regra_da_cadeia

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4. Função composta e a sua derivada 
 
No ensino médio tomamos contato com uma situação que permitia obter uma nova 
função a partir de duas outras. Mais especificamente, dadas :f A B→ e :g B C→ 
funções, definimos a função :h A C→ pela fórmula ( ) ( )( )h x g f x= . A função h é 
chamada de função composta de g e f e denotada por .g f� Estamos interessados aqui 
em obter uma fórmula que forneça a derivada da função h a partir das derivadas de f e 
.g Com esse objetivo em mente vamos analisar o seguinte exemplo: 
 
Exemplo 1. Considere a função ( ) ( )22 3h x x= + e vamos tentar obter sua derivada. O 
nosso impulso inicial é desenvolver o quadrado do binômio. Fazendo isso ficamos com: 
 
( ) 24 12 9.h x x x= + + 
Agora usamos a regra de derivação de polinômios e vemos que: 
 
( )' 8 12.h x x= + 
Aqui há algo que simplificou bastante essa tarefa: o expoente do binômio é pequeno, o 
que permitiu que nós o desenvolvêssemos. Se o expoente fosse, por exemplo, 20, tal 
desenvolvimento, apesar de possível, seria bastante laborioso e o cálculo da derivada 
tornar-se-ia bastante penoso. Imagine o caso em que o expoente é 100. 
 
A situação discutida no Exemplo 1 nos mostra ser necessário o conhecimento de uma 
nova regra de derivação que permita derivar funções como aquela que lá foi 
apresentada. Essa nova regra será chamada Regra da Cadeia pelo fato de que as 
derivadas serão executadas como num processo em cadeia, em seqüência. Vamos 
revisitar o Exemplo 1 a fim de que possamos ter uma pista acerca do funcionamento da 
dita regra. 
 
Exemplo 1 (Revisitado). Em primeiro lugar vamos encarar h como uma função 
composta. De fato, se fizermos ( ) 2g x x= e ( ) 2 3f x x= + então vemos que 
( ) ( )( ).h x g f x= Agora perceba que: 
 
( ) ( )' 8 12 2 2 3 2.h x x x= + = × + × 
Mas veja que ( )' 2g x x= , ( )' 2f x = e ( )( ) ( )' 2 2 3 .g f x x= × + Portanto olhando para 
a expressão de ( )'h x obtida antes vemos que: 
 
( ) ( )( ) ( )' ' ' .h x g f x f x= × 
 
A conclusão obtida na nova visita que fizemos ao Exemplo 1 nos dá uma pista sobre o 
aspecto da Regra da Cadeia. Ela sugere que a derivada da função composta é obtida 
multiplicando as derivadas das funções envolvidas, mas com uma ressalva: nesse 
produto a derivada da função g está calculada no ponto ( )f x . Em termos mais precisos 
podemos enunciá-la assim: 
 
Regra da Cadeia: Se ( ) ( )( )h x g f x= e f e g são funções deriváveis então 
( ) ( )( ) ( )' ' ' .h x g f x f x= × 
 
A demonstração da Regra da Cadeia ficará postergada para o curso de Introdução à 
Análise. Aqui vamos explorar o seu poder para derivar funções mais complexas. 
Veremos agora diversos exemplos. 
 
Exemplo 2. Calcule a derivada das seguintes funções: 
 
 
a. ( ) ( )20082 3h x x= + b. ( )
52
2
3 4
2 1
x xh x
x
 +
=  
+ 
 
c. ( )
22 1
5 3
xh x
x
−
+ 
=  + 
 
 
d. ( ) 3 23 5 6h x x x x= + + 
 
 
 
Vejamos a letra (a). Temos que ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( ) 2 3f x x= + e ( ) 2008.g x x= 
Como ( )' 2f x = e ( ) 2007' 2008 ,g x x= segue pela regra da cadeia que: 
 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2007 2007' ' ' 2008 2 3 2 4016 2 3 .h x g f x f x x x= × = + × = + 
 
Vejamos a letra (b). Aqui vamos precisar lembrar a regra de derivação do quociente. Em 
primeiro lugar temos ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( ) 2 23 42 1
x xf x
x
+
=
+
 e ( ) 5g x x= . Note que: 
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
2 2 2
2 22 2
2 1 6 4 3 4 4 6 4 8
'
2 1 2 1
x x x x x x xf x
x x
+ + − + + −
= =
+ +
 
e que ( ) 4' 5 .g x x= 
 
Assim, pela regra da cadeia, podemos dizer que: 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
44 2 22 2
2 62 2 2
5 3 4 6 4 83 4 6 4 8
' ' ' 5
2 1 2 1 2 1
x x x xx x x xh x g f x f x
x x x
+ + − + + −
= × = = 
+  + +
. 
 
