Construção e Controle de Sistema Calha e Bola

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CONSTRUÇÃO, MODELAGEM E CONTROLE DE UM SISTEMA CALHA E BOLA.
Guilherme Rodrigues, Rodolpho Fonseca
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais 
Rua Alvares de Azevedo, 400, Divinopolis, MG 
guilherme.rp2014@gmail.com, rodolphoffonseca@yahoo.com.br
Resumo( O presente relatório apresenta a metodologia empregada na construção, modelagem, validação e controle de um sistema calha e bola. Que se trata de um problema de controle de características não lineares e de dinâmica bastante rápida. A modelagem do sistema foi feita em caixa branca e dois tipos de controladores foram projetados sobre o modelo, sendo um avanço por lugar das raízes e o outro avanço pela frequência, que atendesse as características de desempenhos requeridas.
Palavras-chave: Calha e Bola, Modelagem, Controle, Avanço.
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1 Introdução 
Um sistema calha e bola é um sistema muito popular no meio acadêmico, devido a sua não linearidade e comportamento de segunda ordem (SOUZA, 2016). Além disso, sua facilidade de construção e desenvolvimento favorece seu uso em plantas didáticas.
O sistema é composto de uma calha construída com duas hastes de alumínio conectadas entre si por uma peça confeccionada utilizando a técnica de impressão 3D afim de que se forme uma superfície na qual a bola possa rolar livremente. A bola em questão usada é a mesma utilizada na prática de tênis de mesa, devida ao seu baixo preço e a disponibilidade no mercado. A estrutura mecânica foi construída com MDF, também devido ao seu baixo preço e a facilidade no trabalho com o mesmo, tal como corte, furação, etc.
Esse trabalho tem como objetivo, construir, modelar e controlar tal sistema por dois métodos diferentes vistos na matéria de Teoria de Controle, discutindo-se os resultados obtidos.
 Ao longo do trabalho, serão discutidas as metodologias de modelagem do sistema e implementação dos controladores projetados. Os resultados experimentais obtidos comprovam a eficiência das técnicas estudadas na disciplina.
Figura 1- Desenho esquemático de um Calha e Bola
2 Modelagem Dinâmica
Considerando o sistema Calha e Bola da figura 1, definiu-se que a modelagem seria feita através do método de Lagrange, afim de que se tivesse maior fidelidade no modelo, ou seja, evitar desconsiderar parâmetros que podem interferir posteriormente no controle do sistema.
Pela definição do método de Lagrange: 
	
	(1)
Onde: 
K é a energia cinética e U a energia potencial do sistema.
A energia cinética do sistema pode ser dividida em duas, sendo uma da bola e outra da calha.
Bola: 
	
	(2)
Calha:
	
	(3)
Sendo K a somatória de ambas.
A energia potencial do sistema é apenas uma, na qual: 
	
	(4)
Substituindo na definição do método de Lagrange: 
	
	(5)
Usando:
	
	(6)
	
	(7)
 
Substituindo na primeira equação de Lagrange:
	
	(8)
Temos:
	
	(9)
	
Usando a linearização para a função , na qual seno e de um ângulo pequeno é o próprio ângulo. Usamos a transformada de Laplace para obter a função transferência a partir do modelo.
	
	(10)
Por tanto, obtemos o modelo: 
	
	(11)
Para obter de fato a função transferência, devemos substituir os parâmetros em questão. Para obter a massa e o raio da bola com boa precisão, foram feitas três pesagens e três medições do raio e fazendo a média. A pesagem foi feita usando a balança de precisão do Laboratório de Física de próprio CEFET Divinópolis e o raio foi obtido usando o paquímetro digital do Laboratório de Protótipos também do CEFET Divinópolis. 
	
	Massa (kg) 
	Raio (m) 
	1
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	Média
	
	
O valor do momento de inércia pode ser calculado usando a forma do momento de inércia ara uma casca esférica.
	
	(12)
	
	(13)
Então, substituindo os parâmetros encontrados na função transferência e assumindo a gravidade como , temos:
	
	(14)
	
	(15)
Então, finalmente obtemos nosso modelo:
	
