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VA Estatistica Aula 2 Tema 2

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Tema 2: Análise Combinatória e 
Probabilidade 
 
Profa. Renata M. G. Dalpiaz 
Modelos 
•  Determinísticos: quando somos capazes de 
calcular com exatidão uma variável. 
•  Probabilísticos: quando se baseia em 
resultados possíveis ou probabilidades. 
Definições 
•  Experimento aleatório é aquele que poderá ser 
repetido indefinidamente e cujo resultado não pode 
ser previsto com certeza, mas todos os resultados 
são possíveis. 
•  Espaço amostral é o conjunto 
 de todos os possíveis resultados 
 de um experimento. 
•  Evento é um subconjunto do 
 espaço amostral. 
Evento Certo e Evento Impossível 
•  Evento é um conjunto de resultados do 
experimento, isto é, um subconjunto S. 
•  Em particular, S (espaço amostral) e Φ 
(conjunto vazio) são eventos. 
•  Nessas condições: 
–  S é dito o evento certo 
(evento que deve ocorrer; tem 
 probabilidade 1), e 
– Φ é o evento impossível 
 (tem probabilidade 0) 
Eventos 
•  Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles que 
não podem ocorrer simultaneamente. Portanto dois 
eventos A e B são mutuamente exclusivos se A ∩ B 
= Φ 
•  Evento elementar: contém um único ponto 
amostral. 
•  Evento composto: consiste 
 de dois ou mais eventos 
 simples . 
Eventos 
•  Dois eventos são ditos dependentes se a 
probabilidade de um ocorrer altera a probabilidade do 
outro ocorrer, isto é, P(A/B) = P(A). 
•  Dois eventos de um espaço amostral S são 
denominados de independentes se a probabilidade de 
um deles ocorrer não afeta a probabilidade do outro 
ocorrer. 
Probabilidade da Ocorrência de um Evento 
NCT
)A(NCF
)A(P =
Onde: 
•  P(A) = probabilidade de um evento. 
•  NCF(A) = número de casos 
 favoráveis ao evento A. 
•  NCT = número de casos totais. 
•  Sempre será uma fração entre 
 0 e 1. 
Eventos Mutuamente Exclusivos 
•  São tais que a ocorrência de um exclui a 
possibilidade da ocorrência do outro. 
)B(P)A(P)BA(P +=
Probabilidade de Eventos não 
Mutuamente Exclusivos. 
•  A ocorrência de um evento particular 
qualquer não elimina a ocorrência de todos 
os outros possíveis. 
)BA(P)B(P)A(P)BA(P  −+=
Eventos Mutuamente exclusivos 
•  São aqueles que não podem ocorrer simultaneamente. 
Portanto dois eventos A e B são mutuamente exclusivos 
se A ∩ B = Φ. 
•  Ao jogar um dado, observamos que 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
•  Então, sejam os eventos A = 
ocorrer número par e B = ocorrer 
números ímpares. 
Logo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}. 
•  A e B são considerados 
mutuamente exclusivos pois 
A ∩ B = Φ. 
Exemplo 
•  Em um lançamento de um dado, qual a 
probabilidade de sair a face 3?. 
•  P(A) = 1/6 = 0,1667 = 16,67%. 
•  No lançamento de um dado, qual a 
probabilidade de sair a face 3 ou um 
número par? 
 S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 A = {3} e B = {2, 4, 6} 
 P(A U B) = 1/6 + 3/6 = 4/6 
 P(A U B) = 66,67% 
Exemplo 
Probabilidade de Eventos não 
Mutuamente Exclusivos. 
•  A ocorrência de um evento particular 
qualquer não elimina a ocorrência de todos 
os outros possíveis. 
)BA(P)B(P)A(P)BA(P  −+=
Probabilidade Independente. 
•  Do i s ou ma i s e ven t o s s ão d i t o s 
independentes se a ocorrência de um deles 
não afetar a ocorrência dos outros. 
)B(P*)A(P)BA(P =
Probabilidade de Evento Complementar 
•  A regra para o evento complementar é: 
)A(P1)A(P −=
Distribuição de Probabilidade 
•  Distribuição de probabilidade (a probabilidade) no 
espaço amostral S é uma especificação de números 
P(A) que satisfazem: 
•  Para qualquer evento A, P(A) ≥ 0 
•  P(S) = 1 
•  Para qualquer sequencia 
 infinita de eventos disjuntos 
 A1, A2, ... 
∑
∞
=
∞
=
=
11
)()(
i
i
i
i APAP 
Experimentos Ninomiais 
Trata-se de uma experiência probabilística com as seguintes 
características: 
•  O experimento deve ser repetido por um número fixo de 
tentativas, sendo uma independente de todas as outras. 
•  Existem somente dois resultados possíveis: sucesso (S) ou 
fracasso (F). 
•  A probabilidade de um sucesso P(S) 
 é a mesma em cada tentativa. 
•  A variável aleatória x conta o 
 número de tentativas com sucesso. 
Probabilidade binomial 
É composta por n observações que atendem 
às seguintes características: 
•  São do tipo sucesso ou fracasso; 
•  As observações são independentes entre si. 
A fórmula de cálculo é: 
)!xn(!x
!n
Conde
,qpC)A(F
n
x
xnxn
x
−
=
××= −
Distribuição Normal 
•  É amplamente utilizada entre as distribuições 
de probabilidade, sendo aplicada em diversos 
fenômenos no desenvolvimento teórico das 
amostragens que é representado pela 
população. 
Em que: 
•  y é a ordenada para um determinado 
 valor de x. 
•  e = 2.7 (número de Euler). 
•  π = 3.14. 
•  µ representa a média da população. 
•  σ representa o desvio padrão. 
A curva normal é definida por: 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
µ−
−
×
πσ
=
2x
*
2
1
e
2
1
y
•  Você utilizará a variável reduzida de z (encontrada em 
tabela ao final do Livro-Texto). 
•  Transformaremos a curva normal em curva normal 
padrão reduzida. Neste caso, a média passa ser μ = 0 
com desvio padrão σ = 1. 
Como Facilitador de Cálculo 
•  A transformação consiste em converter a 
variável x na variável z, utilizando a 
seguinte equação: 
De “Normal” para “Normal Reduzida” 
σ
−
=
xxz
•  No lançamento de um dado, qual a 
probabilidade de sair a face 3 ou um 
número ímpar? 
 S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 A = {3} e B = {1, 3, 5} 
 P(A U B) = 1/6 + 3/6 - 1/6 
 P(A U B) = 3/6 = 50% 
Exercício 1 
•  No lançamento de um dado, qual a 
probabilidade de não sair a face 3? 
 
