Sebenta10 11

Prévia do material em texto

Sebenta de A´lgebra Linear e
Geometria Anal´ıtica
Francisco Miranda Isabel Arau´jo
Joana Pires So´nia Dias
Sebenta de A´lgebra Linear e
Geometria Anal´ıtica
Apontamentos dirigidos aos cursos:
Engenharia Alimentar
Engenharia Civil e Ambiente
Engenharia Electro´nica e Redes de Computadores
Engenharia Informa´tica
Engenharia de Sistemas de Energias Renova´veis
Tecnologias da Computac¸a˜o Gra´fica e Multime´dia
Gesta˜o
Engenharia e Tecnologias dos Materiais
Escola Superior de Tecnologia e Gesta˜o
Instituto Polite´cnico de Viana do Castelo
2010/2011
Conteu´do
1 Sistemas de equac¸o˜es lineares. Matrizes 7
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Sistemas de equac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Definic¸a˜o de matriz e submatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Alguns tipos particulares de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Operac¸o˜es elementares com matrizes.
Resoluc¸a˜o de sistemas - Me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss . . . . 15
1.2.4 Resoluc¸a˜o de sistemas - Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan 17
1.2.5 Discussa˜o de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.6 Sistemas Homoge´neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.7 Operac¸o˜es com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.8 Aplicac¸a˜o da inversa de matrizes na resoluc¸a˜o de sistemas de
equac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4 Soluc¸o˜es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.5 Fichas Pra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.5.1 Representac¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.5.2 Operac¸o˜es elementares sobre linhas. Resoluc¸a˜o de sistemas de
equac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.5.3 Operac¸o˜es com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.5.4 Matrizes invert´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2 Determinantes e suas aplicac¸o˜es 81
2.1 Me´todos de ca´lculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2 Aplicac¸o˜es dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.1 Ca´lculo da inversa de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2.2 Resoluc¸a˜o de Sistemas de equac¸o˜es lineares - Regra de Cramer . 90
3
2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.4 Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.5 Fichas Pra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.5.1 Determinante de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3 Espac¸os e Subespac¸os Vectoriais 115
3.1 Espac¸os Vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1.1 Definic¸a˜o e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1.2 Combinac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.1.3 Dependeˆncia e independeˆncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.1.4 Conjunto de geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.1.5 Base e dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.2 Subespac¸os vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.4 Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.5 Fichas Pra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.5.1 Combinac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.5.2 Independeˆncia/Dependeˆncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.5.3 Base e dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.5.4 Coordenadas de um vector em relac¸a˜o a uma base . . . . . . . . 170
3.5.5 Matrizes Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4 Aplicac¸o˜es Lineares 175
4.1 Modos de definir uma aplicac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.2 Operac¸o˜es com aplicac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.3 Classificac¸a˜o das aplicac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.3.1 Nu´cleo de uma aplicac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.3.2 Espac¸o Imagem de uma aplicac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . 184
4.3.3 Dimensa˜o do nu´cleo e do espac¸o imagem . . . . . . . . . . . . . 186
4.4 Diagonalizac¸a˜o de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.4.1 Vectores e valores pro´prios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.4.2 Matrizes diagonaliza´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.4.3 Processo de diagonalizac¸a˜o de uma matriz . . . . . . . . . . . . 191
4.5 As aplicac¸o˜es lineares nas matrizes mudanc¸a de base . . . . . . . . . . 192
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.7 Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.8 Fichas Pra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.8.1 Transformac¸o˜es lineares. Imagem e nu´cleo . . . . . . . . . . . . 207
4
4.8.2 Valores e vectores pro´prios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5 Geometria Anal´ıtica 219
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.1.1 Espac¸o Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.2 Problemas na˜o me´tricos entre subespac¸os afins . . . . . . . . . . . . . . 226
5.3 Problemas me´tricos entre subespac¸os afins . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.3.1 Distaˆncia entre subespac¸os afins de R3 . . . . . . . . . . . . . . 229
5.3.2 Amplitude do aˆngulo formado por dois subespac¸os afins . . . . . 232
5.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Bibliografia 269
5
6
Cap´ıtulo 1
Sistemas de equac¸o˜es lineares.
