LISTA PROVA 2 - VETORES - ALGEBRA LINEAR

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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Álgebra Linear 
LISTA / CONTEÚDO: Estudo dos Vetores 
 
 
 
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Avaliação II – Estudo dos Vetores. 
As atividades a seguir estão apresentadas por tema de estudo. Para 
aprofundamento dos estudos, consulte as referências a seguir: 
STEINBRUCH, ALFREDO; WINTERLE, PAULO. Geometria Analítica. São Paulo, 
McGraw-Hill, 1987.Código do acervo da biblioteca UNESC: 516.3 S819g 
WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Makron Books, 2000. 
232 p. ISBN 8534611092. Código do acervo da biblioteca UNESC: 516.3 W788v 2000 
Bons estudos! 
Lista 1 – Definições e noção intuitiva do conceito de vetor, 
Igualdade de vetores, Vetores no plano e no espaço e Vetor definido 
por dois pontos 
1. Quais características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique 
determinado? 
 
2. O que são vetores iguais? E vetores opostos? Dê um exemplo de cada um 
deles. 
 
3. Encontre, se possível, os valores de x e y tais que: 
 
a) (2, x, 1, 3)=(2, 5, y, 3) 
b) (1, 2x-12)=(1, -5) 
c) (1, x, -3)=(2, 3) 
d) (x, x+y)=(y-2, 6) 
e) (4x-5, 7)=(2x-4, y+
13
2
) 
f) (x²-5x+4, 2x-2)=(0, 6) 
g) (√𝑥, 7)=(2, 3y-5) 
h) (√𝑥, 2x-5)=(4, 5x-1) 
i) (x+1, 4)=(5, 3y-8) 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Observe o paralelepípedo retângulo abaixo e assinale V ou F para as 
alternativas: 
 
a) 𝐷𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ são coplanares 
c) 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ são colineares 
d) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ é ortogonal ao plano 
BCG 
e) 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ é ortogonal ao plano 
ABC 
f) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −𝐻𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
g) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
h) |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |𝐻𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| 
i) |𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |𝐷𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| 
j) 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∥ 𝐸𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
k) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒 𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ são coplanares 
l) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ são coplanares 
m) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ são coplanares 
n) 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ é paralelo ao plano HEF 
 
5. A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (mesmo 
tamanho). Observe a figura e assinale V ou F para as alternativas (Fonte: 
Winterle, 2000, p.6): 
 
 
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
b) 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑃𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
c) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
d) 𝐵𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
e) 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
f) 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
g) 𝐾𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐼⃗⃗⃗⃗ 
h) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∥ 𝐻𝐼⃗⃗ ⃗⃗ 
i) 𝐽𝑂⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐿𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
j) 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
k) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
l) 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⊥ 𝐵𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
m) 𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
n) 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑁𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
o) 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
p) |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| 
q) |𝐼𝐹⃗⃗⃗⃗ | = |𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | 
r) |𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ | = |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| 
s) |𝐴𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 2|𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 
t) |𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = |𝐵𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗| 
 
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6. Represente no plano os vetores abaixo:
a) 𝑣 = 2𝑖 + 3𝑗 
b) �⃗� = (−4, 6) 
c) �⃗⃗� = (−5,−8) 
 
7. Represente no espaço os vetores abaixo: 
a) 𝑣 = 2𝑖 + 6𝑗 + �⃗� 
b) �⃗� = (3, 4, 5) 
c) �⃗⃗� = (−5, 1, 4) 
 
8. Em IR³ são dados os seguintes pontos: A(1, 2, 3), B(4, -2, 4), C(-5, 1, 2) e 
D(-2, -3, 3). Pede-se: 
a) Verificar se os vetores 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e �⃗� = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ são equipolentes. 
b) O que é possível concluir a respeito dos vetores 𝑎 = 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e �⃗� = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗? 
 
