Física 3-04

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 3 – Questões 4 
 Questão 1
 
As condições típicas relativas a um relâmpago 
são aproximadamente as seguintes: (a) Diferença 
de potencial entre os pontos de descarga é de ͳͲଽ�ܸ. (b) Carga total transferida é de 30 C. Que 
quantidade de gelo a ͲԨ seria possível derreter se 
toda a energia liberada pudesse ser usada para 
esse fim? 
Resolução: 
A energia liberada é dada por: 
 ܹ ൌ ݍ൫ ௜ܸ െ ௙ܸ൯��ܹ ൌ ͵Ͳ ή ͳͲଽܬ 
(1.1) 
 
Utilizando o resultado de (1.1) para a quantidade 
de calor para fundir o gelo, teremos: 
 ܳ ൌ ݉ܮ௙� �͵Ͳ ή ͳͲଽ ൌ ݉ ή ͵͵ͶǡͶ� ׵ ݉ ؆ ͺͻǡ͹ ή ͳͲ଺݃ 
(1.2) 
 
Ou seja, cerca de 90 toneladas. 
 
 Questão 2
 
Uma carga q é distribuída uniformemente ao 
longo de uma esfera isolante de raio R. Determinar 
o potencial elétrico para: (a) todos os pontos no 
exterior da esfera, isto é, para r > R. (b) todos os 
pontos situados no interior da esfera, ou seja, para 
r < R. 
Resolução: 
a) Seja r a distância do centro da esfera até o 
ponto em questão. Assim, teremos para r >R: 
 ܸ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍݎ 
(2.1) 
b) Para essa parte, tomaremos o potencial a partir 
do campo elétrico. Assim, teremos: 
 ௥ܸ ൌ െන ܧሬԦ ή ݀Ԧ݈௥ஶ 
(2.2) 
Mas: ܧሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ ܧ�݈݀�ܿ݋ݏ�ߨ ൌ െܧ݈݀ ൌ ܧ�݀ݎ. 
 
Assim, teremos para (2.2): 
 ௥ܸ ൌ െන ܧ௘௫௧�݀ݎோஶ െන ܧ௜௡௧�݀ݎ௥ோ � � ௥ܸ ൌ െ ݍͶߨ߳଴ ቈන ݀ݎݎଶோஶ െන ݎ�݀ݎܴଷ௥ோ ቉�� ׵ ௥ܸ ൌ െ ݍݎଶͺߨ߳଴ܴଷ ൅ ͵ݍͺߨ߳଴ܴ 
(2.3) 
 
 Questão 3
 
Um cilindro dielétrico de raio b e comprimento 
infinito possui uma densidade de cargas 
volumétrica ߩ constante. Determine a diferença de 
potencial entre um ponto da superfície do cilindro 
e um ponto situado a uma distância d da superfície 
do cilindro e localizado: (a) no exterior do 
cilindro, (b) no interior do cilindro. 
Resolução: 
a) Da lei de Gauss, podemos obter a expressão do 
campo elétrico na parte externa do cilindro. Tal 
expressão é dada por: 
 ܧ ൌ ͳʹ߳଴ ή ߩܾଶݎ 
(3.1) 
 
A diferença de potencial entre os dois pontos 
solicitados será dado por: 
 ܸሺܾሻ െ ܸሺܾ ൅ ݀ሻ ൌ െන ܧ�݀ݎ௕௕ାௗ 
(3.2) 
 
Utilizando a equação (3.1) em (3.2), e integrando, 
teremos: ܸሺܾሻ െ ܸሺܾ ൅ ݀ሻ ൌ െߩܾଶʹ߳଴ Ž ݎȁ௕ାௗௗ � �׵ ܸሺܾሻ െ ܸሺܾ ൅ ݀ሻ ൌ ߩܾଶʹ߳଴ ή ݈݊ ܾ ൅ ܾ݀ 
(3.3) 
 
 
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2 
b) Novamente, utilizando a lei de Gauss, temos 
para a intensidade do campo elétrico na parte 
interna: 
 ܧ ൌ ߩݎʹ߳଴ 
(3.4) 
 
Agora, de forma similar a equação (3.2), teremos: 
 ܸሺܾ െ ݀ሻ െ ܸሺݎሻ ൌ െන ܧ�݀ݎ௕ିௗ௕ 
(3.5) 
 
Utilizando a equação (3.4) em (3.5), e integrando, 
teremos: 
 ܸሺܾ െ ݀ሻ െ ܸሺܾሻ ൌ െߩݎଶͶ߳଴ቤ௕௕ିௗ � ׵ ܸሺܾ െ ݀ሻ െ ܸሺܾሻ ൌ ߩͶ߳଴ ሾሺܾ െ ݀ሻଶ െ ܾଶሿ 
(3.6) 
 
 Questão 4
 
Uma esfera dielétrica possui uma carga total Q. 
No interior da esfera existe uma distribuição de 
cargas com densidade volumétrica variável dada 
por: ߩ ൌ ܤݎ, onde B é uma constante com 
dimensão de ሾܿܽݎ݃ܽ ܮସΤ ሿ e r é a distância variável 
de cada elemento de carga até o centro da esfera. 
Determine: (a) a carga total Q em função de B e do 
raio R da esfera, (b) o potencial para os pontos 
(r>R), (c) o potencial para os pontos do interior 
da esfera (r < R). 
Resolução: 
a) A carga total será dada por: 
 ܳ ൌ නߩ�ܸ݀ Ǣ �ܸ݀ ൌ Ͷߨݎଶ݀ݎ 
(4.1) 
 
Utilizando a expressão da densidade, teremos: 
 ܳ ൌ Ͷߨܤන ݎଷ�݀ݎோ଴ �� ׵ ܳ ൌ ߨܤܴସ 
(4.2) 
b) r > R: 
Da lei de Gauss, a expressão do campo elétrico, 
para essa região, será dada por: 
 ܧ ൌ ܤͶߨ߳଴ ή ܴସݎଶ 
(4.3) 
 
Agora, conforme as expressões de (3.2) e (3.5), 
teremos: ௥ܸ െ ஶܸ ൌ െන ܧ�݀ݎ௥ஶ � ௥ܸ െ ஶܸ ൌ െܤܴସͶ߳଴ න ݀ݎƴݎƴ ଶ௥ƴஶ ��� ௥ܸ െ ஶܸ ൌ െܤܴସͶ߳଴ ൤െͳݎƴ ൨ஶ௥ 
(4.4) 
 
Lembrando que o potencial no infinito será nulo, 
então, temos: 
 ௥ܸ ൌ ܤܴସͶ߳଴ݎ 
(4.5) 
c) r < R: 
Vamos utilizar novamente a lei de Gauss, porém, 
temos que determinar a carga dentro da esfera de 
raio r. Logo: 
 ሖܳ ൌ Ͷߨܤන ݎƴ �ଷ݀ݎƴ௥଴ �� ׵ ሖܳ ൌ ߨܤݎସ 
(4.6) 
 
Com a carga dada por (4.6) e utilizando a lei de 
Gauss, temos para o campo elétrico: 
 ܧ ൌ ܤݎଶͶ߳଴ 
(4.7) 
 
Por meio do campo elétrico pode-se determinar a 
diferença de potencial do ponto localizado em r e 
um ponto na superfície. Logo: 
 ௥ܸ െ ோܸ ൌ െ ܤͶ߳଴න ݎଶሖ �݀ݎƴ௥ோ �� ׵ ௥ܸ െ ோܸ ൌ ܤͳʹ߳଴ ሺܴଷ െ ݎଷሻ 
(4.8) 
 
 
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3 
Utilizando a expressão (4.5), temos para o 
potencial na superfície (com relação ao infinito): 
 ோܸ ൌ ܤܴଷͶ߳଴ 
(4.9) 
 
Substituindo (4.9) em (4.8), temos: 
 ௥ܸ ൌ ܤሺͶܴଷ െ ݎଷሻͳʹ߳଴ 
(4.10) 
 
 Questão 5
 
A densidade de carga de uma superfície plana é ߪ ൌ ͳǡͲ ൈ ͳͲି଻�ܥ ή ݉ିଶ. Qual é a separação entre 
duas superfícies equipotenciais correspondentes a 
uma diferença de potencial de 5,0 V? 
Resolução: 
A diferença de potencial entre duas superfícies 
planas pode ser expressa por: 
 ଵܸ െ ଶܸ ൌ െන ܧ�݀ݎ௥మ௥భ 
(5.1) 
 
O campo elétrico, para esse caso, de acordo com a 
lei de Gauss (ver Física 3 – 03) será: 
 ܧ ൌ ʹ߳ߪ଴ 
(5.2) 
 
Assim, utilizando (5.2) em (5.1), e integrando, 
teremos: 
 ଵܸ െ ଶܸ ൌ ʹ߳ߪ଴ ή ݀ଵଶ 
(5.3) 
 
Substituindo os valores fornecidos, temos: 
 ͷ ൌ ͳͲି଻ʹ ή ͺǡͺͷ ή ͳͲିଵଶ ή ݀ଵଶ�� ׵ ݀ଵଶ ൌ ͺǡͺͷ ή ͳͲିସ݉ 
(5.4) 
 
