Aula 2 O estudo de função

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O Estudo das Funções 
 
Disciplina: Cálculo I 
 
Prof. Me Fábio Bueno 
 
Problema: Um artesão vende uma 
determinada peça, por ele fabricada, pelo 
quadrado do preço que paga pela matéria 
prima. Sabendo que o artesão pagou 40 reais 
pela matéria prima de sua última criação, 
qual é o lucro deste artesão para uma venda 
de 15 peças iguais? 
Existe uma generalização para a determinação 
do lucro do problema anterior? 
Note que o preço de venda da peça pode ser considerada uma função, 𝑓, que depende do 
valor pago pela matéria prima, 𝑥. Isso porque se for pago pela matéria prima 2 reais, o 
valor de venda dela, 𝑓(2), é igual a 4 reais. Se for pago pela matéria prima 3 reais, o valor 
de venda dela, 𝑓(3), é igual a 9 reais e assim por diante. 
 
Assim, matematicamente, podemos escrever que 𝑓 2 = 4, que 𝑓 3 = 9 e supondo que 
este padrão irá se manter infinitamente, é possível gerar uma sequência infinita de pares 
padronizados, possibilitando dizer como cada valor pago pela matéria prima (número de 
entrada da função, 𝑥) irá determinar o valor de venda das peças (valor de saída, 𝑦 = 𝑓 𝑥 ) 
definindo assim um padrão. Mas, ao invés de pensarmos em todos os números, podemos 
criar uma lei, que generalize o padrão observado. E, neste caso, a regra é 𝑓 𝑥 = 𝑥2. Esta 
simples regra, também chamada de lei, pode explicar todas as associações feitas até 
então e qualquer outra pertencente a esta sequência de números deste padrão. A função 
em que 𝑥 aplicado à função 𝑓 resulta em 𝑥2. 
 
Agora, o lucro também é uma função, 𝐿, que depende do valor pago pela matéria prima, 𝑥. 
Isso porque se for pago pela matéria prima 2 reais, o lucro , L(2), é igual a 2 reais. Se for 
pago pela matéria prima 3 reais, o lucro, 𝐿 3 , é igual a 6 reais e assim por diante. 
 
Assim, matematicamente, podemos escrever que 𝐿 2 = 2, que 𝐿 3 = 6 e supondo que 
este padrão irá se manter infinitamente podemos também pensar em uma lei geral, como 
foi feito no preço de venda. Assim a regra (lei) para a determinação do lucro é dada por 
𝐿 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥. ■ 
As representações de uma função 
• Linguagem materna (problemas reais); 
 
• Numericamente (sequência de 
números/tabela ); 
 
• Algebricamente (lei); 
 
• Graficamente. 
Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 (lê-se “uma função de A 
em B”) associa a cada número em seu domínio 
outro número em seu contradomínio; 
 
O conjunto 𝐴 representa o conjunto de 
números que é denominado o domínio da função 
(a não ser que seja dito o contrário, o domínio 
da função consiste de todos os números para os 
quais a lei da função tem sentido); 
 
O conjunto 𝐵 representa o conjunto que é 
denominado o contradomínio da função; 
 
O elemento 𝑓 𝑥 ∈ 𝐵 é chamado de imagem de 𝑥 
(é importante ressaltar que 𝑓 𝑥 é a imagem do 
elemento 𝑥 ∈ 𝐴 pela função 𝑓 ). O conjunto 
formado por todos os 𝑓 𝑥 ∈ 𝐵 é chamado de 
imagem de 𝑓. 
Numericamente... 
Preço da matéria 
prima 
(variável independente) 
Lucro pela venda das 
peças 
(variável dependente) 
 
Par Ordenado 
1 0 (1, 0) 
2 2 (2, 2) 
3 6 (3, 6) 
4 12 (4, 12) 
5 20 (5, 20) 
10 90 (10, 90) 
20 380 (20, 380) 
30 870 (30, 870) 
40 1560 (40, 1560) 
𝑥 𝑦 (𝑥, 𝑦) 
Algebricamente... 
𝑓: 𝐴 → 𝐵
 𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑓 𝑥
 
 
Algebricamente a lei da função do 
problema anterior é dada por: 
 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 
 
Onde 𝑥 a variável de entrada (domínio); 
 𝑓 𝑥 a variável de saída (imagem). 
Graficamente... 
Vamos construir no GeoGebra o gráfico 
da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 considerando 
como domínio o intervalo fechado [0, 40] e 
contradomínio o conjunto de números 
reais. 
A importância do domínio... 
(1) Considere as seguintes funções: 
 
𝑓 𝑥 = (1 + 𝑥)2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 
 
A função 𝑓 é igual à função 𝑔? 
 