9. Sejam os pontos P(2, 3) e Q(1, 4). Represente no plano um segmento 
equivalente a 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
10.Determine as componentes do vetor 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ : 
a) P1(3, 5) e P2(2, 8) 
b) P1(7, -2) e P2(0, 0) 
c) P1(4, 1, 3) e P2(9, 1, -3) 
 
11. Um vetor pode ser representado por um segmento orientado 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ que não 
parte da origem do sistema cartesiano. Considere os segmentos orientados 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ com A(-1, 2), B(2, -3), C(1, 3, 5) e D(-1, 2, -4) para responder as 
alternativas abaixo: 
a) Encontre o vetor �⃗� definido por dois pontos, equipolente ao segmento 
orientado 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
b) Encontre o vetor 𝑣 definido por dois pontos, equipolente ao segmento 
orientado 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
c) Represente geométricamente o segmento orientado 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e o vetor �⃗� e 
analise o resultado comentando o que você observou. 
 
 
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12. Dados os pontos A(-1, 2), B(3, -1) e C(-2, 4), determinar o ponto D de 
modo que 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
13. Dados os pontos A(-1, 3, 4), B(2, 5, -1) e C(3, -1, -2), determine as 
coordenadas do ponto D tal que 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 4𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
14. Sendo os pontos A(5, -3, 2) e B(-3, -4, 2), determine as coordenadas 
do ponto P(x, y, z) tal que 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
15.Sendo dados os pontos A(3, -4, -2) e B(-2, 1, 0), determine as 
coordenadas do ponto N(x, y, z) tal que 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
5
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
16.Dados os pontos P(1, 2, 4), Q(2, 3, 2) e R(2, 1, -1), determine as 
coordenadas de um ponto S tal que P, Q, R e S sejam vértices de um 
paralelogramo conforme apresentado na figura abaixo (Dica: o 
paralelogramo é um polígono de 4 lados onde os segmentos paralelos 
possuem medidas iguais). 
 
 
17. Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo conhecidos 
A(3, -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista 2 – Operações com vetores 
1. Observe a figura abaixo e determine o módulo, a direção e o sentido do 
vetor �⃗� em cada caso: 
 
a) �⃗� = 𝑎 + �⃗� 
b) �⃗� = 𝑑 + 𝑒 
c) �⃗� = 𝑎 + 𝑑 
d) �⃗� = 𝑐 + 𝑑 
e) �⃗� = 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 
f) �⃗� = 𝑎 + 𝑐 + 𝑑 
 
2. Calcule a soma dos vetores abaixo, na ordem em que estão sendo 
apresentados: a) 𝑆 = 𝐴 + �⃗� + 𝐶 + �⃗⃗� 
 
b) 𝑆 = 𝑎 + �⃗� + 𝑐 + 𝑑 
 
 
3. Dados os vetores abaixo, determine: 
 
a) 𝑣 − �⃗⃗� 
b) −�⃗⃗� − 2𝑣 
c) 2𝑣 − 3�⃗⃗� 
 
 
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4. Conhecendo os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� apresentados na figura abaixo, obtenha 
graficamente o vetor 𝑥 tal que 𝑥 = 2�⃗� − 3𝑣 +
1
2
�⃗⃗� . 
 
 
5. O paralelogramo ABCD representado na figura abaixo é determinado pelos 
vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, 
respectivamente. Sendo assim, determine: 
 
 
 
a) 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
b) 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
c) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
d) 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
e) 𝑀𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
f) 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ −
1
2
𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
6. Com base no paralelogramo abaixo, determine os vetores expressando-os 
com origem no ponto A: 
 
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
b) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
c) 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
d) 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
e) 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
f) 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
g) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
h) 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐹𝐻⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
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7. Dados os vetores �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝑣 = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ e �⃗⃗� = 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗, conforme abaixo, determine a 
soma 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗� + 𝑣 + �⃗⃗� e a soma 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑣 + �⃗⃗� + �⃗� , mostrando que 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
8. Dados os vetores coplanares �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� representados na figura abaixo, 
determine: 
 
 
a) Um representante do vetor 𝑥 + 𝑦 , sendo 𝑥 =
�⃗� + 2𝑣 e 𝑦 = 𝑣 − 2�⃗� 
b) O ângulo entre os vetores −3𝑣 e �⃗⃗� . 
 