 S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 P(A) = 1 - 1/6 = 5/6 
 P(A) = 83,33% 
Exercício 2 
•  Em dois lançamentos de um dado, qual a 
probabilidade de sair a face 6 em ambas as 
vezes? 
 P(A U B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 
 P(A U B) = 2,77% 
Exercício 3 
Exercício 4 
•  Uma urna contém 7 bolas vermelhas, 4 
amarelas e 3 azuis. Ao retirarmos duas 
bolas, qual a probabilidade de ambas as 
bolas serem vermelhas (com reposição)? 
 P(A U B)= P(A) x P(B) 
 P(A U B)= 7/14 x 7/14 
 P(A U B)= 49/196 = 25% 
Exercício 5 
Considerando o exemplo anterior sem 
reposição: 
P(A U B) = 7/14 x 6/13 
P(A U B) = 42/182 = 23,07% 
 
Exercício 6 
•  Lançam-se dois dados. Seja a variável aleatória X 
= soma das faces. Determine a distribuição de 
probabilidade da variável aleatória X. 
Exercício 7 
•  Considere que uma auditoria em uma empresa de 
vendas a crédito levantou que 20% dos clientes 
estavam com suas prestações atrasadas. Determine 
a probabilidade de que, de 5 clientes escolhidos 
aleatoriamente, um esteja com suas prestações em 
atraso. 
%96,40)1(p
4096,0*2,0*5)1(P
80,020,05)1(P
5
1*2*3*4*1
1*2*3*4*5
C
1)!(51!
5!
x)!(nx!
n!
C
151
1
5
x
n
=
=
××=
==
−
=
−
=
−
Solução 
Exercício 8 
Suponha que um consultor observa que a montagem de uma 
peça leva, em média, 75 segundos com um desvio padrão de 6 
segundos. Qual a probabilidade de um operário da fábrica, 
escolhido ao acaso, leve, para montar uma peça, entre 70 e 75 
segundos? 
 
Com esse resultado de z (z = 0,83), 
consultaremos a tabela de Z, para 
encontrar o valor de P (P = 29.67%) 
83,0
6
7570xx
z =
−
=
σ
−
=
Modelos 
•  Determinísticos: quando somos capazes de 
calcular com exatidão uma variável. 
•  Probabilísticos: quando se baseia em resultados 
possíveis ou probabilidades. 
Definições 
•  Experimento aleatório é aquele que poderá ser 
repetido indefinidamente e cujo resultado não podeser 
previsto com certeza, mas todos os resultados são 
possíveis. 
•  Espaço amostral é o conjunto 
 de todos os possíveis resultados 
 de um experimento. 
•  Evento é um subconjunto do 
 espaço amostral. 
Evento Certo e Evento Impossível 
•  Evento é um conjunto de resultados do 
experimento, isto é, um subconjunto S. 
•  Em particular, S (espaço amostral) e Φ (conjunto 
vazio) são eventos. 
•  Nessas condições: 
–  S é dito o evento certo 
 (evento que deve ocorrer; 
 tem probabilidade 1), e 
– Φ é o evento impossível 
 (tem probabilidade 0) 
Probabilidade de Eventos não 
Mutuamente Exclusivos. 
•  A ocorrência de um evento particular 
qualquer não elimina a ocorrência de todos 
os outros possíveis. 
)BA(P)B(P)A(P)BA(P  −+=
Probabilidade de Eventos não 
Mutuamente Exclusivos. 
•  A ocorrência de um evento particular 
qualquer não elimina a ocorrência de todos 
os outros possíveis. 
)BA(P)B(P)A(P)BA(P  −+=
Probabilidade Independente. 
•  Do i s ou ma i s even to s são d i t o s 
independentes se a ocorrência de um deles 
não afetar a ocorrência dos outros. 
)B(P*)A(P)BA(P =
Probabilidade de Evento Complementar 
•  A regra para o evento complementar é: 
)A(P1)A(P −=

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