Exercicios alga

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A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 1
1. Para cada um dos seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares, diga se e´ poss´ıvel ou imposs´ıvel; no caso de ser
poss´ıvel determine todas as soluc¸o˜es.
a) 3x1 + x2 = 0, nas inco´gnitas x1, x2;
b) 3x1 + x2 = 0, nas inco´gnitas x1, x2, x3;
c) −x1 + x2 + 3x3 = 1, nas inco´gnitas x1, x2, x3;
d)
{
2x1 + x2 = 1
−x1 + 3x2 = −4 , nas inco´gnitas x1, x2;
e)
{
3x1 + x2 + x3 = 0
6x1 + x2 + 2x3 = 0
, nas inco´gnitas x1, x2, x3;
f)
{
x2 + 3x3 = 0
−3x2 + x3 = 10 , nas inco´gnitas x1, x2, x3;
g)
 x1 − 2x2 = 32x1 + 3x2 = 13
5x1 + 2x2 = 27
, nas inco´gnitas x1, x2;
h)
 x1 + x3 = 12x1 − x3 = 5
3x1 + 4x3 = 2
, nas inco´gnitas x1, x2, x3;
i)
 x1 − 5x2 = 63x1 + 2x2 = 1
5x1 + 2x2 = 1
, nas inco´gnitas x1, x2;
j)
 x1 + 2x2 + x3 = 12x1 + 4x2 = 0
x1 + x2 − x3 = 0
, nas inco´gnitas x1, x2, x3;
k)

x1 − x3 + x7 = 1
x2 + x4 + 2x6 = 2
x3 − x5 + x7 = −1
x4 − x6 + x7 = 3
, nas inco´gnitas x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7.
2. Determine a forma de Gauss de cada uma das seguintes matrizes.
a)
(
2 −3 −2
6 −9 −3
)
b)
 0 2 03 0 6
0 4 0
 c)

1 1 0 0 2 0
1 0 1 0 5 0
0 0 1 1 7 0
1 0 1 1 9 0
 d)
 1 2 3 60 1 2 4
0 0 1 3

e)
 1 1 1 01 1 0 3
0 1 1 1
 f)

1 0 2
1 3 2
3 1 7
4 2 0

3. Diga para que valores de a e b (∈ R) e´ que cada um dos seguintes sistemas e´ poss´ıvel.
a)
 x1 + x2 + 2x3 = 22x1 − x2 + 3x3 = 2
5x1 − x2 + ax3 = b
, nas inco´gnitas x1, x2, x3;
b)
 ax1 − bx2 + x3 = 0bx1 + ax3 = 0
ax1 + bx2 = 0
, nas inco´gnitas x1, x2, x3;
c)

x1 − x2 + 2x3 = a
2x2 + 2x3 = b
x1 + 3x3 = a
x1 + x2 + 4x3 = b
, nas inco´gnitas x1, x2, x3;
d)
{
2 + 3x1 = a
1 + 4x1 = b
na inco´gnita x1;
e)
 x1 − 2x2 = 1x1 + x2 = 4
ax1 + bx2 = 5
, nas inco´gnitas x1, x2.
4. Para cada k ∈ R, resolva o sistema
{
(1− k)x+ y = 0
kx− 2y = 0 nas inco´gnitas x, y.
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 2
5. Determine para que valores de a e b e´ que o sistema
 x+ y + z = 12x− y + 3z = 2
x+ ay + z = b
nas inco´gnitas x, y, z, tem mais do
que uma soluc¸a˜o. Resolva o sistema para os valores de a e b encontrados.
6. Considere a matriz M =