 
 
9. Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os com 
origem no ponto A: 
 
a) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
c) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
d) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
e) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐸𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
f) 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐵𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
g) 𝐴𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
h) 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
i) 𝑀𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
j) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
k) 𝐿𝑃⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
l) 𝐵𝐿⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 i) 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐹𝐻⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
 
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10. Determinar a expressão que representa o vetor 𝑥 nas figuras em função dos 
vetores �⃗� e 𝑣 . 
 
 
11. Dados os vetores �⃗� = 2𝑖 − 3𝑗 , 𝑣 = 𝑖 − 𝑗 e �⃗⃗� = −2𝑖 + 𝑗 , determine: 
a) 2�⃗� − 𝑣 
b) 3�⃗� −
1
2
𝑣 −
1
2
�⃗⃗� 
 
12. Sendo os vetores �⃗� = 3𝑖 + 5𝑗 e �⃗⃗� = −2𝑖 + 𝑗 + 4�⃗� , determine: 
a) �⃗� + �⃗⃗� 
b) �⃗� − 3�⃗⃗� 
 
13. Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5) e C(3, -1), calcular 3𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 4𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
14. Encontre as coordenadas do vetor 𝑥 sabendo que 
(
1
2
+
2
3
) 𝑥 + 5 [
1
6
(3, 4, 0)] =
1
5
(2, −1, 0) 
 
15. Dados os vetores �⃗� = (3, −1) e 𝑣 = (−1,2), determinar o vetor �⃗⃗� tal que: 
4(�⃗� − 𝑣 ) +
1
3
�⃗⃗� = 2�⃗� − �⃗⃗� 
 
16. Encontrar os números 𝑎1 e 𝑎2 tais que 𝑣 = 𝑎1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑎2𝑣2⃗⃗⃗⃗ , sendo 𝑣 = (10, 2), 
𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (3, 5) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (−1, 2). 
 
17. Escreva o vetor �⃗⃗� = (2, 7) como combinação linear dos vetores �⃗� = (1, 2) e 𝑣 =
(1, −1) ∈ ℝ². 
 
18. Encontrar os números 𝑎1 e 𝑎2 tais que �⃗⃗� = 𝑎1𝑣1⃗⃗⃗⃗ + 𝑎2𝑣2⃗⃗⃗⃗ , sendo dados �⃗⃗� =
(−4,−4, 14), 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (1, −2, 1) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (2, 0, −4). 
 
 
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19. Considere os vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (1, 1, 0) e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (0, 1, 1) ∈ ℝ³: 
a) Verifique se 𝑣 = (2, −1,−3) é combinação linear de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ 
b) Verifique se �⃗⃗� = (0, 2, 1) é combinação linear de 𝑣1⃗⃗⃗⃗ e 𝑣2⃗⃗⃗⃗ 
 
20. Dados os vetores u⃗ = (3,2,1), v⃗ = (−4,−3,1) e w⃗⃗⃗ = (2,1,1), pede-se determinar 
os escalares λ, μ e ν tais que λu⃗ + μv⃗ + νw⃗⃗⃗ = (0,0,0). 
 
21. Dados os pontos A(0, 1, -1) e B(1, 2, -1) e os vetores �⃗� = (−2,−1, 1), 𝑣 =
(3, 0, −1) e �⃗⃗� = (−2, 2, 2), verifique se existem números 𝑎1, 𝑎2 e 𝑎3 tais que 
�⃗⃗� = 𝑎1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑎2�⃗� + 𝑎3𝑣 . 
 
22. Escrever o vetor �⃗⃗� = (−3, 5, 3) como combinação linear dos vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ =
(1, 2, −1), 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (−2, 3, −1) e 𝑣3⃗⃗⃗⃗ = (0, −1, 2). 
 
23. Escrever o vetor �⃗⃗� = (0, 2, 6) como combinação linear dos vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ =
(1, 9, 1), 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (1, 3, −1) e 𝑣3⃗⃗⃗⃗ = (1, 1, 1). 
 
Lista 3 – Módulo ou norma de um vetor, Vetor unitário , Versor de 
um vetor, Distância entre dois pontos e Paralelismo de dois vetores 
1. Um vetor velocidade é decomposto em dois outros perpendiculares entre si. 
Sabendo-se que o módulo do vetor velocidade é 10 m/s e que uma das 
componentes é igual a 8 m/s, determine o módulo do vetor correspondente 
à outra componente. 
 