Cerca de 0,89 mm. 
 Questão 6
 
Considere uma carga puntiforme de ݍ ൌ ͺͲͲ�݌ܥ. (a) Calcule os raios das superfícies 
equipotenciais correspondentes a ଵܸ ൌ ͳͲ�ܸ e ଶܸ ൌ ʹͲ�ܸ. (b) Calcule a distância entre as 
superfícies equipotenciais mencionadas no item 
(a). (c) Ache a distância entre a superfície 
equipotencial ଷܸ ൌ ͷͲ�ܸ e ସܸ ൌ ͸Ͳ�ܸ. (d) Obtenha 
uma expressão para a distância οݎ entre duas 
superfícies equipotenciais em função da diferença 
de potencial οܸ entre as mesmas superfícies. 
Resolução: 
a) Utilizando os dados fornecidos no enunciado, 
teremos: 
 ݎଵ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܸݍଵ ֜ ݎଵ ൌ ͻ ή ͳͲଽ ή ͺͲͲ ή ͳͲିଵଶͳͲ �� ׵ ݎଵ ൌ Ͳǡ͹ʹ�݉ 
(6.1) 
 ݎଶ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܸݍଶ ֜ ݎଶ ൌ ͻ ή ͳͲଽ ή ͺͲͲ ή ͳͲିଵଶʹͲ ׵ ݎଶ ൌ Ͳǡ͵͸�݉ 
(6.2) 
 
b) Utilizando (6.1) e (6.2), temos: 
 ݀ଵଶ ൌ Ͳǡ͵͸�݉ 
(6.3) 
 
c) Também, dos resultados de (6.1) e (6.2), temos: 
 ݎଷ ൌ ݎଵͷ Ǣ�ݎସ ൌ ݎଵ͸ 
(6.4) 
 
Logo, 
 ݎଷ െ ݎସ ൌ ͲǡͲʹͶ�݉ 
(6.5) 
 
d) Da expressão do potencial, com relação ao 
infinito, temos: 
 οܸ ൌ ݍͶߨ߳଴ ή ሺെοݎሻݎଵݎଶ 
(6.6) 
 
 
 
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4 
Se ݎଵ ൎ ݎଶ, teremos: οܸ ൌ െ ݍͶߨ߳଴ ή οݎݎଶ 
(6.7) 
 
Em que ݎଶ ൎ ݎଵݎଶ. A expressão (6.7) também pode 
ser obtida a partir da diferenciação da expressão 
do potencial: 
 ܸ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍݎ ֜ ܸ݀݀ݎ ൌ െ ͳͶߨ߳଴ ή ݍݎଶ 
(6.8) 
 
Fazendo ܸ݀ ൎ οܸ e ݀ݎ ൎ οݎ, a expressão (6.8) se 
torna idêntica a expressão (6.7). 
 
 Questão 7
 
Determinar a expressão de ஺ܸ െ ஻ܸ para a 
situação descrita na figura abaixo. Verifique se o 
resultado que você obteve se reduz aos valores 
esperados para os casos ݀ ൌ Ͳ e ݍ ൌ Ͳ. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Pelo princípio da superposição, podemos 
determinar os potenciais em A e em B. Assim, 
teremos: 
 ஺ܸ ൌ ݍͶߨ߳଴ ൬ͳܽ െ ͳሺ݀ ൅ ܽሻ൰ 
(7.1) 
 ஻ܸ ൌ ݍͶߨ߳଴ ൬ ͳሺ݀ ൅ ܽሻ െ ͳܽ൰ 
(7.2) 
 
A diferença de potencial será então: 
 ஺ܸ െ ஻ܸ ൌ ݍͶߨ߳଴ ൬ʹܽ െ ʹሺ݀ ൅ ܽሻ൰�� ׵ ஺ܸ െ ஻ܸ ൌ ݍʹߨ߳଴ ή ݀ܽሺ݀ ൅ ܽሻ 
(7.3) 
 Questão 8
 
Mostre que ܸሺݎሻ, supondo r >> a, para pontos 
situados no eixo vertical da figura representada 
abaixo, vale 
 ܸ ൌ ͳͶߨ߳଴ ൬ݍݎ ൅ ʹܽݍݎଶ ൰ 
 
Seria possível prever este resultado 
antecipadamente? 
 
Resolução: 
A princípio, poderíamos imaginar o potencial 
gerado por três cargas no ponto P. Em vez disso, 
vamos pensar que o potencial em P é gerado por 
uma carga +q, que dista r do ponto P e o potencial 
gerado por um dipolo, cujo centro dista r do ponto 
P. Assim, teremos: 
 ௉ܸ ൌ ௣ܸ ൅ ܸ ൌ ͳͶߨ߳଴ ൬ʹܽݍ ή ܿ݋ݏ�ߠݎଶ ൅ ݍݎ൰ 
(8.1) 
 
Em (8.1) p representa o dipolo e ߠ é o ângulo 
entre a direção da reta que passa pelo centro do 
dipolo e o ponto P e a o eixo do dipolo. Neste caso ߠ ൌ Ͳι ֜ ܿ݋ݏߠ ൌ ͳ. Logo: 
 ௉ܸ ൌ ͳͶߨ߳଴ ൬ʹܽݍݎଶ ൅ ݍݎ൰ 
(8.2) 
 
 Questão 9
 
Disco carregado. Calcular o potencial elétrico 
nos pontos do eixode um disco uniformemente 
carregado com uma densidade superficial de 
carga igual a ߪ. 
Resolução: 
Seja a o raio do disco. O módulo do campo elétrico 
em um ponto P que dista r do centro do disco é 
dado por: 
 
r 
a a 
+q +q -q P 
 a a d 
A B +q -q 
 
 
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5 
ܧ ൌ ʹ߳ߪ଴ ൬ͳ െ ݎξܽଶ ൅ ݎଶ൰ 
(9.1) 
 
Vide Física 3-02. O potencial em P com relação ao 
infinito é dado por: 
 ܸ ൌ െන ܧሺݎƴሻ�݀ݎƴ௥ஶ 
(9.2) 
 
Substituindo a expressão (9.1) em (9.2), teremos: 
 ܸ ൌ െ ʹ߳ߪ଴ Ž‹௕՜ஶන ൬ͳ െ ݎƴξܽଶ ൅ ݎƴ ଶ൰ ݀ݎƴ௥௕ 
(9.3) 
 
Integrando a expressão (9.3) teremos: 
 ܸ ൌ െ ʹ߳ߪ଴ ቂቀݎ െ ඥݎଶ ൅ ܽଶቁ �െ Ž‹௕՜ஶ ቀܾ െ ඥܾଶ ൅ ܽଶቁቃ 
(9.4) 
 
Antes de aplicar o limite em (9.4), vamos fazer 
uma expansão levando em consideração que b>>a. 
Assim, teremos: 
 ܾ െ ඥܾଶ ൅ ܽଶ ൌ ܾ െ ܾ ቆͳ ൅ ܽଶܾଶቇଵଶ ��؆ ܾ െ ܾ ቆͳ ൅ ܽଶʹܾଶ ൅ڮቇ �؆ െ ܽଶʹܾ 
(9.5) 
 
Substituindo o resultado de (9.5) em (9.4) 
teremos: 
 ܸ ؆ െ ʹ߳ߪ଴ ቈቀݎ െ ඥݎଶ ൅ ܽଶቁ ൅ Ž‹௕՜ஶ ܽଶʹܾ቉� �ܸ ؆ െ ʹ߳ߪ଴ ቂቀݎ െ ඥݎଶ ൅ ܽଶቁቃ െ Ž‹௕՜ஶ ͳͶߨ߳଴ ή ܾݍ 
(9.6) 
 
Em que ߪ ൌ ௤గ௔మ. Aplicando o limite, teremos: 
 
ܸ ൌ ʹ߳ߪ଴ ቂඥݎଶ ൅ ܽଶ െ ݎቃ 
(9.7) 
 
Para r = 0, ou seja, no centro do disco, teremos: 
 ܸ ൌ ߪܽʹ߳଴ 
(9.8) 
 
 Questão 10
 
Determine o trabalho necessário para reunir as 
quatro cargas indicadas na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Lembrando que a diagonal vale ܽξʹ, temos: 
 ܷ ൌ ݍଶͶߨ߳଴ ൤െ ͳܽ ൅ ͳܽξʹ െ ͳܽ െ ͳܽ ൅ ͳܽξʹ െ ͳܽ൨�� ׵ ܷ ൌ ʹݍଶͶߨ߳଴ ቈͶ ൅ ξʹʹܽ ቉ 
(10.1) 
 
 Questão 11
 
Uma partícula de carga Q é mantida num ponto 
P fixo. Uma segunda partícula de massa m, 
possuindo a mesma carga livre Q, está 
inicialmente em repouso a uma distância ݎଵ de P. A 
segunda partícula é então solta, sendo repelida 
pela primeira. Despreze o atrito. Determinar: (a) 
uma expressão para a velocidade da partícula no 
instante em que ela se encontra a uma distância ݎଶ 
de P, (b) o módulo da velocidade da partícula 
neste instante, supondo os dados: ܳ ൌͻͲͲ�݌ܥǡ݉ ൌ ͵ǡͲ ൈ ͳͲିଷ�݉݃ǡ ݎଵ ൌ ͶǡͲ ൈ ͳͲିଵ݉ǡ ݎଶ ൌ ͳǡͲ�݉. 
a 
a 
+q 
+q 
-q 
-q 
a 
a 
 
 
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6 
Resolução: 
a) Mantendo uma carga fixa, poderemos utilizar 
para a carga móvel, o princípio da conservação da 
energia mecânica. Assim, teremos: 
 ܧ௜ ൌ ௥ܷభǢ ��ܧ௙ ൌ ௥ܷమ ൅ ܭ 
(11.1) 
 
