Derivadas: Definição e Propriedades

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4. Derivadas 
 
A motivação obtida anteriormente vai nos permitir definir um dos objetos mais 
importantes da matemática que é a derivada. 
 
Seja f uma função e a um ponto do seu domínio. A derivada de f em a é definida por 
 
( ) ( )lim
x a
f x f a
x a→
−
−
, 
 
desde que esse limite exista. 
 
Para representar a derivada de f em a , usaremos o símbolo ( )'f a . Com essa notação, 
temos que 
 
( ) ( ) ( )' lim
x a
f x f af a
x a→
−
=
−
, 
 
quando esse limite existir. Quando existir a derivada de f em a , diremos 
freqüentemente que f é derivável em a . 
 
Uma das principais propriedades da derivada é a interpretação geométrica que ela 
possui. Será extremamente importante entendermos bem essa interpretação porque dela 
dependerá boa parte do entendimento dos assuntos que virão no curso de Cálculo I. 
Vamos então recordar o procedimento para a determinação do coeficiente angular da 
reta tangente ao gráfico de uma função no ponto ( )( ),P a f a= . Tomamos um ponto 
genérico ( )( ),Q x f x= sobre o gráfico de f e calculamos o coeficiente angular da reta 
secante que une P a Q . Esse coeficiente angular é dado por 
 
( ) ( )Q P
s
Q P
y y f x f a
m
x x x a
− −
= =
− −
 
 
Para encontrarmos o coeficiente angular da reta tangente, fazemos Q se aproximar de P 
- o que é o mesmo que fazer x se aproximar de a - e calculamos o limite do coeficiente 
angular das secantes nessa situação. Em resumo, o coeficiente angular da reta tangente 
ao gráfico de f no ponto ( )( ),P a f a= é dado por: 
 
( ) ( )limt
x a
f x f a
m
x a→
−
=
−
 
 
 
Comparando esse raciocínio com a definição de derivada de f em a , constatamos que: 
 
A derivada de f em a é igual ao coeficiente angular da reta tangente 
no ponto ( )( ),a f a 
Antes de passarmos a algumas observações, vejamos alguns exemplos. 
 
Exemplo 1. Calcule ( )'f a em cada caso. 
 
a. ( ) 1f x x= + , 2a = . 
b. ( ) 24 , 3f x x a= − = − 
 
Vejamos a letra (a). ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 1 3 2
' 2 lim lim lim lim1 1
2 2 2x x x x
f x f x xf
x x x→ → → →
− + − −
= = = = =
− − −
 
 
Agora vejamos a letra (b). 
 
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
22 2
3 3 3 3
3 3
4 4 33 6 2 6 24 36
' 3 lim lim lim lim
3 3 3 3
6 2 2 3
lim lim 2 6 2 24
3
x x x x
x x
xf x f x xxf
x x x x
x x
x
x
→− →− →− →−
→− →−
− − − −
− − − +
− +
− = = = = =
− − + + +
− ⋅ ⋅ +
= − =
+
 
 
Vejamos algumas observações 
 
Observação 1. Suponha que f seja derivável em a . Nesse caso, ( )'f a representa o 
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( ),a f a . Assim, 
podemos dizer que 
 
Se f é derivável em a então existe reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( ),a f a . 
 
Observação 2. Suponha que não exista reta tangente ao gráfico de f no ponto 
( )( ),a f a . Então somos levados a crer que f não é derivável em a . 
 
Observação 3. Suponha agora que exista reta tangente ao gráfico de f no ponto 
( )( ),a f a . Então não podemos dizer que f é derivável em a . Isso porque a reta 
tangente pode ser vertical. Para ilustrarmos isso, vamos utilizar uma função que já foi 
vista anteriormente. Consideremos a função ( ) 13f x x= e vejamos se ela é derivável em 
0. 
 
( )
1 1
3 3 2
3
2 3 20 0 0 0 03
0 1 1
' 0 lim lim lim lim lim
0x x x x x
x xf x
x x xx
−
→ → → → →
−
= = = = = = +∞
−
 
 
O que acarreta que f não é derivável em 0 . Entretanto nós já vimos anteriormente 
(confira no material sobre reta tangente) que existe reta tangente ao gráfico de f no 
ponto ( )0,0 . Assim, podemos dizer: 
 
Se existe reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( ),a f a , não necessariamente 
f é derivável em a . 
 
