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������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Capítulo 9 Centro de gravidade e centroide �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������������� ������ �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ � Discutir o conceito do centro de gravidade, centro de massa e o centroide. � Mostrar como determinar o local do centro de gravidade e centroide para um sistema de partículas discretas e um corpo de forma arbitrária. � Usar os teoremas de Pappus e Guldinus para encontrar a área de uma superfície e o volume para um corpo tendo simetria axial. � Apresentar um método para encontrar o resultante de uma carga distribuída geral e mostrar como ele se aplica para descobrir a força resultante de uma carga de pressão causada por um fluido. Objetivos do Capítulo ������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Centro de gravidade, centro de massa e centroide de um corpo � Centro de gravidade Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de tamanho diferenciado, e assim, se o corpo estiver localizado dentro de um campo gravitacional, então cada uma das partículas terá um peso dW. ������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Centro de gravidade, centro de massa e centroide de um corpo � Centro de gravidade Esses pesos formarão um sistema de forças aproximadamente paralelas, e o resultante desse sistema é o peso total do corpo, que passa por um único ponto chamado centro de gravidade, G. ������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Centro de gravidade, centro de massa e centroide de um corpo � Centro de gravidade Imagine que o corpo está fixo dentro do sistema de coordenadas e esse sistema é girado em 90° em torno do eixo y. ������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Centro de gravidade, centro de massa e centroide de um corpo Portanto, o local do centro de gravidade G com relação aos eixos x, y, z torna-se: ������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Centro de massa de um corpo Para estudar a resposta dinâmica ou movimento acelerado de um corpo, é importante localizar o centro de massa Cm do corpo. ������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Esse local pode ser determinado substituindo dW = g dm nas equações mostradas anteriormente. Como g é constante, ele é removido, e portanto, Centro de massa de um corpo ������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Se o corpo na figura ao lado é composto de um material homogêneo, então sua densidade ρ (rho) será constante. Portanto, um elemento diferencial de volume dV tem uma massa dm = ρ dV. Substituindo isso nas equações anteriormente apresentadas e removendo ρ, obtemos fórmulas que localizam o centroide C ou centro geométrico do corpo; a saber, Centroide de um volume ������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Essas equações representam um equilíbrio dos momentos do volume do corpo. Portanto, se o volume possui dois planos de simetria, então seu centroide precisa estar ao longo da linha de interseção desses dois planos. Exemplo: Centroide de um volume �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Centroide de uma área Se uma área se encontra no plano x–y e estiver ligada pela curva y = f(x), como mostra a figura abaixo, então seu centroide estará nesse plano e pode ser determinado a partir de integrais semelhantes às equações anteriormente apresentadas, a saber, ������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Por exemplo, se uma faixa vertical for usada, a área do elemento é dA = y dx, e seu centroide está localizado em Se considerarmos uma faixa horizontal, então dA = x dy, e seu centroide está localizado em Centroide de uma área �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Centroide de uma linha Se um segmento de linha (ou vara) se encontra dentro do plano x–y e pode ser descrito por uma linha curva y = f (x) (figura ao lado), então seu centroide é determinado a partir de: �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Pontos importantes � O centroide representa o centro geométrico de um corpo. Esse ponto coincide como centro de massa ou centro de gravidade somente se o material compondo o corpo for uniforme ou homogêneo. � As fórmulas usadas para localizar o centro de gravidade ou o centroide simplesmente representam um equilíbrio entre a soma dos momentos de todas as partes do sistema e o momento do ‘resultante’ para o sistema. �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Pontos importantes � Em alguns casos, o centroide está localizado em um ponto que não está no objeto, como no caso de um anel, onde o centroide está no seu centro. Além disso, esse ponto estará em qualquer eixo de simetria para o corpo (figura ao lado). �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Procedimento para análise Elemento diferencial � Selecione um sistema de coordenadas apropriado, especifique os eixos de coordenadas e depois escolha um elemento diferencial para integração. � Para linhas, o elemento é representado por um segmento de linha diferencial com comprimento dL. � Para áreas, o elemento geralmente é um retângulo com área dA, tendo um comprimento finito e largura diferencial. �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Procedimento para análise Elemento diferencial � Para volumes, o elemento pode ser um disco circular de volume dV, com um raio finito e espessura diferencial. � Localize o elemento de modo que ele toque no ponto arbitrário (x, y, z) na curva que define o limite da forma. �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Procedimento para análise Comprimento e braços do momento � Expresse o comprimento dL, área dA ou volume dV do elemento em termos das coordenadas descrevendo a curva. � Expresse os braços do momento para o centroide ou centro de gravidade do elemento em termos das coordenadas que descrevem a curva. �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Procedimento para análise Integrações � Substitua as formulações para e dL, dA ou dV nas equações apropriadas. � Expresse a função no integrando em termos da mesma variável que a espessura diferencial do elemento. � Os limites da