Em que K é a energia cinética. Assim, teremos: 
 ܧ௜ ൌ ܧ௙ ֜ ͳͶߨ߳଴ ή ܳଶݎଵ ൌ ݉ݒଶʹ ൅ ͳͶߨ߳଴ ή ܳଶݎଶ �� ׵ ݒ ൌ ܳ ൤ ͳʹ݉ߨ߳଴ ή ൬ݎଶ െ ݎଵݎଶݎଵ ൰൨ଵଶ 
(11.2) 
 
b) Substituindo os valores numéricos fornecidos 
pelo enunciado da questão na equação (11.2), 
teremos: ݒ ൌ ͻ ή ͳͲିଵ଴ ൤͸ ή ͳͲଵ଼ ή ൬ͳ െ ͲǡͶͲǡͶ ൰൨ଵଶ� �׵ ݒ ൌ ʹǡ͹�݉ ή ݏିଵ 
(11.3) 
 
 Questão 12
 
Uma partícula de carga (positiva) Q está fixa 
num ponto P. Uma segunda partícula de massa m e 
carga (negativa) –q move-se a velocidade 
constante num círculo de raio ݎଵ, centrado em P. 
Derive uma expressão para o trabalho W que deve 
ser efetuado por um agente externo sobre a 
segunda partícula, de modo a aumentar até ݎଶ o 
raio do círculo de movimento centrado em P. 
Resolução: 
A resultante centrípeta é dada pela força de 
atração entre as cargas. Assim, teremos: 
 ͳͶߨ߳଴ ή ݍܳݎଶ ൌ ݉ݒଶݎ 
(12.1) 
 
Da expressão (12.1), encontramos uma expressão 
para a energia cinética da carga –q: 
 ͳͶߨ߳଴ ή ݍܳʹݎ ൌ ݉ݒଶʹ 
(12.2) 
Com (12.2) poderemos escrever as expressões das 
energias cinéticas para os dois raios. Assim, 
teremos: 
 ܭଵ ൌ ͳͺߨ߳଴ ή ݍܳݎଵ ��݁��ܭଶ ൌ ͳͺߨ߳଴ ή ݍܳݎଵ 
(12.3) 
 
As expressões das energias mecânicas para os 
dois raios serão então: 
 ܧଵ ൌ ଵܷ ൅ܭଵ�� ܧଵ ൌ െ ͳͶߨ߳଴ ή ݍܳݎଵ ൅ ͳͺߨ߳଴ ή ݍܳݎଵ �� ܧଵ ൌ െ ͳͺߨ߳଴ ή ݍܳݎଵ 
(12.4) 
 
E 
 ܧଶ ൌ ܷଶ ൅ ܭଶ�� ܧଶ ൌ െ ͳͶߨ߳଴ ή ݍܳݎଶ ൅ ͳͺߨ߳଴ ή ݍܳݎଶ �� ܧଶ ൌ െ ͳͺߨ߳଴ ή ݍܳݎଶ 
(12.5) 
 
O trabalho para aumentar o raio da órbita da 
carga –q será: 
 ܹ ൌ οܧ ൌ ܧଶ െ ܧଵ ֜ ܹ ൌ ݍܳͺߨ߳଴ ൤െ ͳݎଶ െ ൬െ ͳݎଵ൰൨� �׵ ܹ ൌ ݍܳͺߨ߳଴ ൤ͳݎଵ െ ͳݎଶ൨ 
(12.6) 
 
 Questão 13
 
Descubra uma maneira de dispor três cargas 
puntiformes, separadas por distâncias finitas, de 
modo que a energia potencial seja igual a zero. 
Resolução: 
Vamos imaginar que as três cargas estão 
dispostas no espaço nos vértices de um triângulo 
equilátero, conforme mostra a figura a seguir. 
Assim, não teremos que nos preocupar com a 
distância. Vamos supor que duas cargas são 
idênticas, então só teremos que encontrar a 
terceira carga que torne nula a energia potencial. 
 
 
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7 
Assim, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ܷ ൌ ͳͶߨ߳଴ݎ ሾݍଶ ൅ ʹݍܳሿ 
(13.1) 
 
Assim, da expressão (13.1), para a energia 
potencial ser nula, teremos: 
 െݍଶ ൌ ʹݍܳ�� ׵ ܳ ൌ െ ʹݍ 
(13.2) 
 
 Questão 14
 
A Figura 14.1) mostra uma representação 
idealizada de um núcleo de ܷଶଷ଼ no momento 
exato que antecede a fissão. Calcule (a) a força 
repulsiva que atua sobre cada fragmento e (b) o 
potencial elétrico do sistema constituído pelos 
dois fragmentos. Suponha que estes são iguais, 
esféricos, de mesma carga e que se tangenciam no 
momento considerado. O raio do núcleo do ܷଶଷ଼ 
(suposto inicialmente esférico) é de ͺǡͲ ൈͳͲିଵହ�݉, e admita que o material que o constitui 
tem densidade constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) A carga de cada núcleo filho vale: 
 ݍଵ ൌ ݍଶ ൌ Ͷ͸݁ 
(14.1) 
 
E como a densidade é constante, teremos, para os 
raios: 
 ଵܸ ൌ ଶܸ ൌ ܸʹ ֜ Ͷߨݎଷ͵ ൌ ͳʹ ή Ͷߨܴଷ͵ �� ׵ ݎଵ ൌ ݎଶ ൌ ξܴʹయ 
(14.2) 
 
Com o resultado de (14.2) temos: 
 ݎଵ ൌ ݎଶ ൌ ݎ ؆ ͸ǡ͵ͷ ή ͳͲିଵହ 
(14.3) 
 
Assim, a força de repulsão valerá: 
 ܨ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍଵݍଶሺʹݎሻଶ�� ܨ ൌ ͻ ή ͳͲଽ ή ሺͶ͸ ή ͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽሻଶሺͳʹǡ͹ ή ͳͲିଵହሻଶ �� ׵ ܨ ؆ ͵ǡͲʹ ή ͳͲଷ�ܰ 
(14.4) 
 
b) A energia potencial elétrica dos dois 
fragmentos será: 
 ܷ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍଵݍଶʹݎ � �ܷ ൌ ͻ ή ͳͲଽ ή ሺͶ͸ ή ͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽሻଶͳʹǡ͹ ή ͳͲିଵହ ��� ׵ ܷ ؆ ͵ǡͺ ή ͳͲିଵଵܬ 
(14.5) 
 
Cerca de 238 MeV. 
 
 Questão 15
 
A equação 
 ܸ ൌ ଵସగఢబ ή ௣�௖௢௦ఏ௥మ 
 
fornece o potencial elétrico de um dipolo (para r 
>> 2a) em função das coordenadas polares r e ߠ. 
Obtenha os componentes do campo elétrico em 
coordenadas polares, usando a relação: 
 ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀�ܸ 
 
 
r r 
r +q +q 
Q 
 
Figura 14.1 
 
 
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8 
Resolução: 
 
O gradiente em coordenadas polares é dado por: 
 ׏ሬሬԦܸ ൌ ߲ܸ߲ݎ ή ݎƸ ൅ ͳݎ ή ߲ܸ߲ߠ ή ߠ෠ 
(15.1) 
 
Encontrando as derivadas parciais teremos: 
 ߲ܸ߲ݎ ൌ െ ͳʹߨ߳଴ ή ݌�ܿ݋ݏߠݎଷ 
(15.2) 
 ߲ܸ߲ߠ ൌ െ ͳͶߨ߳଴ ή ݌�ݏ݁݊ߠݎଶ 
(15.3) 
 
Utilizando os resultados (15.2) e (15.3) em (15.1), 
teremos: 
 ׏ሬሬԦܸ ൌ െ ݌ʹߨ߳଴ݎଷ ൤ܿ݋ݏߠ ή ݎƸ ൅ ݏ݁݊ߠʹ ή ߠ෠൨ 
(15.4) 
 
O vetor campo elétrico é dado por: 
 ܧሬԦ ൌ െ׏ሬሬԦܸ 
(15.5) 
 
Assim, utilizando (15.4) e (15.5), teremos: 
 ܧ௥ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ݌�ܿ݋ݏߠݎଷ �݁�ܧఏ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݌�ݏ݁݊ߠݎଷ 
(15.6) 
 
 Questão 16
 
Distribui-se sobre um bastão de espessura 
desprezível uma carga com uma densidade por 
unidade de comprimento ߣ ൌ ݇ݔ, onde k é uma 
constante. O bastão tem um comprimento L, 
contido no eixo dos x, com uma das extremidades 
em x = 0, conforme indica a figuraFigura 16.1. (a) 
Considerando o potencial no ponto P sobre o eixo 
dos y. (b) Determinar a componente vertical, ܧ௬, 
da intensidade do campo elétrico em P, do 
resultado do item (a), e também por meio de um 
cálculo direto. (c) Por que não podemos calcular a 
componente horizontal ሺܧ௫ሻ do campo elétrico em 
P usando o resultado do item a? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16.1 
Resolução: 
a) Tomando um elemento de carga, teremos: 
 ௉ܸ ൌ ͳͶߨ߳଴න݀ݍݎ 
(16.1) 
 
Em que ݎ ൌ ඥݔଶ ൅ ݕଶ e ݀ݍ ൌ ߣ݀ݔ. Assim, 
resolveindo a integral de (16.1), teremos: 
 ௉ܸ ൌ ݇Ͷߨ߳଴න ݔ�݀ݔඥݔଶ ൅ ݕଶ௅଴ � ׵ ௉ܸ ൌ ݇Ͷߨ߳଴ ቂඥܮଶ ൅ ݕଶ െ ݕቃ 
(16.2) 
 
b) O componente do campo elétrico na direção de 
y será dado por: 
 ܧ௬ ൌ െܸ݀݀ݕ 
(16.3) 
 
y 
P 
x 
L 0 
y 
P 
x 
L 0 
 
y 
x 
r 
 
 
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9 
Tomando a derivada do resultadode (16.2), 
teremos: ܸ݀݀ݕ ൌ െ ݇Ͷߨ߳଴ ቎ ͳሺܮଶ ൅ ݕଶሻଵଶ െ ͳ቏ 
(16.4) 
 
Logo, de (16.3) e (16.4), temos: 
 ܧ௬ ൌ ݇Ͷߨ߳଴ ቎ ͳሺܮଶ ൅ ݕଶሻଵଶ െ ͳ቏ 
(16.5) 
 
c) Vide a próxima questão. 
 
