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Tema 2: Análise Combinatória e Probabilidade Profa. Renata M. G. Dalpiaz Modelos • Determinísticos: quando somos capazes de calcular com exatidão uma variável. • Probabilísticos: quando se baseia em resultados possíveis ou probabilidades. Definições • Experimento aleatório é aquele que poderá ser repetido indefinidamente e cujo resultado não pode ser previsto com certeza, mas todos os resultados são possíveis. • Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. • Evento é um subconjunto do espaço amostral. Evento Certo e Evento Impossível • Evento é um conjunto de resultados do experimento, isto é, um subconjunto S. • Em particular, S (espaço amostral) e Φ (conjunto vazio) são eventos. • Nessas condições: – S é dito o evento certo (evento que deve ocorrer; tem probabilidade 1), e – Φ é o evento impossível (tem probabilidade 0) Eventos • Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se A ∩ B = Φ • Evento elementar: contém um único ponto amostral. • Evento composto: consiste de dois ou mais eventos simples . Eventos • Dois eventos são ditos dependentes se a probabilidade de um ocorrer altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é, P(A/B) = P(A). • Dois eventos de um espaço amostral S são denominados de independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afeta a probabilidade do outro ocorrer. Probabilidade da Ocorrência de um Evento NCT )A(NCF )A(P = Onde: • P(A) = probabilidade de um evento. • NCF(A) = número de casos favoráveis ao evento A. • NCT = número de casos totais. • Sempre será uma fração entre 0 e 1. Eventos Mutuamente Exclusivos • São tais que a ocorrência de um exclui a possibilidade da ocorrência do outro. )B(P)A(P)BA(P += Probabilidade de Eventos não Mutuamente Exclusivos. • A ocorrência de um evento particular qualquer não elimina a ocorrência de todos os outros possíveis. )BA(P)B(P)A(P)BA(P −+= Eventos Mutuamente exclusivos • São aqueles que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se A ∩ B = Φ. • Ao jogar um dado, observamos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Então, sejam os eventos A = ocorrer número par e B = ocorrer números ímpares. Logo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}. • A e B são considerados mutuamente exclusivos pois A ∩ B = Φ. Exemplo • Em um lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3?. • P(A) = 1/6 = 0,1667 = 16,67%. • No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3 ou um número par? S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {3} e B = {2, 4, 6} P(A U B) = 1/6 + 3/6 = 4/6 P(A U B) = 66,67% Exemplo Probabilidade de Eventos não Mutuamente Exclusivos. • A ocorrência de um evento particular qualquer não elimina a ocorrência de todos os outros possíveis. )BA(P)B(P)A(P)BA(P −+= Probabilidade Independente. • Do i s ou ma i s e ven t o s s ão d i t o s independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência dos outros. )B(P*)A(P)BA(P = Probabilidade de Evento Complementar • A regra para o evento complementar é: )A(P1)A(P −= Distribuição de Probabilidade • Distribuição de probabilidade (a probabilidade) no espaço amostral S é uma especificação de números P(A) que satisfazem: • Para qualquer evento A, P(A) ≥ 0 • P(S) = 1 • Para qualquer sequencia infinita de eventos disjuntos A1, A2, ... ∑ ∞ = ∞ = = 11 )()( i i i i APAP Experimentos Ninomiais Trata-se de uma experiência probabilística com as seguintes características: • O experimento deve ser repetido por um número fixo de tentativas, sendo uma independente de todas as outras. • Existem somente dois resultados possíveis: sucesso (S) ou fracasso (F). • A probabilidade de um sucesso P(S) é a mesma em cada tentativa. • A variável aleatória x conta o número de tentativas com sucesso. Probabilidade binomial É composta por n observações que atendem às seguintes características: • São do tipo sucesso ou fracasso; • As observações são independentes entre si. A fórmula de cálculo é: )!xn(!x !n Conde ,qpC)A(F n x xnxn x − = ××= − Distribuição Normal • É amplamente utilizada entre as distribuições