Álgebra Linear e Geometria Analítica I

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143)
Departamento de Matemática
Faculdade de Ciências
Universidade do Porto
Ano lectivo 2015/16
Notas da autoria de Gabriela Chaves
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 0.0 - ‖1
Programa
1. Sistemas de equações lineares e matrizes
2. Determinantes
3. Espaços vectoriais e aplicações lineares
4. Vectores e valores próprios
5. Produto interno (produto escalar)
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Bibliografia
I slides das aulas e folhas de exercícios disponíveis na internet
I Anton, H., Rorres, C. Elementary Linear Algebra
I Monteiro, A. Álgebra Linear e Geometria Analítica
I Mansfield, L. Linear Algebra with Geometric Applications
I Edwards jr. C. H. Elementary linear algebra
I http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 0.0 - ‖3
Avaliação
I 2 testes, cotados para 10 valores cada um:
I primeiro: 04/11;
I segundo: 16/12;
I sendo Y e Z as classificações obtidas nos testes, o aluno tem
aprovação com a classificação de (Y + Z) se (Y + Z) é maior
ou igual a 10 valores e não veio ao exame da época normal.
I Exame final da época normal cotado para 20 valores:
I terá duas partes, cada uma valendo 10 valores;
I o aluno que venha ao exame da época normal poderá optar
por deixar em branco alguma das duas partes, sendo nesse
caso considerada a classificação que teve no respetivo teste.
I Exame da época de recurso cotado para 20 valores:
I terá duas partes, cada uma valendo 10 valores;
I o aluno que não tenha sido aprovado na época normal e venha
ao exame da época de recurso poderá optar por deixar em
branco alguma das duas partes, sendo nesse caso considerada
a classificação que teve no respetivo teste.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 0.0 - ‖4
Avaliação
I O aluno que tenha sido aprovado na época normal e venha
fazer exame de melhoria de nota na época de recurso, não
poderá usar qualquer das classificações que obteve nos testes
(caso tenha realizado um ou ambos os testes).
I No exame da época de recurso não pode ser usada a
classificação de qualquer parte do exame da época normal.
I O aluno que tenha sido aprovado no ano letivo 2014/15 e que
queira fazer melhoria de nota, só poderá fazê-lo por exame e
não por testes.
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Sistemas de equações lineares
I Sistema de m equações lineares a n incógnitas:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
· · ·
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
I Diz-se que o sistema é homogéneo sse todos os bj são nulos.
I (c1, . . . , cn) é solução do sistema se substituindo cada xj por
cj se obtêm igualdades verdadeiras.
I Dois sistemas dizem-se equivalentes sse tiverem o mesmo
conjunto de soluções.
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Gauss ‖6
Exemplos: sistemas
I
{
3x1 + x2 − x3 = 1
2x2 + 5x3 = 7
é um sistema não homógeneo
I
{
x1 − x2 + 7x3 = 0
x2 + 5x4 = 0
é um sistema homogéneo
I
{
4x1 − 3x2 + x3 − 1 = 0
x1 − 3x2 = 0 não é um sistema homogéneo
I
{
−2x1 + x3 = 5x4
2x2 = 3x1
é equivalente a{
−2x1 + x3 − 5x4 = 0
3x1 − 2x2 = 0 , que é um sistema homogéneo.
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Gauss ‖7
Exemplos: soluções de sistemas
I (2, 1) é uma solução do sistema

2x1 + x2 = 5
3x2 = 3
x1 − x2 = 1
I (0, 0) não é uma solução do sistema

2x1 + x2 = 5
3x2 = 3
x1 − x2 = 1
I Todos os pares (a+1,2a), com a ∈ R são soluções do sistema{
2x1 − x2 = 2
−2x1 + x2 = −2
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Exemplos: sistemas equivalentes
I Os sistemas
{
x1 + x2 = 3
2x1 − x2 = 3 e
{
2x1 + 3x2 = 5
x1 − x2 = 2 não são
equivalentes: (2, 1) é solução do primeiro mas não do segundo.
I Os sistemas
{
x1 = 3
2x1 + x2 = 5
e
{
x1 + 3x2 = 0
x2 = −1 são
equivalentes: (3,−1) é a única solução do primeiro e é a única
solução do segundo.
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Sistemas (im)possíveis, (in)determinados, homogéneos
I Diz-se que um sistema é possível se tiver pelo menos uma
solução; caso contrário diz-se que é impossível.
I Diz-se que um sistema é possível e determinado se tiver
exactamente uma solução.
I Diz-se que um sistema é possível e indeterminado se tiver
mais do que uma solução.
I Um sistema homogéneo é sempre possível (porquê?); pode ser
determinado ou indeterminado.
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Exemplos: sistemas (im)possíveis, (in)determinados
I
{
x1 + x2 = 3
x1 + x2 = 5
é um sistema impossível.
I
{
x1 + x2 = 5
x2 = 1
é um sistema possível e determinado: a única
solução é (4, 1).
I
{
x1 − x2 = 3
−2x1 + 2x2 = −6 é um sistema possível e indeterminado:
qualquer par da forma (a, a − 3) é solução do sistema; o
sistema tem uma infinidade de soluções.
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Matriz de um sistema
I Matriz do sistema:
a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
... ... ... ...
am1 am2 · · · amn bm

Matriz dos coeficientes:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
am1 am2 · · · amn

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Exemplo: matriz dos coeficientes/ sistema
I Para o sistema

x1 + 3x2 − 53x3 = 7
2x1 −
√
2x2 + 47x3 = 8
x2 + 5x3 = 0
,
I a matriz do sistema é
 1 3 −
5
3 7
2 −√2 47 8
0 1 5 0

I e a matriz dos coeficientes é
 1 3 −
5
3
2 −√2 47
0 1 5
.
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Gauss ‖13
Exemplo: matriz dos coeficientes/ sistema
I Para o sistema

(3 + i)x1 + 3x2 − 53 ix3 = 7−
√
2− 3i
2x1 −
√
2x2 + (47 − 5i)x3 = 8
(3− 5i)x2 + (7 + 37 i)x3 = 0
,
I a matriz do sistema é 3 + i 3 −53 i 7−
√
2− 3i
2 −√2 47 − 5i 8
0 3− 5i 7 + 37 i 0

I e a matriz dos coeficientes é
 3 + i 3 −
5
3 i
2 −√2 47 − 5i
0 3− 5i 7 + 37 i

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Operações que levam a sistemas equivalentes
Se num sistema de equações
I se substituir uma equação pelo seu produto por um número
diferente de zero
I se trocar a ordem das equações
I se substituir uma equação pela soma dessa equação com o
produto de outra por qualquer número
obtém-se um sistema de equações equivalente.
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Exemplos: operações sobre sistemas
I
{
2x + 3y = 5
−x + 7y = 1 ⇔
{
6x + 9y = 15
−x + 7y = 1
I
{
2x + y − z = 1
6x + 3y = 7 ⇔
{
6x + 3y = 7
2x + y − z = 1
I
{
x + 2y = 3
2x − y = 4 ⇔
{
x + 2y = 3
2x − y − 2(x + 2y) = 4− 2× 3
⇔
{
x + 2y = 3
−5y = −2
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Exemplos: operações sobre linhas de matrizes
O que acontece às matrizes ao efectuar estas operações?
I
{
2x + 3y= 5
−x + 7y = 1 ⇔
{
6x + 9y = 15
−x + 7y = 1
I
(
2 3 5
−1 7 1
)
↔
(
6 9 15
−1 7 1
)
I Multiplicar a primeira equação por 3 corresponde a multiplicar
a primeira linha da matriz do sistema por 3.
I
{
2x + y − z = 1
6x + 3y = 7 ⇔
{
6x + 3y = 7
2x + y − z = 1
I
(
2 1 −1 1
6 3 0 7
)
↔
(
6 3 0 7
2 1 −1 1
)
I Trocar duas equações corresponde a trocar duas linhas da
matriz do sistema.
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Gauss ‖17
Exemplo: operações sobre linhas de matrizes
I
{
x + 2y = 3
2x − y = 4 ⇔
{
x + 2y = 3
2x − y − 2(x + 2y) = 4− 2× 3
⇔
{
x + 2y = 3
−5y = −2
I
(
1 2 3
2 −1 4
)
↔
(
1 2 3
2− 2× 1 −1− 2× 2 4− 2× 3
)
I Subtrair duas vezes a primeira equação à segunda equação
corresponde a subtrair duas vezes a primeira linha da matriz à
segunda.
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Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
Se numa matriz
I se substituir uma linha pelo seu produto por um número
diferente de zero
I se trocar a ordem das linhas
I se substituir uma linha pela soma dessa linha com o produto
de outra por qualquer número
o sistema correspondente à matriz obtida é equivalente ao sistema
correspondente à matriz inicial.
Diz-se que duas matrizes são equivalentes por linhas sse uma se
obtém da outra por um número finito de operações destes tipos.
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Exemplos: sistemas “já resolvidos”
Sistemas particularmente simples e respectivas matrizes:
I