Matrizes
1.1 Introduc¸a˜o
1.1.1 Sistemas de equac¸o˜es lineares
Dada a importaˆncia e a aplicabilidade dos sistemas de equac¸o˜es lineares, recordemos
os conceitos de equac¸a˜o linear e sistema de equac¸o˜es lineares.
Definic¸a˜o 1.1.1 Uma equac¸a˜o linear nas varia´veis x1, . . . , xn e´ uma equac¸a˜o da for-
ma
a1x1 + . . .+ anxn = b (1.1)
onde a1, . . . , an, b sa˜o nu´meros reais ou complexos. Os ai, i = 1, . . . , n sa˜o os coefi-
cientes e b e´ o termo independente da equac¸a˜o.
Exemplo 1.1.1 As equac¸o˜es
√
2x− y + 3z = 5, (1.2)
x− 2y = 1 (1.3)
e
x = 1 (1.4)
sa˜o equac¸o˜es lineares, enquanto que as equac¸o˜es
2xy − z = 1
e
x2 + y = 3
na˜o sa˜o lineares devido aos termos 2xy e x2, respectivamente.
7
8 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Definic¸a˜o 1.1.2 O conjunto de soluc¸o˜es da equac¸a˜o a1x1 + . . .+ anxn = b e´:
{(r1, . . . , rn) ∈ Cn : a1r1 + . . .+ anrn = b} .
No conjunto R os conjuntos soluc¸a˜o das equac¸o˜es (1.2), (1.3) e (1.4) do Exemplo 1.1.1,
sa˜o respectivamente: {
(x, y, z) ∈ R3 :
√
2x− y + 3z = 5
}
,{
(x, y) ∈ R2 : x− 2y = 1} ,
{x ∈ R : x = 1} .
E´ de salientar que o conjunto soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o varia de acordo com o conjunto
definido. Consideremos a equac¸a˜o linear x−2y = 1. Em R2 esta equac¸a˜o tem infinitas
soluc¸o˜es reais, como por exemplo (2, 1/2) , enquanto que em C2 tem essas mesmassoluc¸o˜es, mais as infinitas soluc¸o˜es complexas, como por exemplo (2 + i, (1 + i) /2) ,
ou seja, o conjunto{
(x, y) ∈ C2 : x− 2y = 1} ⊃ {(x, y) ∈ R2 : x− 2y = 1} .
Definic¸a˜o 1.1.3 Um sistema de m equac¸o˜es lineares com n inco´gnitas e´ da forma
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
...
...
. . .
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
(1.5)
onde os aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n e bi sa˜o escalares (reais ou complexos) e
designam-se, respectivamente, por coeficientes e termos independentes.
Caso nada se diga em contra´rio, consideramos que os escalares sa˜o reais e o conjunto
soluc¸a˜o esta´ contido em Rn.
Definic¸a˜o 1.1.4 O conjunto de soluc¸o˜es (ou apenas conjunto soluc¸a˜o) do sistema
(1.5) e´
{(r1, . . . , rn) ∈ Rn : (r1, . . . , rn) e´ soluc¸a˜o de cada uma das m equac¸o˜es do sistema}
ou seja, o conjunto soluc¸a˜o e´ a intersecc¸a˜o dos conjuntos soluc¸a˜o de cada uma das m
equac¸o˜es do sistema.
Os sistemas de equac¸o˜es podem ser classificados tendo em conta o seu conjunto soluc¸a˜o.
