Probest_Reinaldo C.Souza_Aula_7

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street@ele.pucstreet@ele.puc--rioi.br jjampinho@gmail.comrioi.br jjampinho@gmail.com
roxanajc@ele.pucroxanajc@ele.puc--rio.brrio.br
1
PROBESTPROBEST
Aula 7Aula 7
Reinaldo Castro Souza, Reinaldo Castro Souza, PhDPhD
Alexandre Alexandre StreetStreet
Roxana C. Roxana C. ContrerasContreras
José Daniel Hernández Vásquez, Monitor José Daniel Hernández Vásquez, Monitor 
José Aguinaldo M.Pinho, AuxiliarJosé Aguinaldo M.Pinho, Auxiliar
2014.12014.1
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Aula 7Aula 7
 Vetores Aleatórios
Densidades Conjuntas
Densidades Marginais
Densidades Condicionais
 Independência
Covariância e Correlação
Momentos Condicionais 
Curva de Regressão
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ObjetivosObjetivos
 Na prática, freqüentemente encontramos 
variáveis aleatórias em conjunto, por 
exemplo:
 Preço e venda de um produto
 Número de passageiros num vôo da Ponte Aérea e 
horário de embarque
 IBOVESPA e Risco Brasil
 Juros, Taxa de Câmbio, Inflação, Nível de Atividade 
da Indústria e Risco Brasil
 Como estudar o comportamento destas 
variáveis em conjunto? Este é o nosso 
objetivo da aula 7.
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ObjetivosObjetivos
 Encontrar distribuições de probabilidade conjuntasconjuntas
para expressar a relação entre duas ou mais variáveis 
aleatórias.
 Encontrar distribuições de probabilidade condicionaiscondicionais
que expressam o efeito de um subconjunto de 
variáveis sobre outro subconjunto de variáveis.
 Encontrar distribuições de probabilidade marginaismarginais
que indicam o comportamento de uma única variável 
sem o efeito das outras.
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ObjetivosObjetivos
 Definir e verificar as implicações da 
independênciaindependência entre variáveis aleatórias.
 Definir medidas da associaçãomedidas da associação entre duas
variáveis, como a covariância e o 
coeficiente de correlação.
 Definir os momentos condicionaismomentos condicionais, 
estudar algumas de suas propriedades e 
apresentar a curva de regressão.
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Vetor AleatórioVetor Aleatório
 Seja E uma experiência aleatória com 
espaço amostral S. Sejam X1, X2, ...., Xk 
funções que associam números reais a 
cada resultado da experiência E. 
 Então (X1, X2, ...., Xk) é um vetor aleatório
de dimensão k. O caso particular k = 2 
será de interesse especial aqui, e 
estaremos apresentando as definições 
para vetores aleatórios bidimensionais.
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Função de Prob. ConjuntaFunção de Prob. Conjunta
 Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias discretas. A 
função de probabilidadefunção de probabilidade conjunta conjunta de X1 e X2 é uma 
função não negativa f (x1,x2 ) tal que:
 Pr (X1 = x1, X2 = x2) = f(x1,x2)
 Esta definição pode ser estendida de maneira trivial 
para uma n-upla de variáveis aleatórias X1 ,X2 ,...,Xn. 
Analogamente ao caso unidimensional, o somatório 
da função de probabilidade conjunta para todos os 
valores de X1 e X2 deve ser 1, isto é:
f x x( , )1 2 1
todo xtodo x 21 
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Densidade ConjuntaDensidade Conjunta
 Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias contínuas. A 
densidadedensidade conjuntaconjunta de X1 e X2 é uma função não 
negativa f (x1,x2) tal que, para qualquer 
subconjunto A de 2:
 Em particular, para calcularmos a probabilidade 
de X1 e X2 estarem num retângulo só precisamos 
calcular a integral dupla a seguir:
    
A
dxdxxxfAXX 212121 ,,Pr
 
b
a
d
c
dxdxxxfdXcbXa 122121 ),(),Pr(
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Condição de NormalizaçãoCondição de Normalização
 A condição de normalização no caso 
bivariado é análoga ao caso univariado. A 
integral (ou somatório duplo) da densidade 
(ou função de probabilidade) conjunta deve 
ser 1. Ou seja:
 Para v.a. discretas
 Para v.a. contínuas
   