 Questão 17
 
Ao resolver o problema anterior você não 
conseguiu calcular ܧ௫ pela relação ܧ௫ ൌ െ߲ܸ ߲ݔΤ 
porque o potencial foi calculado no ponto x = 0, ou 
seja, você determinou a função ܸሺͲǡ ݕሻ. (a) Como 
você procederia para se poder calcular ܧ௫ pela 
relação anterior? (b) Determine ܧ௫ pelo método 
que você sugeriu no item anterior. 
Resolução: 
a) Em vez de colocar a extremidade do bastão na 
origem, vamos posicionar a uma distância “a”, e 
determinar o potencial de acordo com o 
procedimento da questão anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Seja a densidade de carga dada por ߣ ൌ ݇ሺݔ െ ܽሻ, em que ݔ ൒ ܽ. De forma semelhante 
ao que foi feito em (16.2), teremos: 
 ௉ܸ ൌ ݇Ͷߨ߳଴න ሺݔ െ ܽሻ݀ݔඥݔଶ ൅ ݕଶ௅ା௔௔ �� 
௉ܸ ൌ ݇Ͷߨ߳଴ ൜ቂඥݔଶ ൅ ݕଶቃ௔௅ା௔ െ ܽ ቂŽ ቀݔ ൅ ඥݔଶ ൅ ݕଶቁቃ௔௅ା௔ൠ�� ׵ ௉ܸ ൌ ݇Ͷߨ߳଴ ൝ඥሺܮ ൅ ܽሻଶ ൅ ݕଶ െඥܽଶ ൅ ݕଶെ ܽ Ž ܮ ൅ ܽ ൅ ඥሺܮ ൅ ܽሻଶ ൅ ݕଶܽ ൅ ඥܽଶ ൅ ݕଶ ൡ 
(17.1) 
 
O componente do campo elétrico na direção de x é 
dado por: 
 ܧ௫ ൌ െ߲ܸ߲ݔ 
(17.2) 
 
Efetuando uma mudança de variável ሺܽ ؠ ݔሻ, e 
utilizando (17.2), teremos: 
 ܧ௫ ൌ െ ݇Ͷߨ߳଴ ൝ ሺݔ ൅ ܮሻඥሺݔ ൅ ܮሻଶ ൅ ݕଶ െ ݔඥݔଶ ൅ ݕଶെ Ž ݔ ൅ ܮ ൅ ඥሺܮ ൅ ݔሻଶ ൅ ݕଶݔ ൅ ඥݔଶ ൅ ݕଶെ ݔ ߲߲ݔ ൥Ž ݔ ൅ ܮ ൅ ඥሺܮ ൅ ݔሻଶ ൅ ݕଶݔ ൅ ඥݔଶ ൅ ݕଶ ൩ൡ 
(17.3) 
 
Para x = 0, teremos, de (17.3): 
 ܧ௫ ൌ ݇Ͷߨ߳଴ ൥Ž ܮ ൅ ඥܮଶ ൅ ݕଶݕ െ ܮඥܮଶ ൅ ݕଶ൩ 
(17.4) 
 
 
 
 
 Questão 18
 
O espaço entre duas esferas concêntricas de 
raios ݎଵe ݎଶ encontram-se preenchido com 
material não condutor de densidade de carga 
uniforme, ߩ. Determine o potencial elétrico V, em 
função da distância r do centro das esferas, 
considerando as regiões (a) ݎ ൐ ݎଶ; (b) ݎଶ ൐ ݎ ൐ݎଵ; (c) ݎ ൏ ݎଵ; (d) essas soluções concordam em ݎ ൌ ݎଶ e em ݎ ൌ ݎଵ? 
Resolução: 
y 
P 
x L+a 0 
 
y 
x 
r 
a 
 
 
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10 
 
 
 
 
 
 
 
a) Para ݎ ൐ ݎଶ, temos: 
 ܸ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍݎ 
(18.1) 
 
Em que ݍ ൌ ߩ ή ସగ൫௥మయି௥భయ൯ଷ , logo, (18.1) se torna: 
 ܸ ൌ ͵߳ߩ଴ ή ሺݎଶଷ െ ݎଵଷሻݎ 
(18.2) 
 
b) Para ݎଶ ൐ ݎ ൐ ݎଵ, vamos previamente 
determinar o campo elétrico para essa região. 
Logo, pela lei de Gauss, teremos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ݍƴ߳଴ 
(18.3) 
 
Em que ݍƴ ൌ ߩ ή ସగ൫௥యି௥భయ൯ଷ . Assim, de (18.3) teremos: 
 ܧ ή Ͷߨݎଶ ൌ Ͷߨߩሺݎଷ െ ݎଵଷሻ͵߳଴ �� ׵ ܧ ൌ ͵߳ߩ଴ ή ሺݎଷ െ ݎଵଷሻݎଶ 
(18.4) 
 
Agora, utilizando a diferença de potencial com 
relação à superfície, teremos: 
 ௥ܸ െ ௌܸ ൌ න ܧ�݀ݎƴ௥మ௥ 
(18.5) 
 
Em que ௌܸ é o potencial na superfície. E de acordo 
com (18.2), temos: ௌܸ ൌ ͵߳ߩ଴ ή ቆݎଶଶ െ ݎଵଷݎଶቇ 
(18.6) 
Utilizando (18.4), (18.6) em (18.5), teremos: 
 ௥ܸ െ ௌܸ ൌ ͵߳ߩ଴න ቆݎƴ െ ݎଵଷݎƴ ଶቇ݀ݎƴ௥మ௥ 
 
௥ܸ െ ௌܸ ൌ ͵߳ߩ଴ ቈݎƴ ଶʹቤ௥௥మ ൅ ݎଵଷݎƴ ቤ௥௥మ቉�� ׵ ௥ܸ ൌ ͵߳ߩ଴ ቈ͵ݎଶଶʹ െ ݎଶʹ െ ݎଵଷݎ ቉ 
(18.7) 
 
c) Para ݎ ൏ ݎଵ, utilizando um procedimento 
semelhante ao que foi desenvolvido 
anteriormente, temos: 
 ଵܸ െ ௥ܸ ൌ න ܧ�݀ݎƴ௥௥భ 
(18.8) 
 
Em que ଵܸ é o potencial na superfície interna da 
cavidade esférica. E ௥ܸ é dado pelo resultado 
(18.7). O potencial no interior da cavidade deve 
ser igual ao potencial ଵܸ, pois o campo elétrico é 
nulo na parte interna da cavidade. É fácil verificar 
pela lei de Gauss. Assim, utilizando (18.4) e (18.7) 
em (18.8) e integrando, teremos: 
 
ଵܸ െ ௥ܸ ൌ ͵߳ߩ଴ ൥ݎƴ ଶʹቤ௥భ௥ ൅ ݎଵଷݎ ቤ௥భ௥ ൩�� ׵ ଵܸ ൌ ߩሺݎଶଶ െ ݎଵଶሻʹ߳଴ 
(18.9) 
 
 Questão 19
 
Uma pequena esfera metálica com uma carga 
líquida ݍଵ ൌ െʹǡͺͲ�ߤܥ é mantida em repouso por 
suportes isolantes. Uma segunda esfera metálica 
com uma carga líquida ݍଶ ൌ െ͹ǡͺͲ�ߤܥ e massa 
igual a 1,50 g é projetada contra ݍଵ. Quando a 
distância entre as duas esferas é igual a 0,800 m, ݍଶ se aproxima de ݍଵ com velocidade de ʹʹǡͲ�݉ ή ݏିଵ(figura abaixo). Suponha que as duas 
esferas possam ser tratadas como cargas 
puntiformes. Despreze a gravidade. A) Qual é a 
velocidade da carga ݍଶ quando a distância entre as 
ݎଵ ݎʹ 
 
 
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11 
duas esferas é de 0,400 m? B) Qual será a menor 
distância entre ݍଶ e ݍଵ? 
Resolução: 
a) Utilizando a conservação da energia mecânica, 
teremos: 
 ܧ௜ ൌ ܧ௙� �ܭ௜ ൅ ௜ܷ ൌ ܭ௙ ൅ ௙ܷ� �݉൫ݒ௜ଶ െ ݒ௙ଶ൯ʹ ൌ ݍଵݍଶͶߨ߳଴ ή ቆͳݎ௙ െ ͳݎ௜ቇ� �ͳǡͷ ή ͳͲିଷ൫ʹʹଶ െ ݒ௙ଶ൯ʹ ൌ ͻ ή ͳͲଽ ή ʹǡͺ ή ͹ǡͺ ή ͳͲିଵଶͲǡͺͲͲ �� ׵ ݒ௙ ؆ ͳͷǡͺ�݉ ή ݏିଵ 
(19.1) 
 
b) Novamente utilizando a conservação da 
energia mecânica: 
 ܧ௜ ൌ ܧ௙�� ܭ௜ െ ܭ௙ ൌ ௙ܷ െ ௜ܷ 
(19.2) 
 