Um sistema diz-se poss´ıvel quando ha´ uma ou mais soluc¸o˜es comuns a`s equac¸o˜es que
o constituem, sendo determinado se admite uma u´nica soluc¸a˜o e indeterminado
quando tem va´rias soluc¸o˜es. O sistema e´ imposs´ıvel se as equac¸o˜es na˜o teˆm soluc¸a˜o
comum.
Definic¸a˜o 1.1.5 Dois sistemas sa˜o equivalentes quando teˆm o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
Os problemas essenciais relativamente aos sistemas de equac¸o˜es lineares que vamos
abordar dizem respeito a` sua resoluc¸a˜o e classificac¸a˜o.
1.1. INTRODUC¸A˜O 9
1.1.2 Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
A utilizac¸a˜o do me´todo de substituic¸a˜o para a resoluc¸a˜o de sistemas de equac¸o˜es
lineares torna-se por vezes demasiado exaustiva. Esta exausta˜o e´ tanto maior quanto
maior for o nu´mero de equac¸o˜es e inco´gnitas do sistema.
A introduc¸a˜o de um me´todo que permite a transformac¸a˜o de um dado sistema de
equac¸o˜es lineares noutro equivalente, mais simples de resolver, e´ enta˜o o objectivo desta
subsecc¸a˜o. O me´todo que vamos estudar designa-se por Me´todo de Eliminac¸a˜o de
Gauss, ou simplesmente Me´todo de Gauss. A descric¸a˜o deste me´todo sera´ feita
com base no exemplo que se segue.
Exemplo 1.1.2 Dado o sistema
2x + y + 4z = 2
6x + y = −10
−x + 2y − 10z = −4
(1.6)
simplifiquemos este sistema, utilizando o Me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss.
1o Passo:
Identificar o 1◦ elemento pivot, que e´ um escalar na˜o nulo. Consideremos como pivot,
deste primeiro passo de eliminac¸a˜o, o coeficiente 2 da inco´gnita x na 1a equac¸a˜o.
Assim, vamos somar mu´ltiplos da 1a equac¸a˜o a`s restantes, de forma a eliminar o
termo em x dessas equac¸o˜es. Assim, obtemos
2x + y + 4z = 2
−2y − 12z = −16
5
2
y − 8z = −3
2o Passo:
No segundo passo de eliminac¸a˜o, identifica-se o 2◦ elemento pivot, coeficiente −2
da inco´gnita y na 2a equac¸a˜o e soma-se a` 3a equac¸a˜o um mu´ltiplo da 2a, de forma a
eliminar o termo em y da 3a equac¸a˜o, obtendo-se
2x + y + 4z = 2
−2y − 12z = −16
−23z = −23
. (1.7)
Termina, assim, o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss.
Nos va´rios passos utilizados, foram efectuadas as seguintes operac¸o˜es, designadas por
operac¸o˜es elementares (sobre equac¸o˜es):
i) Multiplicar uma equac¸a˜o por um escalar na˜o nulo;
10 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
ii) Adicionar a uma equac¸a˜o um mu´ltiplo de uma outra equac¸a˜o.
Nota: A multiplicac¸a˜o de equac¸o˜es de um sistema por zero pode alterar a soluc¸a˜o do
sistema.
E´ conveniente salientar que nem sempre e´ directa a aplicac¸a˜o do me´todo de elimi-
nac¸a˜o de Gauss. Surgem dificuldades quando um elemento que se pretende usar como
pivot e´ zero. Mas esta dificuldade de aplicac¸a˜o do me´todo, pode ser ultrapassada,
trocando a equac¸a˜o em que o elemento e´ nulo por uma das equac¸o˜es seguintes, ou
seja, considerando uma outra operac¸a˜o elementar:
iii) Trocar a posic¸a˜o de duas quaisquer equac¸o˜es.