(2) Considere as seguintes funções: 
 
𝑓 𝑥 =
𝑥2
𝑥
 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 
 
A função 𝑓 é igual à função 𝑔? 
 
 
 
SIM! 
 Não! 
As funções possuem domínios diferentes. 
Qual é o domínio da função 𝑓 cuja lei é 
dada por 𝒙 ? 
A definição de função raiz quadrada de 𝑥 é “o 
número não negativo que elevado ao quadrado 
resulta em 𝑥”. 
 
Isto é: 
 
𝑓 𝑥 = 𝑥 
 
Portanto, o domínio desta função é: 
 
𝐷 = {𝑥 ∈ 𝐼𝑅/ 𝑥 ≥ 0} 
 
Uma metáfora para o conceito de 
função... 
Imagine uma esteira que leva até uma 
máquina. E, nesta esteira, são levados 
números. Quanto estes números passam 
através da máquina eles são transformados 
em números diferentes, seja qual for a 
transformação exercida pela máquina. 
A relação entre 𝑥 e 𝑦 dada por 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 é uma função? 
• Veja o gráfico! Sim e Não! 
Esta relação não é uma 
função explícita em 
relação à variável 𝒙 , pois 
não passa no teste da 
linha vertical ! 
No entanto esta relação 
é uma função implícita; e, 
a partir dela, podemos 
encontrar duas funções 
explícitas que descrevem 
semicircunferências. 
Note que quando escrevemos 𝑦 = 𝑓 𝑥 , estamos 
dizendo que 𝑦 é uma função explícita na variável 
independente 𝑥 , uma vez que encontramos os 
valores de 𝑦 a partir dos valores de 𝑥 dados e 
aplicados na lei desta dada por 𝑓 𝑥 . É o caso, por 
exemplo, de 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑦 = 3𝑥 + tan 𝑥 e 
assim por diante. 
 
Entretanto, muitas vezes, é possível encontrar 
equações relacionando as variáveis 𝑥 e 𝑦 , nas 
quais a variável 𝑦 não está escrita como uma 
função da variável 𝑥, como por exemplo: 𝑥 + 𝑦 = 1, 
𝑥2 + 𝑦2 = 1, tan 𝑥2 + 𝑦2 =
𝑦
𝑥
 e 𝑥2 + 𝑦2
3
2 = 10𝑥𝑦. 
As expressões estudadas desta forma são 
conhecidas como função implícita. 
Uma função composta 𝑓 ∘ 𝑔 é definida por 
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 , onde o domínio da função 
𝑓 ∘ 𝑔 é o conjunto de todos os 𝑥 do domínio de 𝑔 
tal que 𝑔 𝑥 pertence ao domínio de 𝑓. 
 
Se uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é bijetora, então a 
relação inversa 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 é denominada função 
inversa da função 𝑓. 
 
Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 chama-se injetora quando 
elementos diferentes em 𝐴 são transformados 
por 𝑓 em elementos diferentes em 𝐵. ( 𝑥 ≠ 𝑥′ em 
𝐴 ⇒ 𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑥′ ) 
 
Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é dita sobrejetora quando, 
para qualquer elemento 𝑦 ∈ 𝐵, pode-se encontrar 
(pelo menos) um elemento 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑓 𝑥 = 𝑦. 
(𝑓 𝐴 ⊂ 𝐵) 
 
 
Exemplo: Admitindo que a função 
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 é uma função bijetora, 
encontre a função inversa da função 𝑓. 
 
Vamos verificar aplicando a composição 
entre as funções e verificando se ela é 
uma identidade. 
 