Agora, levando em consideração que a carga 2 se 
aproxima com a distância mínima quando ݒ௙ ൌ Ͳ, 
logo, fazendo ܭ௙ ൌ Ͳ em (19.2), teremos: 
 ଵସగఢబ ή ௤భ௤మ௥೑ ൌ ௠௩೔మଶ ൅ ଵସగఢబ ή ௤భ௤మ௥೔ � �ͻ ή ͳͲଽ ή ʹǡͺ ή ͹ǡͺ ή ͳͲିଵଶݎ௙ ൌ ͳǡͷ ή ͳͲିଷ ή ʹʹଶʹ ൅ͻ ή ͳͲଽ ή ʹǡͺ ή ͹ǡͺ ή ͳͲିଵଶͲǡͺͲͲ �� ׵ ݎ௙ ؆ Ͳǡ͵ʹ͵�݉ 
(19.3) 
 
 Questão 20
 
Um “cristal” unidimensional. Embora os 
cristais reais possuam três dimensões, um modelo 
mais simples em uma dimensão serve para 
facilitar muitos cálculos. Imaginando um modelo 
unidimensional de um cristal como o cloreto de 
sódio (NaCl), considere uma sucessão alternada 
ao longo do eixo 0x de um íon positivo com carga 
+e com um íon negativo com carga –e, sendo d a 
distância uniforme entre esses íons (figura a 
seguir). 
Suponha que as cargas se distribuam 
uniformemente até o infinito em ambos os 
sentidos. A) Considere a energia potencial entre o 
íon que está no ponto x = 0 e todos os outros íons. 
Isso representa a energia potencial por íon nesse 
“cristal” unidimensional. Escreva uma expressão 
para essa energia potencial (sua relação deve ser 
uma série infinita). B) Calcule a série do item (A) 
usando o desenvolvimento em série: 
 Žሺͳ ൅ ݖሻ ൌ ݖ െ ݖଶʹ ൅ ݖଷ͵ െ ݖସͶ ൅ڮ 
 
válido para o caso ȁݖȁ ൑ ͳ. C) A energia por íon 
para um íon negativo possui o mesmo valor para 
um íon negativo nesse “cristal”? Explique seu 
raciocínio. D) Em um cristal real de NaCl em três 
dimensões, a distância entre dois íons adjacentes 
é igual a ʹǡͺʹ ή ͳͲିଵ଴�݉. Usando essa distância 
para o valor de d indicado na figura, calcule a 
energia potencial por íon para o cristal 
unidimensional. E) Para muitos cristais iônicos 
reais (em três dimensões), tais como o NaCl, a 
energia potencial por íon é aproximadamente 
igual a െͺ ή ͳͲିଵଽ�ܬ ή À݋݊ିଵ. Compare esse valor 
com o resultado que você achou no item (D). O 
modelo do “cristal” unidimensional indicado na 
figura pode ser considerado bom? 
 
Resolução: 
Considerando um íon negativo na origem, teremos 
para a energia potencial: 
 
଴ܷ ൌ ݁ଶͶߨ߳଴ ൤ڮെ ͳ͵݀ ൅ ͳʹ݀ െ ͳ݀ െ ͳ݀ ൅ ͳʹ݀ െ ͳ͵݀ ൅ ڮ ൨� � ଴ܷ ൌ െʹ݁ଶͶߨ߳଴ ൤ͳ݀ െ ͳʹ݀ ൅ ͳ͵݀ െ ڮ ൨�� � ଴ܷ ൌ െʹ݁ଶͶߨ߳଴݀ ൤ͳ െ ͳʹ ൅ ͳ͵ െ ڮ ൨ 
(20.1) 
0,800 m 
ݒ ൌ ʹʹǡͲ�݉ ή ݏିଵ ݍଶ ݍଵ 
+e +e -e -e 
d 
 
 
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12 
Utilizando a expansão sugerida, temos: 
 Žሺͳ ൅ ͳሻ ൌ Ž ʹ ൌ ͳ െ ͳʹ ൅ ͳ͵ െ ڮ Ǣ��ȁݖȁ ൑ ͳ 
(20.2) 
 
Substituindo o resultado de (20.2) em (20.1), 
teremos: 
 ܷ଴ ൌ െʹ݁ଶ Ž ʹͶߨ߳଴݀ 
(20.3) 
 
O mesmo resultado ocorreria se o íon da origem 
fosse positivo. Para ݀ ൌ ʹǡͺʹ ή ͳͲିଵ଴�݉, utilizando 
(20.3), teremos: 
 ܷ଴ ൌ െʹሺͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽሻଶ ή ͻ ή ͳͲଽ Ž ʹʹǡͺʹ ή ͳͲିଵ଴ �� ׵ ܷ଴ ؆ െͳͳǡ͵ ή ͳͲିଵଽܬ 
(20.4) 
 
 Questão 21
 
Cilindros coaxiais. Um longo cilindro metálico 
de raio a está apoiado sobre um suporte isolante 
ao longo do eixo de um longo tubo cilíndrico 
metálico de raio b. A carga positiva por unidade de 
comprimento no cilindro interno é ߣ e existe uma 
igual quantidade de carga negativa por unidade de 
comprimento no cilindro externo. A) Determine o 
potencial ܸሺݎሻ para as regiões i) ݎ ൏ ܽ; ii) ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ; iii) ݎ ൐ ܾ. Considere ܸ ൌ Ͳ para ݎ ൌ ܾ. 
B) Mostre que o potencial do cilindro interno em 
relação ao cilindro externo é dado por: 
 ௔ܸ௕ ൌ ߣʹߨ߳଴ ή Ž ܾܽ 
(21.1) 
 
C) Use a Equação ܧ௥ ൌ െ డ௏డ௥ e o resultado do item 
(A) para mostrar que o módulo do campo elétrico 
em qualquer ponto entre os dois cilindros é dado 
por: 
 ܧሺݎሻൌ ௔ܸ௕Žሺܾ ܽΤ ሻ ή ͳݎ 
 
D) Qual seria a diferença de potencial entre os 
dois cilindros se o cilindro externo não tivesse 
nenhuma carga líquida? 
Resolução: 
Pela lei de Gauss, temos para o campo elétrico 
entre as paredes do cilindro: 
 ܧሺݎሻ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ߣݎ 
(21.2) 
 
Assim a diferença de potencial entre a superfície 
do cilindro de raio a e um ponto a uma distância 
do centro do referido cilindro (b > r > a) temos: 
 ௔ܸ െ ௥ܸ ൌ ߣʹߨ߳଴න ݀ݎݎ௥௔ �� ௔ܸ െ ௥ܸ ൌ ߣʹߨ߳଴ ή Ž ܽݎ 
(21.3) 
 
Para r = b, temos: 
 ௔ܸ െ ௕ܸ ൌ ߣʹߨ߳଴ ή Ž ܾܽ 
(21.4) 
 
Como ௕ܸ ൌ Ͳ, temos que o potencial do cilindro 
interno vale: 
 ௔ܸ ൌ ௔ܸ௕ ൌ ߣʹߨ߳଴ ή Ž ܾܽ 
(21.5) 
 
Assim, para qualquer ponto na região onde r < a, o 
potencial é igual a ௔ܸ, pois não existe campo 
elétrico no interior do cilindro de raio a. 
 
Para ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ, utilizando (21.3) e (21.5), 
teremos: 
 ௥ܸ ൌ ߣʹߨ߳଴ ή Ž ܾݎ 
(21.6) 
 
Para a parte externa (r > b), como não existe 
campo elétrico, o potencial é igual ao da superfície 
do cilindro de raio b, ou seja, V = 0. Para o campo 
elétrico, utilizando (21.6) teremos: 
 
 
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13 
 ܧ ൌ െ߲ܸ߲ݎ ൌ െ ߣʹߨ߳଴ ή ͳܾݎൗ ή ൬െ ܾݎଶ൰�� ׵ ܧ ൌ ߣʹߨ߳଴ ή ͳݎ 
(21.7) 
 
Utilizando (21.1) em (21.7), teremos: 
 ܧ ൌ ௔ܸ௕Žሺܾ ܽΤ ሻ ή ͳݎ 
(21.8) 
 
A diferença de potencial entre o cilindro interno e 
o externo se não houvesse carga no cilindro 
externo é dada por (21.1). 
 