1 2 xtodo xtodo
1, 21 xxf  




1, 2121 dxdxxxf
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Densidade Conjunta/Função de Densidade Conjunta/Função de 
Probabilidade ConjuntaProbabilidade Conjunta
 Interpretação
Pode-se fazer uma analogiaanalogia com a 
probabilidade da interseçãoprobabilidade da interseção de dois eventos.
A densidade (ou a função de probabilidade 
conjunta) permite o cálculo de probabilidades
relativas às duas variáveis simultaneamente, 
onde os efeitos das duas variáveis são levados 
em consideração ao mesmo tempo.
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Densidade Conjunta/Função de Densidade Conjunta/Função de 
Probabilidade ConjuntaProbabilidade Conjunta
Mas, o que acontece se desejamos “olhar” 
para cada uma das variáveis separadamente, 
ignorando por completo o efeito da(s) 
outra(s)? 
 Isso nos leva ao conceito de densidade (ou 
função de probabilidade) marginalmarginal.
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Densidade MarginalDensidade Marginal
 Seja f (x1,x2) a densidade (ou função de 
probabilidade conjunta de X1 e X2. 
 A densidade marginal de X1 é dada por:
 Analogamente, a densidade marginal de X2 é 
dada por:
 
discreto caso no 
contínuo caso no 
2 xtodo











),(
),(
)(
21
221
11
xxf
dxxxf
xf 
discreto caso no 
contínuo caso no 
1 xtodo











),(
),(
)(
21
121
22
xxf
dxxxf
xf
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Densidade MarginalDensidade Marginal
 Nota
 A rigor, no caso discreto, deveríamos chamar f1(x1) 
e f2(x2) de funções de probabilidade marginais.
 É importante perceber que as densidades 
marginais definidas na página anterior nos 
permitem calcular probabilidades para uma variável 
IGNORANDO COMPLETAMENTE o efeito da outra 
variável. Por exemplo:
 que seria a expressão usada se X2 “não existisse”. 

b
a
dxxfbXa 1111 )()Pr(
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Densidade CondicionalDensidade Condicional
 Densidade Condicional de X2 dado X1
 Densidade Condicional de X1 dado X2
 Note a semelhança entre a definição de densidades semelhança entre a definição de densidades 
condicionais e a de probabilidade condicionalcondicionais e a de probabilidade condicional. A 
densidade condicional expressa a distribuição de 
uma das variáveis sujeita a uma informação 
adicional, que é a ocorrência da outra variável.
0)(
)(
),(
)|( 11
11
21
12  xf
xf
xxf
xxf que desde que desde 0)(
)(
),(
)|( 22
22
21
21  xf
xf
xxf
xxf
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Densidade CondicionalDensidade Condicional
 Estas densidades nos permitem calcular 
probabilidade condicionais. Se as variáveis 
aleatórias são contínuas:
 É a densidade condicional de X2 dado X1=x1. 
Analogamente podemos escrever a densidade 
condicional de X1 dado X2=x2 como:
    212112Pr dxxxfxXbXa
b
a    121221Pr dxxxfxXdXc
d
c
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Densidade CondicionalDensidade Condicional
 As definições no caso discreto são análogas.
 No caso contínuo não faz diferença se o
intervalo (a, b) é fechado ou aberto, isto é, não
faz diferença se substituirmosum ou mais dos
sinais de " < " por "  ".
 No caso discreto existe diferença se o intervalo
é aberto ou fechado, por exemplo, desejarmos
calcular Pr(a  X2  b) (ou a probabilidade
condicional de X2 estar neste intervalo dado X1
= x1) devemos incluir os pontos a e b no
cálculo.
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Densidade CondicionalDensidade Condicional
 No caso contínuo surge uma dificuldade. 
Como interpretar a probabilidade condicional 
de que (a < X2 < b) dado que X1 = x1 já que o 
evento {X1 = x1} tem probabilidade zero? 
 A resposta é: pense em x1 como um 
parâmetro desta distribuição condicional – à 
medida que este parâmetro varia, a 
distribuição condicional assume novas 
formas.
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Exemplo 1Exemplo 1
 Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas com a 
seguinte função de probabilidade conjunta:
 Encontre as densidades marginais de X e Y.
 Encontre a densidade condicional de X dado Y = 0.
 Encontre a densidade condicional de Y dado X = 0.
Pr( X = x)  X = 0 X = 1 X = 2 X = 3 
Pr(Y = y)  
Y = 0 0.2 0.1 0.1 0 
Y = 1 0.1 0.1 0.1 0.1 
Y =2 0 0.1 0.1 0 
 