Agora tente encontrar a inversa do 
problema inicial, ou seja, a inversa de 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥. 
Exemplo: O departamento de estradas de 
rodagem está planejando construir uma 
área de piquenique para motoristas à beira 
de uma rodovia movimentada. O terreno 
deve ser retangular, com uma área de 
5.000𝑚2 , e deve ser cercado nos três 
lados que não dão para a rodovia. Expresse 
o comprimento da cerca, em metros, em 
função do comprimento do lado que dá 
para a rodovia. 
Exemplo: A função modular é uma função 
composta por duas leis diferentes; pois 
dependendo do valor de entrada utilizado é 
necessário utilizar uma regra para 
satisfazer a definição de módulo de números 
reais. 
Assim, algebricamente, temos que: 
𝑓 𝑥 = 𝑥 = 
 𝑥, 𝑥 > 0
−𝑥, 𝑥 < 0
 
E, como conceito primitivo, postulado, vamos 
assumir que 0 = 0. 
 
Exercícios Propostos 
(1) Seja uma função real, tal que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2. 
(a) Calcule 𝑓
1
3
, 𝑓(0) e 𝑓(−1). Ou seja, determine os valores de saída (a 
imagem) dos valores de entrada (o domínio) 𝑥 =
1
3
, 𝑥 = 0 e 𝑥 = −1. 
(b) Qual é o valor de entrada 𝑥 que possuio valor 14 como imagem? 
(c) Esboce o gráfico da função 𝑓. 
 
(2) Seja a função g uma função real definida por g 𝑥 =
2𝑥−3
3
. 
(a) Determine a imagem de 𝑥 = 12. 
(b) Qual é o elemento 𝑥 do domínio cujo valor de saída é 𝑔 𝑥 = 4? 
(c) Esboce o gráfico da função 𝑔. 
 
(3) Sabendo que 𝑓 𝑥 = −2𝑥3 + 7𝑥2 + 𝑥, determine 𝑓 3 . 
 
(4) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de 
R$ 800,00, mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas 
no mês. 
(a) Se ele consiga vender R$4.500,00, calcule o valor de seu salário. 
(b) Esboce o gráfico desta situação. 
 
(5) Suponha que sejam dados um ponto do gráfico da função 𝑓, ou seja, −5,−2 e uma relação 
entre as funções 𝑓 e 𝑔, ou seja, 𝑔 𝑥 = −2. 𝑓(𝑥). Com estas informações, determine o ponto que 
poderemos encontrar no gráfico de 𝑔? 
(a) (−5, 4) (b) (6, 7) (c) (−8, −2) (d) (12, 1) (e) (−63, 6) 
 
(6) Suponha que sejam dados um ponto do gráfico da função 𝑓, ou seja, −4, 1 e uma relação entre 
as funções 𝑓 e 𝑔, ou seja, 𝑔 𝑥 = 𝑓
𝑥
−3
. Com estas informações, determine o ponto que poderemos 
encontrar no gráfico de 𝑔? 
(a) (−5, 4) (b) (−63, 6) (c) (12, 1) (d) (6, 7) (e) (−8,−2) 
 
(7) Considere a seguinte situação: Um elevador é construído mediante as seguintes especificações: 
(i) Para carga de massa menor ou igual a 1.000kg, são utilizados cabos de aço de 20 mm de 
diâmetro; 
(ii) Para carga de massa x kg, em que x > 1000, utilizando cabos de aço de x/50 mm de diâmetro. 
Determine: 
(a) A função descrita por esta situação. 
(b) Esboce o gráfico da função. 
 
(8) Dentre os três gráficos abaixo, qual deles não é gráfico de uma função? Como você pode 
explicar? 
Referências 
BUENO, F.S. SANTOS, E. R. Noções básicas de Língua 
Portuguesa e Matemática para o Ensino Superior. São Paulo: 
Editora Martinari, 2009; 
 
https://www.coursera.org/learn/calculus1/home/info Curso de 
Cálculo I – Universidade do Estado de Ohio – Jim Fowler, PhD. 
Aceso: 16/08/15. 
 
STEWART, J; MORETTI, A C; MARTINS, A C G. Cálculo, 
volume 1. São Paulo: Cengage, 2009. 
 
DEMANA, F.D. [et al.] Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 
2009. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=pYQzdY40yr8&list=PLA0-
G00q0ALLDGRJrGk3-jiyhA094fu1h&index=1. Acesso: 11/08/17. 
 
Sugestões de vídeo sobre a 
História do Cálculo 
O Mundo em Movimento, Cálculo Diferencial e 
Integral - 
https://www.youtube.com/watch?v=q9ywLsY36dg 
 
O Nascimento do Cálculo - 
https://www.youtube.com/watch?v=CCYmzyVAXzA