1 1 1 2
1 t+ 1 1 t+ 2
1 1 t− 1 2
1 t− 1 t− 3 t− 2
. Determine os valores de t para os quais qualquer sistema
cuja matriz dos coeficientes e´ M e´ poss´ıvel.
7. Considere o sistema
{
ax+ by = 0
cx+ dy = 0
nas inco´gnitas x, y.
a) Mostre que se (r1, r2) e (s1, s2) sa˜o soluc¸o˜es do sistema, enta˜o (r1 + s1, r2 + s2) tambem e´ soluc¸a˜o do sistema.
b) Mostre que se (s1, s2) e´ uma soluc¸a˜o do sistema, e k e´ qualquer nu´mero real, enta˜o (ks1, ks2) tambem e´ soluc¸a˜o
do sistema.
c) Conclua da al´ınea anterior que, se existir uma soluc¸a˜o do sistema (s1, s2) tal que (s1, s2) 6= (0, 0), enta˜o o sistema
tem uma infinidade de soluc¸o˜es.
d) Generalize os resultados das al´ıneas anteriores a sistemas lineares homoge´neos de m equac¸o˜es a n inco´gnitas.
8. Considere o sistema
{
ax+ by = 3
cx+ dy = 5
nas inco´gnitas x, y.
a) Mostre que se (r1, r2) e (s1, s2) sa˜o soluc¸o˜es do sistema, enta˜o (r1 + s1, r2 + s2) na˜o e´ soluc¸a˜o do sistema.
b) Mostre que se (s1, s2) e´ uma soluc¸a˜o do sistema, e k e´ qualquer nu´mero real diferente de 1, enta˜o (ks1, ks2) na˜o
e´ soluc¸a˜o do sistema.
c) Mostre que se (r1, r2) e (s1, s2) sa˜o soluc¸o˜es do sistema, enta˜o (r1−s1, r2−s2) e´ soluc¸a˜o do sistema
{
ax+ by = 0
cx+ dy = 0
.
9. Considere o sistema
{
ax+ by = e
cx+ dy = f
nas inco´gnitas x, y.
a) Mostre que, para qualquer k ∈ R, se (s1, s2) e´ soluc¸a˜o do sistema dado, enta˜o (s1, s2) e´ soluc¸a˜o do sistema{
kax+ kby = ke
cx+ dy = f
.
b) Mostre que, para qualquer k ∈ R \ {0}, se (s1, s2) e´ soluc¸a˜o do sistema
{
kax+ kby = ke
cx+ dy = f
enta˜o (s1, s2) e´
soluc¸a˜o do sistema dado.
c) Determine a, b, c, d, e, f, k ∈ R tais que exista uma soluc¸a˜o (s1, s2) do sistema
{
kax+ kby = ke
cx+ dy = f
que na˜o seja
soluc¸a˜o do sistema
{
ax+ by = e
cx+ dy = f
.
d) Mostre que para qualquer k ∈ R, se (s1, s2) e´ soluc¸a˜o do sistema dado, enta˜o (s1, s2) e´ soluc¸a˜o do sistema{
(a+ kc)x+ (b+ kd)y = e+ kf
cx+ dy = f
.
e) Mostre que para qualquer k ∈ R, se (s1, s2) e´ soluc¸a˜o do sistema
{
(a+ kc)x+ (b+ kd)y = e+ kf
cx+ dy = f
enta˜o
(s1, s2) e´ soluc¸a˜o do sistema dado.
10. Para cada uma das equac¸o˜es do sistema
 x+ 3y − z = 0x+ 2z = 3−2x− 6y + 2z = 0 ,nas inco´gnitas x, y, z, determine, se existir,
(a, b, c) ∈ R3 que na˜o seja soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o mas que seja soluc¸a˜o das outras duas equac¸o˜es.
11. Determine a intersecc¸a˜o dos conjuntos {(a+ b, a, a+ b), a, b ∈ R} e {(a− b, a,−a− b), a, b ∈ R}.
12. Deˆ exemplo de dois sistemas distintos de duas equac¸o˜es lineares a treˆs inco´gnitas cujos conjuntos de soluc¸o˜es
sejam respectivamente {(a, 2a+ b, b), a, b ∈ R} e {(c, d, d− 2c), c, d,∈ R}. Os sistemas sa˜o equivalentes?
13. Deˆ exemplo de dois sistemas distintos de duas equac¸o˜es lineares a treˆs inco´gnitas cujos conjuntos de soluc¸o˜es
sejam respectivamente {(a, b, 2a+ b), a, b ∈ R} e {(c, d− 2c, d), c, d,∈ R}. Os sistemas sa˜o equivalentes?
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14. Deˆ exemplo de uma equac¸a˜o linear a treˆs inco´gnitas cujo conjunto de soluc¸o˜es seja {(a+b, a−2b, 2a−b), a, b ∈ R}
e de uma equac¸a˜o linear a treˆs inco´gnitas cujo conjunto de soluc¸o˜es seja {(2a,−a+ 3b, a+ 3b), a, b,∈ R}. As equac¸o˜es
sa˜o equivalentes? Verifique directamente se os dois conjuntos sa˜o iguais.
15. Determine, se existir, o ponto de intersecc¸a˜o das rectas (no plano) cujas equac¸o˜es sa˜o −x−y = 2 e 2x+3y = −5
respectivamente.
16. Existe algum ponto do espac¸o que pertenc¸a simultaˆneamente aos planos de equac¸o˜es x+y+z = 2, 2x−3z = 1,
3x+ y − 2z = 0?
17. Diga, justificando, se a recta de equac¸o˜es
{
x+ y + 2z = 1
3x+ y + z = 0
e o plano de equac¸a˜o x+ z = 2 se intersectam.
18. Para que valores de a ∈ R e´ que o plano de equac¸a˜o x+ay+a2z = 1−a2 e a recta de equac¸o˜es
{
x+ z = 1
x− y + z = 2
a) se intersectam?
b) sa˜o paralelos?
19. Seja f : R −→ R
x 7→ ax2 + bx+ c
; sabendo que o gra´fico de f passa pelos pontos (1, 3), (0, 1), (−1, 1), determine
o valor de a, b, c.
20. Diga, em cada um dos seguintes casos, se (E,+, ·) e´ um espac¸o vectorial real.
a) E = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), α · (x, y) = (0, αy);
b) E = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), α · (x, y) = (α2x, α2y);
c) E = R, adic¸a˜o usual, α · x = αx;
d) E = R+, x+ y = xy, α · x = xα;
e) E = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 − 3, y1 + y2 + 1), α · (x, y) = (αx− 3α+ 3, αy + α− 1).
f) E = R3, (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + y2, y1 + z2, z1 + x2), α · (x, y, z) = (αx, αy, αz).
21. Mostre que se (E,+, ·) e´ um espac¸o vectorial real, enta˜o
a) o elemento neutro para a soma e´ u´nico;
b) o sime´trico de cada elemento e´ u´nico;
c) se u+ u = u, enta˜o u = 0E ;
d) se u = −u, enta˜o u = 0E ;
e) ∀u ∈ E : 0 · u = 0E ;
f) ∀α ∈ R : α · 0E = 0E ;
g) ∀u ∈ E : (−1) · u = −u;
h) ∀u, v, w ∈ E : u+ v = u+ w ⇒ v = w;
i) ∀u, v ∈ E,α ∈ R : α · u = α · v ⇒ α = 0 ou u = v;
j) ∀α ∈ R, u ∈ E : (−α) · u = −(α · u) = α · (−u);
k) ∀α ∈ R, u, v ∈ E : α · (u− v) = α · u− α · v;
l) α · u = β · u⇔ (α = β ou u = 0E);
m) α · u = α · v ⇔ (α = 0 ou u = v).
22. Considere em R2 a estrutura usual de espac¸o vectorial real.
a) Sejam A = [0, 1] × [0, 1], B = {(2, 0)}, C = {(x, x), x ∈ R}, D = {(x, y) ∈ R2 : x − y = 3}; determine A + A,
A+B, B + C, C +D, A+ C, R ·B, R+ ·B, (R ·B) + (R · C), R · (B + C), Q ·B, { 12} · C, R ·B ∩ R · C, {−1} · C.
b) Sejam A = {(1, 0)}, B = {(0, 2)}; determine A+B, R · (A+B), R ·A+ R ·B, A+ R ·B.
c) Em relac¸a˜o a cada um dos seguintes conjuntos, diga se e´ esta´vel para a adic¸a˜oe se e´ esta´vel para a multiplicac¸a˜o
por um escalar: [0,+∞[×{0}, {(x,−2x), x ∈ R}, {(x, y) ∈ R2 : y = 3x}, {(x,−2x), x ∈ R} ∪ {(x, y) ∈ R2 : y = 3x},
{(1, x), x ∈ R}, {(x, y) ∈ R2 : y ≥ |x|}, {(x, y) ∈ R2 : x > 0 e y ≥ 1x}.
23. Seja (E,+, ·) um espac¸o vectorial real.
a) Mostre que, se A, B, C sa˜o partes na˜o vazias de E, enta˜o (A+B) + C = A+ (B + C).
b) Diga se para quaisquer partes na˜o vazias A e B de E se tem necessariamente R · (A+B) = R ·A+ R ·B.
24. Considere a estrutura usual de espac¸o vectorial em F(R,R). Sejam A = {f : f(1) ≥ 2}, B = {f : f(2) ≥ 1},
C = {f : f(1) ≥ 2 e f(2) ≥ 1}.
Determine A+A, B +B, A+B, A+ C, B + C, C + C, [ 12 , 2] ·A, [−1,− 12 ] ·A.
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25. Sejam (E,+, ·) um espac¸o vectorial real e A,B ⊂ E.
a) Mostre que 0E ∈ A⇒ B ⊂ A+B.
b) No caso E = R2, deˆ um exemplo de A e B tais que B 6⊂ A+B.
26. Diga quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vectoriais de R2.
a) {(x, y) ∈ R2 : x+ y 6= 1};
b) {(x, y) ∈ R2 : 2x+ y = 0};
c) {(α, 2α) : α ∈ R};
d) {(α+ β, α− β) : α, β ∈ R};
e) {(x, y) ∈ R2 : |x+ y| = 1};
f) {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x};
g) {(a+ b+ 2c, 5a− 3b) : a, b, c ∈ R}.
27. Diga quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vectoriais de R3.
a) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z 6= 1};
b) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 1};
c) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0};
d) {(α, 2β, α) : α, β ∈ R};
e) {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x2 + y2 ≤ z};
f) {(x, y, 0) : x, y ∈ R};
g) {(α, α, α) : α ∈ R};
h) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0 e y = 2z}.
28. Considere o sistema
{
ax+ by = e
cx+ dy = f
nas inco´gnitas x, y e o sistema homoge´neo associado
{
ax+ by = 0
cx+ dy = 0
.
a) Mostre que o conjunto SH das soluc¸o˜es do sistema homoge´neo e´ um subespac¸o vectorial de R2 (ver o exerc´ıcio
7).
b) Mostre que se (x0, y0) e´ uma soluc¸a˜o qualquer do sistema inicial, enta˜o o conjunto das soluc¸o˜es do sistema inicial
e´ {(x0, y0)}+ SH .
c) Generalize estes resultados a sistemas de m equac¸o˜es a n inco´gnitas.
29. Para cada (a, b) ∈ R2, considere o sistema Sa,b nas inco´gnitas x, y, z
 x− y + z = 0x− ay − z = −2a
bx+ ay − az = a+ b
.
a) Para cada (a, b) ∈ R2, determine a forma de Gauss da matriz dos coeficientes de Sa,b.
b) Utilizando a al´ınea anterior, determine, para cada (a, b) ∈ R2, o conjunto das soluc¸o˜es do sistema homoge´neo
associado a Sa,b.
c) Sabendo que (1, 2, 1) e´ soluc¸a˜o de Sa,b, para qualquer (a, b) ∈ R2, determine o conjunto das soluc¸o˜es de Sa,b
para (a, b) ∈ R2.
30. Diga quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vectoriais de M2,2(R).
a)
{(
a b
c d
)
: a+ b+ c+ d = 0
}
;
b)
{(
a b
c d
)
: a ≥ 0
}
;
c)
{(
a 0
0 b
)
: a, b ∈ R
}
;
31. Diga quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vectoriais de Mn,n(R).
a) {matrizes diagonais} ((aij)1≤i≤n,1≤j≤n e´ diagonal sse i 6= j ⇒ aij = 0);
b) {(aij)1≤i≤n,1≤j≤n : aii = 0, 1 ≤ i ≤ n};
c) {matrizes triangulares superiores} ((aij)1≤i≤n,1≤j≤n e´ triangular superior sse i > j ⇒ aij = 0);
d) {matrizes triangulares inferiores} ((aij)1≤i≤n,1≤j≤n e´ triangular inferior sse i < j ⇒ aij = 0).
32. Diga quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vectoriais de R[X].
a) R3[X] (= {a0 + a1X + a2X2 : a0, a1, a2 ∈ R});
b) {P ∈ R[X] : P (2) = 0};
c) {P ∈ R[X] : P (0) = 2};
d) {polino´mios de grau 4};
e) {aX + bX3 : a, b ∈ R};
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f) {2X + aX3 : a ∈ R};
g) {a(1 +X +X3) + b(X2 −X4) : a, b ∈ R};
h) {P ∈ R[X] : P (X) = XP ′(X)};
i) {P ∈ R[X] : P (1) = 0 e P (0) = 1}.
33. Diga quais dos seguintes subconjuntos de F(R,R) sa˜o subespac¸os vectoriais de F(R,R).
a) {f : f(0) = f(2)};
b) {f : f(0) = 3};
c) {f : f(3) = f(1) = 0};
d) {f : ∀x ∈ R \ {0, 1, 2}, f(x) = 0};
e) {f : f(0) 6= 0};
f) {f : f(0) 6= 1};
g) {f : ∀x ∈ R, (f(x))2 = f(x)};
h) {f : f(2) = 2 + f(1)};
i) {f : f(1) + f(3) = f(5) + f(−1)};
j) {func¸o˜es pares} (f e´ par sse ∀x ∈ R : f(x) = f(−x));
k) {func¸o˜es ı´mpares} (f e´ ı´mpar sse ∀x ∈ R : f(x) = −f(−x));
l) {func¸o˜es cont´ınuas};
m) {func¸o˜es deriva´veis};
n) {func¸o˜es injectivas};
o) {func¸o˜es sobrejectivas};
p) {func¸o˜es constantes};
q) {func¸o˜es limitadas};
r) {func¸o˜es constantes};
s) {func¸o˜es mono´tonas};
t) {f : f(Q) ⊂ Q};
u) {f : f(R \Q) ⊂ R \Q}.
34. Mostre que, se E1 e´ um subespac¸o vectorial do espac¸o vectorial real E, enta˜o 0E ∈ E1.
35. Mostre que, se E1 e E2 sa˜o subespac¸os vectoriais do espac¸o vectorial real E, enta˜o E1 ∩E2 e E1 +E2 tambem
sa˜o subespac¸os de E.
36. a) Deˆ exemplos de subespac¸os E1 e E2 de R2 tais que E1 ∪ E2 na˜o seja um subespac¸o de R2.
b) Deˆ exemplo de subconjuntos E1, E2 de R2 tais que E1 na˜o e´ subespac¸o de R2, E2 na˜o e´ subespac¸o de R2 e
E1 ∪ E2 e´ um subespac¸o de R2.
c) Deˆ exemplo de subconjuntos E1, E2 de R2 tais que E1 na˜o e´ subespac¸o de R2, E2 na˜o e´ subespac¸o de R2 e
E1 + E2 e´ um subespac¸o de R2.
37. Sejam E um espac¸o vectorial real e u, v elementos de E. Mostre que {αu+ βv : α, β ∈ R} e´ um subespac¸o de
E.
38. Considere os seguintes subespac¸os de R2: E1 = {(x, y) ∈ R2 : 2x − y = 0}, E2 = {(2x − y, 0), x, y ∈ R},
E3 = {(x, y) ∈ R2 : x = y}.
Mostre que R2 = E1 ⊕ E2 e R2 = E1 ⊕ E3.
39. Para cada um dos seguintes pares E1, E2 de subespac¸os de R3, determine E1 + E2 e diga se R3 = E1 ⊕ E2.
a) E1 = {(a, a, a) : a ∈ R}; E2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0};
b) E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0}; E2 = {(x, y, 0) : x, y ∈ R};
c) E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2y e y = −z}; E2 = {(x, y, 0) : x, y ∈ R};
d) E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2y e y = −z}; E2 = {(a, a, a) : a ∈ R};
e) E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0 e y = 0}; E2 = {(a, 2a, 3a) : a ∈ R}.
40. Considere os seguintes subespac¸os de R3: E1 = {(x, y, z) ∈ R3) : x − y + 2z = 0 e x + y + 4z = 0},
E2 = {a(1, 2, 3) +B(−1, 0, 1), A,B ∈ R}, E3 = R · {(−1, 2, 5)}, E4 = {(x, x, x), x ∈ R}.
Para cada i, j ∈ {1, 2, 3, 4}, determine Ei ∩ Ej , Ei + Ej e diga se Ei + Ej = Ei ⊕ Ej .
41. Em cada um dos seguintes casos, determine E1 + E2 + E3 e diga se R3 = E1 ⊕ E2 ⊕ E3.
a) E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0}, E2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x− z = 0 e x− y = 0}, E3 = R · {(1, 0, 0)};
b) E1 = R · {(1, 2, 1)}, E2 = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 0z=2x}, E3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ z = 0 e x− 3z = 0};
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c) E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0}, E2 = (x, y, z) ∈ R3 : x = 2z e y = 3z}, E3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y + z =
0 e y = 0}.
42. Considere os seguintes subespac¸os de R2: E1 = R·{(1, 1)}, E2 = {(x, 0), x ∈ R}, E3 = {(x, y) ∈ R2 : x+y = 0}.
a) Mostre que R2 = E1 + E2 + E3.
b) Mostre que E1 ∩ E2 = E1 ∩ E3 = E2 ∩ E3 = {0R2}.
c) Mostre que na˜o se tem R2 = E1 ⊕ E2 ⊕ E3.
43. Mostre que R2[X] = R1[X]⊕ {aX2 : a ∈ R}.
44. a) Mostre que M3,3(R) = {matrizes diagonais} ⊕ {(aij)1≤i≤3,1≤j≤3 : a11 = a22 = a33 = 0}.