Pode acontecer que a troca de equac¸o˜es na˜o resolva a dificuldade. Assim, temos que
identificar o pivot, ignorando a coluna em que todos os candidatos a pivot sa˜o nulos
e considerar a coluna relativa a` inco´gnita seguinte. Nestes casos o sistema na˜o tem
soluc¸a˜o ou tem um conjunto infinito de soluc¸o˜es.
Exemplo 1.1.3 Suponhamos que temos o seguinte sistema
x + 3y − 5z + w = 0
az + 6w = b
y + 7z + 8w = 1
y + (7 + a) z + 2w = 1
, a, b ∈ R.
Como o coeficiente da 1a inco´gnita de todas as equac¸o˜es, excepto da 1a equac¸a˜o, e´
zero, temos que identificar o 2◦ elemento pivot que e´ o coeficiente da inco´gnita y na 2a
equac¸a˜o. Surge-nos um problema: o elemento que queremos usar como pivot e´ zero,
logo a alternativa e´ trocar a 2a equac¸a˜o pela 3a equac¸a˜o, obtendo-se:
x + 3y − 5z + w = 0
y + 7z + 8w = 1
az + 6w = b
y + (7 + a) z + 2w = 1
.
Podemos, enta˜o, continuar com o processo, eliminando a inco´gnita y da u´ltima equac¸a˜o,
sendo o 2◦ elemento pivot igual a 1. Desta forma surge:
x + 3y − 5z + w = 0
y + 7z + 8w = 1
az + 6w = b
az − 6w = 0
.
Agora, identifiquemos o 3◦ elemento pivot. Se a = 0, temos,
x + 3y − 5z + w = 0
y + 7z + 8w = 1
6w = b
−6w = 0
,
1.1. INTRODUC¸A˜O 11
e, neste caso, o 3◦ elemento pivot e´ zero e a troca de equac¸o˜es na˜o resolve a dificuldade.
Portanto o sistema na˜o tem soluc¸a˜o ou tem um conjunto infinito de soluc¸o˜es, como
iremos concluir. Tomando, agora, 6 como 4◦ elemento pivot, elimina-se a u´ltima
inco´gnita da u´ltima equac¸a˜o. Tem-se, enta˜o:
x + 3y − 5z + w = 0
y + 7z + 8w = 1
6w = b
0 = b
.
Enta˜o:
• Se b = 0, z tem um valor arbitra´rio e o sistema tem infinitas soluc¸o˜es (sistema
poss´ıvel indeterminado);
• Se b 6= 0, enta˜o a u´ltima equac¸a˜o “ 0 = b” e´ uma condic¸a˜o falsa e o sistema na˜o
tem soluc¸a˜o (sistema imposs´ıvel).
Se a 6= 0 podemos considerar “ a” como 3o pivot e prosseguir com a resoluc¸a˜o do
sistema.
E´ fa´cil generalizar e perceber como e´ poss´ıvel aplicar este me´todo a outros sistemas
de m equac¸o˜es lineares a n inco´gnitas. Podemos esquematizar do seguinte modo:
• Ordena-se o sistema, colocando todos os termos com inco´gnita no 1◦ membro,
alinhando por colunas os termos referentes a cada inco´gnita;
• Considera-se o 1◦ pivot, o coeficiente da 1a inco´gnita da 1a equac¸a˜o, se este for
na˜o nulo. Caso contra´rio, troca-se a 1a equac¸a˜o por outra em que o coeficiente
da 1a inco´gnita seja na˜o nulo, passando esse elemento a ser o 1◦ pivot;
• Elimina-se a 1a inco´gnita de todas as equac¸o˜es, excepto da 1a equac¸a˜o (1◦ pivot);
• Identifica-se o 2◦ pivot, de modo ana´logo ao 1◦ pivot, considerando o subsistema
obtido a partir do anterior, retirando a equac¸a˜o que conteˆm o 1◦ pivot e as que
se encontrarem antes dessa, caso haja;
• Anulam-se os coeficientes por baixo do 2◦ pivot, de forma a eliminar a 2a
inco´gnita de todas as equac¸o˜es, excepto das anteriores;
• Procede-se analogamente nas equac¸o˜es seguintes, tomando-se para pivot da
equac¸a˜o r o coeficiente na˜o nulo que multiplica a k-e´sima inco´gnita, com k ≥ r,
ate´ se chegar a` u´ltima equac¸a˜o, altura em que o me´todo de eliminac¸a˜o termina.
