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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2015/16
Exame da época de recurso – 12-02-2016 Duração: 3hrs
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso: No. de folhas extra :
Primeira parte
1 2 3 4 Total
Se ainda não obteve a aprovação nesta unidade e realizou o primeiro teste, selecione uma das seguintes opções:
Pretendo que a primeira parte do exame seja corrigida e a classificação que obtive no primeiro teste será ignorada.
Pretendo que a primeira parte do exame não seja corrigida e que seja considerada a classificação que obtive no
primeiro teste.
1. (Cada alínea vale 0, 4 valores.) Considere B1 =
 00
0
, B2 =
 10
4
 e A =
 1 1 12 3 2
3 4 a
, em que a ∈ R.
Indique, sem justificar:
Nas alíneas (a-f), tome a = 3.
a) A forma de Gauss associada a A b) Em R3, o conjunto de soluções do sistema A
 xy
z
 = B1
c) car(A) d) det(A) e) det((A− I3)−1) f) det
(− 12 (A− I3))
Nas alíneas (g-k), tome a = 4.
g) A forma de Gauss associada a A h) Em R3, o conjunto de soluções do sistema A
 xy
z
 = B2
i) car(A) j) O produto A2 k) car(7A7)
2. (Cada alínea vale 0, 4 valores.) Em R3, considere os vetores u = (2, 3, 1), v = (5, 0, 1), w = (3, 2, 1) e os seguintes
subespaços: S1 o subespaço gerado por u, v; S2 o subespaço gerado por u, v, w; S3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y − 4z = 0}.
Indique sem justificar:
a) Caraterize S1 b) Caraterize S2
c) Escreva (1,−1, 0) como combinação linear de u, v d) Um conjunto de geradores de S3
3. Cada alínea vale 0, 4 valores: deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de resposta é atribuída
a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 1 valores.
a) Sejam A uma matriz de entradas reais, de 4 linhas e 4 colunas e GA a forma de Gauss associada a A.
Qualquer que seja a matriz A em que GA 6= id4 tem que ter pelo menos uma linha nula.
Se A tem caraterística 4 então qualquer sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz A é possível e determinado.
Se A tem caraterística 3 então qualquer sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz A é possível e indeterminado.
Qualquer que seja a matriz A, o número de linhas nulas de A e GA é o mesmo.
b) Em R3, considere os vetores u = (2, 3,−1), v = (5, 0,−1), w = (3, 2, 1), t = (5, 0, 1) e os seguintes subespaços: S1 o
subespaço gerado por u, v; S2 o subespaço gerado por w, t.
S1 ∩ S2 = ∅
S1 ∩ S2 = {(0, 0, 0)}
S1 ∩ S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0, z = 0}
S1 ∩ S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0}
c) Considere os seguintes subconjuntos de R3: A = {(x, y, z) ∈ R3 : xyz = 0}, B = {(x, y, z) ∈ R3 : xy = 0} e
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0}.
A,B,C não são subespaços vetoriais de R3.
A,B não são subespaços vetoriais de R3 mas C é.
A não é subespaço vetorial de R3 mas B,C são.
A,B,C são subespaços vetoriais de R3.
d) Sejam A, B e C três matrizes de 3 linhas, 3 colunas, entradas reais e tais que det(A) = 2 det(B) = 3 det(C) = 6.
det(A)− det(BC) = 0
det(A)− det(2B) = 0
det(A)− det(3C) = 0
car(ABC) = car(A) car(B) car(C)
e) Em C2, considere os vetores u = (1, 1), v = (−i, i) e o conjunto C = {(a− bi, a+ bi) : a, b ∈ R}.
u, v são linearmente independentes em C2 com as estruturas de espaço vetorial complexo e real.
u, v são linearmente dependentes em C2 com as estruturas de espaço vetorial complexo e real.
C é fechado para a multiplicação por escalar em C2 com a estrutura de espaço vetorial complexo.
C não é subespaço vetorial de C2 para ambas as estruturas de espaço vetorial complexo e real.
f) Sendo a1, a2, a3 ∈ R, considere a matriz A =
 0 a1 00 a1 a1
a1 a2 a3
. Sejam X =
 x1x2
x3
, B1 =
 00
0
 e B2 =
 11
1
.
Sendo a1, a2, a3 ∈ R tais que o sistema AX = B1 é possível e indeterminado, então também AX = B2 é possível e
indeterminado.
Sendo a1, a2, a3 ∈ R tais que o sistema AX = B1 é possível e determinado, então também AX = B2 é possível e
determinado.
O sistema AX = B1 é sempre possível e indeterminado.
O sistema AX = B2 é sempre possível e indeterminado.
4. (1, 6 valores.) Nesta questão, deve responder justificando e em folha anexa. Considere n funções, definidas
num intervalo [a, b], tomando valores reais, f1, . . . , fn : [a, b]→ R, e deriváveis até à ordem n. Para t ∈ [a, b], defina
A(t) =

f1(t) f2(t) · · · fn(t)
f ′1(t) f
′
2(t) · · · f ′n(t)
...
...
...
fn−11 (t) f
n−1
2 (t) · · · fn−1n (t)
 .