b) Mostre que M3,3(R) = {matrizes triangulares superiores}+ {matrizes triangulares inferiores} e diga se a soma
e´ directa.
45. Sejam S o espac¸o das sucesso˜es reais, E1 = {sucesso˜es convergentes}, E2 = {sucesso˜es convergentes para 0},
E3 = {sucesso˜es constantes}.
a) Mostre que E1 e´ um subespac¸o de S, E2 e´ um subespac¸o de E1 e E2 e´ um subespac¸o de E1.
b) Mostre que E1 = E2 ⊕ E3.
46. a) Mostre que se f : R −→ R e´ par e ı´mpar, enta˜o f e´ a func¸a˜o nula.
b) Mostre que se f : R −→ R e´ uma func¸a˜o qualquer, enta˜o g : R −→ R
x 7→ f(x)+f(−x)2
e´ uma func¸a˜o par,
h : R −→ R
x 7→ f(x)−f(−x)2
e´ uma func¸a˜o ı´mpar e ∀x ∈ R : f(x) = g(x) + h(x).
c) Conclua das al´ıneas anteriores que F(R,R) = {func¸o˜es pares} ⊕ {func¸o˜es ı´mpares}.
d) Mostre que F(R,R) = {func¸o˜es constantes} ⊕ {f : f(5) = 0}.
(Sugesta˜o: dada uma func¸a˜o f : R −→ R, mostre que a func¸a˜o g : R −→ R
x 7→ f(x)− f(5)
e´ tal que g(5) = 0.)
e) Mostre que F(R,R) = {func¸o˜es constantes} ⊕ {f : ∀x ∈ R \ {1}, f(x) = 0} ⊕ {f : f(0) = f(1) = 0}.
47. Sejam (E,+E , ·E) e (F,+F , ·F ) doisespac¸os vectoriais reais.
a) Mostre que com as operac¸o˜es + e · definidas por (u1, v1)+(u2, v2) = (u1+Eu2, v1+F v2) e α·(u, v) = (α·Eu, α·F v),
(E × F,+, ·) e´ um espac¸o vectorial real.
b) Mostre que, com a estrutura de espac¸o vectorial real definida na al´ınea anterior, E × {0F } e {0E} × F sa˜o
subespac¸os vectoriais de E × F .
c) Mostre que, com a estrutura de espac¸o vectorial real definida na al´ınea anterior, se E1 e F1 sa˜o subespac¸os
respectivamente de E e F , enta˜o E1 × F1 e´ um subespac¸o vectorial de E × F .
48. Mostre que (2, 3) e´ combinac¸a˜o linear de (1, 1) e (1,−1) e diga se ha´ unicidade na maneira de escrever (2, 3)
como combinac¸a˜o linear de (1, 1) e (1,−1).
49. Escreva (1, 1) como combinac¸a˜o linear de (2, 1), (1,−1) e (0, 1) de treˆs maneiras diferentes.
50. Diga quais dos seguintes elementos de R3 sa˜o combinac¸a˜o linear de (1, 1, 1), (1, 0, 1) e (−1, 1,−1).
a) (2, 0, 2);
b) (−1, 0, 3);
c) (0, 0, 0);
d) (5,−3, 5).
51. Diga quais dos seguintes elementos de R[X] sa˜o combinac¸a˜o linear de X, X +X2 e 2X −X2.
a) 1 +X +X2 +X3;
b) X2;
c) 3X +X2;
d) 0.
52. Diga quais dos seguintes elementos de M2,3(R) sa˜o combinac¸a˜o linear de
(
1 0 0
0 0 0
)
,
(
1 1 1
0 0 0
)
e(
0 0 0
1 1 1
)
.
a)
(
3 5 5
2 2 2
)
;
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 7
b)
(
3 5 3
2 2 2
)
;
c)
(
0 0 0
0 0 0
)
;
d)
(
1 1 1
1 1 1
)
.
53. Para que valores de a e´ que (a, a+ 2) e´ mu´ltiplo de (1, 2)?
54. Para que valores de a e´ que (3a, a2,−2) e´ combinac¸a˜o linear de (1, 2, 1) e (1, 1, 0)?
55. Determine o subespac¸o de R2 gerado por cada um dos seguintes conjuntos:
a) {(1, 2)};
b) {(1, 2), (−1,−2)};
c) {(1, 1), (1,−1)};
d) {(−1,−1), (0, 0), (2, 3)};
e) {(0, 0)};
f) {(1, 0), (2, 0), (5, 0)};
g) {(x, 0) : x ≥ 0};
h) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
56. Determine o subespac¸o de R3 gerado por cada um dos seguintes conjuntos.
a) {(1,−1, 1)};
b) {(2, 1, 0), (1, 0, 1)};
c) {(1, 1, 1), (0, 0, 1), (0, 0, 2)};
d) {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)};
e) {(−1, 0, 1), (2, 2, 2), (1, 2, 3)};
f) {(1, 1, 1), (−1,−1,−1), (2, 2, 2), (0, 0, 0)}.
57. Determine o subespac¸o de R2[X] gerado por cada um dos seguintes conjuntos.
a) {1, X,X2};
b) {1, 1 +X};
c) {X,X2, 2X −X2};
d) {X, 3X +X2};
e) {P ∈ R2[X] : P (0) ≥ 0}.
58. Indique um conjunto finito de geradores de cada um dos seguintes subespac¸os de R3.
a) {(x, y, z) ∈ R3 : 2x+ y + z = 0};
b) {(x, y, z) ∈ R3 : −x+ y + z = 0 e x = 0};
c) {(x, 0, z) : x, z ∈ R}.
59. Diga, justificando, se
a) {(2, 3), (3, 2)} gera R2;
b) {(1, 2), (0, 1), (1, 3)} gera R2;
c) {(1, 2), (2, 4)} gera R2;
60. Diga, justificando, se
a) {(1, 1, 1), (−1, 1, 1), (2, 3, 0)} gera R3;
b) {(1, 2, 1), (0, 0, 1), (−1,−2, 0)} gera R3;
c) {(1, 2, 1), (0, 0, 1)} gera {(x, y, z) ∈ R3 : y = 2x};
d) {(1, 1, 0)} gera {(x, y, z) ∈ R3 : x = y};
e) {(1, 0, 1), (0, 2, 1)} gera {(x, y, z) ∈ R3 : x = z e y = 2z};
61. Para que valores de a e´ que (a2, 3, a) pertence ao subespac¸o de R3 gerado por {(1, 0, a), (1, 1, a)}?
62. Para que valores de a e´ que (1, 1, 2), (0, 1, 0), (3, 1, a) geram R3?
63. Sejam A, B subconjuntos na˜o vazios do espac¸o vectorial E. Mostre que
a) se A e´ um subespac¸o de E, enta˜o G(A) = A;
b) A ⊂ G(A);
c) G(G(A)) = G(A);
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 8
d) A ⊂ B ⇒ G(A) ⊂ G(B);
e) se A ∩B 6= ∅, enta˜o G(A ∩B) ⊂ G(A) ∩G(B);
f) G(A ∪B) = G(A) +G(B).
64. Deˆ um exemplo de subconjuntos A,B de R2 tais que A ∩B 6= ∅ e G(A ∩B) 6= G(A) ∩G(B).
65. Seja E um espac¸o vectorial real.
a) Mostre que, se u, v ∈ E sa˜o tais que v = 5u, enta˜o G({u}) = G({u, v}) = G({v}).
b) Mostre que, se v e´ mu´ltiplo de u, enta˜o G({u}) = G({u, v}); no caso de E = R2, deˆ um exemplo em que
G({v}) = G({u, v}) e um caso em que G({v}) 6= G({u, v}).
c) Mostre que, se u, v, w sa˜o tais que w = −2u+ 3v, enta˜o G({u, v}) = G({u, v, w}).
d) Mostre que, se u1, u2, . . . , uk, v sa˜o tais que v e´ combinac¸a˜o linear de u1, u2, . . . , uk, enta˜o G({u1, u2, . . . , uk}) =
G({u1, u2, . . . , uk, v}).
66. Mostre que R[X] na˜o e´ finitamente gerado.
(Sugesta˜o: mostre que se R[X] = G({P1, P2, . . . , Pk}) enta˜o R[X] ⊂ Rm[X], em que m = ma´ximo dos graus de
P1, P2, . . . , Pk.)
67. Para cada um dos seguintes pares E1, E2 de subespac¸os de R2, determine um conjunto finito de geradores de
E1 ∩ E2.
a) E1 = {(x, x) : x ∈ R}; E2 = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 0};
b) E1 = {a(1, 2) + b(−1,−2) : a, b ∈ R}; E2 = {(x, y) ∈ R2 : y − 2x = 0}.
68. Diga se os seguintes subconjuntos de R2 sa˜o livres.
a) {(1, 2)};
b) {(1,−3), (0, 2)};
c) {(1, 1), (0, 0), (−3, 1)};
d) {(1,−3), (−2, 6)};
e) {(1, 1), (2, 0), (1, 3)}.
69. Diga se os seguintes subconjuntos de R3 sa˜o livres.
a) {(1, 1, 3)};
b) {(1, 0, 2), (0, 1, 1)};
c) {(0, 1, 2), (1, 3, 0), (1, 2,−2)};
d) {(0, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 1, 3)};
e) {(1, 2, 0), (−1, 1, 3), (0, 1, 0)}.
70. Diga se os seguintes subconjuntos de R[X] sa˜o livres.
a) {X,X2, X3};
b) {1, X, 1 +X +X2, X2 − 1};
c) {1 +X,X +X2, X2 +X3, X3 + 1};
d) {1 +X,X +X2, X2 + 1}.
71. Diga se os seguintes subconjuntos de M3,2(R) sa˜o livres.
a)
{(
1 0 2
0 3 1
)
,
(
1 0 0
0 0 0
)
,
(
0 2 0
0 2 0
)}
;
b)
{(
1 1 1
1 1 1
)
,
(
1 −1 1
−2 0 0
)
,
(
2 0 2
−1 1 1
)}
.
72. Em cada um dos seguintes casos, diga se o subconjunto {f1, f2, f3} de F(R,R) e´ livre.
a) f1: R −→ R
x 7→ senx
, f2: R −→ R
x 7→ cosx
, f3: R −→ R
x 7→ 3
;
b) f1: R −→ R
x 7→ sen2 x
, f2: R −→ R
x 7→ cos2 x
, f3: R −→ R
x 7→ 3
;
c) f1: R −→ R
x 7→ cos 2x
, f2: R −→ R
x 7→ cos2 x
, f3: R −→ R
x 7→ −1
.
73. Considere o subespac¸o E1 de F(R,R) gerado pelas func¸o˜es seno e cosseno.
a) Seja f : R −→ R
x 7→ sen(x+ pi2 )
; mostre que f ∈ E1.
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 9
Para cada a ∈ R, seja fa : R −→ R
x 7→ x+ a
.
b) Mostre que sen ◦fpi
3
∈ E1;
c) Mostre que para qualquer a ∈ R, sen ◦fa ∈ E1 e cos ◦fa ∈ E1.
74. Considere o espac¸o F(]− pi2 , pi2 [,R), das func¸o˜es reais de domı´nio ]− pi2 , pi2 [; seja E1 = G({sen|]−pi2 ,pi2 [ cos]−pi2 ,pi2 [}).
Diga, justificando, se a restric¸a˜o da func¸a˜o tangente a ]− pi2 , pi2 [ pertence a E1.
75. Considere os elementos u, v, w de R3, em que u = (2, 2, 0), v = (
√
3,
√
3, 0) e w = (0, 0, 1).
a) Determine G({u, v, w}).
b) Mostre, a partir da definic¸a˜o, que u, v, w sa˜o linearmente dependentes.
c) Quais dos elementos u, v, w se podem escrever como combinac¸a˜o linear dos restantes?
76. Seja E um espac¸o vectorial real.
a) Mostre que, se u1, u2, u3 ∈ E sa˜o tais que u3 = 2u1 + u2, enta˜o u1, u2, u3 sa˜o linearmente dependentes.
b) Mostre que, se u1, u2, . . . , un−1, un ∈ E sa˜o tais que un e´ combinac¸a˜o linear de u1, u2, . . . , un−1, enta˜o u1, u2, . . . , un
sa˜o linearmente dependentes.
c) Mostre que, se u1, u2, u3, u4 ∈ E sa˜o tais que 2u1 − 5u3 + u4 = 0E , enta˜o u1 e´ combinac¸a˜o linear de u2, u3, u4,
u3 e´ combinac¸a˜o linear de u1, u2, u4 e u4 e´ combinac¸a˜o linear de u1, u2, u3. Deˆ um exemplo, no caso E = R2, em que
u2 na˜o seja combinac¸a˜o linear de u1, u3, u4 e um exemplo em que seja.
d) Mostre que, se u1, u2, . . . , un sa˜o linearmente dependentes, enta˜o pelo menos um dos ui e´ combinac¸a˜o linear dos
restantes.
e) Deˆ um exemplo, para E = R2, de u, v linearmente dependentes, tais que v na˜o seja mu´ltiplo de u.
f) Mostre que, se u 6= 0E e u, v sa˜o linearmente dependentes, enta˜o v e´ mu´ltiplo de u.
g) Mostre que, para qualquer u ∈ E, 3u e 5u sa˜o linearmente dependentes.
h) Mostre que, para quaisquer u ∈ E, α, β ∈ R, αu e βu sa˜o linearmente dependentes.
i) Mostre que, se u1, u2, . . . , un sa˜o linearmente dependentes e u1 6= 0E , algum dos ui e´ combinac¸a˜o linear dos
precedentes.
j) Mostre que se u1, u2, . . . , un sa˜o linearmente independentes e u1, u2, . . . , un, u sa˜o linearmente dependentes,enta˜o
u e´ combinac¸a˜o linear de u1, u2, . . . , un.
77. Diga para que valores de a ∈ R e´ que os elementos (a, a+ 1), (3, a+ 5) de R2 sa˜o linearmente independentes.
78. Diga para que valores de a ∈ R e´ que os elementos (1, 0, a), (a, 0, 2), (−a2, 8, 3a) de R3 sa˜o linearmente
dependentes.
79. Considere os vectores ua = (a,−1, 1), va = (−1, a, 1), wa = (1,−1, a) e zb = (b, 1, b) de R3.
a) Diga para que valores de a e´ que ua e va sa˜o linearmente independentes.
b) Diga para que valores de a e b e´ que zb e´ combinac¸a˜o linear de ua, va, wa.
c) Diga para que valores de a e b e´ que ua, va, wa, zb sa˜o linearmente dependentes.
80. Diga, justificando, se cada uma das seguintes afirmac¸o˜es e´ verdadeira ou falsa.
a) Se E e´ um espac¸o vectorial real e u, v ∈ E sa˜o linearmente independentes, enta˜o u+ v e u− v sa˜o linearmente
independentes.
b) Se E e´ um espac¸o vectorial real e u, v ∈ E sa˜o linearmente dependentes, enta˜o u + v e u − v sa˜o linearmente
dependentes.
c) Se E e´ um espac¸o vectorial real e u, v, w ∈ E e a, b, c ∈ R sa˜o tais que au + bv + cw = 0E , enta˜o u, v, w sa˜o
linearmente dependentes.
d) Se E e´ um espac¸o vectorial real e u, v ∈ E sa˜o linearmente dependentes, enta˜o au+ bv 6= 0E ⇒ (a, b) 6= (0, 0).
e) Se E e´ um espac¸o vectorial real e u, v ∈ E sa˜o linearmente independentes, enta˜o au+ bv 6= 0E ⇒ (a, b) 6= (0, 0).
f) Se E e´ um espac¸o vectorial real, e1, . . . , en ∈ E sa˜o linearmente independentes e k < n, enta˜o t1e1 + · · · tkek =
0E ⇒ t1 = · · · = tk = 0.
g) Se E e´ um espac¸o vectorial real, k < n, e1, . . . , ek ∈ E sa˜o linearmente independentes e ek+1, . . . , en ∈ E sa˜o
linearmente independentes enta˜o e1, . . . , en sa˜o linearmente independentes.
81. a) Deˆ um exemplo de u, v ∈ R2 e α, β, α′, β′ ∈ R tais que αu+ βv = α′u+ β′v e (α, β) 6= (α′, β′).
b) Mostre que, se u, v ∈ E sa˜o linearmente independentes, enta˜o
αu+ βv = α′u+ β′v ⇒ (α, β) = (α′, β′).
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 10
c) Mostre que, se u, v ∈ E sa˜o linearmente dependentes, enta˜o existem α, β, α′, β′ ∈ R, com (α, β) 6= (α′, β′), tais
que αu+ βv = α′u+ β′v.
82. Em cada um dos seguintes casos, diga se b e´ uma base de E.
a) E = R2, b = ((1, 1), (1,−1));
b) E = R3, b = ((1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 3));
c) E = R3, b = ((1, 1, 2), (
√
2, 0, 0), (0, 0, 1));
d) E = M2,2(R), b =
((
1 0
0 1
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
0 0
1 1
))
;
e) E = R2[X], b = (X,X2, 2X + 3X2).
83. Considere a base b = ((2, 1, 3), (0, 0, 1), (1, 1, 0)) de R3 e seja u = (x, y, z) ∈ R3. Determine (x, y, z) em cada
um dos seguintes casos.
a) u = (1, 0, 0)b;
b) u = (0, 0, 3)b;
c) u = (3, 0, 1)b;
d) u = (2, 2,−1)b;
e) u = (−1, 5, 3)b;
f) u = (1, 0, 1)b.
84. Para cada um dos seguintes subespac¸os de R2, indique uma base e complete-a para obter uma base de R2.
Indique as coordenadas de (−5, 3) em cada uma das bases de R2 encontradas.
a) {(3x, x) : x ∈ R};
b) {(x, y) ∈ R2 : y + 2x = 0};
c) {(x, 0) : x ∈ R};
85. Para cada um dos seguintes subespac¸os de R3, indique a dimensa˜o e uma base; complete essa base para obter
uma base de R3. Indique as coordenadas de (1, 1, 0) em cada uma das bases de R3 encontradas.
a) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0};
b) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y − 2z = 0 e x = z};
c) {(a+ b, b+ c, 2a+ b− c) : a, b, c ∈ R};
d) {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0};
e) G({(1, 1, 2), (0, 1,−1), (1,−1, 4)});
f) G({(1, 1, 0), (0, 1, 1)});
g) G({(1, 2, 8), (2, 4, 16)}).
86. Determine as coordenadas de (x, y, z) na base ((1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)) de R3.
87. Em cada um dos seguintes casos, determine a dimensa˜o de E, uma base b de E e as coordenadas de u na base
b.
a) E = M2,2(R), u =
(
3 5
2 1
)
;
b) E =

