Lista Limites e Continuidade

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Universidade Federal de Pernambuco
Unidade Acadeˆmica do Cabo de Santo Agostinho
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Primeiro Semestre 2017
Lista 1: Limites e Limites Laterais
Professor: Serginei Jose´ do Carmo Liberato
1. Dadas f e g determine f ◦ g.
f(x) =
{
x2, se x < 1,
−x3, se x ≥ 2. g(x) =
{ −x, se x ≤ 2,
2x, se x ≥ 4.
2. Suponha lim
x→0
f(x) = 1 e lim
x→0
g(x) = −5.Calcule lim
x→0
2f(x)−g(x)
(f(x)+7)
2
3
.
3. Para a func¸a˜o g(x), encontrar os seguintes limites ou explicar porque na˜o existe.
a) lim
x→1
g(x)
b) lim
x→2
g(x)
c) lim
x→3
g(x)
4. Calcule os seguintes limites.
a) lim
x→7
x2−49
x−7
b) lim
x→− 32
4x2−9
2x+3
c) lim
x→4
3s2−8s−16
2s2−9s+4
d) lim
x→−2
y3+8
y+2
e) lim
x→−3
√
y2−9
2y2+7y+3
f) lim
x→1
√
x−1
x−1
g) lim
x→0
√
x+2−√2
x
h) lim
x→0
3√h+1−1
h
i) lim
x→3
x2−4x+3
x2−x−6
j) lim
x→ 12
2x2+5x−3
2x2−5x+2
k) lim
x→1
x3−1
x2−1
l) lim
x→−2
8+x3
4−x2
m) lim
x→2
x4−16
8−x2
n) lim
x→3
√
1+x−2
x−3
o) lim
x→1
√
x−1
x−1
p) lim
x→0
1−√1−x
x
q) lim
x→0
√
1+x−√1−x
x
r) lim
x→1
√
x+3−2
x−1
s) lim
x→4
√
2x+1−3√
x−2−√2 ,
5. Determine o limite indicado, se existir; se na˜o existir, indique a raza˜o disto.
a) f(x) =
 2, se x < 1,−1, se x = 1−3, se x > 1.
lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
b) f(x) =
{ −2, se x < 0,
2, se x ≥ 0.
a) lim
x→0+
f(x), b) lim
x→0−
f(x), c) lim
x→0
f(x)
c) f(t) =
{
t + 4, se t ≤ −4,
4− t, se t > −4.
lim
t→−4+
f(t), lim
t→−4−
f(t), lim
t→−4
f(t)
d) f(s) =
{
s + 3, se s ≤ −2,
3− s, se s > −2.
lim
s→−2+
f(s), lim
s→−2−
f(s), lim
s→−2
f(s)
6. Dada a func¸a˜o f definida por f(x) = |x|x para todo x ∈ R∗, calcule lim
x→o+
f(x) e lim
x→o−
f(x). Existe lim
x→o f(x)?
7. Calcule os limites laterais, onde f e´ dada por:
a) f(x) = |x+1|x+1 definida em R− {−1} b) f(x) = |3x−2|2−3x definida em R− { 23}
8. Dada a func¸a˜o f definida por:
a) f(x) =
 3x− 2, se x > −1,3, se x = −1
5− ax, se x < −1.
Determine a ∈ R para que exista lim
x→−1
f(x)
1
b) f(x) =
{
4x + 3, se x ≤ −2,
3x + a, se x > −2. Determine a ∈ R para que exista limx→−2 f(x)
9. Encontre cada um dos seguintes limites, se existirem: lim
x→1−
h(x), lim
x→1+
h(x) e lim
x→1
h(x)
h(x) =
{
4− x2, se x ≤ 1,
2 + x2, se x > 1.
.
RESPOSTAS
1. (f ◦ g)(x) = f(g(x)) =

x2, se x ∈ (−∞,−2),
x3, se x ∈ (−1, 2),
−8x3, se x ∈ [4,∞).
2.
7
4
.
3. Os limites da a) e c) na˜o existem, pois limites laterais sa˜o diferentes, enquanto que na b) os limites laterais sa˜o iguais.
4. a) 14
b) -6
c) 16
7
d) 12
e)
√
6
5
f) f) 1
2
g) 1
4
√
2
h) 1
3
i) 2
j) 7
3
k) 3
2
l) 3
m) 8
n) 1
4
o) 1
2
p) 1
2
q) 1
r) 1
4
s) 2
3
√
2
5. a) lim
x→1+
f(x) = −3, lim
x→1−
f(x) = 2, O limite na˜o existe, pois os limites laterais sa˜o diferentes.
b) lim
x→0+
f(x) = 2, lim
x→0−
f(x) = −2, O limite na˜o existe, pois lim
x→0+
f(x) 6= lim
x→0−
f(x)
c) lim
t→−4+
f(t) = 8, lim
t→−4−
f(t) = 0, O limite na˜o existe, pois lim
t→−4+
f(t) 6= lim
t→−4−
f(t).
d) lim
2→−2+
f(s) = 5, lim
s→−2−
f(s) = 1, O limite na˜o existe, pois lim
s→−2+
f(s) 6= lim
s→−2−
f(s).
6. lim
x→0+
f(x) = 1 e lim
x→0−
f(x) = −1. Na˜o existe limx→0 f(x).
7. a) e b) o mesmo da questa˜o anterior.
8. a) a = −10, b) a = 1.
9. lim
x→1+
h(x) = 3 e lim
x→1−
f(x) = 3. Logo lim
x→1
h(x) = 3.
2