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Exemplo 1Exemplo 1
 A função de probabilidade marginal de X é 
dada por:
 Logo:
fx(0) = Pr(X=0) = 0.2 + 0.1 + 0 = 0.3
fx(1) = Pr(X=1) = 0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.3
fx(2) = Pr(X=2) = 0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.3
fx(3) = Pr(X=3) = 0 + 0.1 + 0 = 0.1
 A função de probabilidade marginal de Y é 
encontrada de maneira análoga. Verifique que: 
Pr(Y = 0) = Pr(Y = 1) = 0.4 e Pr(Y=2) = 0.2.



2
0
),Pr(),Pr(),()Pr()(
y
x yYxXyYxXyxfxXxf
 ytodo ytodo
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Exemplo 1Exemplo 1
 A função de probabilidade condicional de X dado
Y = 0 é obtida pela divisão da conjunta pela
probabilidade de Y ser igual a zero (0.4). Então:
f(x| Y = 0) = f(x,0)/Pr(Y=0) = f(x,0)/0.4
para os diversos valores de X.
f(0|0) = Pr( X = 0 | Y = 0 ) = f(0,0)/0.4 = 0.2/0.4 = 0.5
f(1|0) = Pr( X = 1 | Y = 0 ) = f(1,0)/0.4 = 0.1/0.4 = 0.25
f(2|0) = Pr( X = 2 | Y = 0 ) = f(2,0)/0.4 = 0.1/0.4 = 0.25
f(3|0) = Pr( X = 3 | Y = 0 ) = f(3,0)/0.4 = 0/0.4 = 0
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Exemplo 1Exemplo 1
 A função de probabilidade condicional de Y dado
X = 0 é a conjunta divida pela probabilidade de X
ser igual a zero, que é 0.3.
f(y | X = 0 ) = f(0, y)/ Pr (X = 0) = f(0, y) / 0.3
f(0|0) = Pr( Y = 0 | X = 0 ) = f(0,0)/0.3 = 0.2/0.3 = 2/3
f(1|0) = Pr( Y = 1 | X = 0 ) = f(0,1)/0.3 = 0.1/0.3 = 1/3
f(2|0) = Pr( Y = 2 | X = 0 ) = f(0,2)/0.3 = 0/0.3 = 0
 Note que a soma destas probabilidades para todos os
valores de Y é 1 (ou seja, a função de probabilidade
condicional satisfaz a condição de normalização). O
mesmo acontece para a condicional de X dado Y = 0 da
página anterior.
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NotasNotas
 Deve-se ressaltar que as funções de probabilidade 
(e densidades) marginais e condicionais são 
funções de probabilidade (ou densidades) 
propriamente ditas, ou seja, devem obedecer a 
condição de normalização, como observado neste 
exemplo.
 A densidade (ou função de probabilidade conjunta) 
deve satisfazer uma condição de normalização que 
envolve uma integral ou somatório duplo (no caso 
de um vetor aleatório de dimensão 2, como o que 
estamos tratando aqui).
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Exemplo 2Exemplo 2
 Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas
com densidade conjunta:
 Encontre a constante c tal que f(x, y) seja
uma densidade.
 Calcule as densidades marginais de X e Y.
 Calcule Pr (X > 2).
 Calcule Pr (1 < Y < 3)
0 > y e 0 > x se 3/2/ ..),( yx eecyxf 
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Exemplo 2Exemplo 2
 A constante é encontrada a partir da 
condição de normalização, isto é, fazendo 
a integral dupla sobre todos os valores de 
X e Y igual a um.
 Então 6c = 1  c = 1/6

   




  



 
















