Apostila 03_GM_EG_2011

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FURG – ESCOLA DE ENGENHARIA 
Engenharia Civil Empresarial e Engenharia Mecânica Empresarial 
Expressão Gráfica – Turmas 1162 B, C e D – 2011: Geometria Mongeana 
Professores: Hélida Helena Pegas – Karen Melo da Silva – Maicon Soares 
Material de Apoio de Aula – Material em revisão 
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GEOMETRIA MONGEANA 
CAPÍTULO 3: ESTUDO DA RETA 
A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre 
esse plano. Os pés dessas perpendiculares formam a projeção ortogonal desta reta. As 
projetantes dos pontos da reta definem o plano projetante da reta, que é perpendicular ao 
plano de projeção. A intersecção do plano de projeção com o plano projetante é a projeção 
desta reta. 
A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta, quando ela for perpendicular 
ao plano de projeção, pois neste caso as projetantes de todos os seus pontos (projeção 
pontual) se confundem com a própria reta. 
 
 
VISIBILIDADE 
Por convenção, devido ao fato do observador estar situado no Iº Diedro, somente é possível 
enxergar a reta situada neste diedro. Conseqüentemente, neste Diedro as projeções são 
traçadas em linha contínua, enquanto que nos outros, usa-se linha tracejada. 
Caso especial: Nas projeções simples da reta de Perfil, ou seja, antes do rebatimento e 
alçamento, não é possível saber a visibilidade. Neste caso, se deve primeiro rebater e 
alçar os pontos e traços, para saber em quais os Diedros a reta estará passando, 
verificando-se assim se há ou não visibilidade, que posteriormente deve ser representada 
na projeção simples da reta de Perfil. 
 
TRAÇOS DA RETA 
É o ponto comum entre a reta e o plano de projeção considerado. Dependendo da posição 
relativa, uma reta pode possuir um ou mais traços. 
Traço Horizontal: ponto de interseção efetuado com o plano horizontal de projeção π → (r)π 
Traço Vertical: ponto de interseção efetuado com o plano vertical de projeção π' → (r)π' 
Sendo um ponto, este deve ter também suas projeções horizontal e vertical identificadas em 
épura: 
(r)π → rπ e r’π (traço horizontal → projeção horizontal do traço horizontal e projeção vertical do traço horizontal) 
(r)π’ → rπ’ e r’π’ (traço vertical → projeção horizontal do traço vertical e projeção vertical do traço vertical) 
 
REBATIMENTO 
Consiste em girar os pontos da projeção horizontal, da reta em épura, num ângulo de 90º no 
sentido anti-horário, até que estes fiquem em coincidência com os pontos da projeção vertical. 
Pode-se, assim, ser obtida uma visão espacial em duas dimensões, possibilitando a 
localização da reta no Diedro e, por conseguinte, a localização dos traços – ver Reta de Perfil. 
 
ALÇAMENTO 
Operação inversa ao rebatimento que possibilita a localização do traço na projeção 
simples, através do rebatimento no sentido horário – ver Reta de Perfil. 
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3.1 RETA HORIZONTAL-FRONTAL OU FRONTO-HORIZONTAL 
 
É a reta paralela simultaneamente aos dois planos de projeção π' e π. Sua épura é 
caracterizada por possuir ambas as projeções paralelas a Linha de Terra. 
 
 
 
 
Características: 
 (A) [...;...;...] 
Notação Analítica: (r) < ≠ = = 
 (B) [...;...;...] 
 
Reconhecimento: * Abscissas ≠s 
 * Afastamentos =s 
 * Cotas =s 
 
Posição Relativa: (r) // π (r) // π' 
 
Verdadeira Grandeza: AB = VG A’B’ = VG 
 
Classificação Completa: Horizontal-Frontal I (HF.I) 
 Horizontal-Frontal II (HF.II) 
 Horizontal-Frontal III (HF.III) 
 Horizontal-Frontal IV (HF.IV) 
 Horizontal-Frontal πa (HF.πa) 
 Horizontal-Frontal πp (HF.πp) 
 Horizontal-Frontal π’s (HF.π’s) 
 Horizontal-Frontal π’i (HF.π’i) 
 Horizontal-Frontal π’π (HF.π’π) 
 
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3.2 RETA HORIZONTAL 
 
É a reta paralela ao plano horizontal de projeção π e oblíqua ao plano de projeção vertical 
π'. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical paralela a Linha de Terra e a 
projeção horizontal oblíqua a esta mesma linha. 
 
 
 
 
Características: 
 (A) [...;...;...] 
Notação Analítica: (r) < ≠ ≠ = 
 (B) [...;...;...] 
 