Passemos à letra (c). Temos que ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( ) 2 15 3
xf x
x
+
=
+
 e ( ) 2.g x x−= 
Agora note que ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2
2 5 3 5 2 1 1
'
5 3 5 3
x xf x
x x
+ − +
= =
+ +
 e que ( ) 32'g x x
−
= . Portanto 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )3 2 3
2 5 32 1
' ' '
2 1 5 3 2 1
5 3
x
h x g f x f x
x x x
x
+
= × = − × = −
+ + + 
 + 
. 
Finalmente vejamos a letra (d). Note que ( ) ( )( ) ,h x g f x= onde ( ) 12g x x x= = e 
( ) 3 23 5 6f x x x x= + + . Como ( ) 1'
2
g x
x
= e ( ) 2' 9 10 6f x x x= + + , temos que 
( ) ( ) 22
2 2 2 2
1 9 10 6
' 9 10 6
2 3 5 6 2 3 5 6
x xh x x x
x x x x x x
+ +
= × + + =
+ + + +
. 
 
Exemplo 3. Na tabela abaixo, são dadas informações sobre as funções f e g : 
 
x ( )f x ( )'f x ( )g x ( )'g x 
-1 2 3 2 -3 
2 0 4 1 -5 
 
Vamos determinar o valor de ( )' 1h − , onde ( ) ( )( )h x f g x= . Observe que, pela regra 
da cadeia, temos que ( ) ( )( ) ( )' ' ' ,h x f g x g x= × ou seja, quando fizermos 1,x = − 
vamos obter ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 1 ' 1 ' 1 ' 2 ' 1 4 3 12h f g g f g− = − × − = × − = × − = − . De forma 
análoga, podemos calcular ( )' 1e − , onde ( ) ( )( ).e x g f x= Com efeito, pela regra da 
cadeia, temos que 
 
( ) ( )( ) ( )' ' ' ,e x g f x f x= × 
 ou seja, 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )' 1 ' 1 ' 1 5 3 15.e g f f− = − × − = − × = − 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
 
1: Suponha que f e g são funções deriváveis satisfazendo as condições a seguir: 
 
9)1( =f 5)2( −=f 2)1( =g 3)9( =g 
2)1( −=′f 6)2( −=′f 4)1( =′g 7)9( =′g 
 
Determine: 
 
a. );1()( ′gf � 
b. );1()( ′fg � 
c. )1(h′ se )()( xfxh = ; 
d. )1(j′ se 5)]([)( xgxj = ; 
e. )1(l ′ se 2)]([
3)(
xf
xl = ; 
 
 
2. Se 3 24 252)( ++−= xxxxf , determine )1(f ′ . 
 
3. Se 83 )4(
4)(
+
=
x
xg , determine )(xg ′ . 
 
4. Se ( )( )
53
32
4
1 2
x
y
x
+
=
−
, determine y′ . 
 
5. Calcule 
 
 
 
6. Calcule 
 
 
_______________________________________________ 
Soluções 
 
 
 
1. (i) 24)4)(6()1()2()1())1(()1()( −=−=′⋅′=′⋅′=′ gfggfgf � 
 (ii) 14)2(7)1()9()1())1(()1()( −=−=′⋅′=′⋅′=′ fgffgfg � 
(iii) ⇒′=′⋅=′⇒==
−
)(2
)()()]([21)()]([)()( 2
1
2
1
xf
xf
xfxfxhxfxfxh 
3
1
92
2
)1(2
)1()1( −=−=′=′ f
fh 
(iv) 
=′⋅=′⇒′⋅=′⇒= )1()]1([5)1()()]([5)()]([)( 445 ggjxgxgxjxgxj 320)4()2(5 4 = 
(v) 2 32
3( ) 3[ ( )] ( ) 6[ ( )] ( )[ ( )]l x f x l x f x f xf x
− −
′ ′= = ⇒ = − ⋅ . Daí 
3 3
6 (1) 6( 2) 12 4(1) [ (1)] 9 729 243
fl f
′
− − −
′ = = = = 
 
2. 
13 4 2 4 2 3( ) 2 5 2 (2 5 2)f x x x x x x x= − + + = − + + . Daí 
 
324 2 33
4 2 23
8 2 51( ) (2 5 2) (8 2 5)3 3 (2 5 2)
x xf x x x x x x
x x x
−
− +
′ = − + + − + =
− + +
 
Portanto 
12
11
643
11
)2512(3
528)1( 33 2 ==++−
+−
=′f 
 
 
3. 93
2
29383
83 )4(
96)3()4(32)()4(4
)4(
4)(
+
−
=+−=′⇒+=
+
=
−−
x
x
xxxgx
x
xg 
 
 
4. Utilizando a regra da cadeia, bem como as regras de derivação já vistas, temos que: 
 
 
 
 
 5. Podemos ver que ( )
32 4
3 1
xf x
x
+ 
=  
− 
 é tal que ( ) ( )( )f x g h x= , onde ( ) 3g x x= e 
( ) 2 4
3 1
xh x
x
+
=
−
. Vê-se com facilidade que ( ) 23g x x′ = e que ( ) ( )2
14
3 1
h x
x
−
′ =
−
. 
Portanto, pela regra da cadeia, temos que ( ) ( )( )
2
4
42 2 4
3 1
xf x
x
− +
′ =
−
. 
 
 
 
6. Podemos ver que ( ) ( ) 12 2 29 4 9 4f x x x= + = + é tal que ( ) ( )( )f x g h x= , onde 
( ) 12g x x= e ( ) 29 4h x x= + . Vê-se com facilidade que ( ) 1
2
g x
x
′ = e que 
( ) 18h x x′ = . Portanto, pela regra da cadeia, temos que ( )
2
9
9 4
xf x
x
′ =
+
.