 a bc d
e f
 ∈M3,2(R) : a+ b = 0 e c = 0 e a+ d+ f = 0
, u =
 1 −10 0
2 −1
;
c) E = {P ∈ R3[X] : P (0) = P (1) = P (−1) = 0}, u = X −X3;
d) E = {a0 + a1X + a2X2 + a3X3 ∈ R[X] : a0 + a2 = 0}, u = 1 + 2X −X2 + 5X3;
e) E = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ z = 0 e 2x+ y = 0}, u = (1,−2,−1);
f) E = subespac¸o de R3 gerado por {(1, 1, 1), (2, 0, 0), (−1, 1, 1)}, u = (4, 2, 2);
g) E = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ z − t = 2x− y − t = 3x+ y − z = 0}, u = (1,−1, 2, 3).
88. Determine uma base de R4 que contenha (1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 2), (0, 2, 3, 0).
89. Determine uma base b do subespac¸o {P ∈ R2[X] : P (2) = 0} de R2[X]; indique as coordenadas de X − 2,
X2 +X − 6 e 2X2 −X − 6 na base cano´nica de R2[X] e na base b.
90. Mostre que B = ((1, 0,−1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1,−1)) e´ uma base do subespac¸o {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+z+ t = 0}
de R4 e determine as coordenadas de (1, 2,−1, 0) na base B.
91. Considere o subespac¸o E = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y − z + t = 0} de R4. Determine
a) uma base B1 de E que contenha (1, 0, 1, 0) e (0, 0, 1, 1);
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 11
b) uma base B2 de R4 que contenha (1, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1) e (0, 2, 3, 0);
c) uma base B3 de E que contenha (1, 1, 1,−1);
d) as coordenadas de (1, 1, 1,−1) em B1, B2 e B3.
92. Em cada um dos seguintes casos, considere o espac¸o vectorial E e os subespac¸os E1 e E2 de E; determine, se
existir, uma base de E1 ∩ E2, uma base de E1, uma base de E2 e uma base de E1 + E2.
a) E = R3, E1 = G({(1, 0, 1), (0, 1, 1)}), E2 = G({(1, 1, 2), (1, 0, 0)});
b) E = R3, E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z}, E2 = G({(1, 1, 0)});
c) E = R3[X], E1 = {P ∈ R3[X] : P (1) = P (−1) = 0}, E2 = {a0 + a1X + a2X2 + a3X3 : a0 = a3 e a1 = a2};
d) E = R4, E1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + 2y + z = 0 e x − y + t = 0}, E2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 2x + y + z + t =
0 e 3y + z − t = 0};
e) E = R4, E1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + 2y + z = 0 e x − y + t = 0}, E2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 2x + y + z + t =
0 e x+ y + z + t = 0};
f) E = R3[X], E1 = {P ∈ R3[X] : P (1) = 0}, E2 = {P ∈ R3[X] : P (2) = 0};
g) E = R3[X], E1 = {P ∈ R3[X] : P (0) = 0}, E2 = G({1 +X3, X +X3, 1−X,X2}).
93.
Considere os elementos P1, P2, P3, P4 de R[X], em que P1(X) = 1 + X, P2(X) = 1 − X, P3(X) = 2 + 3X e
P4(X) = 1 +X +X
2.
a) Determine G({P1, P2, P3, P4}).
b) Mostre que P1, P2, P3, P4 sa˜o linearmente dependentes.
c) Quais dos elementos de {P1, P2, P3, P4} se podem escrever como combinac¸a˜o linear dos restantes?
d) Determine uma base de G({P1, P2, P3, P4}), cujos elementos pertenc¸am a {P1, P2, P3, P4}.
e) Diga,justificando, se G({P1, P2, P3}) ⊂ G({P1, P3}) e se G({P1, P3}) ⊂ G({P1, P2, P3}).
94. Determine, se existir, uma base b de
a) R2 tal que (1, 1) = (1, 0)b e (0, 1) = ( 12 ,− 12 )b;
b) R3 tal que (1, 1, 0) tenha coordenadas (0, 1, 1) em b;
c) R3 que contenha (0, 1, 2) e tal que (1, 1, 1) tenha coordenadas (1, 1, 0) em b; ha´ unicidade na escolha de b?
d) R2[X] tal que para cada P se tenha P = (P (0), P (1), P (−1))b.
95. Determine uma base de cada um dos seguintes espac¸os:
a) o subespac¸o G({(1, 0, 1), (2, 0, 2), (1, 1, 2), (2, 1, 3)}) de R3;
b) o subespac¸o G({X2 + 1, X2 +X,X − 1}) de R[X];
c) o subespac¸o G({(1, 2, 2), (3, 2, 1), (11, 10, 7), (7, 6, 4)}) de R3;
d) o subespac¸o G({(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (2, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (−1, 0, 1, 1)}) de R4.
96. Sejam E1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ z = 0 e y + t = 0} e E2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y + z − t = 0}.
a) Mostre que E1 ⊂ E2.
b) Determine uma base b de E1 e uma base B de E2 que contenha os elementos de b.
c) Determine uma base b′ de E2 que contenha (1, 1,−2,−2).
d) Determine as coordenadas de (2,−1,−2, 1) nas bases b, B e b′.
e) Determine um suplementar de E1 em E2.
97. Sejam E1 = {a0 + a1X + a2X2 : a0 + a1 + a2 = 0} e E2 = {P ∈ R3[X] : P (1) = 0}.
a) Mostre que E1 ⊂ E2.
b) Determine uma base b de E1 e uma base B de E2 que contenha os elementos de b.
c) Determine uma base b′ de E2 que contenha X −X3.
d) Determine as coordenadas de X −X2 nas bases b, B e b′.
e) Determine um suplementar de E1 em E2.
98. Em cada um dos seguintes casos determine um suplementar de E1 em E.
a) E = R2, E1 ={(a, a), a ∈ R};
b) E = R4, E1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y + z = 2x+ y + z + t = 0};
c) E = R4[X], E1 = {P ∈ R4[X] : P (0) = P (1) = P (−1) = 0};
d) E = M2,4(R), E1 =
{(
a b c d
e f g h
)
: a+ b+ c+ d = e+ f + g + h = 0
}
.
99. a) Mostre que, se b = (u, v, w) e´ uma base de E, enta˜o b′ = (v, u, w) tambem e´ uma base de E.
b) Determine as coordenadas na base b′ de (3, 1, 4)b, (1, 0, 0)b, (0, 0, 1)b, (−1, 1,−1)b, (1, 2,−5)b, (α, β, γ)b.
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 12
100. Seja (u, v) uma base do espac¸o vectorial E. Mostre que (u− 2v, 2u+ v) ainda e´ uma base de E e indique as
coordenadas de u, v e u+ v em ambas as bases.
101. Mostre que, se u1, u2, u3 ∈ E sa˜o linearmente independentes e, para qualquer u ∈ E, u1, u2, u3, u sa˜o
linearmente dependentes, enta˜o (u1, u2, u3) e´ uma base de E.
102. Mostre que, se {u1, u2, u3} gera E e, para quaisquer i, j ∈ {1, 2, 3}, {ui, uj} na˜o gera E, enta˜o (u1, u2, u3) e´
uma base de E.
(Sugesta˜o: utilizar os exerc´ıcios 65 e 76).
103. Sejam E e F espac¸os vectoriais de dimenso˜es m e n respectivamente.
a) Mostre que, se (u1, . . . , um) e´ uma base de E e (v1, . . . , vn) e´ uma base de F , enta˜o
((u1, 0F ), . . . , (um, 0F ), (0E , v1), . . . , (0E , vn)) e´ uma base de E × F .
b) Determine a dimensa˜o de E × F .
104. Seja E um espac¸o vectorial real de dimensa˜o n e E1 um subespac¸o de E de dimensa˜o n− 1.
a) Mostre que ∀u ∈ E \ E1 : E = E1 ⊕G({u}).
b) Mostre que, se E2 e´ um subespac¸o de E tal que E2 6⊂ E1, enta˜o E = E1 + E2.
c) Se E2 e´ um subespac¸o de E tal que E = E1 ⊕ E2, qual e´ a dimensa˜o de E2?
105. Sejam E1 = {f ∈ F(R,R) : f(pi4 ) = 0} e E2 = G({f1, f2}), onde f1: R −→ R
x 7→ senx
e f2: R −→ R
x 7→ cosx
.
a) Mostre que b = (f1, f2) e´ uma base de E2.
b) Determine uma base de E1 ∩ E2.
c) Determine as coordenadas de g : R −→ R
x 7→ sen(x+ 5)
e de h : R −→ R
x 7→ cos(x+ pi3 )
na base b.
106. a) Determine uma base b do subespac¸o E1 de F(R,R) gerado pelas func¸o˜es f1: R −→ R
x 7→ cos2 x
,
f2: R −→ R
x 7→ sen2 x
e f3: R −→ R
x 7→ cos 2x
.
b) Mostre que as func¸o˜es f : R −→ R
x 7→ 5
e g: R −→ R
x 7→ 3− 7 cos 2x
pertencem a E1 e determine as suas
coordenadas na base b.
c) A func¸a˜o h: R −→ R
x 7→ sen 2x
pertence a E1?
107. Para cada a ∈ R, considere a func¸a˜o fa : R −→ R
x 7→
{
1 se x = a
0 se x 6= a
.
a) Mostre que, para qualquer m ∈ N, f1, f2, . . . , fm sa˜o linearmente independentes; conclua que F(R,R) na˜o e´
finitamente gerado.
b) Mostre que a func¸a˜o f : R −→ R
x 7→