0
3/
0
3/
0 0 0
2/3/
0
3/2/
0 0
.6
)3/1(
1
0..2..2
)2/1(
1
0..
...1),(
ccdyecdyec
dxedyecdxdyeecdxdyyxf
yy
xyyx
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Exemplo 2Exemplo 2
 A densidade marginal de X é:
 Ou seja, X tem densidade Exponencial com média 
2.
0 > x se 2/
2/
0
3/2/
0
3/2/
0
2
1
)3/1(
1
0.
6
.
6
1
..
6
1
),()(
x
x
yxyx
x
e
e
dyeedyeedyyxfxf














 
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Exemplo 2Exemplo 2
 A densidade marginal de Y é:
 Isto é, Y é Exponencial com média 3.
0 > y se 3/
3/
0
2/3/
0
3/2/
0
3
1
)2/1(
1
0.
6
.
6
1
..
6
1
),()(
y
y
xyyx
y
e
e
dxeedxeedxyxfyf















 
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Exemplo 2Exemplo 2
 A probabilidade de X > 2 é calculada a 
partir da densidade marginal de X.
 De maneira semelhante, Pr(1< Y< 3) é 
computada a partir da marginal de Y.












2
1
12/
)2/1(
0.
2
1
2
)2Pr( e
e
dx
e
X
x
 
3486.03679.07165.0
.
)3/1(
1
.
3
1
3
)31Pr(
13/1
3
1
3/13/3
3/






 





ee
eedy
e
Y
y
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Exemplo 2Exemplo 2
 Nota:
 A probabilidade de X > 2 poderia ter sido 
calculada também através da densidade 
conjunta, notando-se que os seguintes 
eventos são equivalentes:
     0 qualquer  YXYXX 222
      11
0
3/1
0
2/23/
0 2
3/2/ 3
3
1
3
1
2
6
1
6
1
2Pr 




 
    eedyeeedyedxdyeeX
yyyx
 
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Exemplo 2Exemplo 2
 Analogamente, a probabilidade de 1 < Y < 3 
poderia ter sido calculada também através 
da densidade conjunta usando um 
argumento semelhante ao do slide anterior.
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Exemplo 3Exemplo 3
 Suponha que X e Y têm densidade conjunta:
1) Calcule as densidades marginais de X e Y.
2) Encontre a densidade condicional de Y dado 
X = x.
3) Encontre a densidade condicional de X dado 
Y = y.
2 y 0 e 1 x < 0 onde  2
3
.
),( x
yx
yxf
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Exemplo 3Exemplo 3
 A densidade marginal de X é:
 A densidade marginal de Y é:
 A densidade condicional de Y dado X = x é 
dada por: 
1 x < 0 onde 





  ,3
.2
.2
3
),()( 2
2
0
2
2
0
x
xdyx
xy
dyyxfxf x  






1
0
2
1
0
,
63
1
3
),()( 2y 0 onde
y
dxx
xy
dxyxfyf y
[0,2] y e (0,1] x onde 










 ,
3/1
3/
.
2
1
2
3
2
3
)(
),(
)|(
2
2
x
yx
x
x
x
xy
xf
yxf
xyf
x
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Exemplo 3Exemplo 3
 Note que existe um número infinito de densidades 
condicionais de Y dado X =x, cada uma para um 
valor de x diferente no intervalo (0,1]. 
 Por exemplo, se x = 1, a densidade condicional de 
Y dado X = 1 é:
(0,2] y onde , 

























3
1.
8
3
3
1.
4
3
.
2
1
3/11
3/1
.
2
1
)1|(
yyy
xyf
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Exemplo 3Exemplo 3
 Abaixo exibimos um gráfico com 3 densidades 
condicionais. Note que, à medida que o 
“parâmetro” x se altera, a forma da densidade 
condicional muda. 
0 0.5 1 1.5 2
0.2
0.4
0.6
Densidades Condicionais de Y dado X
0.75
0.25
f y
1
3







f y
2
3







f y 1( )
20 y
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Exemplo 3Exemplo 3
 A densidade condicional de X dado Y = y é:
 Substituindo-se Y = 1 acima encontramos a 
densidade condicional de X dado Y = 1:
 Se agora fazemos Y = 2 encontramos outra 
densidade condicional:
[0,2] y e (0,1] xonde , 












