ALGA1M143 1516 testes

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2015/16
Teste 1 – 04-11-2015
Duração: 2hrs
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso: No. de folhas extra :
1 2 3 4 Total
1. (Cada alínea vale 0, 4 valores.) Sejam A1 =
(
1 2
3 4
)
, A2 =
(
1 2
−2 −4
)
, B1 =
(
2
2
)
e B2 =
(
0
0
)
; indique,
sem justificar:
a) O conjunto de soluções do sistema A1
(
x
y
)
= B1: b) O conjunto de soluções do sistema A2
(
x
y
)
= B2:
c) A forma de Gauss associada a A1: d) A forma de Gauss associada a A2:
e) A−11 se existir: f) O produto A1A2:
g) det(A1): h) det(5A1): i) det((A1 + I2)−1): j) det(A1002 ): k) car(5A2):
2. (Cada alínea vale 0, 4 valores.) Em R3, considere os vectores u = (1, 1, 3), v = (2, 0, 6), w = (1, 1, 1) e o subespaço
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 3y + z = 0}; indique sem justificar:
a) O subespaço gerado por {u, v}: b) O subespaço gerado por {u, v, w}:
c) Um conjunto de geradores de S: d) Escreva o vetor (0,−4, 10) como combinação linear de u, v, w:
3. Cada alínea vale 0, 4 valores: deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de resposta é atribuída
a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 1 valores.
a) Sejam A e B duas matrizes de entradas reais, de 5 linhas e 4 colunas. Suponhamos que B está escalonada e é equivalente
por linhas à matriz A.
Se todas as linhas de A são não-nulas então todas as linhas de B são não-nulas.
Se as duas primeiras linhas de B são não nulas então as duas primeiras linhas de A são não-nulas.
Se B tem apenas 3 linhas não nulas então qualquer sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz A é possível e
indeterminado.
Se B tem 4 linhas não nulas então o sistema linear homogéneo cuja matriz dos coeficientes é a matriz A é possível e
determinado.
b) Em R[x], considere os polinómios p(x) = x+ x2, q(x) = 1 + x e r(x) = 1− x2.
1 + 2x+ x2 + x3 é combinação linear de p(x), q(x), r(x).
r(x) é combinação linear de p(x), q(x).
O conjunto das combinações lineares de p(x), q(x), r(x) é R2[x].
O conjunto das combinações lineares de p(x), q(x), r(x) é {s(x) ∈ R2[x] : s(1) = 0}.
c) Considere os seguintes subconjuntos de R3: A = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}, B = {(x, y, z) ∈ R3 : xyz = 0} e
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z + xyz = 0}.
A,B,C são subespaços vetoriais de R3.
A,B são subespaços vetoriais de R3 mas C não é.
A é subespaço vetorial de R3 mas B,C não são.
A,B,C não são subespaços vetoriais de R3.
d) Sejam u, v e w três vetores de R3 e considere os conjuntos B1 = {u, v} e B2 = {u+ w, v + w,w}.
Se B1 é livre então B2 é livre.
Se B2 não gera R3 então B1 é ligado.
Se B2 gera R3 então B1 é livre.
Se B2 não gera R3 então w é combinação linear de u, v.
e) Em C2, considere u = (1, 0), v = (0, 1) e w = (1, i).
u, v, w são linearmente independentes em C2 com a estrutura de espaço vetorial real.
u, v, w são linearmente independentes em C2 com a estrutura de espaço vetorial complexo.
w é combinação linear de u, v em C2 com a estrutura de espaço vetorial real.
O conjunto {u, v} gera C2 com a estrutura de espaço vetorial real.
f) Sejam A1 =
 1 1 30 5 0
−2 0 −6
, A2 =
 1 1 10 −1 1
0 0 −2
, X =
 x1x2
x3
 e B =
 b1b2
b3
.
O sistema homogéneo A1X =
 00
0
 é possível e determinado.
Existem b1, b2, b3 ∈ R tais que os sistemas A1X = B e A2X = B são ambos impossíveis.
O sistema A1X = B é sempre possível e indeterminado quaisquer que sejam b1, b2, b3 ∈ R.
O sistema A2X = B é sempre possível e determinado quaisquer que sejam b1, b2, b3 ∈ R.
4. (1, 6 valores.) Nesta questão, deve responder justificando e em folha anexa. Para t ∈ [a, b], seja Q(t) uma
matriz de n linhas e n colunas, de entradas reais dependendo continuamente de t, e satisfazendo Q(t)Q(t)t = In. Seja B
uma matriz qualquer de n linhas e n colunas e entradas reais. Determine cada uma das seguintes funções:
a) c1 : [a, b]→ R tal que c1(t) = car(Q(t)).
b) c2 : [a, b]→ R tal que c2(t) = car(Q(t)B).
c) d : [a, b]→ R tal que d(t) = det(Q(t)).