2 se x = 3
−2 se x = 4
pi se x = 6√
2 se x = 7
2 se x = 9
−√3 se x = 10
−9 se x = 11
pertence a E1 = G({f3, f4, f5, f6, f7, f8, f9, f10, f11}) e
determine as coordenadas de f na base (f3, f4, f5, f6, f7, f8, f9, f10, f11) de E1.
c) Determine G(f2, f4).
d) Mostre que f ∈ G({fa, a ∈ R}) sse {x : f(x) 6= 0} e´ finito.
108. Considere os seguintes elementos de R3: ua = (1, 0, a), va = (2, a2 − 4,−4), wa = (−1, 0, 2); determine, em
func¸a˜o de a, a dimensa˜o de G({ua, va, wa}).
109. Em cada um dos seguintes casos, diga para que valores de a e´ que b e´ uma base de E.
a) E = R2, b = ((1, 1), (2, a));
b) E = R2, b = ((a, a2), (a, a3));
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 13
c) E = G({(1, 1, 2), (0, 3, 0), (2, 4, a2)}), b = ((1, 1, 2), (0, 3, 0));
d) E = {P ∈ R1[X] : P (a) = 0}, b = (a2 −X2, 2a2 − aX −X2).
110. Mostre que (e1, . . . , en) e´ uma base de E se e so´ se E = R · {e1} ⊕ · · · ⊕ R · {en}.
111. Para cada uma das seguintes aplicac¸o˜es, diga se e´ linear; caso o seja, determine o seu nu´cleo e o seu
contradomı´nio.
a) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (x, y)
; b) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (−y,−x)
; c) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (x+ y, x+ y)
;
d) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (|x|, |y|)
; e) f : R3 −→ R2
(x, y, z) 7→ (x, z)
; f) f : R2 −→ R3
(x, y) 7→ (x2, y2, 0)
;
g) f : R2 −→ R3
(x, y) 7→ (x− y, x− y, y − x)
; h) f : R2 −→ R1[X]
(a, b) 7→ aX + a+ b
;
i) f : R2[X] −→ R2[X]
a0 + a1X + a2X
2 7→ a1 + a2X2
; j) f : R2[X] −→ R3[X]
a0 + a1X + a2X
2 7→ a0X + a12 X2 + a23 X3
;
k) f : R3 −→ R4
(x, y, z) 7→ (x− 5y, 7, z, 0)
; l) f : R3 −→ R4
(x, y, z) 7→ (x− 5y, 7z, 0, x+ y)
;
m) f : R4 −→ R1[X]
(a, b, c, d) 7→ a+ b+ (c+ d)X
; n) f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (0, 0, 0)
;
o) f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (x+ 2y − z, y2 + z, 2x+ y2 − 2z)
; p) ϕ: F(R,R) −→ R2
f 7→ (f(0), f(1))
;
q) ϕ: R[X] −→ R
P 7→ P (3)
; r) ϕ: R[X] −→ R1[X]
P 7→ P (0) + P (1)(1−X)
; s) ϕ: R[X] −→ R[X]
P 7→ XP
;
t) ϕ: S −→ R
(an)n∈N 7→ a3
, onde S e´ o espac¸o das sucesso˜es reais;
u) ϕ: Sc −→ R
(an)n∈N 7→ lim
n→∞ an
, onde Sc e´ o espac¸o das sucesso˜es reais convergentes;
v) ϕ: S −→ S
(an)n∈N 7→ (bn)n∈N
, em que bn = an+1;
w) ϕ: S −→ S
(an)n∈N 7→ (bn)n∈N
, em que bn =
 a1 se n = 1a1 se n = 2
an−3 se n ≥ 3
;
x) ϕ: S −→ S
(an)n∈N 7→ (bn)n∈N
, em que bn = a1 + · · ·+ an;
y) ϕ: F(R,R) −→ F(R,R)
f 7→ f ◦ f
;
z) ϕ: C∞(R,R) −→ C∞(R,R)
f 7→ f ′
, onde C∞(R,R) e´ o espac¸o das func¸o˜es indefinidamente deriva´veis.
112. Diga para que valores de a ∈ R e´ que a func¸a˜o f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (a2x, ay2)
e´ linear.
113. Mostre que, se E e F sa˜o espac¸os vectoriais, enta˜o a aplicac¸a˜o f : E −→ F
u 7→ 0F
e´ linear. Qual e´ o seu
nu´cleo?
114. Mostre que, se E e F sa˜o espac¸os vectoriais reais, enta˜o L(E,F ) munido das operac¸o˜es definidas por f + g:
E −→ F
u 7→ f(u) + g(u)
e α.f : E −→ F
u 7→ αf(u)
e´ um espac¸o vectorial real.
115. Em cada um dos seguintes casos determine f(E1), f
−1(F1) e, caso existam, uma base de f(E1) e uma base
de f−1(F1).
a) f : R2 −→ R3
(x, y) 7→ (x, x+ y, x− y)
, E1 = G({(1, 0)}), F1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = 0};
b) f : R3 −→ R2
(x, y, z) 7→ (x+ 2y, y + z)
, E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : y + z = 0}, F1 = {(x, x), x ∈ R};
c) f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (0, x, y)
, E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0}, F1 = {(0, y, 0), y ∈ R};
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 14
d) f : M2,3(R) −→ R2[X](
a1 a2 a3
a4 a5 a6
)
7→ a1 + a2 + (a3 + a4)X + (a5 + a6)X2
,
E1 =
{
a1 a2 a3
a4 a5 a6
: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 = 0
}
, F1 = {P ∈ R[X] : P (−1) = 0};
e) f : R1[X] −→ R2[X]
a0 + a1X 7→ a0 + (a0 + a1)X + (a0 + 2a1)X2
, E1 = {P ∈ R1[X] : P (2) = 0}, F1 = {P ∈ R2[X] :
P (2) = 0};
f) f : M3,1(R) −→ R4 ab
c
 7→ (a+ b, b+ c, a+ c, a− b)
, E1 = M1,3(R), F1 = G({(0, 1, 0, 0)}).
116. Considere a aplicac¸a˜o f : R4 −→ R2[X]
(a, b, c, d) 7→ d+ (a− b)X + (a− c)X2
. Determine
a) f−1({0}) (diga se f e´ injectiva);
b) f−1({1 +X +X2});
c) f−1(G({(1 +X)}));
d) f−1(R1[X]);
e) f−1(G({1 +X, 1−X}));
f) f−1({P ∈ R2[X] : P (1) = 0}).
117. Considere a aplicac¸a˜o f : R3 −→ M2,2(R)
(x, y, z) 7→
(
x y − x
z − x 2x
) . Determine
a) Im(f);
b) f({(0, 1, 0)});
c) f(G({(1, 1, 1)}));
d) f({(x, y, 0), x, y ∈ R});
e) f(G({(0, 1, 0), (0, 0, 1)}));
f) f({(x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y + 3z = 0}).
118. Considere a aplicac¸a˜o D: R[X] −→ R[X]
P 7→ P ′
, onde P ′ e´ a derivada de P (D(a0+a1X+a2X2+· · ·+anXn) =
a1 + 2a2X + · · ·+ nanXn−1); seja D2 = D ◦D.
a) Mostre que D e´ linear.
b) Determine ker(D), ker(D2), Im(D), Im(D2).
c) Determine D(R3[X]), D2(R3[X]), D−1(R[X]), (D2)−1(R[X]).
d) Determine D({P ∈ R2[X] : P (3) = 0}), D−1({a0 + a1X + a2X2 : a0 + a1 + a2 = 0}).
119. a) Mostre que, se f : E −→ F e´ linear e u1, u2, u3 ∈ E, enta˜o f(G({u1, u2, u3})) = G({f(u1), f(u2), f(u3)}).
b) Mostre que, se f : E −→ F e´ linear e A e´ um subconjunto de E, enta˜o f(G(A)) = G(f(A)).
c) Mostre que, se f : E −→ F e´ linear e E1 e´ um subespac¸o de E, enta˜o f−1(f(E1)) = E1 + ker f .
d) Mostre que, se f : E −→ F e´ linear e E1, E2 sa˜o subespac¸os de E, enta˜o f(E1 + E2) = f(E1) + f(E2).
120. Deˆ um exemplo de uma func¸ ao f : R2 −→ R3 tal que f−1({(0, 0, 0)}) = ∅.121. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o f : R2 −→ R2 tal que existam subespac¸os E1 e E2 de R2 tais que f(E1) e
f−1(E2) na˜o sejam subespac¸os de R2.
122. Seja f : R2 −→ R2
(x, y) 7→
{
(x, y) se |x| 6= |y|
(x,−y) se |x| = |y|
.
a) Mostre que f na˜o e´ linear.
b) Mostre que se E e´ um subespac¸o qualquer de R2, enta˜o f(E) e´ um subespac¸o de R2.
123. Seja f : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear e b = (u1, u2, u3) uma base de E.
a) Mostre que f e´ injectiva sse f(u1), f(u2), f(u3) sa˜o linearmente independentes.
b) Mostre que f e´ sobrejectiva sse f(u1), f(u2), f(u3) geram E.
c) Conclua que f e´ bijectiva sse (f(u1), f(u2), f(u3)) e´ uma base de E.
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 15
124. Mostre que, se f : E −→ F e g : F −→ G sa˜o aplicac¸o˜es lineares, enta˜o g ◦ f : E −→ G e´ uma aplicac¸a˜o
linear.
125. Determine g ◦ f em cada um dos seguintes casos.
a) f : R −→ R2[X]
a 7→ a+ aX + aX2
, g: R2[X] −→ R2
P 7→ (P (0), P (1))
;
b) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (2x− y, x+ 3y)
, g: R2 −→ R3
(x, y) 7→ (x+ y, y, x)
;
c) f : R2[X] −→ R4
a+ bX + cX2 7→ (3a, 3b, a+ b, b+ c)
, g: R4 −→ R2[X]
(x, y, z, t) 7→ x− y + (z − t)X + tX2
;
d) f : R[X] −→ R2
P 7→ (P (0), P (1))
, g: R2 −→ R3
(x, y) 7→ (x, 2x, 3x+ 5y)
;
e) f : M3,1(R) −→ R ab
c
 7→ a+ b+ c
, g: R −→ M2,2(R)
x 7→
(
x 2x
−x 0
) .
126. a) Mostre que, se f : E −→ F e g : F −→ G sa˜o aplicac¸o˜es lineares, enta˜o ker(f) ⊂ ker(g ◦ f) e Im(g ◦ f) ⊂
Im(g).
b) Deˆ exemplos de uma aplicac¸o˜es lineares f1, f2, f3, g1, g2, g3, de R2 em R2, tais que ker(g1 ◦ f1) = ker(f1),
Im(g1 ◦ f1) = Im(g1), ker(g2 ◦ f2) 6= ker(f2) e Im(g3 ◦ f3) 6= Im(g3).
127. Determine f((x, y)) sabendo que f e´ uma aplicac¸a˜o linear de R2 em R2 tal que
a) f((1, 0)) = (2, 3) e f((0, 1)) = (−5, 1);
b) f((1, 1)) = (1, 0) e f((0, 1)) = (1, 0);
c) f((1, 2)) = (−1,−2) e f((1,−1)) = (2, 0);
d) f((2, 3)) = (0, 0) e f((−1,−1)) = (0, 0).
128. Determine todas as aplicac¸o˜es lineares
a) de R2 em R2;
b) de R2 em R3;
c) de R em R;
d) de R2 em R;
e) de R em R2;
f) de R2 em R1[X];
129. Determine f((x, y, z)) sabendo que f e´ uma aplicac¸a˜o linear de R3 em R2 tal que
a) f((1, 1, 1)) = (2,−3), f((1, 1, 0)) = (1, 0), f((1, 0, 0)) = (0, 0);
b) f((−1, 1, 2)) = (1, 3), f((1,−1,−1)) = (0, 1), f((1, 1, 0)) = (2, 4);
c) ker(f) = G({(1, 0, 1), (0, 0, 1)}) e f((0, 1, 1)) = (3, 3);
d) ker(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0 e x− 2z = 0}, f((1, 0, 0)) = (2,−1), f((1, 1, 0)) = (−5, 0).
130. Determine f(a0 + a1X + a2X
2) sabendo que f : R2[X] −→ R e´ uma aplicac¸a˜o linear tal que
a) f(1) = 3, f(X) = −2, f(X2) = −3;
b) f(−1 +X) = 2, f(−X +X2) = 5, f(1 + 2X2) = 0;
c) ker(f) = {P ∈ R2[X] : P (2) = 0} e f(1 +X2) = 3.
131. Diga, justificando, se existe f : R1[X] −→ R3 linear tal que
a) f(1 +X) = (0, 0, 0), f(1−X) = (1, 0, 0), f(X) = (0, 0, 0);
b) f(1 +X) = (0, 0, 0), f(1−X) = (2, 0, 0), f(X) = (−1, 0, 0);
c) f(X) = (3, 1, 4), f(−X) = (1, 1, 1);
d) f(2−X) = (1, 5, 0), f(−2 +X) = (−1,−5, 0).
132. Em cada um dos seguintes casos, mostre que f e´ bijectiva e determine f−1.
a) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (x+ y, x− y)
;
b) f : R2 −→ R1[X]
(a, b) 7→ a+ 2b+ (a− b)X
;
c) f : R2[X] −→ R3
a0 + a1X + a2X
2 7→ (a0, a0 + a1, a0 + a1 + 2a2)
;
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 16
d) f : R2 −→ {(x, y, z) ∈ R3 : y + z = 0}
(x, y) 7→ (x+ 2y, x,−x)
;
e) f : {P ∈ R2[X] : P (1) = 0} −→
{(
a b
c d
)
∈M2,2(R) : a+ b = 0 e c+ d = 0
}
a0 + a1X + a2X
2 7→
(
a0 a1 + a2
a0 + a1 a2
) .
133. Mostre que se E e´ um espac¸o vectorial real, existe um isomorfismo de E em E.
134. Mostre que se E1 e E2 sa˜o isomorfos e E2 e E3 sa˜o isomorfos, enta˜o E1 e E3 sa˜o isomorfos.
135. Sejam E e F espac¸os vectoriais reais de dimensa˜o n; sejam (e1, . . . , en) uma base de E e (u1, . . . , un) uma
base de F . Considere a (u´nica) aplicac¸a˜o linear f : E −→ F tal que, para i ∈ {1, . . . , n}, f(ei) = ui.
a) Mostre que f e´ sobrejectiva.
b) Mostre que f e´ injectiva.
c) Conclua que quaisquer dois espac¸os vectoriais reais de dimensa˜o n sa˜o isomorfos.
136. Considere a aplicac¸a˜o linear f : R4 −→ R4
(a, b, c, d) 7→ (a− b, a− c, b− c, b− d)
.
a) Determine ker(f) e Im(f).
b) Mostre que R4 = ker(f)⊕ E1, em que E1 = G({(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}).
c) Mostre que g: E1 −→ Im(f)
(a, b, c, d) 7→ (a− b, a− c, b− c, b− d)
e´ um isomorfismo e determine g−1.
137. Diga se existe f : R2 −→ R3, linear, tal que
a) f((1, 0)) = (3, 4, 0), f((0, 1)) = (2, 3,−1), f((1, 1)) = (−1, 0, 0);
b) f((1, 0)) = (3, 4, 0), f((0, 1)) = (2, 3,−1), f((1, 1)) = (5, 7,−1);
c) f((2, 3)) = (−1, 5, 0);
d) ker(f) = {(x, y) ∈ R2 : x2 − y2 = 0}.
Nos casos em que existe, determine f((x, y)) para uma tal aplicac¸a˜o, e diga se ela e´ u´nica.
138. Diga se existe f : R3 −→ R1[X], linear, tal que
a) f((1, 1, 1)) = X, f((1, 1, 0)) = X e f((0, 0, 3)) = 2X;
b) f((1, 0, 1)) = X2, f((1, 1, 1)) = 3X +X2, f((5, 2, 5)) = X +X2.
139. Diga, justificando, se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras.
a) Existe f : R2 −→ R2, linear, tal que ker(f) = Im(f);
b) Existe f : R3 −→ R3, linear, tal que ker(f) = Im(f);
c) Existe f : R4 −→ R2, linear, tal que dim ker(f) = 1;
d) Existe f : R3[X] −→ R5[X], linear, tal que dim(Im(f) = 5.
e) Existe f : R2[X] −→ R, linear, sobrejectiva.
f) Existe f : R2[X] −→ R3[X], linear, tal que ker(f) = G({X}) e Im(f) = G({X2}).
g) Existe um endomorfismo de R5 cuja imagem esta´ contida no nu´cleo.
h) Existe f : R1[X] −→ R4, linear, tal que f({αX,α ∈ R}) = G({(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)}).
i) Existe f : R1[X] −→ R4, linear, tal que Im(f) = G({(1, 1, 1,−1), (2,−1, 0, 1), (1,−2,−1, 2)}).
j) Existe f : R3 −→ R2[X], linear, tal que Im(f) = {P ∈ R2[X] : P (0) = P (1) = 0}.
k) Existe f : R3 −→ R2[X], linear, tal que ker(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x− y = z + x} e f(2, 1, 0)) = 1−X2;
l) Existe um u´nico endomorfismo f de R3 tal que ker(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2y − z = 2x + y + z} e
Im(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x− y + 3z = 0}.
m) Existe um endomorfismo f de R3 tal que ker(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z} e Im(f) = G({(1, 0, 0), (1, 1, 1)}).
n) Existe um endomorfismo f de R3 tal que ker(f) ⊂ Im(f).
o) Existe um endomorfismo f de R3 tal que Im(f) ⊂ ker(f).
p) Existe f : M2,2(R) −→ R linear tal que
{(
a b
c d
)
: a = c = 0
}
⊂ ker(f).
q) Existe f : R3[X] −→ R1[X] linear, sobrejectiva, tal que ker(f) ⊂ {P : P (1) = 0}.
r) Existe f : R3[X] −→ R1[X] linear sobrejectiva tal que ker(f) ⊂ G({1 +X}).
s) Existe f : R2 −→ R2[X] linear, injectiva, tal que G({1, X, 1 + 3X}) ⊂ Im(f).
t) Existe f : R2 −→ R2[X] linear, injectiva, tal que Im(f) ⊂ G(X +X2).
u) Existe um endomorfismo injectivo e na˜o sobrejectivo de R[X].
v) Existe um endomorfismo sobrejectivo e na˜o injectivo de R[X].
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 17
140. Seja f : R3 −→ R3 uma aplicac¸a˜o linear. Diga se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o necessariamente verdadeiras.
a) Se u1, u2, u3 sa˜o linearmente independentes, enta˜o f(u1), f(u2), f(u3) sa˜o linearmente independentes.
b) Se u1, u2, u3 sa˜o linearmente dependentes, enta˜o f(u1), f(u2), f(u3) sa˜o linearmente dependentes.
c) Se f(u1), f(u2), f(u3) sa˜o linearmente independentes, enta˜o u1, u2, u3 sa˜o linearmente independentes.
d) Se f(u1), f(u2), f(u3) sa˜o linearmente dependentes, enta˜o u1, u2, u3 sa˜o linearmente dependentes.
141. Mostre que, se f : E −→ F e´ linear e E1 e´ um subespac¸o de dimensa˜o finita de E, enta˜o
dimE1 = dim(ker(f) ∩ E1) + dim(f(E1)).
142. Considere a aplicac¸a˜o linear ϕ: R3 −→ F(R,R)
(x, y, z) 7→ xf1 + yf2 + zf3
, onde f1: R −→ R
t 7→ sen2 t
,
f2: R −→ R
t 7→ 3
, f3: R −→ R
t 7→ cos2 t
.
a) Calcule ϕ((2, 3, 1))(pi), ϕ((0, 0, 1))(0), ϕ((3,−1, 3))(pi4 ).
b) Determine ker(ϕ) e diga se ϕ e´ injectiva.
c) Considere F = {func¸o˜es constantes de R em R}; mostre que F e´ um subespac¸o de F(R,R) e determine uma
base de ϕ−1(F ).
d)Determine ϕ−1(P ) e ϕ−1(I), onde P = {func¸o˜es pares de R em R} e I = {func¸o˜es ı´mpares de R em R}.
143. Em cada um dos seguintes casos, determine a matriz de f relativamente a`s bases cano´nicas.
a) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (3x− y, 2x+ 7y)
;
b) f : R3 −→ R
(x, y, z) 7→ 3x− 5y + 2z
;
c) f : R3 −→ R2
(x, y, z) 7→ (x+ 3y,−2x+ 3z)
;
d) f : R4 −→ R5
(x, y, z, t) 7→ (x+ y, y + 4z, 2z + t,−3x+ z,−7y + t)
;
e) f : R2[X] −→ R4
P 7→ (P (0), P (1), P (−1), (P (3))
;
f) f : R2 −→ R3[X]
(a, b) 7→ a+ b+ 2aX
;
g) f : R5[X] −→ R3[X]
P 7→ P ′′
;
h) f : R1[X] −→ R3[X]
P 7→ XP
.
144. Em cada um dos seguintes casos, determine b1Mb2(f).
a) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (3x− y, x+ 5y)
, b1 = b2 = ((1, 0), (0, 1));
b) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (−x+ y, 5x+ 2y)
, b1 = ((2, 1), (5, 3)), b2 = ((2, 3), (−1, 2));
c) f : R3 −→ R1[X]
(a, b, c) 7→ a+ b+ c+ (a+ 2b)X
, b1 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)), b2 = (1, X,X
2);
d) f : R2[X] −→ R2
a0 + a1X + a2X
2 7→ (a0 + a1 + a2, a0 + 2a1)
, b1 = (1 +X, 1 + 2X,X
2), b2 = ((3, 1), (5, 2));
e) f : {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2y} −→ {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = −z}
(x, y, z) 7→ (2y + z, x+ z,−x− z)
, b1 = ((2, 1, 0), (0, 0, 1)), b2 = ((−1,−1, 1));
f) f : M2,2(R) −→ R2[X](
a b
c d
)
7→ a+ d+ (b+ c)X + (a+ b)X2
, b1 =
((
1 0
0 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
1 1
))
,
b2 = (1, X,X
2);
g) D: R4[X] −→ R4[X]
P 7→ P ′
, b1 = b2 = (1, X,X
2, X3, X4);
h) f : R3[X] −→ R4[X]
P 7→ X2P ′
, b1 = (1, X,X
2, X3), b2 = (1, X,X
2, X3, X4);
i) f : R3 −→ R2
(x, y, z) 7→ (x+ y, y + 2z)
, b1 = ((1, 1, 1)(1,−1, 0), (0, 0, 1)), b2 = ((3, 2), (4, 3))
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 18
j) f : {P ∈ R2[X] : P (1) = 0} −→
{(
a b
c d
)
∈M2,2(R) : a+ b = 0 e c+ d = 0
}
a0 + a1X + a2X
2 7→
(
a0 a1 + a2
a0 + a1 a2
) , b1 = (1 − X, 1 − X2),
b2 =
((
1 −1
0 0
)
,
(
0 0
1 −1
))
;
k) f : {(x, y, z, t) ∈ R4 : z = y + t} −→ {a0 + a1X + a2X2 + a3X3 : a0 = a3 e a1 = a2}
(x, y, z, t) 7→ x+ (y + t− x)X + (z − x)X2 + xX3
,
b1 = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)), b2 = (1 +X +X
2 +X3, 1−X −X2 +X3).
145. Considere a aplicac¸a˜o idR2 : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (x, y)
e as bases bc = ((1, 0), (0, 1)), b1 = ((1, 1), (0, 1)),
b2 = ((1, 3), (2, 5)) de R2. Determine
a) bcMbc(idR2), b1Mb1(idR2), b2Mb2(idR2);
b) bcMb1(idR2), b1Mb2(idR2), b2Mb1(idR2), b2Mbc(idR2).
146. Sejam b = (u1, u2) uma base de R2, B = (v1, v2, v3) uma base de R3 e f : R2 −→ R3 uma aplicac¸a˜o linear tal
que bMB(f) =
 1 −22 0
−3 1
. Determine
a) b′MB(f) em que b
′ = (u2, u1);
b) bMB′(f) em que B
′ = (v2, v3, v1);
c) b′MB′(f).
147. Em cada um dos seguintes casos determine f((x, y, z)) (Bc e´ a base cano´nica de R3).
a) f : R3 −→ R3 tal que BcMBc(f) =
 2 3 51 −1 2
0 1 3
;
b) f : R3 −→ R3 tal que BMBc(f) =
 2 3 51 −1 2
0 1 3
, onde B = ((1, 1, 0), (1, 1,−1), (1, 0, 1));
c) f : R3 −→ R3 tal que BMB(f) =
 2 3 51 −1 2
0 1 3
, onde B = ((1, 1, 0), (1, 1,−1), (1, 0, 1));
d) f : R3 −→ R1[X] tal que BcMB(f) =
(
2 1 0
1 0 −3
)
, onde B = (1, X);
e) f : R3 −→ R1[X] tal que B1MB2(f) =
(
2 1 0
1 0 −3
)
, onde B1 = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1))
e B2 = (1 +X, 2 + 3X);
f) f : R3 −→ R tal que BcMb(f) =
(
1 1 1
)
, onde b = (2).
148. Em cada um dos seguintes casos determine as coordenadas de f(u) na base B.
a) bMB(f) =
(
1 −2 3
2 5 0
)
, u = (1, 3, 0)b;
b) bMB(f) =
 1 3−2 −4
7 6
, u = (2,−3)b;
c) bMB(f) =
(
1 2 −1 −2
3 0 0 0
)
, u = (0, 1, 0, 1)b;
d) bMB(f) =
 15
2
, u = (8)b;
e) bMB(f) =
(
1 5 2
)
, u = (8, 1,−1)b.
149. Seja f : E −→ F uma aplicac¸a˜o linear, b = (e1, e2, e3) uma base de E e B = (u1, u2) uma base de F . Sabendo
que bMB(f) =
(
2 3 5
−1 2 4
)
, calcule f(e1 + e2 + e3), f(2e1 − 3e2 + 4e3), f(e1 − 3e3), f(2e2), f(5e1 − 3e2).
150. Considere o endomorfismo f de R3[X] definido por f(1) = 1, f(1 + X) = X, f(1 + X + X2) = X + X2,
f(1 +X +X2 +X3) = 1 + 2X +X2 e as bases b = (1, X,X2, X3), B = (1, 1 +X, 1 +X +X2, 1 +X +X2 +X3) de
R3[X]. Determine
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 19
a) BMb(f);
b) BMB(f);
c) bMB(f);
d) f(a0 + a1X + a2X
2 + a3X
3).
151. Considere o subespac¸o E de F(R,R) gerado pelas func¸o˜es f1, f2, f3, f4, f5, f6, em que f1: R −→ R
x 7→ senx
,
f2: R −→ R
x 7→ cosx
, f3: R −→ R
x 7→ sen2 x
, f4: R −→ R
x 7→ cos2 x
, f5: R −→ R
x 7→ sen 2x
, f6: R −→ R
x 7→ 2
.
a) Determine uma base b de E.
b) Determine bMb(ϕ), em que ϕ: E −→ E
f 7→ f ′
.
152. Sejam E um espac¸o vectorial real e E1, E2 subespac¸os de E tais que E = E1 ⊕ E2.
a) Mostre que existem aplicac¸o˜es p1 : E −→ E1, p2 : E −→ E2, u´nicas, tais que ∀u ∈ E, u = p1(u) + p2(u).
b) Mostre que as aplicac¸o˜es p1 e p2 definidas na al´ınea anterior sa˜o lineares.
c) Determine o nu´cleo e o contradomı´nio de p1 e p2 e mostre que p1 ◦ p1 = p1 e p2 ◦ p2 = p2.
d) Determine p1 e p2 nos seguintes casos:
(i) E = R2, E1 = {(x, 0), x ∈ R}, E2 = {(0, y), y ∈ R};
(ii) E = R2, E1 = G({(1, 1)}), E2 = G({(1,−1)});
(iii) E = R3, E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0}, E2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z};
(iv) E = R3[X], E1 = {P ∈ R3[X] : P (1) = 0}, E2 = G({X3}).
e) Em cada um dos casos da al´ınea anterior, determine uma base b de E que contenha uma base de E1 e uma base
de E2 e determine bMb(p1) e bMb(p2).
f) Seja b = (u1, . . . , uk, v1 . . . , vl) uma base de E tal que (u1, . . . , uk) e´ uma base de E1 e (v1 . . . , vl) e´ uma base de
E2. Determine bMb(p1) e bMb(p2).
153. Sejam E = R3, E1 = {(x, y, 0), x, y ∈ R}, E2 = {(0, y, z), y, z ∈ R}, p1: E −→ E1
(x, y, z) 7→ (x, y − 1, 0)
,
p2: E −→ E1
(x, y, z) 7→ (0, 1, z)
.
a) Mostre que E = E1 + E2.
b) Mostre que p1 e p2 na˜o sa˜o lineares.
c) Mostre que ∀u ∈ E, u = p1(u) + p2(u).
d) Deˆ exemplo de aplicac¸o˜es lineares q1 : E −→ E1, q2 : E −→ E2, tais que ∀u ∈ E, u = q1(u) + q2(u) e mostre que
q1 e q2 na˜o sa˜o u´nicas.
154. Seja p : E −→ E uma aplicac¸a˜o linear tal que p ◦ p = p. Mostre que E = ker(p)⊕ Im(p).
Sugesta˜o: comece por mostrar que u− p(u) ∈ ker(p).
155. Em cada um dos seguintes casos diga se existem os produtos AB e BA e no caso afirmativo calcule-os.
a) A =
(
1 2
−1 2
)
, B =
(
1 3
5 0
)
; b) A =
(
1 3
−1 0
)
, B =
(
5 2 0
1 3 0
)
;
c) A =
(
5 2 3
1 0 0
)
, B =
(
1 3
−1 0
)
; d) A =
(
1 2 3 4 5
0 0 0 0 0
)
, B =