 
Observação 4. Suponha que f seja derivável em a . Então, para valores de x diferentes 
de a , podemos escrever: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f af x x a f a
x a
−
= ⋅ − +
−
 
 
Daí, tomando o limite quando x a→ em ambos os membros dessa igualdade, temos 
que: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim
x a x a
f x f af x x a f a
x a→ →
 − 
= ⋅ − + 
− 
 
 
Podemos separar o limite do segundo membro assim: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim lim
x a x a x a x a
f x f af x x a f a
x a→ → → →
−
= ⋅ − +
−
 
 
Ainda no segundo membro da igualdade, temos que ( ) ( ) ( )lim '
x a
f x f a f a
x a→
−
=
−
, 
( )lim 0
x a
x a
→
− = e ( ) ( )lim
x a
f a f a
→
= . Portanto, temos que 
 
( ) ( ) ( ) ( )lim ' 0
x a
f x f x f a f a
→
= ⋅ + = . 
 
Isso nos diz que: 
 
Se f for derivável em a ela será contínua nesse ponto. 
 
Agora cuidado: A função ( )f x x= é contínua em 0 , mas não é derivável nesse ponto. 
Confira o gráfico dessa função abaixo. Vemos que não existe reta tangente no ponto 
( )0,0 e, de acordo com a observação (2), a função ( )f x x= não é derivável em 0 . 
Moral da história: 
 
Se f for contínua em a ela não necessariamente será derivável nesse ponto. 
 
 
 
 
Observação 5. Suponha que f seja derivável em a , então há outro jeito de calcular 
( )'f a . De fato, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
1 2
' lim lim
x a h
f x f a f a h f af a
x a h→ →
− + −
= =
−
������� ���������
 
 
Perceba que na segunda igualdade fizemos h x a= − , ou equivalentemente, x a h= + e 
notamos que tanto faz dizer que x a→ como 0h → . Nós daremos preferência ao 
segundo limite pela seguinte razão: 
 
Quando calculamos ( )'f a , podemos fazer isso de duas maneiras: Calculamos 
( )'f a diretamente utilizando o limite (1) ou então calculamos o limite (2) num ponto 
genérico x e depois substituímos o valor de a no lugar de x . O segundo modo é mais 
interessante para nós porque ele nos permite uma maneira de encontrar uma expressão 
para a derivada da função num ponto qualquer e depois substituir o valor que queiramos 
calcular nessa expressão. O primeiro modo nos permite fazer isso também, mas de uma 
maneira não muito cristalina, porque precisaríamos introduzir uma nova variável. 
Portanto, doravante, a menos que dissermos o contrário, quando calcularmos derivadas, 
utilizaremos a segunda maneira. 
 
Exemplo 2. Considere a função ( ) 22 5 3f x x x= + + . Vamos calcular ( )2f ′ utilizando o 
limite (2) da observação anterior. Consideremos x um ponto genérico e vamos calcular 
( )f x′ . 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
0 0
2 2 2 2
0 0 0
0
2 5 3 2 5 3
lim lim
4 2 52 4 2 5 5 3 2 5 3 4 2 5lim lim lim
lim 4 2 5 4 5
h h
h h h
h
f x h f x x h x h x xf x
h h
h x hx xh h x h x x xh h h
h h h
x h x
→ →
→ → →
→
+ − ⋅ + + ⋅ + + − − −
′ = = =
+ ++ + + + + − − − + +
= = =
+ + = +
 
 
Portanto, num ponto genérico, temos que ( ) 4 5f x x′ = + . Portanto, fazendo 2x = , 
teremos ( )2 4 2 5 13f ′ = ⋅ + = . 
 
Exemplo 3. Sendo ( ) 1f x
x
= , calcule ( )f x′ . Vamos utilizar o limite (2). 
 
( ) 20 0 0 0 0
( )1 1
( ) ( ) 1 1( )lim lim lim lim lim( ) ( )h h h h h
x x h
f x h f x hx x hx h xf x
h h h hx x h x x h x→ → → → →
− +
−
+ − − −++
′ = = = = = = −
+ +
 
Assim, ( ) 21f x x′ = − . 
 