2. Determinar o valor de k para que o vetor 𝑣 = (𝑘,−
1
2
,
1
4
) seja unitário. 
 
3. Calcule a distância entre os pontos A(-1, 2, -1) e B(2, 4, -2). 
 
4. A partir do vetor 𝑣 = (2, −2, 1), encontre um vetor unitário �⃗� na direção de 𝑣 , 
ou seja, o versor. 
 
5. Determinar o valor de a para que �⃗� = (𝑎, −2𝑎, 2𝑎) seja um versor. 
 
 
 
 
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6. Dado o vetor 𝑣 = (−2, 1), encontre o vetor paralelo a 𝑣 que tenha: 
a) O mesmo sentido de 𝑣 e módulo igual a 4 
b) Sentido contrário de 𝑣 e módulo 2 
 
7. Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4) e os vetores �⃗� =(-1, 3) e 𝑣 =(-2, -1), 
determine: 
a) |�⃗� | 
b) |�⃗� + 𝑣 | 
c) |2𝑢⃗⃗ ⃗⃗ − 3𝑣 | 
d) A distância entre os pontos A e B 
 
8. Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores �⃗� =
(3𝑚 + 1, 1,2) e 𝑣 = (9, 3, 𝑛 − 2). 
 
9. Calcule os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores �⃗� =
(𝑚 + 1, 3, 1) e 𝑣 = (10, 4𝑛 − 2, 2). 
 
10. Determine os valores de a e b para que os pontos A(3, 1, -2), B(1, 5, 1) e 
C(a, b, 7) sejam colineares. 
 
11. Verifique se os vetores �⃗� = (2, −1, 4) e 𝑣 = (−6, 3, −12) são paralelos. 
 
12. Qual deve ser o valor de x para que os vetores 𝑎 = (𝑥, −2, 0) e �⃗� = (4, −3, 0) 
sejam paralelos? 
 
Lista 4 – Produto Escalar (ou Produto Interno) 
1. Sejam os vetores �⃗� = (3, 2, 1) e 𝑣 = (−1,−4,−1). Calcule: 
a) (�⃗� + 𝑣 ). (2�⃗� − 𝑣 ) 
b) �⃗� . �⃗� 
 
2. Sejam os vetores �⃗� = (−2, 3, −1) e 𝑣 = (1, − 4, −2). Calcule (�⃗� + 𝑣 ). (2�⃗� − 𝑣 ). 
 
3. Dados os pontos A(4, 0, 1), B(2, -2, 1) e C(1, 3, 2) e os vetores �⃗� = (2, 1, 1) 
e 𝑣 = (−1,−2, 3), obtenha o vetor 𝑥 tal que: 
a) 3𝑥 + 2𝑣 = 𝑥 + (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. �⃗� ) 𝑣 
 
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b) (𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. 𝑣 )𝑥 = (�⃗� . 𝑣 )𝑣 − 3𝑥 
 
4. Dados os vetores �⃗� = (5, 𝛼, −1) e 𝑣 = (𝛼, 2, 3) e os pontos A(4, -1, -2) e 
B(5, 6, 2), determine o valor de 𝛼 tal que �⃗� . (𝑣 + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗) = 5. 
 
5. Dados os vetores �⃗� = (1, 𝑎, −2𝑎 − 1), 𝑣 = (𝑎, 𝑎 − 1,1), �⃗⃗� = (𝑎, −1,1) pede-se 
determinar “a” (a Є IR), sabendo-se que �⃗� . 𝑣 = (�⃗� + 𝑣 ) . �⃗⃗� . 
 
6. Verifique se os vetores 𝑎 = (−1, 2, 3) e �⃗� = (2, 1, 0) são ortogonais. 
 
7. Dados os vetores a⃗ = (2, 1, a), b⃗ = (a + 2,−5, 2) e c = (2, 3, 1), determine o valor 
de a para que o vetor a⃗ + b⃗ seja ortogonal ao vetor c . 
 
8. Para quais valores de t os vetores �⃗� = 𝑡𝑖 − 𝑗 + �⃗� e 𝑣 = 𝑡𝑖 + 𝑡𝑗 − 2�⃗� são 
ortogonais? Existem valores de t para os quais esses vetores sejam 
paralelos? 
 