1
2
3
4
5
;
e) A =

1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
, B =
(
0 2 3
0 2 3
)
; f) A =
 1 −12 −2
3 0
, B = ( 1 2−4 0
)
;
g)A =
(
1 2
3 −5
)
, B =
(
1 −1 3 5
0 −2 4 −1
)
; h)A =
 1 0 1 √2−2 12 0 −1
1
2 0 2 0
, B =
 3 1 17−1 0 2
0 −2 0
;
156. Considere a aplicac¸a˜o linear f : R3 −→ R3 tal que BcMBc(f) =
 0 −1 10 1 −1
2 1 1
 (Bc e´ a base cano´nica de
R3).
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 20
a) Indique uma base de Im(f) e uma base de ker(f).
b) Determine dois endomorfismos g1, g2 de R3, na˜o identicamente nulos, tais que g1 ◦ f = f ◦ g2 = aplicac¸a˜o nula.
157. a) Determine duas inversas a` esquerda de A =
 1 00 1
1 0
 e mostre que A na˜o tem inversa a` direita.
b) Determine duas inversas a` direita de A =
(
1 0 1
0 1 0
)
e mostre que A na˜o tem inversa a` esquerda.
158. a) Sejam f : Rn −→ Rm e g : Rm −→ Rn aplicac¸o˜es lineares tais que g ◦ f = idRn ; mostre que f e´ injectiva e
g e´ sobrejectiva (e conclua que n ≤ m).
b) Seja f : Rn −→ Rm uma aplicac¸a˜o linear injectiva. Mostre que existe g : Rm −→ Rn tal que g ◦ f = idRn .
c) Seja f : Rn −→ Rm uma aplicac¸a˜o linear sobrejectiva. Mostre que existe g : Rm −→ Rn tal que f ◦ g = idRm .
159. Mostre que se A ∈Mm,n(R) tem inversa a` esquerda (respectivamentea` direita) enta˜o n ≤ m (resp. m ≤ n).
Sugesta˜o: considere a aplicac¸a˜o ϕ : Rn −→ Rm tal que bcMBc(ϕ) = A (onde bc e´ a base cano´nica de Rn e Bc e´ a
base cano´nica de Rm), e utilize a al´ınea a) do exerc´ıcio anterior.
160. a) Mostre que, se f : Rn −→ Rn e g : Rn −→ Rn sa˜o tais que g ◦ f = idRn , enta˜o f e g sa˜o bijectivas.
b) Mostre que, se f : Rn −→ Rn e g : Rn −→ Rn sa˜o tais que g ◦ f = idRn , enta˜o f ◦ g = idRn .
Sugesta˜o: mostre que g ◦ f ◦ g = g e utilize a injectividade de g.
c) Mostre que se A′ ∈Mn,n(R) e´ inversa a` esquerda de A ∈Mn,n(R) enta˜o A′ e´ inversa de A.
d) Mostre que se A′′ ∈Mn,n(R) e´ inversa a` direita de A ∈Mn,n(R) enta˜o A′′ e´ inversa de A.
161. Em cada um dos seguintes casos determine a matriz de passagem de b para b′ e a matriz de passagem de b′
para b.
a) E = R2, b = ((2, 1), (4, 3)), b′ = ((1, 0), (0, 1));
b) E = R2, b = ((1, 1), (0, 1)), b′ = ((1, 3), (1, 0));
c) E = R3, b = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)), b′ = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1));
d) E = R1[X], b = (1, 1 +X), b′ = (1 +X, 1−X);
e) E = R3[X], b = (1, 2 +X, 3 + 2X +X2, 4 + 3X + 2X2 +X3), b′ = (1, 1 +X,X +X2, X2 +X3).
162. Determine, se existirem, as inversas das seguintes matrizes:
(
1
3
1
3− 13 13
)
,
( −1 2
2 −4
)
,
(
3 1
2 2
)
,
 1 0 1−2 12 0
0 2 0
,
 2 1 03 0 1
3 2 0
,

1 1 0 −1
1 0 1 −1
0 −1 0 −1
1 0 2 0
.
163. Em cada um dos seguintes casos, determine bMB(g ◦ f).
a) bMb′(f) =
(
1 2
0 −1
)
, b′MB(g) =
(
2 −3 15
0 12 −2
)
;
b) bMb′(f) =

1 0
−2 1
3 5
0 0
, b′MB(g) =
 1 0 0 2−2 −1 −1 3
5 1 −2 1
;
c) bMb(f) =
(
1 −1
0 2
)
, b′MB(g) =
(
2 2
−1 −1
)
, matriz de passagem de b para b′ =
(
1 1
3 2
)
;
d) bMb(f) =
(
1 −1
0 2
)
, b′MB(g) =
(
2 2
−1 −1
)
, matriz de passagem de b′ para b =
(
1 1
3 2
)
;
e) b1Mb2(f) =
(
1 3 −1
0 2 0
)
, b2MB(g) =