x = 1
y = 2
z = −3
 1 0 0 10 1 0 2
0 0 1 −3
 (sistema possível e
determinado)
I

x = 0
y = 0
0 = 1
 1 0 00 1 0
0 0 1
 (sistema impossível)
I
{
x + z = 3
y − z = 5
(
1 0 1 3
0 1 −1 5
)
(sistema possível e
indeterminado: as soluções são da forma (3− a, 5 + a, a), com
a ∈ R)
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Matriz na forma de Gauss
Diz-se que uma matriz está na forma de Gauss sse as condições
seguintes se verificam:
I a primeira entrada não nula de qualquer linha não nula é 1;
I a primeira entrada não nula de qualquer linha não nula está à
direita da primeira entrada não nula de qualquer linha anterior;
I em qualquer coluna que contenha a primeira entrada não nula
de uma linha, todas as outras entradas são nulas;
I se existirem linhas nulas, são as últimas.
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Gauss ‖21
Exemplos: matrizes na forma de Gauss
I
 1 0 0 30 1 0 2
0 0 1 4
 está na forma de Gauss.
I
 1 0 1 0 20 1 1 0 3
0 0 0 1 4
 está na forma de Gauss.
I
(
0 1 2 0 −3
0 0 0 1 5
)
está na forma de Gauss.
I
 1 0 0 30 0 1 0
0 0 0 0
 está na forma de Gauss.
I
 1
√
3i 0 3− 7i
0 0 1 12 + 4i
0 0 0 0
 está na forma de Gauss.
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Gauss ‖22
Exemplos: sistemas com matrizes na forma de Gauss
Sistemas correspondentes às matrizes anteriores
I

x = 3
y = 2
z = 4
; única solução: (3, 2, 4)
I

x + z = 2
y + z = 3
t = 4
; soluções: (2− a, 3− a, a, 4), a ∈ R
I
{
y + 2z = −3
t = 5 ; soluções: (a,−3− 2b, b, 5), a, b ∈ R
I

x = 3
z = 0
0 = 0
; soluções: (3, a, 0), a ∈ R
I
{
x +
√
3iy = 3− 7i
z = 12 + 4i
; soluções:
(3− 7i −√3ia, a, 12 + 4i), a ∈ C
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Gauss ‖23
Exemplos: matrizes não na forma de Gauss
I
 3 0 0 20 1 5 4
0 0 0 6
 não está na forma de Gauss.
I
(
0 1 0 1
1 0 0 3
)
não está na forma de Gauss.
I
(
1 0 1
1 0 1
)
não está na forma de Gauss.
I
(
0 0
1 1
)
não está na forma de Gauss.
I
 1 + i 0 00 1− i 1 + i
0 2− i 1 + 2i
 não está na forma de Gauss.
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Gauss ‖24
Forma de Gauss de uma matriz
I Se a matriz de um sistema está na forma de Gauss, então é
muito fácil ver quais são as soluções do sistema.
I Pode-se mostrar que, dada qualquer matriz M, existe uma
única matriz na forma de Gauss que é equivalente por linhas a
M.
I A essa matriz chama-se a forma de Gauss de M.
I Conclui-se que se duas matrizes na forma de Gauss são
equivalentes por linhas então são iguais.
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Algoritmo para determinar a forma de Gauss de uma matriz
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Gauss ‖26
Exemplo: determinação da forma de Gauss de uma matriz
1.

x − y + z = 1
2x − z = 3
−x + 3y = 1
 1 −1 1 12 0 −1 3
−1 3 0 1

L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 + L1

x − y + z = 1
2y − 3z = 1
2y + z = 2
 1 −1 1 10 2 −3 1
0 2 1 2

L2 → 12L2

x − y + z = 1
y − 32z = 12
2y + z = 2
 1 −1 1 10 1 −32 12
0 2 1 2

L1 → L1 + L2
L3 → L3 − 2L2

x − 12z = 32
y − 32z = 12
4z = 1
 1 0 −12 320 1 −32 12
0 0 4 1

(continua)
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Gauss ‖27
Exemplo: determinação da forma de Gauss de uma matriz

x − 12z = 32
y − 32z = 12
4z = 1
 1 0 −12 320 1 −32 12
0 0 4 1

L3 → 14L3

x − 12z = 32
y − 32z = 12
z = 14
 1 0 −12 320 1 −32 12
0 0 1 14

L1 → L1 + 12L3
L2 → L2 + 32L3

x = 138
y = 78
z = 14
 1 0 0 1380 1 0 78
0 0 1 14

Sistema possível e determinado; solução: (138 ,
7
8 ,
1
4)
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Gauss ‖28
Exemplo: determinação da forma de Gauss de uma matriz
2.

x + y − z = 1
2x + z = 3
x − y + 2z = 2
 1 1 −1 12 0 1 3
1 −1 2 2

L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1

x + y − z = 1
−2y + 3z = 1
−2y + 3z = 1
 1 1 −1 10 −2 3 1
0 −2 3 1

L2 → −12L2

x + y − z = 1
y − 32z = −12
−2y + 3z = 1
 1 1 −1 10 1 −32 −12
0 −2 3 1

L1 → L1 − L2
L3 → L3 + 2L2

x + 12z =
3
2
y − 32z = −12
0 = 0
 1 0 12 320 1 −32 −12
0 0 0 0

Sistema possível e indeterminado; soluções:
(32 − 12a,−12 + 32a, a), a ∈ R
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Gauss ‖29
Exemplo: determinação da forma de Gauss de uma matriz
3.

3x − 6y + 3z − 3t + 9w = 18
t − w = −2
x − 2y + 3z − t + 7w = 8
2x − 4y + 3z − t + 7w = 11

3 −6 3 −3 9 18
0 0 0 1 −1 −2
1 −2 3 −1 7 8
2 −4 3 −1 7 11

L1 → 13L1

x − 2y + z − t + 3w = 6
t − w = −2
x − 2y + 3z − t + 7w = 8
2x − 4y + 3z − t + 7w = 11

1 −2 1 −1 3 6
0 0 0 1 −1 −2
1 −2 3 −1 7 8
2 −4 3 −1 7 11

L3 → L3 − L1
L4 → L4−2L1

x − 2y + z − t + 3w = 6
t − w = −2
2z + 4w = 2
z + t + w = −1

1 −2 1 −1 3 6
0 0 0 1 −1 −2
0 0 2 0 4 2
0 0 1 1 1 −1

L2 ↔ L3
x − 2y + z − t + 3w = 6
2z + 4w = 2
t − w = −2
z + t + w = −1

1 −2 1 −1 3 6
0 0 2 0 4 2
0 0 0 1 −1 −2
0 0 1 1 1 −1

(continua)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖30
Exemplo: determinação da forma de Gauss de uma matriz
x − 2y + z − t + 3w = 6
2z + 4w = 2
t − w = −2
z + t + w = −1

1 −2 1 −1 3 6
0 0 2 0 4 2
0 0 0 1 −1 −2
0 0 1 1 1 −1

L2 → 12L2

x − 2y + z − t + 3w = 6
z + 2w = 1
t − w = −2
z + t + w = −1

1 −2 1 −1 3 6
0 0 1 0 2 1
0 0 0 1 −1 −2
0 0 1 1 1 −1

L1 → L1 − L2
L4 → L4 − L2

x − 2y − t + w = 5
z + 2w = 1
t − w = −2
t − w = −2

1 −2 0 −1 1 5
0 0 1 0 2 1
0 0 0 1 −1 −2
0 0 0 1 −1 −2

L1 → L1 + L3
L4 → L4 − L3

x − 2y = 3
z + 2w = 1
t − w = −2
0 = 0

1 −2 0 0 0 3
0 0 1 0 2 1
0 0 0 1 −1 −2
0 0 0 0 0 0

Sistema possível e indeterminado; soluções:
(3 + 2a, a, 1− 2b,−2 + b, b), a, b ∈ R)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖31
Exemplo: determinação da forma de Gauss de uma matriz
4.

x + y + z = 1
y − z = 2
2x + 4z = 0
 1 1 1 10 1 −1 2
2 0 4 0

L3 → L3 − 2L1

x + y + z = 1
y − z = 2
−2y + 2z = −2
 1 1 1 10 1 −1 2
0 −2 2 −2

L1 → L1 − L2
L3 → L3 + 2L2

x + 2z = −1
y − z = 2
0 = 2
 1 0 2 −10 1 −1 2
0 0 0 2

Sistema impossível
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖32
Característica de uma matriz
I Chama-se característica de uma matriz ao número de linhas
não nulas da sua forma de Gauss.
I A característica de uma matriz é sempre menor ou igual ao
número de linhas da matriz. (porquê?)
I A característica de uma matriz é sempre menor ou igual ao
número de colunas da matriz. (porquê?)
I Se a uma matriz se acrescentarem linhas ou colunas, a matriz
obtida tem característica maior ou igual à característica da
matriz original. (porquê?)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖33
Exemplos: característica
matriz forma de Gauss de A característica de A
A =
 1 −1 1 12 0 −1 3
−1 3 0 1

 1 0 0 1380 1 0 78
0 0 1 14
 3
A =
 1 1 −1 12 0 1 3
1 −1 2 2

 1 0 12 320 1 −32 −12
0 0 0 0
 2
A =

3 −6 3 −3 9 18
0 0 0 1 −1 −2
1 −2 3 −1 7 8
2 −4 3 −1 7 11


1 −2 0 0 0 3
0 0 1 0 2 1
0 0 0 1 −1 −2
0 0 0 0 0 0
 3
A =
 1 1 1 10 1 −1 2
2 0 4 0

 1 0 2 00 1 −1 0
0 0 0 1
 3
A =

1 0 1 5 −1
3 0 1 11 −1
1 0 −1 1 1
5 0 1 17 −1


1 0 0 3 0
0 0 1 2 −1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 2
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖34
Matriz escalonada
Diz-se que uma matriz está escalonada sse as condições seguintes
se verificam:
I a primeira entrada não nula de qualquer linha não nula está à
direita da primeira entrada não nula de qualquer linha anterior;
I em qualquer coluna que contenha a primeira entrada não nula
de uma linha, todas as entradas de linhas inferiores são nulas;
I se existirem linhas nulas, são as últimas.
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Gauss ‖35
Exemplos: matrizes escalonadas e não escalonadas
I
 2 3 1 5 00 0 4 0 2
0 0 0 0 1
 está escalonada
I
 1 5 −2 3 0 50 0 2 4 0 0
0 0 0 3 1 −1
 está escalonada
I
 2 3 5 22 1 0 0
0 1 3 0
 não está escalonada
I
 0 3 51 0 0
0 0 0
 não está escalonada
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Gauss ‖36
Característica de uma matriz escalonada
I Se duas matrizes são equivalentes por linhas, têm a mesma
forma de Gauss, e portanto a mesma característica.
I Se uma matriz está escalonada, a sua característica é igual ao
número de linhas não nulas. (porquê?)
I Duas matrizes escalonadas podem ser equivalentes por linhas
sem serem iguais (exemplo?)
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Gauss ‖37
Exemplos: característica de matrizes escalonadas
I car
 2 3 1 5 00 0 4 0 2
0 0 0 0 1
 = 3
I car
 1 5 −2 3 0 50 0 2 4 0 0
0 0 0 3 1 −1
 = 3
I car
 2 0 3 10 5 1 −2
0 0 0 0
 = 2
I car
 3 5 1 40 0 0 0
0 0 0 0
 = 1
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖38
Discussão de sistemas em função da característica
I A característica da matriz de um sistema é sempre maior ou
igual à característica da matriz dos coeficientes. (porquê?)
I Se a característica da matriz de um sistema é maior do que a
característica da matriz dos coeficientes, então o sistema é
impossível. (porquê?)
I Se a característica da matriz de um sistema é igual à
característica da matriz dos coeficientes e igual ao número de
incógnitas então o sistema é possível e determinado.
(porquê?)
I Se a característica da matriz de um sistema é igual à
característica da matriz dos coeficientes e menor do que o
número de incógnitas então o sistema é possível e
indeterminado. (porquê?)
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Gauss ‖39
Exemplos: discussão de sistemas
1.
I

a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
a31x + a32y + a33z = b3
I Seja A a matriz dos coeficientes e M a matriz do sistema.
I Tem-se carA ≤ 3 e carM ≤ 3.
I Se carA = 3, o sistema é possível e determinado.
2.
I
{
a11x + a12y + a13z + a14t = b1
a21x + a22y + a23z + a24t = b2
I Seja A a matriz dos coeficientes.
I Tem-se carA ≤ 2, portanto o sistema não pode ser possível e
determinado; pode ser impossível ou possível e indeterminado.
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Gauss ‖40
Exemplos: discussão de sistemas
3.

x + y + z = 2a
x + 2z = 3
y + (a2 − 5)z = 1
A matriz do sistema é
 1 1 1 2a1 0 2 3
0 1 a2 − 5 1

Usando o algoritmo para determinar a forma de Gauss:
L2 → L2 − L1
 1 1 1 2a0 −1 1 3− 2a
0 1 a2 − 5 1

L2 → −L2
 1 1 1 2a0 1 −1 2a − 3
0 1 a2 − 5 1

L1 → L1 − L2
L3 → L3 − L2
 1 0 2 30 1 −1 2a − 3
0 0 a2 − 4 4− 2a

(continua)ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método deGauss ‖41
Exemplos: discussão de sistemas
1º caso: a2 − 4 6= 0, isto é, a 6= 2 e a 6= −2
Continuando o algoritmo:
L3 → 1a2−4L3
 1 0 2 30 1 −1 2a − 3
0 0 1 − 2a+2

L1 → L1 − 2L3
L2 → L2 + L3
 1 0 0
3a+10
a+2
0 1 0 2a2+a−8a+2
0 0 1 − 2a+2


x = 3a+10a+2
y = 2a2+a−8a+2
z = − 2a+2
A característica da matriz do sistema é 3, a característica da
matriz dos coeficientes é 3 e o número de incógnitas é 3.
Para a ∈ R \ {−2, 2}, o sistema é possível e determinado, e a
única solução é
(
3a+10
a+2 ,
2a2+a−8
a+2 ,− 2a+2
)
.
(continua)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖42
Exemplos: discussão de sistemas
2º caso: a = 2
Substituindo a por2 temos a matriz 1 0 2 30 1 −1 1
0 0 0 0

que está na forma de Gauss e corresponde ao sistema
x + 2z = 3
y − z = 1
0 = 0
.
A característica da matriz do sistema é 2, a característica da
matriz dos coeficientes é 2 e o número de incógnitas é 3.
Para a = 2, o sistema é possível e indeterminado; as soluções são
(3− 2c, 1 + c, c), c ∈ R.
(continua)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖43
Exemplos: discussão de sistemas
3º caso: a = −2
Substituindo a por −2 temos a matriz 1 0 2 30 1 −1 −7
0 0 0 8

que corresponde ao sistema

x + 2z = 3
y − z = −7
0 = 8
, obviamente
impossível.
A característica da matriz do sistema é 3, a característica da
matriz dos coeficientes é 2.
Para a = −2, o sistema é impossível.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖44
Exemplos: discussão de sistemas
4.

x + (−1 + i)y + (3 + 2i)z = 1
iy + 2z = 0
ix + (−1− i)y + (a2 − 2a + 3i)z = a − 1 + 2i
A matriz do sistema é
 1 −1 + i 3 + 2i 10 i 2 0
i −1− i a2 − 2a + 3i a − 1 + 2i

Usando o algoritmo para determinar a forma de Gauss:
L3 → L3 − iL1
 1 −1 + i 3 + 2i 10 i 2 0
0 0 a2 − 2a + 2 a − 1 + i

L2 → 1i L2
 1 −1 + i 3 + 2i 10 1 −2i 0
0 0 a2 − 2a + 2 a − 1 + i

L1 → L1−(−1+i)L2
 1 0 1 10 1 −2i 0
0 0 a2 − 2a + 2 a − 1 + i

(continua)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖45
Exemplos: discussão de sistemas
1º caso: a2 − 2a + 2 6= 0, isto é, a 6= 1 + i e a 6= 1− i
Continuando o algoritmo:
L3 → 1a2−2a+2L3
 1 0 1 10 1 −2i 0
0 0 1 1a−1−i

L1 → L1 − L3
L2 → L2 + 2iL3
 1 0 0
a−2−i
a−1−i
0 1 0 2ia−1−i
0 0 1 1a−1−i


x = a−2−ia−1−i
y = 2ia−1−i
z = 1a−1−i
A característica da matriz do sistema é 3, a característica da
matriz dos coeficientes é 3 e o número de incógnitas é 3.
Para a ∈ C \ {1− i , 1 + i}, o sistema é possível e determinado, e a
única solução é
(
a−2+i
a−1+i ,
2i
a−1+i ,
1
a−1+i
)
.
(continua)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖46
Exemplos: discussão de sistemas
2º caso: a = 1− i
Substituindo a por 1− i temos a matriz 1 0 1 10 1 −2i 0
0 0 0 0

que está na forma de Gauss e corresponde ao sistema
x + z = 1
y − 2iz = 0
0 = 0
.
A característica da matriz do sistema é 2, a característica da
matriz dos coeficientes é 2 e o número de incógnitas é 3.
Para a = 1− i , o sistema é possível e indeterminado; as soluções
são (1− c, 2ic, c), c ∈ C.
(continua)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖47
Exemplos: discussão de sistemas
3º caso: a = 1 + i
Substituindo a por 1 + i temos a matriz 1 0 1 10 1 −2i 0
0 0 0 2i

que corresponde ao sistema

x + z = 1
y − 2iz = 0
0 = 2i
, obviamente
impossível.
A característica da matriz do sistema é 3, a característica da
matriz dos coeficientes é 2.
Para a = 1 + i , o sistema é impossível.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.1 Sistemas de equações lineares e matrizes - Resolução de sistemas pelo método de
Gauss ‖48
Matrizes
I Notação: Mm,n(R) =
{matrizes de m linhas e n colunas com entradas em R}
I Notação: Mm,n(C) =
{matrizes de m linhas e n colunas com entradas em C}
I Observação: Mm,n(R) ⊂ Mm,n(C)
I
(
3 1 7
2 −53
√
3 + 1
)
∈ M2,3(R)
I
(
3 1 7
2 −53
√
3 + 1
)
∈ M2,3(C)
I

1 −√5
4 − 41+√5
2 + 1pi+1 i 7
4 12 + 2i
0 0
∈ M5,2(C)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖49
Matriz transposta: definição
I Seja A ∈ Mm,n(C), A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
am1 am2 · · · amn

I Chama-se transposta de A à matriz

a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2
... ... ...
a1n a2n · · · amn
,
que se obtém trocando as linhas de A com as colunas.
I Notação: At
I Se A ∈ Mm,n(C) então At ∈ Mn,m(C)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖50
Matriz transposta: exemplos
I A =

2 1
4 3
7 15
2 −1
, At =
(
2 4 7 2
1 3 15 −1
)
I A =
 2 + 3i 5 −7 + 2i1 0 0
0 5− 76 i
√
2 +
√
3i
,
At =
 2 + 3i 1 05 0 5− 76 i
−7 + 2i 0 √2 +√3i

ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖51
Soma de matrizes: definição
Soma de duas matrizes de m linhas e n colunas:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
am1 am2 · · · amn
+

b11 b12 · · · b1n
b21 b22 · · · b2n
... ... ...
bm1 bm2 · · · bmn
 =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n
... ... ...
am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn

ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖52
Exemplos: soma de matrizes
I
(
2 1 3 4
5 3 −2 −12
)
+
(
1 −2 0 −5
2 −1 −35 4
)
=(
3 −1 3 −1
7 2 −135 72
)
I
 1
√
3
0 −2
3 53
+
 2 05 −1
2 3
 =
 3
√
3
5 −3
5 143

ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖53
Produto de um número por uma matriz: definição
Produto de um número por uma matriz:
c

