Calculo III - Aula 05

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Derivada da função composta:
Até o momento sabemos derivar a função e também a função . Considere agora a função composta . Como poderemos obter a derivada da função composta ) sem desenvolver o Binômio? A regra que veremos agora estabelece uma forma de obter a derivada da função composta em termos das funções elementares e .
Regra da Cadeia:
Se , e as derivadas e existem, então, a função composta: tem derivada por ou ou .
As três formas mostradas anteriormente são equivalentes, mudam apenas as notações.
Exemplo: Calcule a derivada das funções a seguir:
Para calcular a derivada dessas funções, precisamos identificar as funções elementares e que formam a função composta e aplicar a regra.
Solução da letra a: 
 
Solução da letra b: 
Solução da letra c: 
Exemplo Extra: Calcule a derivada das seguintes funções:
Resolvendo a função temos:
Resolvendo a função temos:
Função Exponencial
Se , então para todo . De fato, considerando a função: e aplicando a derivada de função composta temos: , mas por outro lado , logo: , então, e finalmente: .
Exemplo: Calcule as seguintes derivadas:
Exemplo Extra: Se , podemos chamar . Assim, aplicando a derivada da função composta, temos:
Observação: Vimos anteriormente que, se , então ( inteiro positivo).
Exemplo: Determine a derivada da função 
Usando a regra da cadeia temos: