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capitulo 09 Mecânica Estática 12 ed.

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Capítulo 9 
Centro de gravidade e 
centroide
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� Discutir o conceito do centro de gravidade, centro de massa e o
centroide.
� Mostrar como determinar o local do centro de gravidade e
centroide para um sistema de partículas discretas e um corpo de
forma arbitrária.
� Usar os teoremas de Pappus e Guldinus para encontrar a área de
uma superfície e o volume para um corpo tendo simetria axial.
� Apresentar um método para encontrar o resultante de uma carga
distribuída geral e mostrar como ele se aplica para descobrir a
força resultante de uma carga de pressão causada por um fluido.
Objetivos do Capítulo
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Centro de gravidade, centro de massa e centroide de um
corpo
� Centro de gravidade
Um corpo é composto de uma série
infinita de partículas de tamanho
diferenciado, e assim, se o corpo
estiver localizado dentro de um
campo gravitacional, então cada
uma das partículas terá um peso
dW.
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Centro de gravidade, centro de massa e centroide de um
corpo
� Centro de gravidade
Esses pesos formarão um sistema
de forças aproximadamente
paralelas, e o resultante desse
sistema é o peso total do corpo, que
passa por um único ponto chamado
centro de gravidade, G.
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Centro de gravidade, centro de massa e centroide de um
corpo
� Centro de gravidade
Imagine que o corpo está fixo
dentro do sistema de coordenadas e
esse sistema é girado em 90° em
torno do eixo y.
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Centro de gravidade, centro de massa e centroide de um
corpo
Portanto, o local do centro de gravidade G com relação aos eixos x, y,
z torna-se:
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������ �����������������
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Centro de massa de um corpo
Para estudar a resposta dinâmica
ou movimento acelerado de um
corpo, é importante localizar o
centro de massa Cm do corpo.
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Esse local pode ser determinado substituindo dW = g dm nas
equações mostradas anteriormente. Como g é constante, ele é
removido, e portanto,
Centro de massa de um corpo
������� ��	
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������ �����������������
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���
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Se o corpo na figura ao lado é composto
de um material homogêneo, então sua
densidade ρ (rho) será constante.
Portanto, um elemento diferencial de
volume dV tem uma massa dm = ρ dV.
Substituindo isso nas equações
anteriormente apresentadas e
removendo ρ, obtemos fórmulas
que localizam o centroide C ou
centro geométrico do corpo; a saber,
Centroide de um volume
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������ �����������������
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Essas equações representam
um equilíbrio dos momentos do
volume do corpo. Portanto, se o
volume possui dois planos de
simetria, então seu centroide
precisa estar ao longo da linha
de interseção desses dois
planos. Exemplo:
Centroide de um volume
�������� ��	
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�����
������ �����������������
������
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Centroide de uma área
Se uma área se encontra no plano x–y e estiver ligada pela curva y =
f(x), como mostra a figura abaixo, então seu centroide estará nesse
plano e pode ser determinado a partir de integrais semelhantes às
equações anteriormente apresentadas, a saber,
�������	 ��	
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������ �����������������
������
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Por exemplo, se uma faixa vertical for usada, a área do elemento é
dA = y dx, e seu centroide está localizado em
Se considerarmos uma faixa horizontal, então dA = x dy, e seu
centroide está localizado em
Centroide de uma área
�������� ��	
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������ �����������������
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Centroide de uma linha
Se um segmento de linha (ou vara) se
encontra dentro do plano x–y e pode ser
descrito por uma linha curva y = f (x)
(figura ao lado), então seu centroide é
determinado a partir de:
�������� ��	
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�����
������ �����������������
������
���
������
Pontos importantes
� O centroide representa o centro geométrico de um corpo. Esse
ponto coincide como centro de massa ou centro de gravidade
somente se o material compondo o corpo for uniforme ou
homogêneo.
� As fórmulas usadas para localizar o centro de gravidade ou o
centroide simplesmente representam um equilíbrio entre a soma
dos momentos de todas as partes do sistema e o momento do
‘resultante’ para o sistema.
�������� ��	
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�����
������ �����������������
������
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������
Pontos importantes
� Em alguns casos, o centroide está
localizado em um ponto que não
está no objeto, como no caso de um
anel, onde o centroide está no seu
centro. Além disso, esse ponto
estará em qualquer eixo de simetria
para o corpo (figura ao lado).
�������� ��	
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������ �����������������
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Procedimento para análise
Elemento diferencial
� Selecione um sistema de coordenadas apropriado, especifique os
eixos de coordenadas e depois escolha um elemento diferencial
para integração.
� Para linhas, o elemento é representado por um segmento de linha
diferencial com comprimento dL.
� Para áreas, o elemento geralmente é um retângulo com área dA,
tendo um comprimento finito e largura diferencial.
�������� ��	
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������ �����������������
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Procedimento para análise
Elemento diferencial
� Para volumes, o elemento pode ser um disco circular de volume
dV, com um raio finito e espessura diferencial.
� Localize o elemento de modo que ele toque no ponto arbitrário (x,
y, z) na curva que define o limite da forma.
�������� ��	
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������ �����������������
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Procedimento para análise
Comprimento e braços do momento
� Expresse o comprimento dL, área dA ou volume dV do elemento
em termos das coordenadas descrevendo a curva.
� Expresse os braços do momento para o centroide ou
centro de gravidade do elemento em termos das coordenadas que
descrevem a curva.
�������� ��	
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������ �����������������
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������
Procedimento para análise
Integrações
� Substitua as formulações para e dL, dA ou dV nas
equações apropriadas.