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
am1 am2 · · · amn
 =

ca11 ca12 · · · ca1n
ca21 ca22 · · · ca2n
... ... ...
cam1 cam2 · · · camn

ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖54
Exemplos: produto de um número por uma matriz
I 5
(
2 1 −3
0 1 −4
)
=
(
10 5 −15
0 5 −20
)
I −12
 1 2 3−2 −3 −4
5 6 7
 =
 −12 −1 −321 32 2
−52 −3 −72

I (1 + i)
 3 + i 1− 2i5 0√
2 +
√
3i 52
 =
 2 + 4i 3− i5 + 5i 0√
2−√3 + (√2 +√3)i 52 + 52 i

ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖55
Produto de matrizes
Produto de duas matrizes tais que o número de colunas da
primeira é igual ao número de linhas da segunda (só se define
produto de matrizes neste caso):
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
am1 am2 · · · amn
 ·

b11 b12 · · · b1p
b21 b22 · · · b2p
... ... ...
bn1 bn2 · · · bnp
 =

c11 c12 · · · c1p
c21 c22 · · · c2p
... ... ...
cm1 cm2 · · · cmp

onde cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + · · · ainbnj =
n∑
k=1
aikbkj .
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖56
Exemplos: produto de matrizes
I
(
1 2
3 4
)(
5 6
7 8
)
=
(
1× 5 + 2× 7 1× 6 + 2× 8
3× 5 + 4× 7 3× 6 + 4× 8
)
=(
19 22
43 50
)
I

2 1
−1 3
0 −5
−4 1

(
4 1 −2
7 2 0
)
=

2× 4 + 1× 7 2× 1 + 1× 2 2× (−2) + 1× 0
−1× 4 + 3× 7 −1× 1 + 3× 2 −1× (−2) + 3× 0
0× 4− 5× 7 0× 1− 5× 2 0× (−2)− 5× 0
−4× 4 + 1× 7 −4× 1 + 1× 2 −4× (−2) + 1× 0
 =

15 4 −4
17 5 2
−35 −10 0
−9 −2 8

ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖57
Produtode matrizes: caso particular
Tem-se
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
am1 am2 · · · amn


x1
x2
...
xn
 =

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn

Portanto o sistema
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
· · ·
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
pode-se escrever na forma AX = B, onde A é a matriz dos
coeficientes, X =

x1
x2
...
xn
, e B =

b1
b2
...
bm

ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖58
Produto de matrizes
I Sejam A ∈ Mm,n(C), B ∈ Mn,p(C).
I Sejam B1,B2, . . . ,Bp as colunas de B, isto é,
B =
(
B1 B2 · · · Bp
)
I Então as colunas de AB são AB1,AB2, . . . ,ABp, isto é,
AB =
(
AB1 AB2 · · · ABp
)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖59
Operações com matrizes: propriedades
I Para quaisquer matrizes A, B, C , tem-se
I A + B = B + A
I (A + B) + C = A + (B + C)
I A(B + C) = AB + AC
I (A + B)C = AC + BC
I (AB)C = A(BC)
desde que A, B, C tenham um número de linhas e colunas
tais que as operações sejam possíveis.
I MAS: em geral AB 6= BA
Exercício (com bastantes cálculos)
mostrar estas propriedades
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖60
Exemplo: não comutatividade do produto
I
(
1 2
0 −1
)(
3 −1
2 1
)
=
(
7 1
−2 −1
)
I
(
3 −1
2 1
)(
1 2
0 −1
)
=
(
3 7
2 3
)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖61
Matriz identidade
I Chama-se matriz identidade de ordem n à matriz In, onde
In =

1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
... ... ...
0 0 · · · 1
, In ∈ Mn,n(R).
I Para qualquer M ∈ Mm,n(C), tem-se ImM = M e MIn = M.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖62
Exemplos: matriz identidade
I
 1 0 00 1 0
0 0 1

 2 1 3 45 0 −2 −6
7 1 4 3
 =
 2 1 3 45 0 −2 −6
7 1 4 3

I

7 −1
0 2
−4 5
3 6

(
1 0
0 1
)
=

7 −1
0 2
−4 5
3 6

ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖63
Inversa de uma matriz
I Diz-se que M ∈ Mm,n(C) tem inversa sse existe uma matriz
M ′ tal que MM ′ e M ′M são matrizes identidade (se existir,
tem-se M ′ ∈ Mn,m(C); porquê?)
I Pode-se mostrar que só matrizes quadradas têm inversa (mas
nem todas as matrizes quadradas têm inversa).
I Diz-se que M ∈ Mn,n(C) é singular sse não tem inversa.
I Se uma matriz tiver inversa, essa inversa é única; se existir,
designa-se por M−1 a inversa de M.
I Pode-se mostrar que se M,M ′ ∈ Mn,n(C) e MM ′ = In ou
M ′M = In, então M ′ é inversa de M.
I Se M ∈ Mn,n(C), então M tem inversa sse carM = n.
Exercício
Dar exemplo de m, n ∈ N, M ∈ Mm,n(R) e M ′ ∈ Mn,m(R) tais que
MM ′ = Im mas M ′M 6= In.
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Demonstração da unicidade da inversa
Suponhamos que M ′ e M ′′ são inversas da matriz M ∈ Mm,n(C).
I M ′(MM ′′) = M ′Im = M ′
I (M ′M)M ′′ = InM ′′ = M ′′
I Pela associatividade do produto, M ′(MM ′′) = (M ′M)M ′′.
I Portanto M ′ = M ′′.
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Demonstração de que M tem inversa ⇔ carM = n
Usar-se-á a seguinte propriedade não demonstrada: se
M,M ′ ∈ Mn,n(C) e MM ′ = In, então M ′ é inversa de M.
Seja M ∈ Mn,n(C).
M tem inversa sse existe

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
an1 an2 · · · ann
 tal que
M

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
an1 an2 · · · ann
 = In.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖66
Demonstração de que M tem inversa ⇔ carM = n (cont)
É o mesmo que dizer que existem
a11, a12, . . . , a1n, a21, a22, . . . , a2n, . . . , an1, an2, . . . , ann
tais que M

a11
a21
...
an1
 =

1
0
...
0
, M

a12
a22
...
an2
 =

0
1
...
0
, . . . ,
M

a1n
a2n
...
ann
 =

0
0
...
1

ou seja que os sistemas
M

x1
x2
...
xn
 =

1
0
...
0
, M

x1
x2
...
xn
 =

0
1
...
0
, . . . , M

x1
x2
...
xn
 =

0
0
...
1

são possíveis.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖67
Demonstração de que M tem inversa ⇔ carM = n (cont)
I Se carM = n, então todas as características das matrizes
destes sistemas são iguais a n (porquê?) logo todos os
sistemas são possíveis e determinados (porquê?)
I Se carM < n, então cada sistema é indeterminado ou
impossível.
I se algum é impossível, não existe inversa
I se todos fossem indeterminados, existiria mais do que uma
inversa de A, o que já se sabe que não pode acontecer;
portanto não se pode dar esta situação.
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Exemplo: matrizes inversas
I
(
3 2
1 1
)(
1 −2
−1 3
)
=
(
1 0
0 1
)
,(
1 −2
−1 3
)(
3 2
1 1
)
=
(
1 0
0 1
)
, portanto
(
3 2
1 1
)
e(
1 −2
−1 3
)
são inversas uma da outra.
I
(
3 2
1 1
)−1
=
(
1 −2
−1 3
)
I
(
1 −2
−1 3
)−1
=
(
3 2
1 1
)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖69
Exemplo: matrizes inversas
I
 1 1 10 1 1
0 0 1

 1 −1 00 1 −1
0 0 1
 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
,
 1 −1 00 1 −1
0 0 1

 1 1 10 1 1
0 0 1
 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
, portanto
 1 1 10 1 1
0 0 1
 e
 1 −1 00 1 −1
0 0 1
 são inversas uma da outra.
I
 1 1 10 1 1
0 0 1

−1
=
 1 −1 00 1 −1
0 0 1

I
 1 −1 00 1 −1
0 0 1

−1
=
 1 1 10 1 1
0 0 1

ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖70
Exemplo: Cálculo da inversa de
 1 5
2 3

(
1 5
2 3
)(
x y
z t
)
=
(
1 0
0 1
)
⇔
(
x + 5z y + 5t
2x + 3z 2y + 3t
)
=
(
1 0
0 1
)
⇔

x + 5z = 1
2x + 3z = 0
y + 5t = 0
2y + 3t = 1
⇔
{
x + 5z = 1
2x + 3z = 0 e
{
y + 5t = 0
2y + 3t = 1
As matrizes dos dois sistemas são
(
1 5 1
2 3 0
)
e
(
1 5 0
2 3 1
)
As formas de Gauss são
(
1 0 −37
0 1 27
)
e
(
1 0 57
0 1 −17
)
, que
correspondem a
{
x = −37
z = 27
e
{
y = 57
t = −17
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖71
Exemplo: Cálculo da inversa de
 1 5
2 3