2/1
..3
2
1.
3
1
3
)(
),(
)|(
2
2
y
yxx
y
xy
x
yf
yxf
yYxf
y
  (0,1] xonde 


 ,.3.
3
2
2/11
.3
)1|( 2
2
xx
xx
Yxf   (0,1] xonde 


 ,
2
.2.3
11
.2.3
)2|(
22 xxxx
Yxf
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Exemplo 3Exemplo 3
Densidades Condicionais de X dado Y = y
0,000
0,400
0,800
1,200
1,600
2,000
2,400
2,800
3,200
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
f(x|y = 0) f(x|y = 0.5) f(x|y = 1) f(x|y = 2)
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Exercício 1Exercício 1-- para casapara casa
 Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade
conjunta:
 Encontre a constante c que faz desta expressão uma
densidade.
Resposta:
 Encontre a densidade marginal de X.
Resposta:
 Encontre a densidade marginal de Y.
Resposta:
 Encontre a densidade condicional de X dado Y = y.
Resposta:
 X e Y são independentes? Por que? Justifique?
Resposta: ,então, X e Y não são independentes.
2( , ) 2 onde 0 1 e 0 1f x y cy xy x y     
2
3
c
yxyyxf ..2
2
3
),( 2 
xxf 
2
1
)(
yyyf  2.
2
3
)(
23
43
)(



y
xy
yYXf
)().(),( yfxfyxf 
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 37
IndependênciaIndependência
 Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias contínuas ou 
discretas. Dizemos que X1 e X2 são independentesindependentes
se sua densidade conjuntaconjunta pode ser fatorada como 
o produtoproduto dasdas respectivas densidades marginaismarginais. 
Isto é:
 Em particular, no caso de duas variáveis discretas, 
esta igualdade deve valer para todos os valores 
possíveis de ambas as variáveis, e portanto, para 
demonstrar a dependência entre duas variáveis, 
basta mostrar que a igualdade não se verifica para 
algum par de valores de x1 e x2.
     221121, xfxfxxf 
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 38
IndependênciaIndependência
 Conseqüências
 Se X1 e X2 são independentes então:
1) As densidades condicionais são iguais às
densidades marginais correspondentes.
2) Os momentos (média, variância, etc ...)
condicionais são iguais aos momentos
correspondentes calculados a partir das
densidades marginais.
3) Se X1 e X2 são independentes com densidades
marginais f1(x1) e f2(x2) então:
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 39
IndependênciaIndependência
 Conseqüências
Pr(a <X1< b, c <X2< d) = Pr(a <X1<b). Pr(c <X2< d)
para quaisquer a < b, c < d.
4) Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias
independentes com densidades marginais f1(x1)
e f2(x2). Então, se todos os valores esperados
abaixo existirem:
E [ u ( X1 ) v ( X2 ) ] = E [ u ( X1 ) ]. E [ v ( X2 ) ]
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 40
IndependênciaIndependência
 Conseqüências
O valor esperado de um produto de
funções de variáveis aleatórias onde cada
função depende apenas de uma das
variáveis aleatórias é igual ao produto
dos valores esperados das funções
individuais sempre que as variáveis
aleatórias X1 e X2 forem independentes.
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 41
Exemplo 1 Exemplo 1 -- continuaçãocontinuação
 Sejam X e Y variáveis discretas com função de 
probabilidade conjunta do Exemplo 1:
 X e Y são independentes? Por que?
Por exemplo,
Pr(X=0) = 0.2 + 0.1 + 0 = 0.3 e
Pr(Y = 0) = 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0 = 0.4
Mas, Pr( X = 0, Y = 0) = 0.2  (0.3)(0.4).
Logo,Logo, XX ee YY nãonão sãosão independentesindependentes
(são(são dependentes)dependentes) !!
Pr( X = x)  X = 0 X = 1 X = 2 X = 3 
Pr(Y = y)  
Y = 0 0.2 0.1 0.1 0 
Y = 1 0.1 0.1 0.1 0.1 
Y =2 0 0.1 0.1 0 
 
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 42
CovariânciaCovariância
 A covariância entre as variáveis X1 e X2 é 
definida como:
 Onde 1 = E(X1) , 2 = E(X2) são as médias de X1 e 
X2, computadas a partir das densidades 
marginais. 
 Note que a covariância é um valor esperado que 
envolve simultaneamente as duas variáveis, por 
isso ela deve ser calculada a partir da densidade 
conjunta de X1 e X2. 
     