� Expresse a função no integrando em termos da mesma variável
que a espessura diferencial do elemento.
� Os limites da integral são definidos a partir dos dois locais
extremos da espessura diferencial do elemento, de modo que,
quando os elementos são ‘somados’ ou a integração é realizada, a
região inteira é coberta.
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Corpos compostos
Um corpo composto consiste de uma série de corpos de formas ‘mais
simples’ conectados, que podem ser retangulares, triangulares,
semicirculares etc.
Tal corpo normalmente pode ser seccionado ou dividido em suas
partes componentes e, desde que o peso e a localização do centro de
gravidade de cada uma dessas partes sejam conhecidos, podemos
então eliminar a necessidade de integração para determinar o centro
de gravidade para o corpo inteiro. O resultado são fórmulas:
������	� ��	
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������
Procedimentos para análise
Partes compostas
� Usando um esboço, divida o corpo ou objeto em um número finito
de partes compostas que possuem formas mais simples.
� Se um corpo composto tem um furo, ou uma região geométrica
sem material, então considere o corpo composto sem o furo econsidere o furo como uma parte composta adicional de peso ou
dimensão negativo.
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������ �����������������
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Procedimentos para análise
Braços do momento
� Estabeleça os eixos de coordenadas no esboço e determine as
coordenadas do centro de gravidade ou centroide de cada
parte.
������	� ��	
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������ �����������������
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Procedimentos para análise
Somatórios
� Determine aplicando as equações de centro de gravidade
ou as equações de centroide correspondentes.
� Se um objeto é simétrico em relação ao eixo, o centroide do objeto
se encontra nesse eixo.
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������ �����������������
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Teoremas de Pappus e Guldinus
Os dois teoremas de Pappus e Guldinus são usados para encontrar a
área da superfície e o volume de qualquer corpo de rotação.
Área da superfície
Se girarmos uma curva plana em torno de um eixo que não cruza a
curva, geraremos uma área da superfície de revolução.
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Área da superfície
Por exemplo,
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Área da superfície
Se a curva for girada apenas por um ângulo de θ (radianos), então,
Portanto, o primeiro teorema de Pappus e Guldinus afirma que a área
da superfície de revolução é igual ao produto do tamanho da curva de
geração pela distância trafegada pelo centroide da curva na geração
da área da superfície.
������	� ��	
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������ �����������������
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Um volume pode ser gerado pelo
giro de uma área plana em torno
de um eixo que não cruza a área.
Por exemplo,
Se a área só for girada através de um ângulo θ (radianos), então,
Portanto, o segundo teorema de Pappus e Guldinus afirma que o
volume de um corpo de rotação é igual ao produto da área de geração
pela distância trafegada pelo centroide da área na geração do volume.
Volume
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Também podemos aplicar os dois teoremas anteriores a linhas ou
áreas que são compostas de uma série de partes combinadas.
Se a distância perpendicular do eixo de rotação ao centroide de cada
parte combinada for r̅, então:
Formas compostas
������	� ��	
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Resultante de uma carga geral distribuída
Considere, por exemplo, a placa
plana mostrada na figura ao lado:
Podemos determinar a força resultante
FR atuando sobre a placa e seu local 
(x̅ , y̅).
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������ �����������������
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A intensidade de FR é a soma das forças diferenciais atuando sobre a
área da superfície inteira da placa. Assim,
Esse resultado indica que a intensidade da força resultante é igual ao
volume total sob o diagrama de carga distribuída.
Intensidade da força resultante
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������ �����������������
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O local (x̅ , y̅) de FR é determinado definindo os momentos de FR
iguais aos momentos de todas as forças diferenciais dF sobre os
respectivos eixos y e x. Isso resulta em:
A linha de ação da força resultante passa pelo centro geométrico ou
centroide do volume sob o diagrama de carga distribuída.
Local da força resultante
�������	 ��	
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Pressão de fluidos
De acordo com a lei de
Pascal, um fluido em
repouso cria uma pressão p
em um ponto que é o mesmo
em todas as direções.
O relacionamento pode ser
expresso matematicamente
como:
�������� ��	
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������ �����������������
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Placa plana de espessura constante
Uma placa retangular plana de espessura constante, que é submersa
em um líquido com um peso específico γ:
�������� ��	
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�����
������ �����������������
������
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������
Placa plana de espessura constante
Como a placa tem uma espessura constante, a distribuição de carga
também pode ser vista em duas dimensões:
�������� ��	
������
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������ �����������������
������
���
������
Placa curva de espessura constante
Quando uma placa submersa de espessura constante é curva, a pressão
atuando normal à placa muda continuamente tanto sua intensidade
quanto sua direção e, portanto, o cálculo da intensidade de FR e sua
localização P é mais difícil do que para uma placa plana.
�������� ��	
������
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������ �����������������
������
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Placa curva de espessura constante
Visões tri e bidimensionais da distribuição de carga:
�������� ��	
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������ �����������������
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Placa curva de espessura constante
A carga distribuída atuando sobre a placa pode ser representada pela
carga equivalente:
�������� ��	
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������ �����������������
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Placa plana de espessura variável
A distribuição de pressão atuando sobre a superfície de uma placa
submersa tendo uma espessura variável aparece na figura abaixo:
�������� ��	
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������ �����������������
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���
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Placa plana de espessura variável
Se a profundidade do centroide C´ da área for z ̅, então, ∫zdA = z̅A.
Substituindo, temos:
FR = γ z̅A
Em outras palavras, a intensidade da força resultante atuando sobre
qualquer placa plana é igual ao produto da área A da placa pela
pressão p = γ z̅ na profundidade do centroide C da área.

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