Então
(
1 5
2 3
)−1
=
(
−37 572
7 −17
)
.
Em vez de calcular separadamente a forma de Gauss das duas
matrizes, é mais simples calcular a forma de Gauss de(
1 5 1 0
2 3 0 1
)
Obtemos
(
1 0 −37 57
0 1 27 −17
)
; a “metade da direita” é a inversa
da matriz inicial.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operaçõescom matrizes ‖72
Cálculo de inversa pelo método de Gauss
Queremos a inversa de M ∈ Mn,n(C), se existir.
I Consideramos a matriz A =
(
M In
)
I Determinamos a forma de Gauss G de A
I Se a “metade esquerda” de G for In, então M tem inversa, e
M−1 é a “metade direita” de G
I Se a “metade esquerda” de G não for In, então carM < n e
M não tem inversa.
Observação: se M ∈ Mn,n(R), e M tiver inversa em Mn,n(C),
então M−1 ∈ Mn,n(R). (porquê?)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.2 Sistemas de equações lineares e matrizes - Operações com matrizes ‖73
Determinantes de ordem 2
Seja A =
(
a b
c d
)
∈ M2,2(C).
Quando é que A tem inversa?
(Quando é que carA = 2?)
caso a 6= 0
L1 → 1aL1
(
1 ba
c d
)
L2 → L2 − cL1
(
1 ba
0 d − bca
)
Conclusão: se a 6= 0, então carA = 2 sse d − bca 6= 0, ou seja,
ad − bc 6= 0
Exercício
verificar que mesmo que a = 0,
carA = 2⇔ ad − bc 6= 0
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Determinantes de ordem 2
Definição
Se A =
(
a b
c d
)
, o determinante de A é ad − bc.
Notação: det
(
a b
c d
)
, detA,
∣∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣∣, |A|
Temos funções
det : M2,2(C) −→ C
A 7→ detA
det : M2,2(R) −→ R
A 7→ detA
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖75
Exemplos: determinantes de ordem 2
I det
(
1 2
3 4
)
= −2
I det
(
−1 2
3 −6
)
= 0
I det
(
5 −2
3 1
)
= 11
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖76
Determinantes de ordem 2: propriedades
I det
(
a + a′ b
c + c ′ d
)
= det
(
a b
c d
)
+ det
(
a′ b
c ′ d
)
I det
(
a b + b′
c d + d ′
)
= det
(
a b
c d
)
+ det
(
a b′
c d ′
)
I det
(
a + a′ b + b′
c d
)
= det
(
a b
c d
)
+ det
(
a′ b′
c d
)
I det
(
a b
c + c ′ d + d ′
)
= det
(
a b
c d
)
+ det
(
a b
c ′ d ′
)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖77
Exemplos: propriedades dos determinantes
I det
(
1 2
3 4
)
= det
(
1 + 0 2
0 + 3 4
)
=
det
(
1 2
0 4
)
+ det
(
0 2
3 4
)
I det
(
1 2
3 4
)
= det
(
1 + 0 0 + 2
3 4
)
=
det
(
1 0
3 4
)
+ det
(
0 2
3 4
)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖78
Determinantes de ordem 2: propriedades
I det
(
ka b
kc d
)
= k det
(
a b
c d
)
= det
(
a kb
c kd
)
I det
(
ka kb
c d
)
= k det
(
a b
c d
)
= det
(
a b
kc kd
)
I det
(
b a
d c
)
= − det
(
a b
c d
)
= det
(
c d
a b
)
I det I2 = det
(
1 0
0 1
)
= 1
Exercício
Mostrar as propriedades dos determinantes (fazer as contas)
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Determinantes de ordem 2: propriedades
I Se M tem duas colunas iguais, então detM = 0.
I Trocando as colunas, o determinante troca de sinal.
I Mas trocando as colunas, a matriz fica igual, portanto o
determinante é o mesmo.
I Se troca de sinal e fica igual, é 0.
I Se M tem duas linhas iguais, então detM = 0.
I Se uma coluna de M é múltipla da outra, então detM = 0.
(porquê?)
I Se uma linha de M é múltipla da outra, então detM = 0.
(porquê?)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖80
Exemplos: propriedades dos determinantes
I det
(
1 2
3 4
)
= det
(
1 2× 1
3 2× 2
)
= 2 det
(
1 1
3 2
)
I det
(
1 2
3 4
)
= det
(
1 2
5× 35 5× 45
)
= 5 det
(
1 2
3
5
4
5
)
I det
(
2 2
3 3
)
= 0
I det
(
1 5
1 5
)
= 0
I det
(
1 4
3 12
)
= 0
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖81
Problema: caracterização do determinante
Exercício (exigindo alguma imaginação)
Mostrar que a função determinante é a única função definida em
M2,2(C) tal que, para quaisquer a, b, c, d , k ∈ C
I det
(
a + a′ b
c + c ′ d
)
= det
(
a b
c d
)
+ det
(
a′ b
c ′ d
)
I det
(
a b + b′
c d + d ′
)
= det
(
a b
c d
)
+ det
(
a b′
c d ′
)
I det
(
ka b
kc d
)
= k det
(
a b
c d
)
= det
(
a kb
c kd
)
I det
(
b a
d c
)
= − det
(
a b
c d
)
I det I2 = det
(
1 0
0 1
)
= 1
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖82
Determinantes de ordem 2: propriedades
I Para qualquer matriz A ∈ M2,2(C) tem-se detA = detAt .
I Para quaisquer matrizes A,A′ ∈ M2,2(C), tem-se
det(AA′) = detA detA′. (exercício)
I A tem inversa sse detA 6= 0, e nesse caso detA−1 = 1detA .
I basta notar que (detA)(detA−1) = det(AA−1) = det I2 = 1
I carA = 2 sse detA 6= 0
I Se A =
(
a b
c d
)
e detA 6= 0, então
A−1 = 1detA
(
d −b
−c a
)
(verificar)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖83
Significado geométrico do determinante
Consideremos um referencial ortonormado no plano.
Sejam A =
(
a b
c d
)
, u = (a, c), v = (b, d)
A área do paralelograma definido pelos vectores u e v é igual ao
módulo do determinante de A.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖84
Significado geométrico do determinante - demonstr
Uma demonstração:
I A área do paralelograma definido por u e v é igual à área do
rectângulo definido por u e w , onde w é a projecção ortogonal
de v sobre um vector ortogonal a u.
I Um vector ortogonal a u é o vector u′ = (−c, a)
I Então w = v |u
′
‖u′‖2 u
′ = (b,d)|(−c,a)c2+a2 (−c, a) = −bc+adc2+a2 (−c, a).
I Portanto ‖w‖ = |−bc+adc2+a2 |‖(−c, a)‖ = |−bc+adc2+a2 |
√
c2 + a2
I área do rectângulo definido por u e w =
‖u‖‖w‖ = √a2 + c2|−bc+adc2+a2 |
√
c2 + a2 = |ad − bc|
(notação: | designa o produto escalar, ‖u‖ designa a norma, ou
comprimento, do vector u)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖85
Significado geométrico do determinante - demonstr
Outra demonstração:
I A área do paralelograma definido por u e v é igual à área do
rectângulo definido por u e w , onde w é a projecção ortogonal
de v sobre um vector ortogonal a u.
I ‖w‖‖v‖ = sen θ =
√
1− cos2 θ
I cos θ = u|v‖u‖‖v‖ =
ab+cd√
a2+c2
√
b2+d2
I 1− cos2 θ = 1− (ab+cd)2(a2+c2)(b2+d2) = a
2d2+b2c2−2abcd
(a2+c2)(b2+d2) =
(ad−bc)2
(a2+c2)(b2+d2)
I sen θ = |ad−bc|√a2+c2√b2+d2
I área=‖u‖‖w‖ = ‖u‖‖v‖ sen θ =
√
a2 + c2
√
b2 + d2 |ad−bc|√a2+c2√b2+d2 = |ad − bc|
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖86
Exemplos: propriedades dos determinantes
I det
(
1 2
3 4
)
= −2 6= 0, portanto car
(
1 2
3 4
)
= 2 e(
1 2
3 4
)
tem inversa;(
1 2
3 4
)−1
= −12
(
4 −2
−3 1
)
=
(
−2 1
3
2 −12
)
I det
(
5 −2
3 1
)
= 11 6= 0, portanto car
(
5 −2
3 1
)
= 2 e(
5 −2
3 1
)
tem inversa;(
5 −2
3 1
)−1
= 111
(
1 2
−3 5
)
=
(
1
11
2
11
− 311 511
)
I det
(
3 −1
−6 2
)
= 0, portanto car
(
3 −1
−6 2
)
< 2 e(
3 −1
−6 2
)
não tem inversa.
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Determinantes de ordem n
Notação:
I A =
(
C1 C2 · · · Cn
)
representaa matriz cujas colunas
são C1,C2, . . . ,Cn
I

L1
L2
...
Lm
 representa a matriz cujas linhas são L1, L2, . . . , Lm
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Determinantes de ordem n
Proposição
Para cada n ∈ N, existe uma única função det : Mn,n(C) −→ C que
satisfaz as seguintes propriedades:
I det
(
C1 · · · Cj + C ′j · · · Cn
)
=
det
(
C1 · · · Cj · · · Cn
)
+ det
(
C1 · · · C ′j · · · Cn
)
,
para quaisquer C1, . . . ,Cj , . . . ,Cn,C ′j
I det
(
C1 · · · kCj · · · Cn
)
=
k det
(
C1 · · · Cj · · · Cn
)
, para quaisquer
C1, . . . ,Cj , . . . ,Cn e qualquer k ∈ C
I Se a matriz B se obtém da matriz A por troca de duas colunas,
então detB = − detA
I det In = 1
Exercício
Mostrar a partir destas propriedades que se A ∈ Mn,n(R), então
detA ∈ R.
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Determinantes de ordem n: propriedades s/ demonstração
Pode-se mostrar que:
I det