de probabilidade, sendo aplicada em diversos fenômenos no desenvolvimento teórico das amostragens que é representado pela população. Em que: • y é a ordenada para um determinado valor de x. • e = 2.7 (número de Euler). • π = 3.14. • µ representa a média da população. • σ representa o desvio padrão. A curva normal é definida por: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ σ µ− − × πσ = 2x * 2 1 e 2 1 y • Você utilizará a variável reduzida de z (encontrada em tabela ao final do Livro-Texto). • Transformaremos a curva normal em curva normal padrão reduzida. Neste caso, a média passa ser μ = 0 com desvio padrão σ = 1. Como Facilitador de Cálculo • A transformação consiste em converter a variável x na variável z, utilizando a seguinte equação: De “Normal” para “Normal Reduzida” σ − = xxz • No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3 ou um número ímpar? S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {3} e B = {1, 3, 5} P(A U B) = 1/6 + 3/6 - 1/6 P(A U B) = 3/6 = 50% Exercício 1 • No lançamento de um dado, qual a probabilidade de não sair a face 3? S: {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(A) = 1 - 1/6 = 5/6 P(A) = 83,33% Exercício 2 • Em dois lançamentos de um dado, qual a probabilidade de sair a face 6 em ambas as vezes? P(A U B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 P(A U B) = 2,77% Exercício 3 Exercício 4 • Uma urna contém 7 bolas vermelhas, 4 amarelas e 3 azuis. Ao retirarmos duas bolas, qual a probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas (com reposição)? P(A U B)= P(A) x P(B) P(A U B)= 7/14 x 7/14 P(A U B)= 49/196 = 25% Exercício 5 Considerando o exemplo anterior sem reposição: P(A U B) = 7/14 x 6/13 P(A U B) = 42/182 = 23,07% Exercício 6 • Lançam-se dois dados. Seja a variável aleatória X = soma das faces. Determine a distribuição de probabilidade da variável aleatória X. Exercício 7 • Considere que uma auditoria em uma empresa de vendas a crédito levantou que 20% dos clientes estavam com suas prestações atrasadas. Determine a probabilidade de que, de 5 clientes escolhidos aleatoriamente, um esteja com suas prestações em atraso. %96,40)1(p 4096,0*2,0*5)1(P 80,020,05)1(P 5 1*2*3*4*1 1*2*3*4*5 C 1)!(51! 5! x)!(nx! n! C 151 1 5 x n = = ××= == − = − = − Solução Exercício 8 Suponha que um consultor observa que a montagem de uma peça leva, em média, 75 segundos com um desvio padrão de 6 segundos. Qual a probabilidade de um operário da fábrica, escolhido ao acaso, leve, para montar uma peça, entre 70 e 75 segundos? Com esse resultado de z (z = 0,83), consultaremos a tabela de Z, para encontrar o valor de P (P = 29.67%) 83,0 6 7570xx z = − = σ − = Modelos • Determinísticos: quando somos capazes de calcular com exatidão uma variável. • Probabilísticos: quando se baseia em resultados possíveis ou probabilidades. Definições • Experimento aleatório é aquele que poderá ser repetido indefinidamente e cujo resultado não podeser previsto com certeza, mas todos os resultados são possíveis. • Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. • Evento é um subconjunto do espaço amostral. Evento Certo e Evento Impossível • Evento é um conjunto de resultados do experimento, isto é, um subconjunto S. • Em particular, S (espaço amostral) e Φ (conjunto vazio) são eventos. • Nessas condições: – S é dito o evento certo (evento que deve ocorrer; tem probabilidade 1), e – Φ é o evento impossível (tem probabilidade 0) Probabilidade de Eventos não Mutuamente Exclusivos. • A ocorrência de um evento particular qualquer não elimina a ocorrência de todos os outros possíveis. )BA(P)B(P)A(P)BA(P −+= Probabilidade de Eventos não Mutuamente Exclusivos. • A ocorrência de um evento particular qualquer não elimina a ocorrência de todos os outros possíveis. )BA(P)B(P)A(P)BA(P −+= Probabilidade Independente. • Do i s ou ma i s even to s são d i t o s independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência dos outros. )B(P*)A(P)BA(P = Probabilidade de Evento Complementar • A regra para o evento complementar é: )A(P1)A(P −=
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