9. Dados os vetores �⃗� = (1, −2, 2) e 𝑣 = (4,𝑚,−5), calcular “m” para que �⃗� e 
𝑣 sejam ortogonais. 
 
10. Determinar as coordenadas do vetor 𝑣 paralelo ao vetor �⃗� = (2,1, −1) 
sabendo-se que 𝑣 . �⃗� = 3 
 
11. Determine o ângulo entre os vetores �⃗� = (1,1,4) e 𝑣 = (−1, 2, 2). 
 
12. Determine o ângulo entre os vetores �⃗� = (2, 1, −1) e 𝑣 = (1, −1,−2). 
(Observação: indique o ângulo em graus com auxílio do ciclo 
trigonométrico). 
 
13. Determine o cosseno do ângulo entre os vetores dados em cada item: 
a) �⃗� = 𝑖 + 2𝑗 e 𝑣 = 6𝑖 − 8𝑗 
b) �⃗� = [
−7
−3
] e 𝑣 = [
0
1
] 
c) �⃗� = 𝑖 − 3𝑗 + 7�⃗� e 𝑣 = 8𝑖 − 2𝑗 − 2�⃗� 
 
 
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14. Calcule o ânguloque o vetor �⃗⃗� = 2𝑖 − 3𝑗 + 4�⃗� forma com os eixos 
coordenados x, y e z. 
 
15. Dados os pontos A(2, 2, -3) e B(3, 1, -3), calcular os ângulos diretores do 
vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
16. Os ângulos diretores de um vetor são 𝛼, 45° e 60°. Determine 𝛼. 
 
17. Os ângulos diretores de um vetor podem ser 90°, 60 e 45°? Justifique sua 
resposta explicitando o cálculo. 
 
Lista 5 – Produto Vetorial 
1. Dados os vetores �⃗� = 2𝑖 − 3𝑗 + �⃗� e 𝑣 = 3𝑖 + 𝑗 + 2�⃗� , calcule: 
a) �⃗� 𝑥 𝑣 
b) 𝑣 𝑥 �⃗� 
 
2. Dados os vetores �⃗� = 3𝑖 + 2𝑗 − �⃗� e 𝑣 = 2𝑖 − 4𝑗 − 2�⃗� , calcule �⃗� 𝑥 𝑣 . 
 
3. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores �⃗� = (2, −6, 3) e 
𝑣 = (4, 3, 1). 
 
4. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2�⃗� e �⃗� − 𝑣 , 
sendo dados �⃗� = (−1, 2, 3) e 𝑣 = (2, 0, −1). 
 
5. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗ = (1, 1, 0) e 
𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (2, −1, 3). Nestas mesmas condições, determinar um vetor de módulo 
igual a 5. 
 
6. Dados os vetores �⃗� = (1, 2 − 1) e 𝑣 = (0, −1, 3), calcular a área do 
paralelogramo determinado pelos vetores 3�⃗� e 𝑣 − �⃗� . 
 
7. Considerando os vetores �⃗� = (−1, 2, 3) e 𝑣 = (2, 0, −1), determine a área do 
paralelogramo determinado por 2�⃗� e �⃗� − 𝑣 . 
 
8. Sejam os vetores �⃗� = (3, 1, −1) e 𝑣 = (𝑎, 0, 2). Calcular o valor de “a” para que 
a área do paralelogramo determinado por �⃗� e 𝑣 seja igual a 2√6. 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Álgebra Linear 
LISTA / CONTEÚDO: Estudo dos Vetores 
 
 
 
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9. Determine a área do paralelogramo de vértices (0, 0, 0), (1, 2, 3) e 
(2, 1, 1). 
 
10. Dados os pontos A(2,1,3), B(6,4,1) e C(-6,-2,6), determine: 
a) a área do paralelogramo determinado pelos vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
b) a área do triângulo de vértices A, B e C 
 
11. Dados os vetores �⃗� = (−1,1,2); 𝑣 = (2,0,1), determinar o vetor 𝑥 que satisfaz a 
relação 𝑣 = �⃗� ʌ 𝑥 e que seja ortogonal ao vetor �⃗⃗� = (2,4, −3). 
 