L1
...
Li + L′i
...
Ln

= det

L1
...
Li
...
Ln

+ det

L1
...
L′i
...
Ln

, para quaisquer
L1, . . . , Li , . . . , Lm, L′i
I det

L1
...
kLi
...
Ln

= k det

L1
...
Li
...
Ln

, para quaisquer
L1, . . . , Li , . . . , L′m e qualquer k ∈ C
I Se a matriz B se obtém da matriz A por troca de duas linhas,
então detB = − detA
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Determinantes de ordem n: propriedades s/ demonstração
I Pode-se mostrar que, para qualquer A ∈ Mn,n(C),
detA = detAt
I Pode-se mostrar que det(AB) = detA detB, para quaisquer
A,B ∈ Mn,n(C)
I o que implica que se A tem inversa, então detA 6= 0; porquê?
I se A tem inversa, então detA−1 = 1detA
I portanto se carA = n, então detA 6= 0
I A tem inversa ⇔ detA 6= 0 (será visto depois)
detA 6= 0⇔ carA = n⇔ A tem inversa
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Determinantes de ordem n: propriedades
I Se uma das colunas de A é múltipla de outra, então detA = 0
(caso particular: duas colunas iguais)
I Substituindo uma coluna pela sua soma com um múltiplo de
outra coluna, o determinante não é alterado.
I Se uma das linhas de A é múltipla de outra, então detA = 0
(caso particular: duas linhas iguais)
I Substituindo uma linha pela sua soma com um múltiplo de
outra linha, o determinante não é alterado.
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Determinantes de ordem n: demonst. das propriedades
I Se uma das colunas de A é múltipla de outra, então detA = 0
I det
(
C1 . . . Cj . . . kCj . . . Cn
)
=
k det
(
C1 . . . Cj . . . Cj . . . Cn
)
I O determinante da segunda matriz é 0, porque tem duas
colunas iguais (mesmo raciocínio que para matrizes em
M2,2(C))
I Substituindo uma coluna pela sua soma com um múltiplo de
outra coluna, o determinante não é alterado.
I det
(
C1 · · · Ci + kCj · · · Cj · · · Cn
)
=
= det
(
C1 · · · Ci · · · Cj · · · Cn
)
+
det
(
C1 · · · kCj · · · Cj · · · Cn
)
I o determinante da segunda parcela é 0, porque uma coluna é
múltipla de outra
I o raciocínio para as linhas é análogo
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Exemplo: cálculo de determinante
det

1 0 2 0
0 3 1 1
−1 0 0 2
0 1 1 0
 L3→L3+L1= det

1 0 2 0
0 3 1 1
0 0 2 2
0 1 1 0

C3→C3−C4= det

1 0 2 0
0 3 0 1
0 0 0 2
0 1 1 0
 =L2→L2− 12L3= det

1 0 2 0
0 3 0 0
0 0 0 2
0 1 1 0

C3→C3−2C1= det

1 0 0 0
0 3 0 0
0 0 0 2
0 1 1 0
 C2→C2−C3= det

1 0 0 0
0 3 0 0
0 0 0 2
0 0 1 0

C3↔C4= − det

1 0 0 0
0 3 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
 = −3 det

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1

= −3× 2 det

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 = −6 det I4 = −6
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Caso n = 3
Seja A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 ∈ M3,3(C).
Tem-se
detA =
a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a31a22a13−a11a32a23−a21a12a33
Exercício
Mostrar esta igualdade a partir das propriedades de definição do
determinante
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Caso n = 3: regra de Sarrus
Para calcular o determinante de
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
, escrevemos
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
somamos os produtos das três diagonais \ e subtraimos os
produtos das três diagonais /.
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Exemplo: determinantes de ordem 3
I det
 1 0 53 −2 4
−1 −3 0
 =?
I
 1 0 53 −2 4
−1 −3 0

1 0 5
3 −2 4
I det
 1 0 53 −2 4
−1 −3 0
 = 1× (−2)× 0 + 3× (−3)× 5+
+(−1)×0×4−(−1)×(−2)×5−1×(−3)×4−3×0×0 = −43
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Notação
I Notação: Aij designará a matriz que se obtém da matriz A
eliminando a linha i e a coluna j .
I Exemplo: A =

1 2 4 3
2 1 −1 5
−1 3 5 2
2 1 2 1

I A11 =
 1 −1 53 5 2
1 2 1

I A23 =
 1 2 3−1 3 2
2 1 1

I A42 =
 1 4 32 −1 5
−1 5 2

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Determinantes de ordem n: desenvolvimento de Laplace
I Seja A =
 a11 · · · a1n... ...
an1 · · · ann
.
Pode-se mostrar que
I detA = a11 detA11 − a21 detA21 + · · ·+ (−1)n+1an1 detAn1
(desenvolvimento de Laplace ao longo da primeira coluna)
I detA = a11 detA11 − a12 detA12 + · · ·+ (−1)1+na1n detA1n
(desenvolvimento de Laplace ao longo da primeira linha)
I detA =
(−1)1+ja1j detA1j +(−1)2+ja2j detA2j +· · ·+(−1)n+janj detAnj
(desenvolvimento de Laplace ao longo da coluna j)
I detA =
(−1)i+1ai1 detAi1 +(−1)i+2ai2 detAi2 + · · ·+(−1)i+nain detAin
(desenvolvimento de Laplace ao longo da linha i)
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Exemplo: cálculo de determinante
Desenvolvimento de Laplace ao longo da primeira coluna:
det

1 0 2 0
0 3 1 1
−1 0 0 2
0 1 1 0
 =
= 1× det
 3 1 10 0 2
1 1 0
− 0× det
 0 2 00 0 2
1 1 0
+
+(−1)× det
 0 2 03 1 1
1 1 0
− 0× det
 0 2 03 1 1
0 0 2

= −4− 2 = −6
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Exemplo: cálculo de determinante
det

3 2 5 4
0 2 1 1
0 0 −2 2
0 0 0 5
 =3× det
 2 1 10 −2 2
0 0 5
=
3× 2 det
(
−2 2
0 5
)
= −60
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Exemplo: cálculo de determinante
Desenvolvimento de Laplace ao longo da primeira coluna:
det

1 2 4 3
2 1 −1 5
−1 3 5 2
2 1 2 1
 =
= det
 1 −1 53 5 2
1 2 1
− 2 det
 2 4 33 5 2
1 2 1
+
+(−1) det
 2 4 31 −1 5
1 2 1
− 2× det
 2 4 31 −1 5
3 5 2
 = ...
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Exemplo: cálculo de determinante
Cálculodo mesmo determinante usando algumas propriedades dos
determinantes antes de efectuar o desenvolvimento de Laplace ao
longo da primeira coluna:
det

1 2 4 3
2 1 −1 5
−1 3 5 2
2 1 2 1

L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 + L1
L4 → L4 − 2L2=
= det

1 2 4 3
0 −3 −9 −1
0 5 9 5
0 −3 −6 −5
 = det
 −3 −9 −15 9 5
−3 −6 −7
 = ...
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Cálculo da inversa de uma matriz
Se A ∈ Mn,n(R) é tal que detA 6= 0, então
A−1 =
1
detA

detA11 − detA21 · · · (−1)n+1 detAn1
− detA12 detA22 · · · (−1)n+2 detAn2
... ... ...
(−1)1+n detA1n (−1)2+n detA2n · · · detAnn

(Na entrada da linha i , coluna j está (−1)i+j detAji .)
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Cálculo da inversa de uma matriz: dem. sucinta
Seja A′ =
detA11 − detA21 · · · (−1)n+1 detAn1
− detA12 detA22 · · · (−1)n+2 detAn2
... ... ...
(−1)1+n detA1n (−1)2+n detA2n · · · detAnn

Basta mostrar que A 1detAA′ = In, o que equivale a mostrar que
AA′ =

detA 0 · · · 0
0 detA · · · 0
... ... ...
0 0 · · · detA

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Cálculo da inversa de uma matriz: dem. sucinta (cont)
Seja B = AA′.
Então bij =
n∑
k=1
aik(−1)k+j detAjk =
n∑
k=1
(−1)k+jaik detAjk
Para i = j , vem bii =
n∑
k=1
(−1)k+iaik detAik , que é detA (desenvolvimento de
Laplace ao longo da linha i).
Para i 6= j , vem bij = det

a11 a12 · · · a1n
... ... ...
ai1 ai2 · · · ain
... ... ...
ai1 ai2 · · · ain
... ... ...
an1 an2 · · · ann

← linha j
← linha i
(desenvolvimento ao longo da linha j)
Então bij = 0, porque é o determinante de uma matriz com duas linhas iguais.
Exercício
Verificar analogamente que 1detAA′A = In
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Exemplo: cálculo da inversa de uma matriz
A =
 1 2 3−1 0 2
−5 1 0
, detA = −25 6= 0
A−1 = − 125
 detA11 − detA21 detA31− detA12 detA22 − detA32
detA13 − detA23 detA33
 =
− 125

det
(
0 2
1 0
)
− det
(
2 3
1 0
)
det
(
2 3
0 2
)
− det
(
−1 2
−5 0
)
det
(
1 3
−5 0
)
− det
(
1 3
−1 2
)
det
(
−1 0
−5 1
)
− det
(
1 2
−5 1
)
det
(
1 2
−1 0
)

=
= − 125
 −2 3 4−10 15 −5
−1 −11 2

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Regra de Cramer
I Seja A a matriz dos coeficientes do sistema de n equações a n
incógnitas
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
· · ·
an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn
I Se detA 6= 0, então o sistema é possível e determinado.
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Regra de Cramer
Na situação anterior, a única solução do sistema é dada por
x1 =
det
 b1 a12 · · · a1n... ... ...
bn an2 · · · ann

detA ,
x2 =
det
 a11 b1 · · · a1n... ... ...
an1 bn · · · ann

detA ,
. . .
xn =
det
 a11 a12 · · · b1... ... ...
an1 an2 · · · bn

detA .
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖109
Regra de Cramer: demonstração sucinta
Resolver o sistema