integral são definidos a partir dos dois locais extremos da espessura diferencial do elemento, de modo que, quando os elementos são ‘somados’ ou a integração é realizada, a região inteira é coberta. ������ �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Corpos compostos Um corpo composto consiste de uma série de corpos de formas ‘mais simples’ conectados, que podem ser retangulares, triangulares, semicirculares etc. Tal corpo normalmente pode ser seccionado ou dividido em suas partes componentes e, desde que o peso e a localização do centro de gravidade de cada uma dessas partes sejam conhecidos, podemos então eliminar a necessidade de integração para determinar o centro de gravidade para o corpo inteiro. O resultado são fórmulas: ������ � �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Procedimentos para análise Partes compostas � Usando um esboço, divida o corpo ou objeto em um número finito de partes compostas que possuem formas mais simples. � Se um corpo composto tem um furo, ou uma região geométrica sem material, então considere o corpo composto sem o furo econsidere o furo como uma parte composta adicional de peso ou dimensão negativo. ������ �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Procedimentos para análise Braços do momento � Estabeleça os eixos de coordenadas no esboço e determine as coordenadas do centro de gravidade ou centroide de cada parte. ������ � �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Procedimentos para análise Somatórios � Determine aplicando as equações de centro de gravidade ou as equações de centroide correspondentes. � Se um objeto é simétrico em relação ao eixo, o centroide do objeto se encontra nesse eixo. ������ � �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Teoremas de Pappus e Guldinus Os dois teoremas de Pappus e Guldinus são usados para encontrar a área da superfície e o volume de qualquer corpo de rotação. Área da superfície Se girarmos uma curva plana em torno de um eixo que não cruza a curva, geraremos uma área da superfície de revolução. ������ � �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Área da superfície Por exemplo, ������ � �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Área da superfície Se a curva for girada apenas por um ângulo de θ (radianos), então, Portanto, o primeiro teorema de Pappus e Guldinus afirma que a área da superfície de revolução é igual ao produto do tamanho da curva de geração pela distância trafegada pelo centroide da curva na geração da área da superfície. ������ � �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Um volume pode ser gerado pelo giro de uma área plana em torno de um eixo que não cruza a área. Por exemplo, Se a área só for girada através de um ângulo θ (radianos), então, Portanto, o segundo teorema de Pappus e Guldinus afirma que o volume de um corpo de rotação é igual ao produto da área de geração pela distância trafegada pelo centroide da área na geração do volume. Volume ������ � �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Também podemos aplicar os dois teoremas anteriores a linhas ou áreas que são compostas de uma série de partes combinadas. Se a distância perpendicular do eixo de rotação ao centroide de cada parte combinada for r̅, então: Formas compostas ������ � �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Resultante de uma carga geral distribuída Considere, por exemplo, a placa plana mostrada na figura ao lado: Podemos determinar a força resultante FR atuando sobre a placa e seu local (x̅ , y̅). ������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ A intensidade de FR é a soma das forças diferenciais atuando sobre a área da superfície inteira da placa. Assim, Esse resultado indica que a intensidade da força resultante é igual ao volume total sob o diagrama de carga distribuída. Intensidade da força resultante �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ O local (x̅ , y̅) de FR é determinado definindo os momentos de FR iguais aos momentos de todas as forças diferenciais dF sobre os respectivos eixos y e x. Isso resulta em: A linha de ação da força resultante passa pelo centro geométrico ou centroide do volume sob o diagrama de carga distribuída. Local da força resultante ������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Pressão de fluidos De acordo com a lei de Pascal, um fluido em repouso cria uma pressão p em um ponto que é o mesmo em todas as direções. O relacionamento pode ser expresso matematicamente como: �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Placa plana de espessura constante Uma placa retangular plana de espessura constante, que é submersa em um líquido com um peso específico γ: �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Placa plana de espessura constante Como a placa tem uma espessura constante, a distribuição de carga também pode ser vista em duas dimensões: �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Placa curva de espessura constante Quando uma placa submersa de espessura constante é curva, a pressão atuando normal à placa muda continuamente tanto sua intensidade quanto sua direção e, portanto, o cálculo da intensidade de FR e sua localização P é mais difícil do que para uma placa plana. �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Placa curva de espessura constante Visões tri e bidimensionais da distribuição de carga: �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Placa curva de espessura constante A carga distribuída atuando sobre a placa pode ser representada pela carga equivalente: �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Placa plana de espessura variável A distribuição de pressão atuando sobre a superfície de uma placa submersa tendo uma espessura variável aparece na figura abaixo: �������� �� ������ ����� ������ ����������������� ������ ��� ������ Placa plana de espessura variável Se a profundidade do centroide C´ da área for z ̅, então, ∫zdA = z̅A. Substituindo, temos: FR = γ z̅A Em outras palavras, a intensidade da força resultante atuando sobre qualquer placa plana é igual ao produto da área A da placa pela pressão p = γ z̅ na profundidade do centroide C da área.
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