1 0
0 −1
2 0
0 3
, matriz de passagem de b1 para b =
 1 −1 00 1 −1
0 0 1
;
f) bMb1(f) =
(
3 5
)
, b2MB(g) =
 24
6
, matriz de passagem de b2 para b1 = (−2);
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 21
g) b1Mb2(f) =
 1 −10 2
−3 5
, b2Mb3(g) =

0 1 0
2 0 −1
3 0 1
0 0 2
, matriz de passagem de b1 para b = ( 2 13 1
)
, matriz
de passagem de B para b3 =

1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
.
164. Sejam b e b′ bases de R2 tais que a matriz de passagem da base cano´nica para b′ e´
(
2 −3
−1 1
)
e a matriz
de passagem de b para b′ e´
(
3 0
2 5
)
.
a) Determine bMbc(idR2).
b) Utilizando a resposta a` al´ınea anterior, determine a base b.
165. Seja f : R3 −→ R3 o endomorfismo tal que f((1, 0, 0)) = (1, 0, 1), f((0, 1, 0)) = (1, 1, 1), f((0, 0, 1)) =
(−1, 2,−3).
a) Mostre que f e´ bijectiva.
b) Determine bcMbc(f) (onde bc e´ a base cano´nica de R3).
c) Utilizando a al´ınea anterior, determine bcMbc(f
−1).
d) Determine, para qualquer (x, y, z) ∈ R3, f−1((x, y, z)).
166. Sejam b = (u, v, w) e b′ = (u′, v′, w′) duas bases de um espac¸o vectorial E tais que a matriz de passagem de
b para b′ e´
 1 −2 11 1 0
1 0 0
.
a) Determine as coordenadas de u− v + w na base b′.
b) Diga se u+ u′, v + v′ e w + w′ sa˜o linearmente independentes.
c) Determine os elementos de E que teˆm as mesmas coordenadas em b e em b′.
d) Sabendo que f : E −→ E e´ uma aplicac¸a˜o linear tal que bMb(f) =
 1 0 11 −1 0
0 1 1
, calcule b′Mb′(f).
167. Sejam b e B duas bases distintas de um espac¸o vectorial E de dimensa˜o n.
a) Mostre que bMB(idE) 6= In.
b) Mostre que existe um u´nico endomorfismo f de E tal que bMB(f) = In e mostre que f e´ um isomorfismo.
168. Mostre que, se A ∈M2,2(R) tem inversa, enta˜o existem bases b, b′ de R2 tais que a matriz de passagem de b
para b′ e´ A.
169. Seja A =
(
1 3
5 2
)
e considere as aplicac¸o˜es lineares f : M2,2(R) −→ M2,2(R)
M 7→ AM
e
g: M2,2(R) −→ M2,2(R)
M 7→ MA
. Determine bMb(f) e bMb(g), em que b =
((
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
))
.
170. Determine uma base B de L(R3,R2).
Sugesta˜o: Utilize o isomorfismo ϕ: L(R3,R2) −→ M2,3(R)
f 7→ BcMbc(f)
e o conhecimento de uma base de M2,3(R).
Determine as coordenadas em B de f : R3 −→ R2
(x, y, z) 7→ (x− 3y + 5z, 2x− y, 4y + 7z)
.
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 22
171. Determine a caracter´ıstica de cada uma das seguintes matrizes:

1 0 1
2 1 4
−1 2 3
3 1 5
,

1 0 1 1
1 1 −1 2
2 0 1 0
0 −1 1 −3
,

1 0 2 1
−1 2 0 0
0 2 2 1
1 2 4 2
.
172. Em cada um dos seguintes casos, determine car(f).
a) f : R2 −→ R3
(x, y) 7→ (x, x+ y,−2x+ y)
b) f : R3 −→ R2
(x, y, z) 7→ (x− 2y + z,−x+ 2y − z, 2x− 4y + 2z)
c) f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (x+ y, y − z, x+ z)
d) f : R3 −→ R4
(x, y, z) 7→ (x+ z, 2x+ y + 3z, y + z, 0)
173. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes:
(
2 1
3 0
)
,
(
1 −2
−2 4
)
,
(
3 1
4 5
)
,
 1 0 21 0 3
0 2 4
,
 1 1 12 0 2
0 1 −1
,
 2 1 33 2 7
0 1 2
,

3 1 0 −1
0 0 2 0
−1 0 1 2
2 0 1 1
,

1 1 2 1
5 3 7 10
2 4 6 8
1 3 0 2
.
174. Usando determinantes, determine os valores de a para os quais
a)
{
3x+ ay = 0
x− 2y = 0 tem mais do que uma soluc¸a˜o;
b) a aplicac¸a˜o f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (ax+ ay, x+ 3y)
e´ injectiva;
c) a matriz
(
2 a
3 a2
)
na˜o tem inversa;
d) a caracter´ıstica de f : R1[X] −→ R1[X]
a0 + a1X 7→ aao + a2a1X
e´ 2;
e) a aplicac¸a˜o f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (3ax+ y, 12x+ ay)
e´ um isomorfismo.
175. Deˆ um exemplo de matrizes A,B ∈M2,2(R), na˜o nulas, tais que
a) det(A+B) 6= det(A) + det(B);
b) det(A+B) = det(A) + det(B).
176. Deˆ um exemplo de uma matriz A ∈M2,2(R) tal que
a) det(3A) 6= 3 det(A);
b) det(3A) = 3 det(A);
177. a) Mostre que det : M2,2(R) −→ R e´ sobrejectiva.
b) Mostre que det : Mn,n(R) −→ R e´ sobrejectiva.
178. Mostre que se A =
 a11 · · · a1n... ...
an1 · · · ann
 e´ tal que para qualquer i, j ∈ {1, . . . , n} se tem |aij | ≤ 1, enta˜o
|det(A)| ≤ n!
Sugesta˜o: demonstre por induc¸a˜o.
179. Mostre que se, para i > j, se tem aij = 0, enta˜o det
 a11 · · · a1n... ...
an1 · · · ann
 = a11a22 . . . ann.
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 23
180. Calcule det
 1 x x21 y y2
1 z z2
 e det

1 1 1 1 1
1 1 + x1 1 1 1
1 1 1 + x2 1 1
1 1 1 1 + x3 1
1 1 1 1 1 + x4
.
181. Mostre que det

a0 a1 a2 · · · an−1 an
−1 x 0 · · · 0
0 −1 x · · · 0 0
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · −1 x
 = a0xn + a1xn−1 + · · ·+ an−1x+ an.
Sugesta˜o: desenvolva ao longo da primeira coluna e utilize induc¸a˜o.
182. Usando determinantes, calcule a caracter´ıstica de cada uma das seguintes matrizes:
 1 2 −10 3 1
5 7 −6
,
1 2 −1
0 3 1
2 7 1
1 5 2
, ( 1 2 −1−5 −10 5
)
.
183. Mostre que o sistema

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
· · ·
an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn
e´ poss´ıvel se e so´ se car
 a11 · · · a1n... ...
an1 · · · ann
 =
car
 a11 · · · a1n b1... ... ...
an1 · · · ann bn
.
184. Utilizando o exerc´ıcio anterior, diga quais dos seguintes sistemas sa˜o poss´ıveis (sem os resolver).
a)
 x+ 2y − z = 2−x+ y − 3z = 0
3y − 4z = 5
;
b)
 x+ y + z = 3−x+ 2y + z = 0
x+ 4y + 3z = 6
;
c)
 x+ y = 52x+ y = 3
4x+ 3y = 0
;
d)
 x+ y = 2−x+ 3y = 5
x+ 5y = 9
.
185. Usando determinantes, diga quais sa˜o os valores de a para os quais
a) f : R3 −→ R2
(x, y, z) 7→ (ax+ y + z,−2x− 2y − 2z)
e´ sobrejectiva;
b) o sistema
 ax+ 4z = 3ay + 2z = 5−x+ 2y + z = 4 tem uma u´nica soluc¸a˜o;
c) f : R3 −→ R3
(x,y, z) 7→ (ax+ 2y + z, 3x+ 5y, (3 + a2)x+ 7y + z)
e´ um isomorfismo;
d) (1, 1, 0), (2, a, 1), (a, 0, 1) sa˜o linearmente dependentes;
e) a matriz
 3 a 0a+ 1 0 1
−3 1 1
 tem inversa;
f) (a, a, a) ∈ G({(1, 2, a), (0, 0, 3)};
g) o sistema
 x+ ay = 12x+ 4y = 0
ax+ 4y = −2a
e´ poss´ıvel;
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 24
h) o sistema
 x− y − z = ay + 2z = 2
2x = a
e´ poss´ıvel;
i) dim(ker(f)) = 1, em que f e´ o endomorfismo de R3 tal que BcMBc(f) =
 1 1 20 a− 1 a
1 1 0
;
j) a equac¸a˜o f(u) = 2u, em que f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (3x+ ay, ax+ 3y)
, tem mais do que uma soluc¸a˜o;
k) dim(ker(f)) = 1 em que f : R3 −→ R2
(x, y, z) 7→ (2x+ ay + z,−3x+ y − 32z)
;
l) a caracter´ıstica de
 a 1 a+ 12a a 3
−a 0 −a
 e´ 3;
m) o subespac¸o de R4 gerado por (a, 1,−3, 5), (2,−1, a, 3) e (4, 1,−5, 13) tem dimensa˜o 3.
186. Considere, para cada a ∈ R a aplicac¸a˜o linear fa: R2 −→ R3
(x, y) 7→ (ax+ y, 4ax+ a2y, 3ax− y)
.
a) Determine, para cada a ∈ R, a caracter´ıstica de
 a 14a a2
3a −1
.
b) Determine os valores de a para os quais fa e´ injectiva.
c) Determine os valores de a para os quais fa e´ sobrejectiva.
187. Calcule, usando determinantes, a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
(
2 1
0 3
)
,
 0 0 10 1 1
1 1 1
, 1 2 −12 0 3
5 1 4
,
 −1 2 3−1 0 0
2 1 3
,
 1 1 −12 3 13
1 2 8
.
188. Resolva os seguintes sistemas usando a regra de Cramer.
a)
{
x+ 3y = 5
2x− y = 7 ;
b)
{
2x+ 3y = −3
x+ 2y = 0
;
c)
 x+ 2y + z = −32x− y + z = 0
x+ y + z = 3
;
d)
 x+ y − 3z = 04x+ z = −1
2x− y = 5
;
e)