 Questão 22
 
Um contador Geiger detecta radiações tais 
como partículas alfa usando o fato de que uma 
radiação ioniza o ar ao longo de sua trajetória. Ao 
longo do eixo de um cilindro metálico oco existe 
um fio fino que está isolado do cilindro (figura a 
seguir). Uma grande diferença de potencial é 
aplicada entre o fio e o cilindro externo, 
mantendo-se o fio em um potencial mais elevado; 
isso produz um forte campo elétrico orientado 
radialmente para fora do fio. Quando uma 
radiação ionizante entra no dispositivo, ocorre 
ionização de algumas moléculas de ar. Os elétrons 
livres produzidos são acelerados no sentido do fio 
pelo campo elétrico e, quando eles se aproximam 
do fio, ionizam muitas outras moléculas de ar. 
Logo, um pulso de corrente elétrica é gerado e 
pode ser detectado por um circuito eletrônico 
apropriado e convertido em um “clique” audível. 
Suponha que o raio do fio central seja igual a ͳͶͷ�ߤ݉ e o raio do cilindro oco seja de 1,80 cm. 
Qual deve ser a diferença de potencial entre o fio e 
o cilindro para que se produza um campo elétrico 
igual a ʹǡͲͲ ή ͳͲସ�ܸ ή ݉ିଵ a uma distância de 1,20 
cm do fio? (O fio e o cilindro são ambos muito 
compridos em comparação com seus respectivos 
raios, de modo que os resultados da questão 
anterior podem ser utilizados). 
 
 
 
Resolução: 
Utilizando a expressão (21.8) teremos: 
 ܧ ൌ ௔ܸ௕Žሺܾ ܽΤ ሻ ή ͳݎ� �ʹ ή ͳͲସ ൌ ௔ܸ௕Ž൫ ଵǡ଼ήଵ଴షమଵସହήଵ଴షల൯ ή ͳͳǡʹ ή ͳͲିଶ�� ׵ ௔ܸ௕ ؆ ͳǡͳ͸ ή ͳͲଷ�ܸ 
(22.1) 
 
 Questão 23
 
Um precipitador eletrostático usa forças 
elétricas para remover partículas poluentes 
originárias de fumaças, em particular fumaças 
expelidas em usinas que queimam carvão. Um tipo 
de precipitador é constituído por um cilindro 
metálico oco vertical com um fio fino ao longo de 
seu eixo que está isolado do cilindro (figura a 
seguir). Uma grande diferença de potencial é 
aplicada entre o fio e o cilindro externo, 
mantendo-se o fio em um potencial mais baixo. 
Isso produz um forte campo elétrico orientado 
radialmente para o interior do cilindro. O campo 
elétrico produz uma região com ar ionizado nas 
vizinhanças do fio. A fumaça entra pela base do 
precipitador, as cinzas e a poeira absorvem 
elétrons e os poluentes carregados são acelerados 
para a parede externa do cilindro pelo campo 
elétrico. Suponha que o raio do fio central seja 
igual a ͻͲǡͲ�ߤ݉, o raio do cilindro oco seja igual a 
14,0 cm e que uma diferença de potencial de 50,0 
kV seja estabelecida entre o fio e o cilindro. 
Suponha também que o cilindro e o fio possuam 
comprimentos muito maiores do que o raio do 
cilindro, de modo que os resultados da questão 21 
possam ser usados. A) Qual é o módulo do campo 
elétrico nos pontos situados na metade da 
+ 
- 
V 
Contador 
Radiação 
Elétron livre 
 
 
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14 
distância entre o fio e a parede do cilindro? B) 
Qual deve ser o módulo da carga sobre uma 
partícula de cinza com ͵ͲǡͲ�ߤ݃ para que o campo 
elétrico obtido no item (A) possa exercer sobre a 
partícula uma força dez vezes maior do que seu 
peso? 
 
 
 
 
 
 
A) Da equação (21.8) temos: 
 ܧ ൌ ௔ܸ௕Žሺܾ ܽΤ ሻ ή ͳݎ� �ܧ ൌ ͷͲ ή ͳͲଷŽ൫ଵସήଵ଴షమସ଴ήଵ଴షల൯ ή ͳͲͲ͹ �� ׵ ܧ ൌ ͻ͹ǡͳͻ�ܸ݇ ή ݉ିଵ 
(23.1) 
 
B) ͳͲ ή ͻǡͺ ή ͵Ͳ ή ͳͲିଽ ൌ ݍ ή ͻ͹ǡͳͻ ή ͳͲଷ� �׵ ݍ ؆ ͵ǡͲ͵ ή ͳͲିଵଶ�ܥ 
(23.2) 
 
 Questão 24
 
Fusão nuclear no Sol. A fonte da energia do 
Sol é uma sequência de reações nucleares que 
ocorrem em seu núcleo. A primeira dessas reações 
envolve uma colisão entre dois prótons que se 
fundem formando um núcleo mais pesado que 
libera energia. Para que esse processo, chamado 
de fusão nuclear, possa ocorrer, os prótons devem 
se aproximar até que suas superfícies fiquem 
essencialmente em contato. A) Suponha que os 
dois prótons se desloquem com a mesma 
velocidade e que a colisão seja frontal. Sabendo 
que o raio do próton é igual a ͳǡʹ ή ͳͲିଵହ�݉, qual 
deve ser a velocidade mínima para que a fusão 
nuclear ocorra? A distribuição de cargas no 
interior de um próton é esfericamente simétrica, 
de modo que o potencial e o campo elétrico no 
exterior do próton são idênticos aos produzidos 
por uma carga puntiforme igual à do próton 
localizada em seu centro. A massa do próton é 
igual a ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻�݇݃. B) Outra reação nuclear de 
fusão que ocorre no núcleo do Sol envolve a 
colisão entre dois núcleos de hélio, cada um deles 
com carga +2e, raio ͳǡ͹ ή ͳͲିଵହ�݉ e massa 2,99 
vezes maior do que a massa do próton. Supondo a 
mesma geometria da colisão indicada na parte (A), 
qual deve ser a velocidade mínima para que a 
fusão nuclear ocorra, sabendo que os núcleos 
devem se aproximar até que a distância entre seus 
centros seja aproximadamente igual ͵ǡͷ ήͳͲିଵହ�݉? Da mesma maneira que o próton, a 
carga do núcleo de hélio é uniformemente 
distribuída ao longo do seu volume. C) A energia 
cinética translacional média de uma partícula de 
massa m em um gás com temperatura absoluta T é ଷଶ ή ݇ܶ, em que k é a constante de Boltzmann. Para 
os dois prótons com energia cinética média capaz 
de produzir o processo descrito no item (A), qual é 
a temperatura absoluta necessária? Qual é a 
temperatura absoluta necessária para que dois 
núcleos de hélio produzam o processo descrito no 
item (B)? (Para essas temperaturas, os átomos 
ficam completamente ionizados, de modo que os 
elétrons e os prótons se movem separadamente). 
Resolução: 
A) Levando em consideração que a distância 
inicial entre os dois prótons é muito grande, 
podemos considerar que somente a energia 
cinética é contabilizada. Assim, utilizando a 
conservação da energia mecânica, teremos: 
 ܧ௜ ൌ ܧ௙�� � ͳͶߨ߳଴ ή ݁ଶʹܴ௣ ൌ ݉௣ݒଶ 
(24.1) 
 
Em que ܴ௣ e ݉௣ são respectivamente, o raio e a 
massa do próton. Substituindo os valores, 
teremos: 
 ͻ ή ͳͲଽ ή ሺͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽሻଶʹǡͶ ή ͳͲିଵହ ൌ ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻ݒଶ�� ׵ ݒ௣ ؆ ͹ǡ͸ ή ͳͲ଺�݉ ή ݏିଵ 
(24.2) 
 
B) Procedendo de forma semelhante para o átomo 
de hélio, teremos: 
 ͳͶߨ߳଴ ή Ͷ݁ଶݎ௠À௡ ൌ ݉ு௘ݒଶ� 
 Fonte 
Fluxo de 
ar 
 
 
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15 
�ͻ ή ͳͲଽ ή Ͷሺͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽሻଶ͵ǡͷ ή ͳͲିଵହ ൌ ʹǡͻͻ ή ͳǡ͸͹ ή ͳͲିଶ଻ݒଶ ��׵ ݒு௘ ؆ ͹ǡ͵ ή ͳͲ଺�݉ ή ݏିଵ 
(24.3) 
 
C) Utilizando a expressão da energia cinética 
translacional teremos: 
 ͵ʹ ή ݇ܶ ൌ ݉ݒଶʹ �� ׵ ܶ ൌ ݉ݒଶ͵݇ 
(24.4) 
 
Utilizando a relação (24.4), teremos para o próton 
e para o hélio respectivamente: 
 ௣ܶ ؆ ʹǡ͵͵ ή ͳͲଽ�ܭ 
(24.5) 
 ுܶ௘ ؆ ͸ǡͶ͵ ή ͳͲଽ�ܭ 
(24.6) 
 
 Questão 25Nas experiências de colisões com núcleos 
atômicos, podem ocorrer colisões centrais ou 
frontais. Contudo as colisões “não centrais” são 
mais comuns. Suponha que uma partícula alfa não 
tenha sido “apontada” exatamente para o centro 
de um núcleo de chumbo, porém possua um 
momento angular inicial diferente de zero (em 
relação ao núcleo de chumbo em repouso) com 
módulo ܮ ൌ ݌଴ܾ, onde ݌଴ é o módulo do momento 
linear inicial da partícula alfa e ܾ ൌ ͳǡͲͲ ή ͳͲିଵଶ�݉. 
Qual é a menor distância da aproximação do 
núcleo? Repita os cálculos para ܾ ൌ ͳǡͲͲ ή ͳͲିଵଷ�݉ 
e para ܾ ൌ ͳǡͲͲ ή ͳͲିଵସ�݉. Considere a energia 
cinética da partícula alfa valendo ͳͳ ή ͳͲ଺�ܸ݁. 
Resolução: 
Pela conservação do momento angular temos: 
 ܮ௜ ൌ ܮ௙�� ݌଴ܾ ൌ ݌௙ܾ௠À௡ � ׵ ݌௙ ൌ ݌଴ܾܾ௠À௡ 
(25.1) 
 
