Vetores

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VETORES
Prof. Wilson Souza
DEFINIÇÃO:
É um segmento de reta orientado que pode representar uma Grandeza Física.
Exemplos:
Lemos: Vetor A e Vetor B
A
B
Atenção:
Algumas Grandezas Físicas não ficam bem compreendidas somente com um valor e sua unidade. Essas Grandezas são chamadas de Grandezas Vetoriais.
Conclusão:
Grandezas Vetoriais são aquelas que para ficarem bem representadas necessitam de:
Módulo, Direção e Sentido.
Módulo: É representado graficamente através do tamanho do vetor ou através de um valor numérico acompanhado de unidade.
Direção: É o ângulo que o vetor faz com um referencial, por exemplo com a horizontal, vertical, etc.
Sentido: É a orientação do vetor dada pela extremidade do vetor e também pode ser informada através de palavras como: para esquerda, para direita, do ponto A para o ponto B, para baixo, etc.
Vetores Opostos: São ditos opostos quando a única diferença entre eles é a oposição de sentido.
Exemplos:
Observação: Repare a utilização do sinal “ – “
A
- A
Nesse caso: Vetor A oposto ao Vetor - A
Vetores Iguais: É necessário que estes possuam as mesmas características para que sejam ditos IGUAIS.
Exemplos:
Nesse caso: Vetor A igual ao Vetor C
A
C
Vetores Diferentes: São aqueles que possuem uma ou mais diferenças em suas características.
A
B
Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem módulos diferentes.
B
A
Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem direções e sentidos diferentes.
A
B
Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem sentidos diferentes.
Operações com Vetores
É possível realizarmos alguma operações com vetores, aquelas que iremos estudar no ensino médio são:
• 
Multiplicação e divisão de vetores por números reais;
• Soma e subtração de vetores.
Multiplicação de vetores por números reais
A
Tomemos como exemplo um vetor A:
Se desejamos obter o vetor 3A, teremos:
 3 A
A
A
A
Comprove:
Soma e subtração de vetores – Casos Gerais
Para efetuarmos somas e subtrações vetoriais podemos utilizar duas regras, a do polígono e a do paralelogramo.
A regra do polígono é muito útil quando precisamos somar três ou mais vetores;
A regra do paralelogramo deve ser aplicada com grupo(s) de dois vetores. 
Regra do Polígono
Sejam os vetores abaixo:
A
B
C
D
Vamos iniciar com o vetor C, poderíamos iniciar com qualquer um deles, veja como se utiliza a regra do polígono:
C
D
A
B
Soma
Após terminarmos ocorre a formação de um polígono.
Regra do Paralelogramo
Sejam os vetores abaixo:
B
Vamos fazer “coincidir” o início dos dois vetores:
A
A
B
Vamos fazer traços paralelos aos lados opostos.
Soma = A + B
Soma
Teorema de Pitágoras
Não importa a regra utilizada, se tivermos dois vetores perpendiculares entre si, teremos o mesmo vetor resultante e seu módulo pode ser determinado utilizando o TEOREMA DE PITÁGORAS:
Regra do Polígono:
A
A
B
B
Regra do Paralelogramo:
S
S
S2 = A2 + B2
V1
V3
V2
1. Dados os vetores V1, V2 e V3 da figura a seguir, obtenha graficamente o vetor soma vetorial:
V1
V2
a) V1 + V2
VR
V1
V3
V2
b) V1 + V2 + V3
VR
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2. A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares entre si, um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá módulo igual a:
Triângulo de Pitágoras
Verifique:
202 = 122 + 162
400 = 144 + 256
Alternativas:
a) 4
b) Entre 12 e 16
c) 20
d) 28
e) Maior que 28
12
16
20
3. A figura a seguir representa os deslocamentos de um móvel em várias etapas. Cada vetor tem módulo igual a 20 m. A distância percorrida pelo móvel e o módulo do vetor deslocamento são, respectivamente:
A
B
Distância percorrida:
20 m
20 m
A
20 m
20 m
20 m
B
Total = 5 x 20 = 100 m
A
B
ΔS
40 m
20 m
ΔS2 = 402 + 202
ΔS2 = 1600 + 400
ΔS2 = 2000
ΔS = 2000
ΔS = 20 5 m
Módulo do vetor deslocamento:
Pelo Teorema de Pitágoras:
Resposta: 100 m e 20 5 m
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DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
Um vetor V pode ser decomposto em dois vetores componentes: Vx (componente horizontal) e Vy (componente vertical), de modo que: 
V
VY
VX
a
x
y
 VX = V . cos a 
 Vy = V . sen a