12. Dados os vetores �⃗� = (1, −1,0); 𝑣 = (0,1, −1); �⃗⃗� = (−1,0,1), calcule: 
a) �⃗� ʌ 𝑣 
b) �⃗⃗� ʌ �⃗� 
c) �⃗� ʌ (𝑣 ʌ �⃗⃗� ) 
d) (�⃗� ʌ 𝑣 ) ʌ �⃗⃗� 
 
Lista 6 – Produto Misto 
1. Dados os vetores �⃗� = 2𝑖 + 3𝑗 − 2�⃗� , 𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 − �⃗� e �⃗⃗� = 𝑖 − 3�⃗� , calcule: 
a) �⃗� . (𝑣 𝑥 �⃗⃗� ) 
b) (�⃗� + 𝑣 ). (𝑣 𝑥 �⃗⃗� ) 
 
2. Calcule o produto misto dos vetores dados por �⃗� = 2𝑖 − 𝑗 + 3�⃗� , 𝑣 = −𝑖 + 4𝑗 + �⃗� e 
�⃗⃗� = 5𝑖 + 𝑗 − 2�⃗� . 
 
3. Dados os vetores �⃗� = (1, 0, 2), 𝑣 = (−1, 1, 3) e �⃗⃗� = (0, 3, −2), calcule: 
a) (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) 
b) (𝑣 , �⃗⃗� , �⃗� ) 
 
4. Dados os vetores �⃗� = 3𝑖 + 4𝑗 + 2�⃗� e 𝑣 = 2𝑖 + 𝑗 + �⃗� , determinar (�⃗� 𝑥𝑣 ). (�⃗� − 𝑣 ) 
 
5. Determine o valor da componente “x” do vetor 𝑎 para que os vetores 𝑎 , �⃗� e 𝑐 
sejam coplanares, sendo dados 𝑎 = −2𝑖 + 3𝑗 − 𝑥�⃗� , �⃗� = −𝑖 + 2𝑗 − 3�⃗� e 𝑐 = 2𝑖 + 𝑗 − �⃗� 
 
 
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DISCIPLINA: Álgebra Linear 
LISTA / CONTEÚDO: Estudo dos Vetores 
 
 
 
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6. Determinar k para que os vetores �⃗� = (1,2, 𝑘), 𝑣 = (0,1, 𝑘 − 1) e �⃗⃗� = (3,4,3) sejam 
coplanares. 
 
7. Verificar se os pontos A(1,2,4), B(-1,0,-2), C(0,2,2) e D(-2,1,-3) estão em 
um mesmo plano. 
 
8. Verificar se os seguintes vetores são coplanares: 𝑎 = (3, −1, 2), �⃗� = (1, 2, 1) e 𝑐 =
(−2, 3, 4). 
 
9. Dados os vetores �⃗� = (−3, 1, 2), 𝑣 = (3, −1, 0) e �⃗⃗� = (−3, 3, 6), determine o volume 
do paralelepípedo determinado pelos vetores (�⃗� + 𝑣 ), (�⃗� − 2𝑣 ) e �⃗⃗� . 
 
10. Dados os vetores �⃗� = (𝑥, 5, 0), 𝑣 = (3, −2, 1) e �⃗⃗� = (1, 1, −1), calcule o valor de 
“x” para que o volume do paralelepípedo determinado por �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� seja de 24 
u.v. (unidades de volume). 
 
11. Sejam os vetores 𝑣 = 10𝑖 , �⃗⃗� = 5𝑖 + 10𝑗 e �⃗� = 3𝑖 + 3𝑗 + 7�⃗� . Calcule o volume de 
um paralelepípedo com arestas determinadas por �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� . 
 
12. Dados os pontos A(1,0,-1), B(0,2,-1) , C(1,1,-1) e D(0,0,1), determine o 
volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB⃗⃗⃗⃗ ⃗, AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ e AD⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
13. Dados os pontos A = (1,2,1), B =(0,1,5), C = ( -1,2,1), D = ( 2,1,3), calcule 
o volume do tetraedro ABCD.