Uma sequeˆncia finita de operac¸o˜es elementares (me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss)
sobre as equac¸o˜es lineares de um sistema permite enta˜o transformar esse sistema
noutro equivalente e portanto com o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
12 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Voltemos novamente ao sistema 1.7 obtido no in´ıcio desta subsecc¸a˜o. Se observarmos
o sistema, verificamos que aplicando a este o me´todo de substituic¸a˜o, da u´ltima para
a primeira equac¸a˜o, facilmente obtemos o seu conjunto soluc¸a˜o,
C.S. = {(−2, 2, 1)} .
Uma vez que o sistema 1.7 e´ obtido a partirdo sistema 1.6 por aplicac¸a˜o do me´todo
de eliminac¸a˜o de Gauss, estes dois sistemas sa˜o equivalentes e portanto {(−2, 2, 1)} e´
tambe´m o conjunto soluc¸a˜o do sistema inicial 1.6.
1.2 Matrizes
1.2.1 Definic¸a˜o de matriz e submatriz
Apesar de num sistema estarem sempre presentes as inco´gnitas, os coeficientes
das inco´gnitas e os termos independentes, na simplificac¸a˜o de sistemas de equac¸o˜es
lineares pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss so´ se trabalha efectivamente sobre os
coeficientes das inco´gnitas e os termos independentes. Ou seja, somente estes escalares,
nas respectivas posic¸o˜es, sa˜o importantes. Assim, mantendo as equac¸o˜es cuidadosa-
mente alinhadas, termo a termo, respeitando a parte literal, os coeficientes podem ser
eficientemente organizados numa disposic¸a˜o rectangular, designada por matriz. A
utilizac¸a˜o de matrizes permite simplificar consideravelmente a notac¸a˜o dos sistemas.
No Exemplo 1.1.2 os coeficientes que afectam as inco´gnitas sa˜o 9 e distribuem-se por
3 linhas e 3 colunas, o que significa que formam uma matriz 3 × 3, designada por
matriz dos coeficientes,
A =
 2 1 46 1 0
−1 2 −10
 . (1.8)
Os 3 termos independentes que aparecem no lado direito das equac¸o˜es do sistema
podem ser indicados na forma de uma matriz 3 × 1, a qual se designa por matriz
coluna dos termos independentes,
B =
 2−10
−4
 . (1.9)
Utilizando a notac¸a˜o matricial podemos representar o sistema na forma [A|B], i.e., 2 1 46 1 0
−1 2 −10
∣∣∣∣∣∣
2
−10
−4
 , (1.10)
a qual se designa por matriz ampliada ou matriz completa do sistema.
1.2. MATRIZES 13
Definic¸a˜o 1.2.1 Uma matriz A do tipom×n sobre R (ou C) e´ um arranjo rectangular
com mn elementos reais (ou complexos) que esta˜o organizados em m linhas e n
colunas. Podemos enta˜o representar:
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 .
Normalmente, utilizam-se letras maiu´sculas para denotar matrizes e as respectivas
letras minu´sculas indexadas com dois ı´ndices para designar os elementos ou entradas
dessas matrizes. Por exemplo, o elemento da linha i coluna j da matriz A denota-se
por aij. Portanto, podemos representar abreviadamente a matriz A por A = [aij] , onde
i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n. Representa-se a linha i da matriz A e a coluna j da matriz
A, respectivamente, por ai· e a·j.