 
2121
21122121
21122121221121
.).(
.)(.)(.).(
.....),(






XXE
XEXEXXE
XXXXEXXEXXCOV
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 43
CovariânciaCovariância
 Da expressão anterior pode-se notar que a 
variância é apenas um caso particular da 
covariância. Por exemplo, fazendo X2 = X1
na última expressão leva a:
 Obviamente poderíamos ter derivado a 
variância de X2 pelo mesmo procedimento.
        1211111111 .),( XVARXEXXEXXCOV  
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 44
Coeficiente de CorrelaçãoCoeficiente de Correlação
 O coeficiente de correlação entre X1 e X2,
denotado por , é definido como:
 O coeficiente de correlação é a
covariância dividida pelo produto dos
desvios padrões das duas variáveis, ou
seja, é uma medida padronizada (e
adimensional) da covariância.
)().(
),(
21
21
XVARXVAR
XXCOV

reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 45
Coeficiente de CorrelaçãoCoeficiente de Correlação
 Se Se XX11 e Xe X22 são independentes, então são independentes, então  = 0 (= 0 (XX11 e Xe X22
são descorrelatados).são descorrelatados).
 A recíproca deste fato NÃO É verdadeira, ou seja, A recíproca deste fato NÃO É verdadeira, ou seja, 
CORRELAÇÃO ZERO NÃO IMPLICA EM CORRELAÇÃO ZERO NÃO IMPLICA EM 
INDEPENDÊNCIA.INDEPENDÊNCIA.
 A única instância em que as duas condições são 
eqüivalentes (correlação zero e independência) é 
no caso de variáveis Normais.
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 46
Coeficiente de CorrelaçãoCoeficiente de Correlação
 O coeficiente de correlação entre X1 e X2 é um
valor entre -1 e +1. Além disso ,  = +1 ou  = -1
se e somente se, X1 e X2 é uma função linear de
X1.
 Mas, é importante notar que oo coeficientecoeficiente dede
correlaçãocorrelação éé umauma medidamedida dede associaçãoassociação LINEARLINEAR
entre as variáveis, ou seja, não diz nada sobre a
relação entre X1
j e X2
k onde j e k são diferentes de
1.
01
01
12
12


abaXX
abaXX
 onde 
 onde 


reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 47
Momentos CondicionaisMomentos Condicionais
 Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias contínuas ou
discretas.
 Podemos definir o valor esperado condicional
de X2 dado X1 = x1 como o valor esperado de
X2 usando-se a densidade condicional de X2
dado X1 = x1 (ao invés de usarmos da
densidade marginal de X2).
 No caso contínuo:



 2122112 )|(.)|( dxxxfxxXXEreinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 48
Momentos CondicionaisMomentos Condicionais
 O caso discreto é análogo, apenas substituindo 
a integral pelo somatório para todo valor de X2. 
 Note que E(X2 | X1 = x1 ) é uma função de x1, e x1
é um valor da variável aleatória X1.
 O gráfico da função E(X2|x1) versus os valores
possíveis de x1 é chamado de regressão de X2
em x1 ou Curva de Regressão de X2 em X1.
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 49
Momentos CondicionaisMomentos Condicionais
 Pode-se mostrar que, se X1 e X2 têm
densidade Normal bivariada (uma densidade
importante que estudaremos posteriormente),
a curva de regressão de X2 em X1 é, na
verdade, uma reta, ou seja, E(X2 | X1 = x1) tem
a forma: a.x1 + b.
 É claro que uma “curva” de regressão linear
não é a regra, é a exceção, mas uma exceção
tão importante que dá origem aos métodos
de regressão linear usados na prática!
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 50
Momentos CondicionaisMomentos Condicionais
 Analogamente à definição de média 
condicional, podemos também definir a 
variância condicional de X2 dado X1 = x1. 
Esta é a variância calculada usando-se a 
densidade condicional ao invés da 
marginal. Por exemplo, no caso contínuo:
     