Exemplo 4. Sendo ( )f x x= , vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao 
gráfico de f no ponto ( )( )1, 1f . Recorde que esse coeficiente angular é igual a ( )1f ′ . 
Para calculá-lo, vamos utilizar o limite (2). 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0 0 0
0 0
lim lim . lim
( )
1 1lim lim
( ) 0 2
h h h
h h
x h x x h xx h x x h xf x
h h x h x h x h x
x h x
h x h x x x x
→ → →
→ →
+ − + − + − + +
′ = = = =  + + + + 
+ −
= =
+ + + +
 
 
Portanto, ( ) 1
2
f x
x
′ = e daí ( ) 1 11
22 1
f ′ = = . � 
 
Pelos exemplos anteriores, já percebemos que a determinação da derivada de uma 
função utilizando a definição (isto é, através do cálculo de um dos dois limites (1) ou 
(2)) é bastante laborioso. Para amenizar essa situação vamos apresentar um conjunto de 
regras que serão bastante úteis no cálculo das derivadas. Todas essas regras podem ser 
demonstradas rigorosamente. Basta consultar qualquer livro de Cálculo. Por exemplo, o 
livro do Guidorizzi, volume 1. 
 
 
Regra 1. Se ( ) ,f x c= então ( ) 0f x′ = 
Regra2. Se p∈ℝ , então ( ) 1pf x p x −′ = ⋅ 
Regra 3. Se ( ) ( )f x c g x= ⋅ , com c∈ℝ então ( ) ( )f x c g x′ ′= ⋅ 
 
Exemplo 5. 
a. f(x) = 5 ⇒ f ’(x) = 0 
b. f(x) = - 3 ⇒ f ’(x) = 0 
c. f(x) = x³ ⇒ f ’(x) = 3.x 13− = 3x² 
d. f(x) = x 10 ⇒ f ’(x) = 10.x 110− = 10x 9 
e. f(x) = 3
1
x
 = x 3− ⇒ f ’(x) = -3.x 13−− = - 3 . x 4− 
f. f(x) = 
x
1
 = x 1− ⇒ f ’(x) = -1 . x 11−− = - x² = - 2
1
x
 
g. f(x) = x = x 2
1
 ⇒ f ’(x) = 
2
1
. x
1
2
1
−
 = 
2
1
. x 2
1
−
 = 
x2
1
 
h. f(x) = 
3
1
x
 = x 3
1
−
 ⇒ f ’(x) = - 
3
1
. x
1
3
1
−−
 = - 
3
1
. x 3
4
−
 = f ’(x) = 
3 43
1
x
 
i. f(x) = 5. x³ ⇒ f ’(x) = 5 . (x³)’ = 5 . 3x² = 15 x² 
j. f(x) = 9 x 4 ⇒ f ’(x) = 9 . (x 4 )’ = 9 . 4 .x³ = 36 x³ 
 
Mais regras : 
 
Regra 4. Se ( ) ( ) ( )f x g x h x= ± então ( ) ( ) ( )f x g x h x′ ′ ′= ± 
Regra 5. Se ( ) ( ) ( )f x g x h x= ⋅ então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x g x h x′ ′ ′= ⋅ + ⋅ 
Regra 6. Se ( ) ( )( )
g xf x
h x
= então ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2
g x h x g x h xf x
h x
′ ′⋅ − ⋅
′ =
  
 
 
Exemplo 6. 
a. f(x) = 3x² + 5x + 4 ⇒ f ’(x) = (3x²)’ + (5x)’ + (4)’= 6x + 5 
b. f(x) = 2x 5 - x + 3x ⇒ f ’(x) = (2x 5 )’ – ( x )’+ (3x)’= 10 x 4 - 
x2
1
 + 3 
c. f(x) = 
1+x
x
 ⇒ f ’(x) = 2
,,
)1(
)1.()1.()(
+
+−+
x
xxxx
 = 2)1(
1.)1.(1
+
−+
x
xx
 = 2)1(
1
+x
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
 
1. Calcule a derivada das funções a seguir, utilizando as regras de derivação. 
 
a. ( ) 23 5 4f x x x= + + 
b. ( ) 52 3f x x x x= − + 
c. 53 2
3 5 7( ) 4f x x
x xx
= − + − 
d. 
43
32)(
2
−
−+
=
x
xx
xf 
 
2. Seja ( ) 1g x x
x
= + . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto 
( )31, 2 . 
 
3. Determine o(s) ponto(s) do gráfico da função ( ) 2 1f x x
x
= + onde a reta tangente é 
paralela ao eixo das abscissas. 
 
