Aula 02

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
AULA 2 - FUNÇÃO QUADRÁTICA
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Conteúdo Programático desta aula
1.1. Definição
1.2. Gráfico
1.3. Concavidade
1.4. Zeros da função quadrática
1.5. Vértice 
1.6. Construção do gráfico
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
FUNÇÃO QUADRÁTICA
	
	Toda função do tipo y = ax2 + bx + c, com {a, b, c}  R e a  0, é 
	chamada de função quadrática ou função do 2 o grau, onde a, b e c 
	são os coeficientes da função do 2o grau. 
O coeficiente a acompanha a variável x2 .
O coeficiente b acompanha a variável x .
O coeficiente c é o de termo independente.
	Veja alguns exemplos de funções do 2o grau:
	a) y = 3x2 – x – 2
 	b) f (x) = 4x2 – 2x 
	c) y = x2 - 4
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
O gráfico da função do 2º grau é representado por uma curva chamada PARÁBOLA.
Tema da Apresentação
�
y�
x�
5�
3�
-3�
1�
-1�
2�
-4�
-3�
-2�
(3,5)�
(-3,5)�
(0,-4)�
(-1,-3)�
(1,-3)�
(2,0)�
(-2,0)�
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
CONCAVIDADE
f(x) = x2 + 5x + 4 onde a =1 > 0
concavidade voltada para cima
f(x) = -2x2 - 3x - 7 onde a = -2 < 0
concavidade voltada para baixo
Tema da Apresentação
Voltada para cima�
Voltada para baixo�
a�
ESBO�O�
a�
CONCAVIDADE�
ESBO�O�
a > 0�
a < 0�
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Para cima: a > 0 Para baixo: a < 0
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
ZEROS OU RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Dada a função do 2o grau f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, as raízes dessa função
são os valores de x reais tais que f(x) = 0.
Essas raízes são determinadas pela fórmula de Bhaskara 
Onde b2 – 4ac é chamado de discriminante, e é representado por ∆ (delta)
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
A equação do 2º grau possui duas raízes. 
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
NÚMERO DE RAÍZES
A quantidade de raízes de uma função do 2o grau depende do valor obtido dentro da raiz. Esse valor deve ser real. 
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
∆ > 0
Os pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox são (x1,0) e (x2,0).
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
∆ = 0
A parábola será tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2.
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
∆ < 0
A parábola não terá ponto em comum com o eixo Ox.
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO 1
Determine as raízes da equação x2 + x – 12 = 0
Coeficientes: a = 1, b = 1 e c = -12 
A parábola cortar o eixo x em dois pontos: (0,3) e (0,-4). 
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO 2
Coeficientes: a = 4, b = -12 e c = 9 
Determine as raízes da equação 4x2 - 12x + 9 = 0
A parábola cortar o eixo x em um ponto: (0,3/2).
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO 3
Determine as raízes da equação 3x2 + 4x + 5 = 0
Coeficientes: a = 3, b = 4 e c = 5 
Observe que o valor encontrado dentro da raiz é negativo, 
logo a função não possui raízes reais. 
A parábola não corta o eixo x em nenhum ponto.
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
VÉRTICE DA PARÁBOLA V(xv, yv)
Coordenadas do vértice:
Tema da Apresentação
�
y�
x�
V�
V�RTICE�
v�
y�
y�
y�
x�
x�
x�
v�
v�
v�
V�RTICE�
V�
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO 1
f(x) = x2 - 4x +3
x2 - 4x +3 = 0 
Coeficientes: a = 1, b = -4 e c = 3 
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
V(2, -1) 
 coordenadas do vértice da parábola 
Tema da Apresentação
�
0�
3�
1�
�
x�
-1�
2�
3�
y�
�
3 � o coeficiente c da fun��o�
v�rtice(2,-1) �
x�
x�
y�
v�
v�
1�
2�
x�
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO 2
f(x) = -x2 + 2x -1
-x2 + 2x - 1 = 0 
Coeficientes: a = -1, b = 2 e c = -1 
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
V(1, 0) 
 coordenadas do vértice da parábola 
Tema da Apresentação
�
1�
x�
-1�
-1 � o coeficiente c da fun��o�
v�rtice(1,0) �
x�
v�
y�
v�
0�
x�
1�
x�
2�
=�
y�
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
O ponto de interseção da parábola com o eixo Oy
 ax2 + bx + c = 0
 y = a.02 + b.0 + c  y = c
 
Ponto de interseção da parábola com o eixo Oy é (0, c).
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Passo 1: 	Verificar o valor do coeficiente a da função do 2º 		grau, pois é através dele que vamos verificar se a 		concavidade da parábola é para cima ou para baixo.
Passo 2:	Calcular as raízes ou zeros da função do do 2º grau, 		pois a parábola vai cortar (ou intercepta) o eixo x 		exatamente nesses valores.
Passo 3:	Determinar as coordenadas do vértice: V(xv , yv)
Passo 4:	Determinar o ponto onde a parábola corta (ou 			intercepta) o eixo y.
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO
Esboce o gráfico da função y = 2x2 – x – 1.
Passo 1: coeficientes: a = 2, b = -1 e c = -1. Como a = 2 > 0 a 		 concavidade da parábola voltada para cima.
Passo 2: Raízes ou zeros da função do do 2º grau:
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
	
Passo 3:	Determinar as coordenadas do vértice: V(xv , yv)
Passo 4:	Determinar o ponto onde a parábola corta (ou 			intercepta) o eixo y.
 2x2 - x - 1 = 0
 y = 2.02 - 0 + -1  y = -1
 
Ponto de interseção da parábola com o eixo Oy é (0, -1).
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Tema da Apresentação
FUNÇÃO QUADRÁTICA – AULA 2
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
RESUMINDO
Definição
Zeros ou raízes
Natureza das raízes
Gráfico
Tema da Apresentação