Em que ܾ௠À௡ é a menor distância de aproximação. 
A energia cinética pode ser escrita da seguinte 
forma: 
 
ܭ ൌ ݌ଶʹ݉ 
(25.2) 
 
Agora, pela conservação da energia mecânica, 
temos: 
 ܭ௜ ൌ ܭ௙ ൅ ௙ܷ�� ܭ௜ െ ݌௙ଶʹ݉ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍఈݍ௉௕ܾ௠À௡ 
(25.3) 
 
Utilizando (25.1) em (25.3), temos: 
 ܭ௜ ቆͳ െ ൬ ܾܾ௠À௡൰ଶቇ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍఈݍ௉௕ܾ௠À௡ 
(25.4) 
 
Podemos agora substituir os dados numéricos em 
(25.4). 
 ݍఈ ൌ ʹ݁Ǣ� ݍ௉௕ ൌ ͺʹ݁Ǣ ܭ௜ ൌ ͳͳ ή ͳͲ଺�ܸ݁ ൌ ͳǡ͹͸ ൈ ͳͲିଵଶܬ 
E para cada b teremos um ܾ௠À௡. Por exemplo, para ܾ ൌ ͳͲିଵଶ݉, teremos: 
 ͳǡ͹͸ ή ͳͲିଵଶ ൬ͳ െ ଵ଴షమర௕೘À೙మ ൰ ൌ ଽήଵ଴వήଵ଺ସήଵǡ଺ήଵ଴షభవ௕೘À೙ � �ଵǡ଻଺ήଵ଴షయల௕೘À೙మ ൅ ଷǡ଻଻ଽήଵ଴షమల௕೘À೙ െ ͳǡ͹͸ ή ͳͲିଵଶ ൌ Ͳ� � ଵ௕೘À೙మ ൅ ଶǡଵହήଵ଴భబ௕೘À೙ ିଵ଴మరୀ଴ 
(25.5) 
 
Efetuando uma mudança de variável: ݔ ൌ ଵ௕೘À೙, 
teremos para (25.5): 
 ݔଶ ൅ ʹǡͳͷ ή ͳͲଵ଴ݔ െ ͳͲଶସ ൌ Ͳ 
(25.6) 
 
Resolvendo a equação (25.6) teremos: 
 ܾ௠À௡ ൌ ͳǡͲͳ ή ͳͲିଵଶ݉ 
(25.7) 
 
Procedendo de forma semelhante, teremos para ܾ ൌ ͳͲିଵଷ�݉ ֜ ܾ௠À௡ ؆ ͳǡͳͳ ή ͳͲିଵଷ݉ e para ܾ ൌ ͳͲିଵସ�݉ ֜ ܾ௠À௡ ൌ ʹǡͷͶ ή ͳͲିଵସ�݉. 
 
 
 
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 Questão 26
 
Em uma certa região existe uma distribuição de 
cargas esfericamente simétrica porém não 
uniforme. Ou seja, a densidade volumétrica de 
cargas ߩሺݎሻ depende da distância r, mas não 
depende dos ângulos das coordenadas esféricas ߠ 
e ߮. O potencial elétrico ܸሺݎሻ dessa distribuição é 
dado por: ܸሺݎሻ ൌ ቊఘబ௔మଵ଼ఢబ ቈଵିଷቀ௥௔ቁమାଶቀ௥௔ቁయ቉ ݎ ൑ ܽͲ ݎ ൒ ܽ 
Onde ߩ଴ é uma constante com unidades de ܥ ή ݉ଷ 
e a é uma constante com unidade de metro. A) 
Deduza uma expressão para ܧሬԦ para as regiões ݎ ൑ ܽ e ݎ ൒ ܽ. Explique por que ܧሬԦ possui apenas 
componente radial. B) Deduza uma expressão 
para ߩሺݎሻ nas duas regiões ݎ ൑ ܽ e ݎ ൒ ܽ. C) 
Mostre que a carga total contida no interior de 
uma esfera de raio superior é igual a zero ou igual 
a a. O resultado obtido é consistente com o campo 
elétrico para ݎ ൒ ܽ que você calculou no item (A)? 
Resolução: 
A) Para o campo elétrico teremos: 
 ܧሬԦ ൌ െ߲ܸ߲ݎ ή ݎƸ 
(26.1) 
 
O potencial não depende das outras coordenadas 
esféricas. Para ݎ ൑ ܽ: 
 ܧ௥ ൌ െߩ଴ܽଶͳͺ߳଴ ቈെ͸ݎܽଶ ൅ ͸ݎଶܽଷ ቉� ׵ ܧ௥ ൌ ߩ଴ݎ͵߳଴ ቂͳ െ ܽݎቃ 
(26.2) 
 
Para ݎ ൒ ܽ: 
 ܧ௥ ൌ ͲǢ ܸ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁ ൌ Ͳ 
(26.3) 
 
B) Pela lei de Gauss, temos: 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ݍƴ߳଴ Ǣ �ݍƴ ൌ නߩ�ܸ݀ 
(26.4) 
 
Em que ܸ݀ ൌ Ͷߨݎଶ݀ݎ. Para ݎ ൑ ܽ, utilizando 
(26.2) em (26.4) temos: 
 ߩ଴ݎ͵߳଴ ቂͳ െ ܽݎቃ ή Ͷߨݎଶ ൌ Ͷߨ߳଴ නߩݎଶ݀ݎ�� නߩݎଶ݀ݎ ൌ ߩ଴ݎଷ͵ ቀͳ െ ܽݎቁ� �ߩݎଶ ൌ ߩ଴͵ ቆ͵ݎଶ െ Ͷݎଷܽ ቇ �� ׵ ߩ ൌ ߩ଴ ൬ͳ െ Ͷݎ͵ܽ൰ 
(26.5) 
 
C) Utilizando (26.5), teremos: 
 ܳ ൌ ߩ଴න ൬ͳ െ Ͷݎ͵ܽ൰௔଴ ܸ݀� �ܳ ൌ Ͷߨߩ଴න ቆݎଶ െ Ͷݎଷ͵ܽ ቇ݀ݎ௔଴ � �ܳ ൌ Ͷߨߩ଴ ቈݎଷ͵ െ ݎସ͵ܽ቉଴௔ ׵ ܳ ൌ Ͳ 
(26.6) 
 
 Questão 27
 
Uma casca cilíndrica isolante com raio R e 
comprimento L possui uma carga Q 
uniformemente distribuída sobre sua superfície. 
A) Calcule o potencial elétrico em todos os pontos 
ao longo do eixo do cilindro. Faça a origem do 
sistema de coordenadas coincidir com o centro do 
tubo cilíndrico e considere igual a zero o potencial 
no infinito. B) Mostre que, quando L << R, o 
potencial da parte (A) se reduz ao potencial de um 
anel carregado com raio R. C) Use o resultado da 
parte (A) para determinar o campo elétrico em 
todos os pontos ao longo do eixo do cilindro. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando o potencial nulo no infinito, 
poderemos então calcular o potencial em um 
 
 
ܮൗʹ െܮൗʹ 
x 
R 
a 
r 
dq P 
 
 
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17 
ponto P que se encontra a uma distância a, da 
extremidade do tubo, utilizando a seguinte 
expressão: 
 ܸ݀ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݀ݍݎ 
(27.1) 
Em que ݎ ൌ ቈܴଶ ൅ ൬ܽ ൅ ʹܮ െ ݔ൰ଶ቉ଵଶ Ǣ ݀ݍ ൌ ʹߨߪܴ݀ݔ 
(27.2) 
Utilizando (27.1) e (27.2), temos: 
 ܸ݀ ൌ ߪܴʹ߳଴ ή ݀ݔටܴଶ ൅ ቀܽ ൅ ʹܮ െ ݔቁଶ 
(27.3) 
 
Antes de integrar (27.3), vamos previamente, 
efetuar uma mudança de variável, da seguinte 
forma: 
 ܽ ൅ ʹܮ െ ݔ ൌ ݕ ֜ ݀ݔ ൌ െ݀ݕ 
(27.4) 
 
Devemos integrar (27.3), de 
ି௅ଶ até ௅ଶ. Com a 
mudança de variável, a integração fica: 
 ܸ ൌ ߪܴʹ߳଴න ݀ݕඥܴଶ ൅ ݕଶ௔ା௅௔ �� ׵ ܸ ൌ ߪܴʹ߳଴ ή Ž ൭ܽ ൅ ܮ ൅ ඥܴଶ ൅ ሺܽ ൅ ܮሻଶܽ ൅ ξܴଶ ൅ ܽଶ ൱ 
(27.5) 
 
Lembrando que ߪ ൌ ொଶగோ௅, então, substituindo em 
(27.5), temos: 
 ܸ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܳܮ ή Ž ൭ܽ ൅ ܮ ൅ ඥܴଶ ൅ ሺܽ ൅ ܮሻଶܽ ൅ ξܴଶ ൅ ܽଶ ൱ 
(27.6) 
 
Para R >> L. 
 