Suponha que existe t ∈ [a, b] tal que det(A(t)) 6= 0. Mostre que f1, . . . , fn são linearmente independentes.
Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2015/16
Exame da época de recurso – 12-02-2016
Nome completo: No. mecanográfico:
Segunda parte
5 6 7 8 Total
Se ainda não obteve a aprovação nesta unidade e realizou o segundo teste, selecione uma das seguintes opções:
Pretendo que a segunda parte do exame seja corrigida e a classificação que obtive no segundo teste será ignorada.
Pretendo que a segunda parte do exame não seja corrigida e que seja considerada a classificação que obtive no segundo
teste.
5. (Cada alínea vale 0, 4 valores.) Considere as aplicações lineares f : R3 → R3 e g : R3 → R2 tais que:
f(1, 0, 0) = (2, 2, 0), f(0, 1, 0) = (4, 4, 0), f(0, 0, 1) = (6, 6, 6); g(a, b, c) = (a− b, a+ b− 2c), (a, b, c) ∈ R3 .
Considere as bases b = ((1, 1), (1,−1)) de R2 e bc = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) de R3. Indique, sem justificar:
a) f(−2, 1, 0) b) f(x, y, z) c) Mbc,bc(f)
d) Uma base de ker(f) e) Uma base de Im(f)
f) Uma base de ker(g) g) Uma base de Im(g) h) Mbc,b(g)
i) Mbc,b(g ◦ f) j) dim Im(g ◦ f) k) dimker(g ◦ f)
6. (Cada alínea vale 0, 4 valores.) Em R2[x], considere as bases bc = (1, x, x2) e B = (1− x, x− x2, 1 + x+ x2). Em R3,
considere o conjunto A = ((1,−2, 0), (1, 0,−2)) e S o subespaço de R3 gerado por A. Indique, sem justificar:
a)
O polinómio p(x) = (−5,−1, 1)B
b)
MB,bc
(
idR2[x]
)
c)
Uma base de R3 contendo A
d)
Uma base ortonormada de S
e)
S⊥
f)
proj⊥S (2, 1, 1)
7. Cada alínea vale 0, 4 valores: deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de resposta é atribuída
a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 1 valores.
a) Considere o espaço vetorial R6.
Existe uma aplicação f : R6 → R6 linear tal que dimker(f) = 3 dim Im(f).
Existe uma aplicação f : R6 → R6 linear tal que dimker(f) = 2 dim Im(f).
Existe uma aplicação f : R6 → R6 linear tal que f é sobrejetiva mas f ◦ f não é sobrejetiva.
Existe uma aplicação f : R6 → R6 linear tal que f ◦ f é injetiva mas f não é injetiva.
b) Considere o espaço vetorial real V das matrizes de 2 linhas, 2 colunas e entradas reais e os subespaços S1 = {A ∈ V :
tr(A) = 0} e S2 = {A ∈ V : A = At}. Aqui, tr(A) denota o traço da matriz A, isto é, a soma das entradas na diagonal
principal de A e At denota a matriz transposta da matriz A.
dimS1 = dimS2 = 1
dimS1 = dimS2 = 3
dimS1 = 3 e dimS2 = 1
dimS1 = 1 e dimS2 = 3
c) Considere uma aplicação linear f : R3 → R3 tal que ker(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : x − 3z = 0, y = 0}, ker(f ◦ f) =
{(x, y, z) ∈ R3 : x− 3z = 0} e f(1, 1, 1) = (−2,−2,−2).
f é diagonalizável e tem três valores próprios distintos.
f é diagonalizável e tem apenas dois valores próprios distintos.
f não é diagonalizável e tem apenas um valor próprio.
f não é diagonalizável mas admite dois valores próprios distintos.
d) Considere o espaço vetorial R3, B = (b1, b2, b3) uma base ortonormada de R3, S1 o subespaço gerado por b1, e S2 o
subespaço gerado por b1, b2 e u = (1, 1, 0)B .
S⊥1 ∩ S2 = S2
S⊥1 ∩ S2 = S1
Se v ∈ S2 é unitário e ortogonal a u então v = 1√2 (1,−1, 0)B ou v = 1√2 (−1, 1, 0)B .
Se v é unitário e ortogonal a u então v = 1√
2
(1,−1, 0)B ou v = 1√2 (−1, 1, 0)B .
e) Seja V o espaço vetorial das funções reais de variável real e considere o subespaço S das funções polinomiais de grau
menor ou igual a 2. Considere as funções fi(x)= xi, x ∈ R, para i = 0, 1, 2, e a base B = (f0, f1, f2) de S. Considere a
função linear L : S → S tal que L(f) = f + f ′′.
L é diagonalizável e invertível.
L é diagonalizável mas não é invertível.
L é invertível mas não é diagonalizável.
L não é diagonalizável e não é invertível.
8. (1, 2 valores.) Nesta questão, deve responder e justificar em folha anexa.
Sejam A e B duas matrizes de entradas reais de n linhas e n colunas. Denote por C a matriz de entradas reais, de 2n linhas
e 2n colunas, com a seguinte forma por blocos: (
A 0n,n
0n,n B
)
onde 0n,n denota a matriz de entradas nulas de n linhas e n colunas. Mostre que C é diagonalizável se e só se A e B são
diagonalizáveis.