RESUMO 04 TEORIA DOS CONJUNTOS

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RACIOCINIO LÓGICO – RESUMO 04 
 
 TEORIA DOS CONJUNTOS – PROF MOISES L.SILVA 
 
I – NOÇÕES DE CONJUNTO, ELEMENTOS E PERTINÊNCIA 
 CONJUNTO É UM GRUPO, COLEÇÃO, REUNIÃO 
 EX: CONJUNTO DAS VOGAIS ; CONJUNTO DOS NÚMEROS ÍMPARES. 
 
 ELEMENTOS: SÃO OS COMPONENTES DO CONJUNTO. 
 PERTINÊNCIA: É A RELAÇÃO ENTRE ELEMENTO E CONJUNTO. 
 SÍMBOLOS UTILIZADOS: 
( ) , ( )pertence nãopertence 
 
Obs: Em geral, indica-se um conjunto por uma letra maiúscula e um 
elemento com uma letra minúscula. 
 Ex: conjunto das vogais: A 
 elementos do conjunto A : { a, e, i, o, u } 
 Usando os símbolos de pertinência ,temos: a 

 A e z 

 A 
 
II – REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS 
 
 OS CONJUNTOS SÃO REPRESENTADOS DE TRES MANEIRAS: 
 
A) ENUMERAÇÃO DOS ELEMENTOS : SEUS ELEMENTOS SÃO COLOCADOS 
ENTRE CHAVES, SEPARADOS POR VÍRGULAS , SEM REPETIÇÕES E 
INDEPENDE DA ORDEM. 
EX: A = { a , e , i , o , u } = { a , i , u , e , o } = { e , u , o , a , i } 
 
B) ATRAVES DE UMA PROPRIEDADE CARACTERÍSTICA DE TODOS SEUS 
ELEMENTOS . 
EX : A={x  x PAR e 3 < x < 8 } = { 4, 6 } 
 
C) GRAFICAMENTE: ATRAVES FIGURA GEOMETRICA (DIAGRAMA DE VENN) 
 
 
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III – RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS ( RELAÇÃO DE INCLUSÃO) 
 
UM CONJUNTO A É SUBCONJUNTO DE B, SE TODOS ELEMENTOS DE A 
PERTENCEREM A B . ESCREVE-SE A  B ( LÊ-SE: A ESTA CONTIDO EM B), 
OU B  A (LÊ-SE: B CONTEM A ) 
 
 B A B 
 A 
 
 
 A  B A  B 
 A está contido em B A não está contido em B 
 
EX: SE A= {1,3,2,8} ; B = {3,8} ; V = { 1,3,4 } ,ENTÃO B  A ou A  B e V  A . 
 
IV- CONJUNTOS : VAZIO – UNITÁRIO – FINITO – INFINITO 
 
A)VAZIO: NÃO POSSUI ELEMENTO. REPRESENTAÇÃO POR { } OU  
EX: F={x | x >0 e x<0} = 

 = { } . 
OBS: AQUI NÃO É CORRETO ESCREVER : {  } 
 
B)UNITÁRIO: POSSUI SOMENTE UM ELEMENTO 
EX: A= { x 

 N │ 3 < x < 5 } = { 4 } 
 
C)FINITO: POSSUI QUANTIDADE LIMITADA DE ELEMENTOS 
EX:A = { PARES ENTRE 3 E 231 } = { 4,6,8....34,36,38...120,124,126......224,226,228,230} 
 
D)INFINITO: POSSUI QUANTIDADE ILIMITADA DE ELEMENTOS 
EX: A = { NATURAIS MAIORES QUE 8 } = { 9,10,11, ...} 
 B = { INTEIROS MENORES QUE 3 } = { .....-2, -1 , 0 , 1 , 2 } 
 
V - CONJUNTO UNIVERSO: SIMBOLIZADO POR U, EXPRESSA O UNIVERSO 
COM O QUAL ESTAMOS TRABALHANDO. EX: NA GEOMETRIA PLANA O 
CONJUNTO UNIVERSO É O PLANO 
 