x+ y + z = 3
2y − z + 3t = 0
x+ y − z + 3t = 1
2x+ y − t = 3
.
189. Diga, justificando, se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas.
a) Se A ∈ M3,3(R) e´ tal que o sistema A
 x1x2
x3
 =
 00
0
 e´ poss´ıvel e determinado, enta˜o, para qualquer
(b1, b2, b3) ∈ R3, o sistema A
 x1x2
x3
 =
 b1b2
b3
 e´ poss´ıvel e determinado.
b) Se A ∈ M5,8(R) tem caracter´ıstica 3, enta˜o qualquer matriz obtida eliminando uma linha e quatro colunas de
A tem determinante 0.
c) Se A ∈M5,8(R) e´ tal que qualquer matriz obtida eliminando uma linha e quatro colunas de A tem determinante
0, enta˜o A tem caracter´ıstica 3.
d) Se A,B ∈Mn,n(R) teˆm ambas inversa, enta˜o AB e BA teˆm inversa.
e) Se A ∈M4,4(R) tem caracter´ıstica 3, enta˜o det(A) = 0.
f) Se A ∈M4,4(R) e´ tal que det(A) = 0, enta˜o A tem caracter´ıstica 3.
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 25
g) Se A ∈ M4,4(R) e a matriz obtida eliminando as duas primeiras linhas e as duas primeiras colunas de A tem
determinante diferente de 0, enta˜o car(A) = 2.
h) Se A ∈ M4,4(R) e a matriz obtida eliminando as duas primeiras linhas e as duas primeiras colunas de A tem
determinante diferente de 0, enta˜o car(A) ≥ 2.
i) Se A ∈ M4,4(R) e car(A) ≥ 2, enta˜o a matriz obtida eliminando as duas primeiras linhas e as duas primeiras
colunas de A tem determinante diferente de 0.
j) Se A ∈M3,3(R) e o determinante de qualquer matriz obtida eliminando uma linha e uma coluna de A e´ 0, enta˜o
det(A) = 0.
k) A ∈M4,4(R) e o determinante de qualquer matriz obtida eliminando duas linhas e duas colunas de A e´ 0, enta˜o
det(A) = 0.
l) A ∈ Mn,n(R), k ∈ {1, . . . , n − 1}, e o determinante de qualquer matriz obtida eliminando k linhas e k colunas
de A e´ 0, enta˜o det(A) = 0.
m) Se A ∈ M4,6(R) e o determinante de qualquer matriz obtida eliminando 2 linhas e quatro colunas de A e´ 0,
enta˜o car(A) ≤ 1.
n) Se A ∈ M3,2(R) e car(A) = 2, enta˜o o determinante de qualquer matriz obtida eliminando uma linha de A e´
diferente de 0.
o) Se A ∈M3,3(R) e o determinante de qualquer matriz obtida eliminando uma linha e uma coluna de A e´ diferente
de 0, enta˜o car(A) = 2.
190. Em cada um dos seguintes casos, determine, se existirem, os valores pro´prios de f , os subespac¸os pro´prios
associados e as respectivas dimenso˜es e diga se f e´ diagonaliza´vel; no caso de f ser diagonaliza´vel, indique uma base
do domı´nio de f composta por vectores pro´prios de f e indique a matriz de f relativamente a essa base.
a) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (2x, 3y)
; b) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (0, 0)
;
c) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (2x− y, y)
; d) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (−x,−y)
;
e) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (−x+ y,−y)
; f) f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (3x+ y, 12x+ 2y)
;
g) f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (3x, 3y, 3z)
; h) f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (3x+ y + z, 3y + z, 3z)
;
i) f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (3x+ y + z, 3y, 3z)
; j) f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (2x+ y, 2y, z)
;
k) f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (2x+ y, y, 2z)
; l) f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (−x+ 3y, 2y, y + z)
;
m) f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (x+ z,−11x− 10y + z, x+ z)
; n) f : R2[X] −→ R2[X]
P 7→ XP ′
;
o) f : R2[X] −→ R2[X]
P 7→ P (0) +XP (1) +X2P (−1)
;
p) f : R2[X] −→ R2[X]
a0 + a1X + a2X
2 7→ 3a0 + 2a1 + 3a2 − (a0 + 3a2)X + (a0 − 2a1 + a2)X2
;
q) f : R3[X] −→ R3[X]
P 7→ P + (X + 1)P ′
; r) f : M2,2(R) −→ M2,2(R)(
a b
c d
)
7→
(
3a+ 2b+ c+ d 2a+ 3b+ c− d
2c −c
) .
191. Mostre que se f e´ um endomorfismo de E e bMb(f) e´ uma matriz diagonal, enta˜o os u´nicos valores pro´prios
de f sa˜o os elementos da diagonal de bMb(f).
192. Em cada um dos seguintes casos determine, se existirem, os valores pro´prios de ϕ e uma base para cada um
dos subespac¸os pro´prios de ϕ.
a) D: R[X] −→ R[X]
P 7→ P ′
; b) ϕ: C∞(R,R) −→ C∞(R,R)
f 7→ f ′
;
c) ϕ: C∞(R \ {0},R) −→ C∞(R \ {0},R)
f 7→ f ′
; d) ϕ: R[X] −→ R[X]
P 7→ (XP )′
;
e) ϕ: F(R,R) −→ F(R,R)
f 7→
(
R −→ R
x 7→ xf(x)
) ; f) ϕ: F(R,R) −→ F(R,R)
f 7→
(
R −→ R
x 7→ (x2 − 1)f(x)
) .
193. Seja b = (u1, u2, u3) uma base de R3. Em cada um dos seguintes casos, diga se f e´ diagonaliza´vel; determine,
em func¸a˜o de u1, u2, u3, uma base de cada subespac¸o pro´prio de f .
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 26
a) bMb(f) =
 0 0 10 1 0
1 0 0
; b) bMb(f) =
 3 1 35 3 4
−4 0 −3
.
194. Seja f um endomorfismo de R2[X] tal que X +X2 e´ um vector pro´prio associado ao valor pro´prio 2, −1 +X
e´ um vector pro´prio associado ao valor pro´prio 5 e X2 e´ um vector pro´prio associado ao valor pro´prio -3. Determine
f(a0 + a1X + a2X
2).
195. Seja f : R3 −→ R3 um endomorfismo tal que {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z} e {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 0}
sa˜o subespac¸os pro´prios associados respectivamente aos valores pro´prios 1 e 2. Determine f((x, y, z)).
196. Determine dois endomorfismos distintos de R3, f e g, tais que em ambos os casos {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z}
e {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = 0} sejam os subespac¸os pro´prios associados respectivamente aos valores pro´prios −1 e 4.
197. a) Mostre que se f e´ um endomorfismo de R2 e b e´ uma base de R2 tal que bMb(f) =
(
2 1
0 2
)
, enta˜o f
na˜o e´ diagonaliza´vel.
b) Determine dois endomorfismos f e g de R2 tais que em ambos os casos G({(1, 2)}) seja o subespac¸o pro´prio
associado a 2, f na˜o seja diagonaliza´vel e g seja diagonaliza´vel.
198. Determine os valores de k ∈ R para os quais a matriz
(
k − 1 k
−k −k − 1
)
e´ diagonaliza´vel.
199. Determine os valores de a, b ∈ R para os quais a matriz
 a b 00 −1 0
0 0 1
 e´ diagonaliza´vel.
200. Seja f um endomorfismo diagonaliza´vel de um espac¸o vectorial de dimensa˜o finita E. Mostre que se α e´ o u´nico
valor pro´prio de f , enta˜o, para qualquer x ∈ E, f(x) = αx e, para qualquer base b de E, bMb(f) =

α 0 · · · 0
0 α · · · 0
...
...
...
0 0 · · · α
.
201. Considere f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (2x+ 7z,−x+ 3y + 7z,−5z)
.
a) Determine os valores pro´prios de f .
b) Mostre que f e´ um isomorfismo, determine f−1((x, y, z)) e determine os valores pro´prios de f−1.
202. Sejaf um automorfismo de um espac¸o vectorial E. Qual e´ a relac¸a˜o entre os valores pro´prios de f e os
valores pro´prios de f−1?
203. Calcule a poteˆncia de ordem n de cada uma das seguintes matrizes:
(
1
3
4
3
2
3 − 13
)
,
(
1 4
1 −2
)
,
(
2 3
3 2
)
,(
1 1
1 1
)
,
(
3 −5
1 −3
)
,
 1 2 30 −1 2
0 0 2
,
 2 2 31 2 1
2 −2 1
,
 − 12 0 32− 32 1 32
3
2 0 − 12
.
204. Seja f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (5x+ y, x+ 5y)
. Calcule f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸ ︷︷ ︸
50 vezes
((x, y)).
205. Sejam f , g endomorfismos de E.
a) Mostre que, se u e´ um vector pro´prio de f , enta˜o u e´ um vector pro´prio de f ◦ f . O rec´ıproco e´ verdadeiro?
b) Mostre que, se u e´ um vector pro´prio de f e de g, enta˜o u e´ um vector pro´prio de g ◦ f .
c) Mostre que se todos os elementos na˜o nulos de E sa˜o vectores pro´prios de f , enta˜o f tem um u´nico valor pro´prio
(e, portanto, existe α ∈ R tal que, para qualquer u ∈ E, f(u) = αu).
206. Diga, justificando, se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas.
a) Se u e´ um vector pro´prio de um endomorfismo f , enta˜o −3u tambem e´ um vector pro´prio de f .
b) Se α e´ um valor pro´prio de um endomorfismo f , enta˜o −3α tambem e´ um valor pro´prio de f .
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 27
207. Seja p o polino´mio caracter´ıstico da matriz A. Mostre que o termo constante de p e´ det(A).
Sugesta˜o: comece por verificar que o termo constante de p e´ p(0).
208. Seja A ∈M3,3(R) tal que A
 11
1
 =
 11
1
, A
 01
2
 =
 01
2
, A
 00
1
 =
 00
2
.
a) Determine os valores pro´prios de A e as dimenso˜es dos respectivos subespac¸os pro´prios.
b) Indique o polino´mio caracter´ıstico de A.
c) Determine, uma matriz diagonal conjugada de A; existe mais do que uma?
d) Determine uma matriz A nas condic¸o˜es indicadas.
209. Mostre que, se A e B sa˜o conjugadas, enta˜o A e B teˆm o mesmo polino´mio caracter´ıstico (e portanto os
mesmos valores pro´prios) e o mesmo determinante.
210. Sejam f um endomorfismo de E, u1, u2 vectores pro´prios linearmente independentes de f associados ao
valor pro´prio α1, v1, v2 vectores pro´prios linearmente independentes de f associados ao valor pro´prio α2, w1, w2
vectores pro´prios linearmente independentes de f associados ao valor pro´prio α3. Mostre que u1, u2, v1, v2, w1, w2 sa˜o
linearmente independentes.
211. Em cada um dos seguintes casos, determine o aˆngulo entre ~u e ~v.
a) ~u = (1, 2), ~v = (3, 1); b) ~u = (1, 2), ~v = (1,−2);
c) ~u = (3, 1), ~v = (1,−2); d) ~u = (1, 5), ~v = (1− 5√3,√3 + 5);
e) ~u = (
√
3− 3,−1− 3√3), ~v = (−1, 3).
212. Determine um vector do plano
a) que seja ortogonal a (1, 0) e tenha norma 2 (quantas soluc¸o˜es existem?);
b) que seja ortogonal a (5, 3) e tenha norma 32 (quantas soluc¸o˜es existem?);
c) que tenha a direcc¸a˜o e sentido de (3,−2) e norma 1 (quantas soluc¸o˜es existem?);
d) que tenha a direcc¸a˜o de (−5, 1), o sentido oposto de (−5, 1) e norma √3 (quantas soluc¸o˜es existem?);
e) que tenha a direcc¸a˜o e sentido de (a, b) e norma 3, em que (a, b) 6= (0, 0) (quantas soluc¸o˜es existem?).
213. a) Determine as coordenadas do vector que se obtem rodando 30 graus no sentido contra´rio ao dos ponteiros
de um relo´gio o vector (
√
3, 1).
b) Determine as coordenadas do vector que se obtem rodando de um aˆngulo θ no sentido contra´rio ao dos ponteiros
de um relo´gio o vector (a, b).
214. Determine o conjunto deos pontos P tais que o triaˆngulo de ve´rtices em (2, 0), (0, 2) e P e´ equila´tero.
215. Diga se o triaˆngulo que tem como ve´rtices os pontos de coordenadas (−2, 0), (−1, 2) e (0, 0) e´ rectaˆngulo e
diga se e´ iso´sceles.
216. Considere os pontos A e B de coordenadas respectivamente (−2, 0) e (1, 3).
a) Determine um ponto C tal que o triaˆngulo de ve´rtices em A, B e C seja rectaˆngulo. Quais sa˜o todos os pontos
nestas condic¸o˜es?
b) Determine um ponto C tal que o triaˆngulo de ve´rtices em A, B e C seja iso´sceles. Quais sa˜o todos os pontos
nestas condic¸o˜es?
c) Determine dois pontos C e D tais que o quadrila´tero de ve´rtices em A, B, C, D seja um quadrado.
217. a) Qual e´ o significado geome´trico de ~u|~v > 0?
b) Considere os pontos P1 e P2 de coordenadas respectivamente (4, 2) e (2, 4). Determine (e represente geometri-
camente) o conjunto dos pontos Q do plano tais que ~QP1| ~QP2 ≥ 0.
c) Determine o conjunto referido na al´ınea anterior no caso de P1 e P2 serem dois pontos distintos quaisquer do
plano.
218. Em cada um dos seguintes casos determine proj~v ~u.
a) ~u = (3, 1), ~v = (2,−5); b) ~u = (5, 2), ~v = (1, 0);
c) ~u = (3, 3), ~v = (0, 1); d) ~u = (−1, 3), ~v = (6, 2).
219. Determine todos os vectores que fazem com (−1,−√3) um aˆngulo de 30 graus.
220. Em cada um dos seguintes casos determine uma equac¸a˜o cartesiana da recta que passa por A e B.
A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica I 28
a) A(3, 0), B(1, 1); b) A(−1, 2), B(−1, 5);
c) A(3, 2), B(−5, 3); d) A(1, 5), B(0, 3);
e) A(3,−4), B(1,−4).
221. Determine um vector director da recta de equac¸a˜o 3x− 5y = 7.
222. Determine uma equac¸a˜o cartesiana da recta
a) que passa por (2, 1) e e´ paralela a` recta de equac¸a˜o x+ y = 0;
b) que passa por (0, 0) e e´ paralela a` recta que passa por (1, 2) e (−2, 1);
c) que passa por (3, 1) e e´ perpendicular a` recta de equac¸a˜o x− y = 0;
d) que passa por (−1,−1) e e´ perpendicular a` recta que passa por (−3, 1) e (1,−1).
223. Considere no plano as rectas r e s de equac¸o˜es respectivamente 4x− 3y = −1 e 7x+ y = 2.
a) O ponto de coordenadas (0, 2) pertence a r? e a s?
b) Indique treˆs pontos de cada uma das rectas.
c) Determine um vector director de cada uma das rectas.
d) Determine o aˆngulo entre as duas rectas.
e) Determine a distaˆncia de (1, 1) a` recta r.
f) Determine uma equac¸a˜o cartesiana da recta paralela a r que passa por (3,−1).
g) Determine o ponto de intersecc¸a˜o de r e s.
h) Determine o declive de r e o declive de s.
224. Determine os pontos cuja distaˆncia a (2, 1) e´ 3.
225. a) Determine a distaˆncia do ponto (−1, 7) a` recta de equac¸a˜o y = 12x.
b) Determine os pontos cuja distaˆncia a` recta de equac¸a˜o y = 12x e´ 3
√
5.
226. Determine dois pontos A e B da recta de equac¸a˜o x + 2y = 4 tais que o triaˆngulo de ve´rtices A, B, (4, 5)
seja rectaˆngulo em A e iso´sceles. Quantas possibilidades ha´ para A e B?
227. Determine dois pontos A e B da recta de equac¸a˜o x = y tais que o triaˆngulo de ve´rtices A, B e (2−√3, 2+√3)
seja equila´tero. Quantas possibilidades ha´ para A e B?
228. Para que valores de a e´ que a recta de equac¸a˜o (a+ 1)x− ay = 3 e´ paralela a` recta de equac¸a˜o 3x− 2y = 5?
229. Para que valores de a e´ que a recta de equac¸a˜o 4x+y = −3 e´ perpendicular a` recta de equac¸a˜o (a+1)x+a2y =
2?
230. Considere no plano a recta r de equac¸a˜o y =
√
3x − 1, o ponto P de coordenadas (0,−1) e o ponto Q de
coordenadas (
√
3, 2).
a) Determine uma equac¸a˜o da recta paralela a r que passa por P .
b) Determine uma recta que intersecte r em P e que fac¸a com r um aˆngulo de 30 graus.
c) Mostre que a recta de equac¸a˜o x +
√
3y = 1 e´ perpendicular a r e determine o ponto de intersecc¸a˜o das duas
rectas.
231. Sejam P1 e P2 os pontos de coordenadas respectivamente (1,−1) e (2, 3). Determine
a) uma equac¸a˜o cartesiana da recta s que passa por P1 e P2;
b) a distaˆncia de P1 a P2;
c) o ponto P3 tal que P2 e´ o ponto me´dio do segmento de extremos P1 e P3;
d) uma equac¸a˜o cartesiana da recta vertical que intersecta s em P1;
e) Os pontos P tais que P1, P2, P sejam ve´rtices de um triaˆngulo iso´sceles que tenha como base o segmento de
recta de extremos P1 e P2;
f) as coordenadas dos pontos do plano equidistantes de P1 e P2.
232. Considere os pontos A, B e C de coordenadas respectivamente (2, 0), (−1,−1) e (−1, 3).
a) Determine