º, 
 u . v 
Resposta 
u . v = | u | . | v | . cos600 
u . v = 5 .6 . ½ = 5 .3 = 15 
Sabendo que 
o valor de é: 
a) 15 
b) 5 
c) 6 
d) 3 
e) ½ 
 
| u | = 5 , | v | = 6 e θ = ang ( u, v ) = 60º, 
 u . v 
Produto vetorial 
 Notação: 
 u = (x, y, z) 
 v = (a, b, c) 
 u x v ou u ˄ v 
u x v = 
 i j k 
 x y z 
 a b c 
Produto vetorial 
 Exemplo: 
 Calcular o produto vetorial dos vetores 
 u = (1, 3, -1) e v = (0, 1, 2) 
u x v = 
 i j k 
 1 3 -1 
 0 1 2 
Produto vetorial 
 Desenvolvendo o determinante 
u x v = 
 i j k i j 
 1 3 -1 1 3 
 0 1 2 0 1 
 - (0 - i 2 j ) 6 i 0 1 k 
u x v = 6 i + k–(- i + 2 j ) = 6 i + k + i – 2 j 
u x v = (7, -2, 1) 
u x v = 7 i – 2 j + k 
Produto vetorial 
 Propriedades: 
 
 
 
 
 
 u x v = (não é comutativo) - v x u 
 Interpretação geométrica 
 | u x v | = A Paralelogramo 
 | u x v | = | u | . | v | . senθ 
 u x v ⊥ u e u x v ⊥ v 
Produto vetorial 
 Exemplos: 
1. Sendo | a | = 4, | b | = 5 e âng(a, b) = 30o , calcule | a x b | 
| a x b | = 4 . 5 . sen30o = 20 . ½ = 10 
| u x v | = | u | . | v | . senθ 
 Produto vetorial 
2. Determinar x = (a, b, c) unitário, tal que x seja ortogonal 
aos vetores , sendo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u e v u = (1, 0,-1) e v = (2, 0, 1). 
 Produto vetorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u x v = 
 i j k i j 
 1 0 -1 1 0 
 2 0 1 2 0 
- (0 0 j ) 0 -2 j 0 
u x v = (0, -3, 0) 
x = α (0, -3, 0) = (0, -3 α, 0) 
 Produto vetorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = α (0, -3, 0) = (0, -3 α, 0) 
x = 1/3 (0, - 3, 0) = (0, - 1, 0) 
ou 
x = -1/3 (0, - 3, 0) = (0, 1, 0) 
| x | = 1 ⇒ √ 02 + (- 3α)2+ 02 = 1 ⇒ α = ±1/3 
Produto vetorial 
3. Determinar a área do paralelogramo formado pelos 
 vetores u = (2, -1, 1) e v = (1, 0, -1). 
| u x v | = A Paralelogramo 
Produto vetorial 
 
u x v = 
 i j k i j 
 2 -1 1 2 -1 
 1 0 -1 1 0 
- (-1 k 0 -2 j) 1 i 1 j 0 k 
u x v = (1, 3, 1) 
A = | u x v | = √11 
Paralelogramo 
Produto vetorial 
4. Determinar a área do triângulo formado pelos 
 vetores u = (3, 0, 1) e v = (1, 2, 1). 
| u x v | = A Triângulo 
2 
Produto vetorial 
 
u x v = 
 i j k i j 
 3 0 1 3 0 
 1 2 1 1 2 
- (0k 2i 3j) 0 i 1 j 6k 
u x v = (-2, -1, 6) 
A = | u x v | = √41 
Triângulo 2 2 
Interatividade 
O produto vetorial dos vetores abaixo é igual a: 
u = (2, 1, -1) e v = (3, 2, 1) 
a) (3, 1, -1) 
b) (2, -5, 1) 
e) (2, -2, -1) 
c) (2, 1, 1) 
d) (3, -5, 1) 
Resposta 
O produto vetorial dos vetores abaixo é igual a: 
u = (2, 1, -1) e v = (3, 2, 1) 
a) (3, 1, -1) 
b) (2, -5, 1) 
e) (2, -2, -1) 
c) (2, 1, 1) 
d) (3, -5, 1) 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
 
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	Operações com vetores
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	Operações com vetores
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	Coordenadas dos vetores
	Coordenadas dos vetores
	Coordenadas dos vetores
	Coordenadas dos vetores
	Coordenadas dos vetores
	Coordenadas dos vetores
	Coordenadas dos vetores
	Coordenadas dos vetores
	Coordenadas dos vetores
	Coordenadas dos vetores
	Interatividade
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	Produto escalar
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	Produto escalar
	Produto escalar
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	Produto escalar
	Produto escalar
	Produto escalar
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