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
· · ·
an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn
é o mesmo que resolver a equação AX = B, onde A é a matriz dos
coeficientes e B =

b1
b2
...
bn

Como detA 6= 0,
AX = B ⇔ A−1AX = A−1B ⇔ X = A−1B
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Regra de Cramer: demonstração sucinta
A entrada da linha i de A−1B, que é a entrada da linha i de
1
detA

detA11 − detA21 · · · (−1)n+1 detAn1
− detA12 detA22 · · · (−1)n+2 detAn2
...
...
...
(−1)1+n detA1n (−1)2+n detA2n · · · detAnn


b1
b2
...
bn

é
1
detA
n∑
k=1
(−1)i+kbk detAki
que é
1
detA det
 a11 · · · b1 · · · a1n... ... ...
an1 · · · bn · · · ann

(onde os bk estão na coluna i)
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖111
Exemplo: regra de Cramer
I
{
2x + 3y = 1
5x − y = 3
I a matriz dos coeficientes A é
(
2 3
5 −1
)
, e
detA = −17 6= 0, portanto o sistema é possível e determinado
I as soluções são dadas por
x = − 117 det
(
1 3
3 −1
)
= 1017
y = − 117 det
(
2 1
5 3
)
= − 117
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖112
Exemplo: regra de Cramer
I

x − y + 3z = 4
2x + y + z = −2
x − 5y = 1
I a matriz dos coeficientes A é
 1 −1 32 1 1
1 −5 0
, e
detA = −29 6= 0, portanto o sistema é possível e determinado
I as soluções são dadas por
x = − 129 det
 4 −1 3−2 1 1
1 −5 0
 = −4629
y = − 129 det
 1 4 32 −2 1
1 1 0
 = −1529
z = − 129 det
 1 −1 42 1 −2
1 −5 1
 = 4929
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 1.3 Sistemas de equações lineares e matrizes - Determinantes ‖113
Exemplo de espaço vectorial real - vectores do plano
Vectores no plano com origem em (0, 0)
Soma de vectores Produto de um número real por um vector
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖114
Exemplo de espaço vectorial real - R2
R2 = R× R = {(x , y) : x , y ∈ R}
I soma de dois elementos de R2:
(x , y) + (z , t) = (x + z , y + t)
I produto de um número real por um elemento de R2:
a · (x , y) = (ax , ay)
Observação: Dado um referencial do plano, R2 identifica-se com o
plano, se para cada ponto do plano considerarmos o par formado
pelas suas coordenadas (e com os vectores do plano com origem
em (0, 0), de maneira análoga).
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖115
Exemplo de espaço vectorial real - vectores do espaço
Vectores no espaço com origem em (0, 0, 0)
Soma de vectores Produto de um número real por um vector
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖116
Exemplo de espaço vectorial real - R3
R3 = R× R× R = {(x , y , z) : x , y , z ∈ R}
I soma de dois elementos de R3:
(x , y , z) + (t, u, v) = (x + t, y + u, z + v)
I produto de um número real por um elemento de R3:
a · (x , y , z) = (ax , ay , az)
Observação: Dado um referencial do espaço, R3 identifica-se com
o espaço, se para cada ponto do espaço considerarmos as suas três
coordenadas (e com os vectores do espaço com origem em
(0, 0, 0), de maneira análoga).
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖117
Espaço vectorial sobre K: K = R ou K = C
I K representará R ou C
I K = R −→ espaço vectorial real
I K = C −→ espaço vectorial complexo
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Operações num conjunto
Vamos considerar dois tipos de operações num conjunto:
I # operação interna num conjunto E : associa a cada par
ordenado de elementos de E um elemento de E
(u, v) 7→ u#v ∈ E
exemplos: soma, subtracção, multiplicação em Z,R,C,
divisãoem R+, composição de funções de R em R
I · operação externa envolvendo elementos de K (números):
associa a cada par (α, u) com α ∈ K, u ∈ E , um elemento de
E
α ∈ K, u ∈ E 7→ α · u ∈ E
exemplos: multiplicação de um número por um vector, por um
polinómio, por uma matriz
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Espaço vectorial sobre K
Um espaço vectorial sobre K é um tripleto (E ,#, ·), onde
I E é um conjunto não vazio (a cujos elementos se chamam
normalmente vectores)
I # é uma operação interna (normalmente chamada adição) em
E : a um par ordenado (u, v) de elementos de E associa um
elemento u#v de E
I · é uma operação envolvendo os elementos de K (normalmente
chamada multiplicação por escalares), que a um elemento α
de K e um elemento u de E associa um elemento α · u de E
I as operações satisfazem determinadas propriedades.
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Espaço vectorial sobre K - definição
Definição
Seja E um conjunto, # uma operação interna em E, · uma
operação externa com os elementos de K; diz-se que (E ,#, ·) é
um espaço vectorial sobre K sse
1. a operação # é associativa, isto é, para quaisquer u, v ,w ∈ E
se tem (u#v)#w = u#(v#w);
2. existe elemento neutro para #, isto é, existe 0E ∈ E tal que,
para qualquer u ∈ E, se tem 0E#u = u#0E = u;
3. para qualquer u ∈ E existe u′ ∈ E tal que u#u′ = u′#u = 0E
4. a operação # é comutativa, isto é, para quaisquer u, v ∈ E se
tem u#v = v#u;
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Espaços vectoriais reais - definição
5. a operação · é distributiva relativamente a #, isto é, para
quaisquer α ∈ K, u, v ∈ E, se tem α · (u#v) = (α · u)#(α · v);
6. a operação · é distributiva relativamente à adição de escalares,
isto é, para quaisquer α, β ∈ K, u ∈ E, se tem
(α + β) · u = (α · u)#(β · u);
7. para quaisquer α, β ∈ K, u ∈ E, se tem (αβ) · u = α · (β · u)
(a esta propriedade chama-se associatividade mista);
8. para qualquer u ∈ E se tem 1 · u = u.
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Espaços vectoriais: observações e notações
(E ,#, ·) espaço vectorial sobre K
I O elemento neutro para # é único; chama-se vector nulo.
I se 0E e 0′E são elementos neutros para #, então
0E = 0E#0′E = 0′E (porquê?)
I Para cada u, só existe um u′ ∈ E tal que u#u′ = 0e = u′#u;
chama-se simétrico de u e designa-se por −u
I se u′ e u′′ são tais que u#u′ = u′#u = 0E e
u#u′′ = u′′#u = 0E , então
u′ = u′#0E = u′#(u#u′′) = (u′#u)#u′′ = 0E#u′′ = u′′
I Escreve-se u − v em vez de u#(−v).
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Espaços vectoriais reais - exemplos
I Os vectores do plano com origem em (0, 0) e as operações
vistas anteriormente.
I Os vectores do espaço com origem em (0, 0, 0) e as operações
vistas anteriormente.
I R2, com as operações vistas anteriormente; o vector nulo é
(0, 0) e o simétrico de (x , y) é (−x ,−y).
I R3, com as operações vistas anteriormente; o vector nulo é
(0, 0, 0) e o simétrico de (x , y , z) é (−x ,−y ,−z).
I Rn, com as operações
(x1, . . . , xn)#(y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) e
α · (x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn); o vector nulo é (0, 0, . . . , 0)
e o simétrico de (x1, x2, . . . , xn) é (−x1,−x2, . . . ,−xn).
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Espaços vectoriais reais - exemplos
I Mm,n(R), com a operação # definida por
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
am1 am2 · · · amn
#

b11 b12 · · · b1n
b21 b22 · · · b2n
... ... ...
bm1 bm2 · · · bmn
 =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n
... ... ...
am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn

e a operação · definida por
α ·

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
am1 am2 · · · amn
 =

αa11 αa12 · · · αa1n
αa21 αa22 · · · αa2n
... ... ...
αam1 αam2 · · · αamn

ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖125
Espaços vectoriais reais - exemplos
I O conjunto dos polinómios de coeficientes reais, com a adição
usual de polinómios e a multiplicação usual por um número
real (notação: R[X ]):
(a0 + a1X + · · · anXn)#(b0 + b1X + · · ·+ bnXn) =
a0 + b0 + (a1 + b1)X + · · ·+ (an + bn)Xn
α · (a0 + a1X + · · · anXn) = αa0 + αa1X + · · ·αanXn
I O conjunto das funções de R em R, com a adição usual de
funções e a multiplicação usual por um número real (notação:
F(R,R)).
I Mais geralmente, para A ⊂ R, o conjunto F(A,R) das
funções de A em R, com as operações definidas como no
exemplo anterior.
I O conjunto das sucessões de números reais, com a adição
usual de sucessões e a multiplicação usual de um número real
por uma sucessão.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖126
Espaços vectoriais complexos - exemplos
I Cn, com as operações
(x1, . . . , xn)#(y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) e
α · (x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn); o vector nulo é (0, 0, . . . , 0)
e o simétrico de (x1, x2, . . . , xn) é (−x1,−x2, . . . ,−xn).
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Espaços vectoriais complexos - exemplos
I Mm,n(C), com a operação # definida por
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
am1 am2 · · · amn
#

b11 b12 · · · b1n
b21 b22 · · · b2n
... ... ...
bm1 bm2 · · · bmn
 =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n
... ... ...
am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn

e a operação · definida por
α ·
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
am1 am2 · · · amn
 =