Reconhecimento: * Abscissas ≠s 
 * Afastamentos ≠s 
 * Cotas =s 
 
Posição Relativa: (r) // π e (r) ∠ π' 
 
Verdadeira Grandeza: AB = VG A’B’ ≠ VG 
 
Classificação Completa: Horizontal I.II (H 1.2) 
 Horizontal III.IV (H 3.4) 
 Horizontal πa.πp (H πa.πp) 
 
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3.3 RETA FRONTAL 
 
É a reta paralela ao plano vertical de projeção π', e oblíqua ao plano horizontal de projeção π. 
Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal paralela a Linha de Terra e a 
projeção vertical oblíqua a esta mesma linha. 
 
 
 
 
Características: 
 (A) [...;...;...] 
Notação Analítica: (r) < ≠ = ≠ 
 (B) [...;...;...] 
 
Reconhecimento: * Abscissas ≠s 
 * Afastamentos =s 
 * Cotas ≠s 
 
Posição Relativa: (r) ∠ π e (r) // π' 
 
Verdadeira Grandeza: AB ≠ VG A’B’ = VG 
 
Classificação Completa: Frontal I.IV (F 1.4) 
 Frontal II.III (F 2.3) 
 Frontal π’s.π’i (F π’s.π’i) 
 
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3.4 RETA DE TOPO 
 
É a reta perpendicular ao plano vertical de projeção π'. 
Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical reduzida a um ponto e a projeção 
horizontal perpendicular a linha de terra. 
 
 
 
 
Características: 
 (A) [...;...;...] 
Notação Analítica: (r) < = ≠ = 
 (B) [...;...;...] 
 
Reconhecimento: * Abscissas =s 
 * Afastamentos ≠s 
 * Cotas =s 
 
Posição Relativa: (r) // π e (r) ⊥ π' 
 
Verdadeira Grandeza: AB = VG A’B’ ≠ VG 
 
Classificação Completa: Topo I.II (T 1.2) 
 Topo III.IV (T 3.4) 
 Topo πa.πp (T πa.πp) 
 
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3.5 RETA VERTICAL 
 
É a reta perpendicular ao plano horizontal de projeção π. 
Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal reduzida a um ponto (projeção 
pontual) e a projeção vertical, perpendicular a Linha de Terra. 
 
 
 
 
Características: 
 (A) [...;...;...] 
Notação Analítica: (r) < = = ≠ 
 (B) [...;...;...] 
 
Reconhecimento: * Abscissas =s 
 * Afastamentos =s 
 * Cotas ≠s 
 
Posição Relativa: (r) ⊥ π e (r) // π' 
 
Verdadeira Grandeza: AB ≠ VG A’B’ = VG 
 
Classificação Completa: Vertical I.IV (V 1.4) 
 Vertical II.III (V 2.3) 
 Vertical π’s.π’i (V π’s.π’i) 
 
 
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3.6 RETA QUALQUER 
 
É a reta oblíqua aos dois planos de projeção, horizontal π e vertical π’. Sua épura se 
caracteriza por possuir as projeções, horizontal e vertical, oblíquas à Linha de Terra. 
 
 
 
Características: 
 (A) [+4;+2;+5] 
Notação Analítica: (r) ≠ ≠ ≠ 
 (B) [+6;+6;+8] 
 
Reconhecimento: * Abscissas ≠s 
 * Afastamentos ≠s 
 * Cotas ≠s 
 
Posição Relativa: (r) ∠ π e (r) ∠ π' 
 
Verdadeira Grandeza: AB ≠ VG A’B’ ≠ VG 
 
Classificação Completa: Qualquer I.II.III (Q 1.2.3) 
 Qualquer I.IV.III (Q 1.4.3) 
 Qualquer I.III (Q 1.3) 
 Qualquer II.I.IV (Q 2.1.4) 
 Qualquer II.III.IV (Q 2.3.4) 
 Qualquer II.IV (Q 2.4) 
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3.7 RETA PERFIL 
 
É a reta oblíqua aos dois planos de projeção, horizontal π e vertical π’, em uma posição 
particular, perpendicular em relação a interseção destes dois planos. Sua épura se 
caracteriza por possuir as projeções, horizontal e vertical, perpendiculares à Linha de 
Terra. 
 
 
 
Características: 
 (A) [...;...;...] 
Notação Analítica: (r) < = ≠ ≠ 
 (B) [...;...;...] 
 
Reconhecimento: * Abscissas =s 
 * Afastamentos ≠s 
 * Cotas ≠s 
 
Posição Relativa: (r) ∠ π e (r) ∠ π' 
 
Verdadeira Grandeza: AB ≠ VG A’B’ ≠ VG (A)1(B)1 = VG 
 
Classificação Completa: Perfil I.II.III (P 1.2.3) 
 Perfil I.IV.III (P 1.4.3) 
 Perfil I.III (P 1.3) 
 Perfil II.I.IV (P 2.1.4) 
 Perfil II.III.IV (P 2.3.4) 
 Perfil II.IV (P 2.4)