VI - CONJUNTOS IGUAIS: SÃO AQUELES QUE POSSUEM OS MESMOS 
ELEMENTOS. 
EX: SE A={1,3,5} E B={3,1,5}, ENTÃO A = B .(OBS: NÃO IMPORTA A ORDEM ) 
 
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VII- CONJUNTOS EQUIPOTENTES: SÃO AQUELES QUE POSSUEM A MESMA 
QUANTIDADE DE ELEMENTOS. 
EX: SE A = { 3,7,6 } ; B = {4,9,8 } , ENTÃO “A EQ B” ( LÊ-SE A EQUIPOTENTE 
A B ) 
OBS: NESTE CASO HÁ ENTRE OS ELEMENTOS DE A e B , UMA 
CORRESPONDENCIA DENOMINADA BIUNÍVOCA 
 
VIII - CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO A: É UMA FAMÍLIA DE 
CONJUNTOS, CUJOS ELEMENTOS SÃO TODOS OS SUBCONJUNTOS DE A. 
NOTAÇÃO: p(A), ONDE p(A) = { X | X 
A
} 
 
EXEMPLO: Se A={a,b},ENTÃO: p(A) ={ ,{a}, {b}, {a,b} } = { { }, {a}, {b}, {a,b} } 
 
OBSERVAÇÕES: 
1
a
) - NESTE CASO PODE-SE ESCREVER {a,b}  p(A) 
2
a
) - SE UM CONJUNTO TEM UMA QUANTIDADE N DE ELEMENTOS, ENTÃO 
ELE É FORMADO POR 2
N
 SUBCONJUNTOS . 
NO EXEMPLO ACIMA N(A)=2 .LOGO A POSSUI 2
2 
=4 SUBCONJUNTOS. 
 
IX- OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
A)UNIÃO : CHAMAMOS DE A 

 B = {
xx |
A
 ou 
Bx
} 
 EX: SE A = {1,4,2,6} e B = {2,4,7} 
 ENTÃO A

B ={1,4,2,6,7}={1,2, 4,6,7} 
 Obs: basta juntar os elementos dos 
 conjuntos dados, sem repetição e 
 desconsiderando a ordem. 
 
 
 
B)INTERSEÇÃO: CHAMAMOS 
BA
 = {
Axx |
 e 
}Bx
 
 Obs: colocar os elementos que 
 pertencem aos dois conjuntos ao 
 mesmo tempo. 
 EX:SE A={1,2,3,} e B={2,3,6} ENTÃO 
BA
={2,3} 
 
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OBS: SE
BA
, ENTÃO A e B SÃO DENOMINADOS CONJUNTOS 
DISJUNTOS. 
EXEMPLO: A={1,2,3,4} ; B={9,10,13}, 
BA
 . LOGO A E B SÃO DISJUNTOS 
 
C)DIFERENÇA : DADOS A E B , ENTÃO A – B = { 
Axx |
 e 
x B}
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: SE A={ 1,3,5,7} E B = {1,3} ENTÃO A – B = { 5,7 } e B-A=

 
Obs: verifica-se que A - B ≠ B – A ( não é comutativa) 
 
D) COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO: DADO OS CONJUNTOS B E A , EM 
QUE 
AB 
, CHAMAMOS DE COMPLEMENTAR DE “B” EM RELAÇÃO A “A”; 
E ESCREVE-SE 
)( BAC
 O CONJUNTO FORMADO PELOS ELEMENTOS QUE 
PERTENCEM A “A” E NÃO PERTENCEM A “B” 
AB 
 
 )( BAC
 = A – B OU B 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}, COMO 
BA
ENTÃO 
A
BC
= B – A = {4,5} 
 
X – PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO : DADO UM CONJUNTO NÃO VAZIO 
“E” , DEFINE-SE PARTIÇÃO DESTE CONJUNTO, À FAMÍLIA DE 
SUBCONJUNTOS NÃO VAZIOS DE E, DISJUNTOS DOIS A DOIS E CUJA 
UNIÃO É O CONJUNTO “E” 
EX: SEJA O CONJUNTO E ={1,2,3,4,5,6,7,8 }. CONSIDEREMOS A = {1,2,6} ; 
B ={3, 5, 8 }; C = {4, 7 } TRES SUBCONJUNTOS NÃO VAZIOS DE “E” , 
DISJUNTOS DOIS A DOIS. ENTÃO A FAMÍLIA DE SUBCONJUNTOS 
{ {1,2,6} ; {3,5,8}; {4,7}} CONSTITUI UMA PARTIÇÃO DO CONJUNTO “E” 
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EXERCÍCIOS 
 
