ALGA1M143 1516 2oteste exerc extra

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2015/16
Revisão – Segundo teste – 14-12-2015
Averigue a veracidade das seguintes afirmações.
1. V F Os vectores (1, 1, 1), (1, 1,−1), (1, 2, 3) formam uma base de R3.
2. V F Os polinómios 1 + x+ x2, 1− x2, 1 + 2x+ 3x2 formam uma base de R2[x].
3. V F Sendo B uma base de S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y + 3z = 0} então B ∪ {(1, 0, 0)} é uma base de R3.
4. V F Os vectores u = (1, 1) e v = (i, i) são linearmente dependentes considerando C2 como espaço vectorial real.
5. V F O subespaço de R3 gerado pelos vectores (1, 1, 1), (1, 0, 0) é {(x, y, z) ∈ R3 : y − z = 0}.
6. V F Em R4, o subespaço {(a, b, c, d) ∈ R4 : a+ c− d = 0} tem dimensão 2.
7. V F Sendo A ∈M3,3(R) tal que detA = 0 e S = {X ∈M3,1(R) : AX = 0}, então dimS = 2.
8. V F Sendo A ∈M3,4(R) tal que carA = 3 e S = {X ∈M4,1(R) : AX = 0}, então dimS = 1.
9. V F Considerando a base B = (1, 1, 1), (1, 1,−1), (1, 2, 3) de R3, então (0,−2,−6) = (1, 1,−2)B .
10. V F Sendo b1 e b2 duas bases de R2 tais que Mb1,b2(idR2) =
(
1 1
2 0
)
e u ∈ R2 tal que u = (1,−3)b1 , então
u = (−2, 2)b2 .
11. V F Sendo b1 e b2 duas bases de R2 tais que Mb1,b2(idR2) =
(
1 1
2 0
)
e u ∈ R2 tal que u = (1,−3)b2 , então
u = (−2, 2)b1 .
12. V F A função linear f : R3 → R3 tal que f(x, y, z) = (x, x+ y, y − z), (x, y, z) ∈ R3 é um isomorfismo.
13. V F Sendo f : R3 → R3 a função linear tal que f(1, 0, 0) = (1, 1, 1), f(0, 1, 0) = (2, 2, 2), f(0, 0, 1) = (0, 0, 1)
então dimker(f) = 1.
14. V F Sendo f : R3 → R3 a função linear tal que f(1, 0, 0) = (1, 1, 1), f(0, 1, 0) = (2, 2, 2), f(1, 1, 1) = (0, 0, 1)
então f(x, y, z) = (x+ 2y − 3z, x+ 2y − 3z, x+ 2y − 2z).
15. V F Sendo V um espaço vectorial real e f : V → V uma função linear injectiva então f ◦ f é injectiva.
16. V F Sendo V um espaço vectorial real e f : V → V uma função linear então ker(f ◦ f) ⊆ ker(f).
17. V F Sendo V um espaço vectorial real e f : V → V uma função linear então ker(f) ⊆ ker(f ◦ f).
18. V F Existe uma única função linear f : R3 → R3 tal que ker(f) = {(x, x, x) ∈ R3} e Im(f) = {(x, y, z) ∈ R3 :
x− 2y + 3z = 0}.
19. V F Não existe uma função linear f : R3 → R3 tal que ker(f) = Im(f).
20. V F Sendo b1 e b2 duas bases de R2 e f : R2 → R2 uma função linear tais que Mb1,b2(f) =
(
1 1
2 0
)
e u ∈ R2
tal que u = (1,−3)b1 , então f(u) = (−2, 2)b2 .
21. V F Sendo b1 e b2 duas bases de R2 tais que Mb1,b2(idR2) =
(
1 1
2 0
)
e f : R2 → R2 uma função linear tal que
Mb1,b1(f) =
(
1 −1
2 0
)
, então Mb2,b2(f) =
( −1 2
−2 2
)
.
22. V F A matriz
 0 0 11 0 −1
0 0 1
 é diagonalizável.
23. V F Existe um endomorfismo f : R3 → R3 cuja matriz relativamente à base canónica de R3 tem característica 1
e f(1, 1, 1) = (3, 3, 3).
24. V F Um endomorfismo f : R3 → R3 cuja matriz relativamente à base canónica de R3 tem característica 1 e
f(1, 1, 1) = (3, 3, 3) é diagonalizável.
25. V F Em R3, o complemento ortogonal de {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 5y− 3z = 0} é {(x, y, z) ∈ R3 : y = 5x, z = −3x}.
26. V F Em R3, a projeção ortogonal de (1, 2, 3) no subespaço {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0} é (−1/2, 1/2, 3).
Respostas:
V: 1, 3, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26.
F: 2, 4, 6, 7, 11, 16, 18, 22.