Vamos imaginar que L tende a ficar muito 
pequeno em comparação com R. Assim, a 
expressão (27.6) fica: 
 ܸ ൌ ܳͶߨ߳଴ ή Ž‹௅՜଴ͳܮ ή Ž ൭ܽ ൅ ܮ ൅ ඥܴଶ ൅ ሺܽ ൅ ܮሻଶܽ ൅ ξܴଶ ൅ ܽଶ ൱ 
(27.7) 
 
Quando ܮ ՜ Ͳ, temos uma indeterminação, dada 
por: 
 ͳܮ Ž ൭ܽ ൅ ܮ ൅ ඥܴଶ ൅ ሺܽ ൅ ܮሻଶܽ ൅ ξܴଶ ൅ ܽଶ ൱ ൌ Ž ͳܮ ൌ ͲͲ 
Assim, utilizaremos a regra de L’Hospital para 
resolver esse limite. Assim, teremos: 
 Ž‹௅՜଴ ͳܮ ή Ž ൭ܽ ൅ ܮ ൅ ඥܴଶ ൅ ሺܽ ൅ ܮሻଶܽ ൅ ξܴଶ ൅ ܽଶ ൱ 
ൌ Ž‹௅՜଴ ݀݀ܮ Ž ቆܽ ൅ ܮ ൅ ඥܴଶ ൅ ሺܽ ൅ ܮሻଶܽ ൅ ξܴଶ ൅ ܽଶ ቇ݀݀ܮ ሺܮሻ 
ൌ Ž‹௅՜଴ ݀݀ܮ Ž ቆܽ ൅ ܮ ൅ ඥܴଶ ൅ ሺܽ ൅ ܮሻଶܽ ൅ ξܴଶ ൅ ܽଶ ቇͳ ൌ Ž‹௅՜଴ ͳܽ ൅ ܮ ൅ ඥܴଶ ൅ ሺܽ ൅ ܮሻଶ ቈͳ ൅ ܽ ൅ ܮඥܴଶ ൅ ሺܽ ൅ ܮሻଶ቉ ൌ Ž‹௅՜଴ ͳඥܴଶ ൅ ሺܽ ൅ ܮሻଶ ൌ ͳξܴଶ ൅ ܽଶ 
(27.8) 
 
Assim, utilizando o resultado de (27.8) em (27.7), 
teremos: 
 ܸ ؆ ͳͶߨ߳଴ ή ܳξܴଶ ൅ ܽଶ 
(27.9) 
 
Para o campo elétrico, mudando a variável da 
expressão (27.6), de a para ݔ െ ௅ଶ, teremos: 
 ܧ௫ ൌ െ߲ܸ߲ݔ�� ܧ௫ ൌ െ ͳͶߨ߳଴ ή ܳܮ ή ߲߲ݔ Žۉۇݔ ൅
௅ଶ ൅ටܴଶ ൅ ൫ݔ ൅ ௅ଶ൯ଶݔ െ ௅ଶ ൅ටܴଶ ൅ ൫ݔ െ ௅ଶ൯ଶیۊ 
 
 
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׵ ܧ௫ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܳܮ ۏێێ
ۍ ͳටܴଶ ൅ ൫ݔ െ ௅ଶ൯ଶെ ͳටܴଶ ൅ ൫ݔ ൅ ௅ଶ൯ଶےۑۑ
ې
 
(27.10) 
 
 Questão 28
 
Duas cargas puntiformes estão se deslocando 
para a direita ao longo do eixo 0x. A carga 
puntiforme 1 possui carga ݍଵ ൌ ʹǡͲͲ�ߤܥ, massa ݉ଵ ൌ ͸ǡͲͲ ή ͳͲିହ�݇݃ e velocidade ݒଵ. A carga 
puntiforme 2 está à direita de ݍଵ e possui carga ݍଶ ൌ െͷǡͲͲ�ߤܥ, massa ݉ଶ ൌ ͵ǡͲͲ ή ͳͲିହ�݇݃ e 
velocidade ݒଶ. Em um dado instante, a distância 
entre as cargas é igual a 9,00 mm e suas 
velocidades são ݒଵ ൌ ͶͲͲ�݉ ή ݏିଵ e ݒଶ ൌ ͳ͵ͲͲ�݉ ήݏିଵ. As únicas forças que atuam no sistema são as 
forças elétricas que uma exerce sobre a outra. A) 
Determine a velocidade ݒ௖௠ do centro de massa 
do sistema. B) A energia relativa ܧ௥௘௟ é definida 
como a energia total menos a energia cinética da 
contribuição do movimento do centro de massa: 
 ܧ௥௘௟ ൌ ܧ െ ଵଶ ሺ݉ଵ ൅݉ଶሻݒ௖௠ଶ , 
 
onde ܧ ൌ ଵଶ݉ଵݒଵଶ ൅ ଵଶ݉ଶݒଶଶ ൅ ௤భ௤మସగఢబ௥ é a energia 
total do sistema e r é a distância entre as cargas. 
Mostre que ܧ௥௘௟ ൌ ߤݒଶ ൅ ௤భ௤మସగఢబ௥, onde ߤ ൌ ௠భ௠మ௠భା௠మ 
denomina-se massa reduzida do sistema e ݒ ൌ ݒଶ െ ݒଵ é a velocidade relativa das partículas 
que se movem. C) Para os valores numéricos 
fornecidos acima, calcule o valor numérico de ܧ௥௘௟. 
D) Com base no resultado do item (C), para as 
condições fornecidas acima, as partículas escapam 
da atração mútua? Explique. E) Caso as partículas 
escapem, qual deve ser a velocidade relativa 
quando ݎ ՜ λ? Caso as partículas não escapem, 
qual deve ser a máxima separação entre elas? Ou 
seja, qual deve ser o valor de r quando v = 0? F) 
Repita os cálculos dos itens (C) até (E) para ݒଵ ൌ ͶͲͲ�݉ ή ݏିଵ e ݒଶ ൌ ͳͺͲͲ�݉ ή ݏିଵ quando a 
distância entre as cargas for igual a 9,0 mm. 
Resolução: 
A) A posição do centro de massa é dada por: 
 ݔ௖௠ ൌ ݉ଵݔଵ ൅݉ଶݔଶ݉ଵ ൅݉ଶ 
(28.1) 
 
Tomando a derivada com o tempo de (28.1), 
temos: 
 ݒ௖௠ ൌ ݉ଵݒଵ ൅݉ଶݒଶ݉ଵ ൅݉ଶ 
(28.2)Substituindo os dados numéricos em (28.2), 
teremos: 
 ݒ௖௠ ൌ ͸ ή ͳͲିହ ή ͶͲͲ ൅ ͵ ή ͳͲିହ ή ͳ͵ͲͲͻ ή ͳͲିହ �� ׵ ݒ௖௠ ൌ ͹ͲͲ�݉ ή ݏିଵ 
(28.3) 
 
B) Para a energia relativa temos: 
 ܧ௥௘௟ ൌ ݉ଵݒଵଶʹ ൅ ݉ଶݒଶଶʹ െ ሺ݉ଵ ൅݉ଶሻݒ௖௠ଶʹ ൅ ݍଵݍଶͶߨ߳଴ݎ 
(28.4) 
 
Substituindo (28.2) em (28.4), teremos: 
 ܧ௥௘௟ ൌ ݉ଵݒଵଶʹ ൅݉ଶݒଶଶʹ െሺ݉ଵଶݒଵଶ ൅݉ଶଶݒଶଶ ൅ ʹ݉ଵ݉ଶݒଵݒଶሻʹሺ݉ଵ ൅݉ଶሻ ൅ ݍଵݍଶͶߨ߳଴ݎ�� ܧ௥௘௟ ൌ ቈ݉ଵʹ െ ݉ଵଶʹሺ݉ଵ ൅݉ଶሻ቉ ݒଵଶ ൅ ቈ݉ଶʹ െ ݉ଶଶʹሺ݉ଵ ൅݉ଶሻ቉ ݒଶଶെ ݉ଵ݉ଶʹሺ݉ଵ ൅݉ଶሻ ʹݒଵݒଶ ൅ ݍଵݍଶͶߨ߳଴ݎ� �ܧ௥௘௟ ൌ ͳʹ ή ݉ଵ݉ଶሺ݉ଵ ൅݉ଶሻ ሺݒଶଶ ൅ ݒଵଶ െ ʹݒଵݒଶሻ ൅ ݍଵݍଶͶߨ߳଴ݎ��� ׵ ܧ௥௘௟ ൌ ߤݒଶʹ ൅ ݍଵݍଶͶߨ߳଴ݎ 
(28.5) 
 
Obs.: Como digitei o enunciado na forma original, 
acredito que ficou faltando o termo 
ଵଶ, para a 
energia cinética relativa. 
 
C) Com os dados numéricos fornecidos, 
substituindo no resultado de (28.5), teremos: 
 
 
 
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ܧ௥௘௟ ൌ െͳǡͻ�ܬ. 
(28.6) 
 
D) O resultado (28.6) mostra que as partículas 
não escapam da atração mútua, a energia cinética 
relativa não é suficiente para vencer a energia 
potencial de atração. Para a máxima separação 
entre elas, para esse caso será dada por: 
 ܧ௥௘௟ ൌ Ͳ ֜ ݎ ؆ ͲǡͲͶ͹Ͷ�݉ 
(28.7) 
 
Para os outros valores fornecidos, temos: 
 ܧ௥௘௟ ൌ ͻǡ͸�ܬ 
(28.8) 
Logo, as partículas escapam da atração mútua, 
com uma velocidade relativa dada por: 
 ߤݒƴ ଶʹ ൌ ͻǡ͸ ֜ ݒƴ ൌ ͻ͹ͻǡͺ�݉ ή ݏିଵ 
(28.9)