1) – Assinale com U, os conjuntos unitários e com V os vazios: 
 a) ( ) { x  N  3 < x < 5 } 
 b) ( ) { x  Z  x2 = 4  2x = 6 } 
 c) ( ) { x  N  x+3 = 3 } 
 d) ( ) { x  R  2x2 + 4x + 6 = 0 } 
 
2) – Classifique como V (verdadeiro ) e F (falso): 
 
a) Dado o conjunto A={1,3,5} 
a. ( )
A3
 
b. ( ) 
A8
 
c. ( )
A5
 
 
b) ( )Se A={1,2}, B={1,2,3} e C={1,2,4} então 
CBA 
 
c) ( )Se A = {3,5,8}, então 
A5
 
d) ( )Se B = {1,5,9}, então 
B9
 
 
 
3) Se A={1,2,3,7,8,4}, B={2,3,6} e C={1,2,4}, encontre: 
 
 a) 
BA
 
 b) 
CA
 
 c) 
CB
 
 d) 
CBA )( 
 
 e) 
C
AC
 
 
4) Sabendo que A – B = {1,6,7} e B – A = {5} e A 

B={3,4}, determine A e B: 
 
 
5) Os sócios dos clubes A e B perfazem o total de 140. Qual é o número de sócios 
de A, se B tem 60 e há 40 que pertencem aos dois clubes ao mesmo tempo? 
 
6) Num grupo de 800 pessas, 200 gostam de samba, 300 de rock e 130 de samba e 
rock. Pergunta-se: no grupo referenciado, quantos não gostam de samba nem 
rock? 
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7) Uma empresa fabricante de achocolatados ,pretende lançar um novo produto 
no mercado. Para isso encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos 
consumidores entre duas embalagens A e B. Foram consultados 402 pessoas e o 
resultado foi precisamente o seguinte: 
150 pessoas gostaram somente da embalagem A ; 240 pessoas gostaram da 
embalagem B, 60 gostaram das duas embalagens . 
Pergunta-se: quantas pessoas não gostaram de nenhuma das duas embalagens, 
sabendo-se que todas as 402 pessoas opinaram ? 
 
8)Numa classe de 200 estudantes, 80 estudam física, 90 biologia, 55 qumica, 32 
biologiae física, 23 quimica e fisica, 16 biologia e química; e 8 estudam as três 
matérias. Pergunta-se: a relação de matrículas está correta ? ( Justifique a 
resposta com cálculos ) 
 
9 ) Sendo E = { 1, 2,3, 4 }, determinar quais das famílias a seguir , constituem uma 
partição de E: 
a) { { 1,4} , {2,3} } b){ {3} , {1,2,4} } c { {1} , {1,3} , {2,4} } d) { {1}, {3,4}, {2,4} } 
 
10) Quantos subconjuntos há no conjunto A = { 1, 5, 2, 7} ? Quais são eles ? É 
falso ou verdadeiro escrever { 1,7 }  p(A) ? 
11) Utilizando  ou  , relacione os conjuntos A = {0, -1, -3, -5} , B = { -3, -5} e 
C = {0, -1}: 
a) A ____ B b) B ____ A c) A ____ C d) C ____ A 
 
12) Utilizar os símbolos  ou , relacionar os elementos com os 
conjuntos A = { x / x é vogal} e B = {b, c, d, f, g}. 
 
a) a ___ A b) u ____ B c) c ____ C d) d ____ A 
 
13) Dados os conjuntos A={0,1,2,3, 4, 5} , B={0, 2, 4} e C={3, 7, 11,5,0}, D={5,3,8} 
Determinar: a) A  C ; b) B  C ; c) A  C ; d) B  C ; e) C B ; f) A-C 
 
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