4. Se f (2) = −8, f ′(2) = 3 , g (2) =17 e g′(2) = −4 determine o valor de ( f g )′ (2). 
 
5. Determine, caso existam, os pontos onde as retas tangentes ao gráfico da função 
( ) 3 25f x x x x= − + são paralelas à reta 2 23y x= − + . 
 
6. Suponha que f e g são funções diferenciáveis tais que 3)1( =f , 7)1( =g , 
2)1( −=′f , e 4)1( =′g . Determine: 
 
a) )1()( ′+ gf 
b) )1()( ′− fg 
c) )1()( ′fg 
d) )1(
′






f
g
 
e) )1(
′






g
f
 
_______________________________________________ 
Soluções 
 
 
1. 
 
a. ( ) ( )23 5 4 ' 6 5f x x x f x x= + + ⇒ = + 
b. ( ) ( )5 4 12 3 ' 10 3
2
f x x x x f x x
x
= − + ⇒ = − + 
c. ⇒−+−=−+−= −−
− 513
2
2
1
53 2
75347534)( xxxx
xxx
xxf 
 
( ) ( )623521 5715323214)( −−−− −−−+





−−





=′ xxxxxf = 
 
623 5
623
5
2
1 3552235522
xxxx
xxxx +−+=+−+ −−
−−
 
d. 
2 2 2 2
2 2 2
(3 4)(2 2) ( 2 3)(3) 6 2 8 3 6 9 3 8 1( ) (3 4) (3 4) (3 4)
x x x x x x x x x xf x
x x x
− + − + − − − − − + − +
′ = = =
− − −
 
 
 
 
2. Se ( ) 11g x x x x
x
−
= + = + então a regra da potência nos diz que ( ) 21' 1g x x= − . Daí, no 
ponto em que 1x = , temos que ( ) 21' 1 1 1 1 01g = − = − = . Portanto o coeficiente angular da 
reta pedida é igual a 0 . Daí a reta procurada é ( )3 0 1
2
y x− = ⋅ − , ou seja, 3
2
y = . 
 
 
3. Se ( ) 2 2 11f x x x x
x
−
= + = + , temos que ( )
3
2 2
1 2 1
' 2 xf x x
x x
−
= − = . Os pontos onde a reta 
tangente é horizontal são aqueles onde ( )' 0f x = . Assim, resolvendo a equação 
( )' 0f x = , ficamos com 
 
( )
3 3
3 3 3 3
2 3
2 1 1 1 1 4
' 0 2 1 0 2 1
2 2 22
xf x x x x x
x
−
= = ∴ − = ∴ = ∴ = ∴ = = = 
Logo o único ponto onde a reta tangente é horizontal é o ponto 
3 34 4
,
2 2
f      
  
. 
 
 
 
4. Sabemos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'fg x f x g x f x g x= ⋅ + ⋅ . Daí, fazendo 2x = , temos que 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 2 ' 2 2 2 ' 2 3 17 8 4 51 32 83fg f g f g= ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ − = + = 
 
 
5. Se ( ) 3 25f x x x x= − + então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto 
( )( ),x f x é dado por ( ) 2' 3 10 1f x x x= − + . Para descobrirmos tais pontos, vamos igualar o 
coeficiente angular das retas tangentes ao coeficiente angular da reta dada, já que elas são 
paralelas. Fazendo isso, temos 23 10 1 2x x− + = − , que é equivalente a 23 10 3 0x x− + = e cujas 
raízes são 1
1
3
x = − e 2 3x = − . Assim, os pontos onde ocorre o fenômeno indicado no problema 
são 1 1,
3 3
f    
  
 e ( )( )3, 3f . 
 
 
6. Utilizando as regras de derivação, temos que 
 
 
a. 242)1()1()1()( =+−=′+′=′+ gfgf 
 
b. 6)2(4)1()1()1()( =−−=′−′=′− fgfg 
 
c. 2)14(12)2(7)4(3)1()1()1()1()1()( −=−+=−+=′+′=′ fggffg 
 
d. [ ] 9
26
9
1412
3
)2(7)4(3
)1(
)1()1()1()1()1( 22 =
+
=
−−
=
′
−
′
=
′






f
fggf
f
g
 
 
e. [ ] 49
26
49
1214
7
)4(3)2(7
)1(
)1()1()1()1()1( 22
−
=
−−
=
−−
=
′
−
′
=
′






g
gffg
g
f