αa11 αa12 · · · αa1n
αa21 αa22 · · · αa2n
... ... ...
αam1 αam2 · · · αamn

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Espaços vectoriais complexos - exemplos
I O conjunto dos polinómios de coeficientes complexos, com a
adição usual de polinómios e a multiplicação usual por um
número complexo (notação: C[X ]):
(a0 + a1X + · · · anXn)#(b0 + b1X + · · ·+ bnXn) =
a0 + b0 + (a1 + b1)X + · · ·+ (an + bn)Xn
α · (a0 + a1X + · · · anXn) = αa0 + αa1X + · · ·αanXn
I O conjunto das funções de C em C, com a adição usual de
funções e a multiplicação usual por um número complexo
(notação: F(C,C)).
I Mais geralmente, para A ⊂ C, o conjunto F(A,C) das
funções de A em C, com as operações definidas como no
exemplo anterior.
I O conjunto das sucessões de números complexos, com a
adição usual de sucessões e a multiplicação usual de um
número complexo por uma sucessão.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖129
Espaços vectoriais reais - exemplos
I Cn, com as operações
(x1, . . . , xn)#(y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) e
α · (x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn), para qualquer α ∈ R; o
vector nulo é (0, 0, . . . , 0) e o simétrico de (x1, x2, . . . , xn) é
(−x1,−x2, . . . ,−xn).
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖130
Espaços vectoriais reais - exemplos
I Mm,n(C), com a operação # definida por
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
am1am2 · · · amn
#

b11 b12 · · · b1n
b21 b22 · · · b2n
... ... ...
bm1 bm2 · · · bmn
 =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n
... ... ...
am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn

e a operação · definida por
α ·
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ...
am1 am2 · · · amn
 =

αa11 αa12 · · · αa1n
αa21 αa22 · · · αa2n
... ... ...
αam1 αam2 · · · αamn

para qualquer α ∈ R.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖131
Espaços vectoriais reais - exemplos
I O conjunto dos polinómios de coeficientes complexos, com a
adição usual de polinómios e a multiplicação usual por um
número real (notação: C[X ]):
(a0 + a1X + · · · anXn)#(b0 + b1X + · · ·+ bnXn) =
a0 + b0 + (a1 + b1)X + · · ·+ (an + bn)Xn
α · (a0 + a1X + · · · anXn) = αa0 + αa1X + · · ·αanXn
I O conjunto das funções de C em C, com a adição usual de
funções e a multiplicação usual por um número real (notação:
calF (C,C)).
I Mais geralmente, para A ⊂ C, o conjunto F(A,C) das
funções de A em C, com as operações definidas como no
exemplo anterior.
I O conjunto das sucessões de números complexos, com a
adição usual de sucessões e a multiplicação usual de um
número real por uma sucessão.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖132
Espaços vectoriais - exercícios
I Seja (E ,#, ·) um espaço vectorial complexo; se restringirmos
a operação · apenas aos números reais, obtemos uma
estrutura de espaço vectorial real.
I Seja (E ,#, ·) um espaço vectorial real; seja ∗ a operação
externa em E × E envolvendo elementos de C definida por
(a + bi) ∗ (u, v) = (a · u − b · v , a · v + b · u); (E × E ,#, ∗) é
um espaço vectorial complexo (onde
E × E = {(u, v), u, v ∈ E}).
I Sejam A um conjunto, (E ,#, ·) um espaço vectorial qualquer
sobre K e F(A,E ) o conjunto das funções de A em E ; sejam
⊕ a operação definida em F(A,E ) por
(f ⊕ g)(x) = f (x)#g(x) e ⊗ a operação externa definida por
(α⊗ f )(x) = α · (f (x)); (F(A,E ),⊕,⊗) é um espaço
vectorial sobre K.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖133
Espaços vectoriais - propriedades básicas
(E ,#, ·) espaço vectorial sobre K; para quaisquer
u, v ,w ∈ E , α, β ∈ K
I −(−u) = u
I u = v ⇔ u − v = 0E
I u#v = u#w ⇔ v = w ⇔ v#u = w#u
I u#v = u ⇔ v = 0E
I α · u = 0E ⇔ α = 0 ou u = 0E
I α · u = β · u ⇔ α = 0 ou u = 0E
I α · (−u) = (−α) · u = −(α · u)
I α · u = β · u ⇔ α = β ou u = 0E
I α · u = α · v ⇔ α = 0 ou u = v
I α · (u − v) = α · u − α · v
I (α− β) · u = α · u − β · u
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖134
Espaços vectoriais - notações
I Normalmente escreve-se + em vez de #
I Normalmente escreve-se αu em vez de α · u
I Fala-se do espaço vectorial E em vez do espaço vectorial
(E ,+, ·)
I Quando falarmos dos espaços vectoriais Rn,R[X ],F(R,R),
será com as operações vistas nos exemplos, a menos que seja
dito o contrário.
I Quando falarmos dos espaços vectoriais Cn,C[X ],F(C,C),
será com as operações vistas nos exemplos, a menos que seja
dito o contrário; nestes casos é necessário precisar se se trata
da estrutura de espaço vectorial real ou complexo.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖135
Combinações lineares
(E ,+, ·) espaço vectorial sobre K
Definição
Sejam u1, . . . , un ∈ E; chamam-se combinações lineares de
u1, . . . , un aos elementos da forma α1u1 + · · ·+ αnun, com
α1, . . . , αn ∈ K
(diz-se que u é combinação linear de u1, . . . , un com coeficientes
α1, . . . , αn sse u = α1u1 + · · ·+ αnun)
Observação
Para quaisquer u1, . . . , un ∈ E, 0E é combinação linear de
u1, . . . , un.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖136
Combinações lineares - exemplos
E = R2
I
I (8,−9) = 2(1, 3) + 3(2,−5)
I (8,−9) é combinação linear de (1, 3) e (2,−5)
I
I (2, 1) = a(1, 3) + b(2, 6) ⇔ (2, 1) = (a + 2b, 3a + 6b)
⇔
{
a + 2b = 2
3a + 6b = 1
⇔
{
a + 2b = 2
0 = −5
I Não existem a, b tais que (2, 1) = a(1, 3) + b(2, 6)
I (2, 1) não é combinação linear de (1, 3) e (2, 6).
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖137
Combinações lineares - exemplo
E = R3
I (−3,−4,−1) = 1(1, 1, 1) + 2(1, 2,−1)− 3(2, 3, 0)
I (−3,−4,−1) = −2(1, 1, 1)− 1(1, 2,−1) + 0(2, 3, 0)
I (−3,−4,−1) = 2(1, 1, 1) + 3(1, 2,−1)− 4(2, 3, 0)
I (−3,−4,−1) pode-se escrever como combinação linear de
(1, 1, 1), (1, 2,−1) e (2, 3, 0) de mais do que uma maneira: os
coeficientes não são únicos.
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖138
Combinações lineares - exemplos
Qual é o conjunto das combinações lineares de (1, 2, 1) e (0, 1, 1)?
I (x , y , z) é comb. lin. de (1, 2, 1) e (0, 1, 1)
⇔ existem a, b ∈ R tais que (x , y , z) = a(1, 2, 1) + b(0, 1, 1)
⇔ existem a, b ∈ R tais que (x , y , z) = (a, 2a + b, a + b)
⇔ existem a, b ∈ R tais que

a = x
2a + b = y
a + b = z
⇔ o sistema

a = x
2a + b = y
a + b = z
em a, b é possível
⇔ o sistema

a = x
b = −2x + y
0 = x − y + z
em a, b é possível
⇔ x + y − z = 0
I Portanto o conjunto das combinações lineares de (1, 2, 1) e
(0, 1, 1) é {(x , y , z) ∈ R3 : x − y + z = 0}
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.1 Espaços vectoriais reais e complexos - Definição e propriedades ‖139
Subespaços vectoriais
Sejam (E ,+, ·) um espaço vectorial sobre K e F um subconjunto
não vazio de E .
I Se a soma de quaisquer dois elementos de F pertence a F
(isto é, ∀u, v ∈ F , u + v ∈ F ), então + define uma operação
em F (diz-se que F é estável ou fechado para +).
I Se o produto de qualquer elemento de K por qualquer
elemento de F pertence a F (isto é, se
∀α ∈ K, u ∈ F , αu ∈ F ), então · define uma operação em F
(diz-se que F é estável ou fechado para ·).
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.2 Espaços vectoriais reais e complexos - Subespaços ‖140
Subespaços vectoriais - exemplos
E = R2, F = {(x , y) ∈ R2 : y ≥ 0}
I se u = (a, b) ∈ F , e v = (c, d) ∈ F , então b ≥ 0, d ≥ 0
I u + v = (a + c, b + d)
I de b ≥ 0, d ≥ 0, deduz-se que b + d ≥ 0
I então, se u, v ∈ F , tem-se u + v ∈ F
I F é estável para a soma
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.2 Espaços vectoriais reais e complexos - Subespaços ‖141
Subespaços vectoriais - exemplos
E = R2, F = {(x , y) ∈ R2 : y ≥ 0}
I (−3, 1) ∈ F
I −2(−3, 1) = (6,−2) 6∈ F
I F não é estável para o produto por escalares
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.2 Espaços vectoriais reais e complexos - Subespaços ‖142
Subespaços vectoriais - exemplos
E = R2, F = {(x , y) ∈ R2 : 12 ≤ yx ≤ 3} ∪ {(0, 0)}
I u = (1, 3) ∈ F , v = (−2,−1) ∈ F
I u + v = (−1, 2) 6∈ F
I F não é estável para a soma
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.2 Espaços vectoriais reais e complexos - Subespaços ‖143
Subespaços vectoriais - exemplos
E = R2, F = {(x , y) ∈ R2 : 12 ≤ yx ≤ 3} ∪ {(0, 0)}
I sejam u ∈ F , α ∈ R
I se u = (0, 0), é óbvio que αu ∈ F
I se u = (x , y) 6= (0, 0), então x 6= 0
I se α = 0, então αu = (0, 0) ∈ F
I se α 6= 0, então αu = (αx , αy), com αx 6= 0
I como nesse caso αyαx =
y
x ∈ [12 , 3], tem-se (αx , αy) ∈ F
I F é estável para o produto por escalares
ALGA I(M143) - 2015/2016 ‖ Notas: G.Chaves 2.2 Espaços vectoriais reais e complexos - Subespaços ‖144
Subespaços vectoriais - exemplos
E = R2, F = {(x , y) ∈ R2 : y = −3x}