  lcondiciona média a é 
 onde 
11212
212
2
122112
xXXE
dxxxfxxXXVAR

 




reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 51
Exemplo 3Exemplo 3
 Considere novamente o Exemplo 3, isto é, X e Y têm 
densidade conjunta:
 Já vimos que a densidade condicional de Y dado X =x 
é:
 Note que nesta densidade, Y é a variável aleatória, e X 
deve ser pensado como um parâmetro que caracteriza 
a densidade (um “número”).
f x y
x y
x( , )
.
    
3
2 onde 0 < x 1 e 0 y 2
 
f y x
f x y
f x
xy
x
x
x
x y
xx
( | )
( , )
( )
.
/
/
, 










  
3
2
3
2
1
2
3
1 3
2
2
 onde x (0,1] e y [0,2]
 
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 52
Exemplo 3Exemplo 3
 A média e variância condicionais de Y dado X = x são 
calculadas a partir desta densidade.
 Note que isso é uma função de X.
 Calcule a variância condicional (exercício 2 – para 
casa).
Resposta:
   
    39
49
9
8
2
3/12
1
0
2
92
.
3/12
1
3
.
3/12
1
3/12
3/
.)|(.)|(
32
2
0
2
0
2
0





































 
x
x
x
xy
yxy
x
dy
y
xy
x
dy
x
yx
ydyxyfyxXYE
   22 )()( xXYExXYExXYVAR 
 
39
49



x
x
xXYE  
13
242



x
x
xXYE
 
95481
21827
2
2



xx
xx
xXYVAR
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 53
Exemplo 3Exemplo 3
 A curva de regressão de Y em X é o gráfico da 
média condicional calculado na página anterior para 
todo valor de X (isto é, X no intervalo (0,1)).
Curva de Regressão de Y em X
1.050
1.100
1.150
1.200
1.250
1.300
1.350
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 54
Exercício 3 Exercício 3 -- para casapara casa
 Considere a seguinte densidade conjunta:
a) Ache a densidade marginal de X.
Resposta:
b) Ache a densidade marginal de Y.
Resposta:
c) Calcule Pr( X > 1  Y < 4)
Resposta:
Dica:
  xyxeyxf y   ,0,.
4
1
, 2/
 





 
a
u
a
e
dueu
au
au 1..
2
2
1
)(
x
exf


2..
4
1
)(
y
eyyf


%82,26)41(Pr  yxob
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 55
Exercício 4 Exercício 4 –– para casapara casa
 Considere as seguintes distribuições conjuntas:
 a) f(x, y) = 4.x.y.exp{ -x2 - y2} para x  0, y  0
 b) f(x, y) = 3.x2/y3 para 0  x  y  1
 Em cada caso, determine se X e Y são 
independentes.
Resposta a)
,então, X e Y são independentes.
Resposta b)
,então, X e Y não são independentes.
2
..2)( xexxf 
2
..2)( yeyyf 
22
....4)().( yx eeyxyfxf 
 21
2
3
)( xxf 
1)( yf
 21
2
3
)().( xyfxf 
reinaldoreinaldo@@ele.ele.pucpuc--riorio..brbr 56
Exercício 5 Exercício 5 -- para casapara casa
 Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta:
 Encontre a constante c que faz desta expressão uma
densidade.
Resposta:
 Encontre a densidade marginal de X.
Resposta:
 Encontre a densidade marginal de Y.
Resposta:
 Encontre a densidade condicional de Y dado X = x.
Resposta:
 Ache a média condicional de Y dado X = x.
Resposta:
 X e Y são independentes? Por que? Justifique.
Resposta: , não são independentes
2( , ) onde 0 1 e 0 1f x y cx xy x y     
4
9
c
yxxyxf .
4
9
),( 2 
24
9
)( 2
x
xxf 
24
3
)(
y
yf 
29
49
)(



x
yx
xXYf
 
1254
827



x
x
xXYE
16
642718
)().(
22 xxyxyx
yfxf