	(16)
3 Validação do Modelo
	O modelo linear foi validado comparando sua resposta a dois steps seguidos. Sendo o primeiro um valor de 5º e 0,7s depois, um segundo step de -10º. O resultado foi satisfatório, mostrando que o modelo obtido através das equações de Lagrange é uma boa aproximação para o sistema. 
Figura 2- Validação do modelo proposto.
A partir dessa validação, pode-se inferir que é aceitável o projeto dos controladores ser feito através do modelo em questão. Ou seja, os compensadores irão fornecer um bom resultado. 
No final, observamos uma falha que é proveniente do fim da zona de leitura do sensor. O que não invalida o modelo.
4 Projeto dos Controladores
A partir do modelo linear obtido, foram projetados dois controladores usando ferramentas diferentes. Devido a natureza do sistema ser de tipo 2, não havia a necessidade de desenvolver um controlador em atraso, pois como visto em sala, o mesmo realiza mudanças referentes ao estado estacionário, que está diretamente ligado à ao tipo da planta. Para tal, desenvolveu-se ambos os controladores do tipo avanço, para que atendessem os critérios de desempenho referentes ao estado transitório. Sendo o primeiro por Lugar Geométrico das Raízes e o segundo por resposta em frequência.
4.1 Projeto de avanço por Lugar Geométrico das Raízes
Para tal forma de projeto, adotou-se um tempo de acomodação de Ts ≤ 3s e Máximo Overshoot de Os ≤ 5%, como critérios de desempenho.
Figura 3- Lugar dasRaízes de G(s)
A partir de tais critérios e de fórmulas retiradas de Ogata (2009), foi calculado o fator de amortecimento de ζ = 0,69 e = 1,9324. Sendo possível assim, determinar o polo dominante de malha fechada que atende as especificações. Cujo polo é:
O controlador do tipo Avanço tem a seguinte forma:
Colocando Zo na parte real do polo dominante, precisamos de um polo Po que contribua com 2,8763º.
Fazendo os cálculos necessários, obtemos que o polo se encontra em Po = 29,3.
Por tanto, o controlador obtido foi:
Com tal compensador, obtemos um Lugar Geométrico das Raízes:
Figura 4- Lugar dasRaízes compensado
Ajustando o ganho para K = 12,7, temos o polo desejado.
Figura 5- Resposta ao Step do sistema compensado
Porém, como visto na Figura 4, com tal compensador implicou em um Overshoot muito maior do que o especificado. Fazendo que apenas a implementação dele não seja ideal. Tal efeito é denominado comportamento caudal e se da devido à proximidade do zero do compensador com o polo dominante. 
Tal problema pode ser resolvido implementando um Pré-filtro, para anular os efeitos do zero e atender todas as características pedidas.
Figura 6- Step com pré-filtro
Assim, o compensador em Avanço projetado pelo Lugar Geométrico das Raízes atende ou fica bem próximo a todos os critérios de desempenhos definidos.
4.2 Projeto de avanço pela Frequência
Como as características de desempenho permanecem as mesmas, temos novamente ζ = 0,69.
Ainda segundo Ogata(2009), temos uma relação entre o fator de amortecimento e a margem de fase do sistema. Sendo assim, aplicando na fórmula, obtemos que:
MF = 74º
Então, para garantir uma margem de acerto, adicionamos 5º para realizar os devidos cálculos. 
ϕ= 79º
Figura 7- Bode do sistema.
Observando o Bode do sistema, podemos inferir que o único método que pode ajudar a obter os critérios desejados é o avanço. Pois a margem de fase é zero para qualquer frequência, então deve-se adicionar fase ao sistema em questão.
Aplicando o método de Avanço pela Frequência obtemos:
Figura 8- Bode do sistema compensado.
Como visto, o compensador faz com que o sistema atenda o requisito de margem de fase.
Figura 9- Step do sistema compensado.
Como pode ser analisado na figura 8, o compensador chega próximo ao Overshoot desejado. Porém, o tempo de acomodação é quase oito vezes maior, fazendo comque tal projeto não seja ideal para o caso. Isso deve-se a não utilização do tempo de acomodação nesse método. Diferente do método visto na subseção anterior.
5 Resultados experimentais
	Aplicando os controladores projetados na planta, para avaliar seu desempenho de modo empírico, temos:
5.1 Compensador em avanço por Lugar Geométrico das Raízes
	Usando o controlador em avanço por Lugar das Raízes, obtemos tais curvas de comparação:
Figure 10- Comparação entre o sistema e o modelo, amobos compensados
A partir da imagem 10, vemos que o controlador reponde bem na planta. Entretanto, há um problema em relação ao sensor usado, que tem uma zona morta, causando uma faixa sem resposta e levando a posição inicial do sistema para uma posição bem diferente da original.
Figure 11- Avaliação do sinal de controle.
Avaliando apenas a bola na posição estável do sensor, ou seja, desconsiderando a zona morta. O sinal de controle é sempre aceitável, tendo em vista que o sinal de controle é dado por um valor de ângulo e sua faixa de valores é entre -90º a 90º, que é a faixa na qual o servo-motor trabalha.
Então, podemos dizer que o controlador é bastante efetivo, desde que a bola não atinja a zona morta do sensor.
5.1 Compensador em avanço pela frequência
Usando o controlador em avanço pela frequência, obtemos tais curvas de comparação:
Figure 12- Comparação entre o sistema e o modelo, amobos compensados
Podemos ver a partir da figura 12, que tal compensador não é efetivo no sistema. Além da faixa inicial causada pela deficiência do sensor, o sistema compensado não consegue acomodar.
Figura 13- Sinal de Controle
Como visto na figura acima, o responsável por o sistema não acomodar é o sinal de controle. Na figura, a posição da bola é variada por toda calha, entretanto, o sinal de controle é bem pequeno, sendo insuficiente para alterar o estado de inércia da bola e consequentemente a posição da mesma.
6 Conclusões
	Podemos concluir através dos resultados obtidos, tanto para o modelo quanto para a planta, que o compensador projetado pelo Lugar das Raízes é melhor que o controlador desenvolvido através da Frequência. Pois o mesmo apresenta características de desempenho mais próximas das desejadas.
	Concluiu-se também sobre a robustez do controlador feito pelo Lugar das Raízes, que apresenta de maneira mais fiel os resultados devido ao seu método de projeto. Entretanto, é importante ressaltar a importância do projeto através da Frequência, muito utilizado na indústria, onde nem sempre se tem um modelo da planta e a resposta a frequência é facilmente obtida.
Agradecimentos
Agradecemos aos Ilustríssimos Professores Valter Leite e Fernando Thomé por suas devidas colaborações ao projeto. Agradecemos também ao companheiro de curso, Marco Souza, por sua grande ajuda durante todas as etapas do projeto com as mais diversas adversidades pelas quais passamos e foram superadas.
Referências
 
OGATA, KATSUHIKO. Modern Control Engineering. Pearson; 5 edition (September 4, 2009)
SOUZA, MARCO. 2016, Modelagem controle PID de um sistema calha e bola. 
BOLIVAR-VINCENTY, BEAUCHAMP-BAEZ, 2014, Modelling the Ball-and-Beam System From Newtonian Mechanics and from Lagrange Methods