Exemplo 1.2.1 Na matriz (1.8), a21 = 6, porque o elemento 6 da matriz localiza-se
na 2a linha e 1a coluna.
Definic¸a˜o 1.2.2 Seja A uma matriz do tipo m× n. Caso se eliminem m− l linhas e
n− k colunas de A, obte´m-se uma matriz A′ do tipo l× k, que e´ uma submatriz de A.
Exemplo 1.2.2 Consideremos a seguinte matriz do tipo 3× 4 :
A =
 1 2 3 4−2 −4 3 2
9 0 0 2
 (1.11)
Se eliminarmos a u´ltima linha e as duas primeiras colunas, obtemos
A
′
=
[
3 4
3 2
]
que e´ uma submatriz de A do tipo 2× 2.
Das matrizes referidas atra´s, podemos concluir que quer a matriz (1.8), quer a matriz
(1.9), sa˜o submatrizes da matriz ampliada (1.10).
Definic¸a˜o 1.2.3 Uma matriz diz-se real se todos os seus elementos sa˜o nu´meros reais.
Exemplo 1.2.3 1. A matriz (1.11) e´ real.
2. A matriz B =
[
ln 2 pi 0, 53
1
5
7
√
2
]
e´ real.
3. A matriz C =
[ √
2i 3
4 + 5i 0
]
na˜o e´ real. C e´ uma matriz complexa.
Caso na˜o seja dito nada em contra´rio, as matrizes que vamos considerar sera˜o matrizes
reais.
14 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
1.2.2 Alguns tipos particulares de matrizes
Definic¸a˜o 1.2.4 Uma matriz do tipo m× n diz-se rectangular se m 6= n.
Em particular, temos as seguintes definic¸o˜es:
Definic¸a˜o 1.2.5 Uma matriz do tipo 1× n chama-se matriz linha:[
a11 a12 . . . a1n
]
.
Definic¸a˜o 1.2.6 Uma matriz do tipo m× 1 chama-se matriz coluna:
a11
a21
...
am1
 .
Exemplo 1.2.4 1. A matriz (1.11) do tipo 3×4 e a matriz (1.9) do tipo 3×1 sa˜o
matrizes rectangulares. Em particular, a matriz (1.9) e´ uma matriz coluna.
2. A matriz
[
2 1 4 7
]
e´ uma matriz linha.
Nota: As matrizes linha e coluna tambe´m se designam por vectores linha e coluna,
respectivamente.
Definic¸a˜o 1.2.7 Uma matriz do tipo m× n diz-se quadrada se m = n :
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
 .
As matrizes quadradas do tipo n × n sa˜o, geralmente, designadas por matrizes de
ordem n. Por exemplo, a matriz (1.8) e´ uma matriz quadrada de ordem 3. Seja
A uma matriz quadrada de ordem n. A diagonal principal de A e´ formada pelos
elementos a11, a22, . . . , ann e a diagonal secunda´ria de A e´ formada pelos elementos
a1n, a2 n−1, . . . , an1. Existem alguns casos particulares de matrizes quadradas:
• Matriz triangular: matriz quadrada, cujos elementos acima ou abaixo da
diagonal principal sa˜o todos nulos, designando-se por matriz triangular inferior,
se for da forma: 
a11 0 . . . 0
a21 a22 . . . 0
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
 ,
1.2. MATRIZES 15
e matriz triangular superior, se for da forma:
a11 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
0 0 . . . ann
 .
• Matriz diagonal: matriz quadrada, cujos elementos acima e abaixo da diagonal
principal sa˜o todos nulos, 
a11 0 . . . 0
0 a22 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . ann
 .
• Matriz escalar: matriz diagonal, cujos elementos da diagonal principal tomam
todos o mesmo valor, 
a 0 . . . 0
0 a . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . a
 .
• Matriz identidade: matriz escalar, cujos elementos da diagonal principal teˆm
o valor 1, 
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
 .
A matriz identidade de ordem n, representa-se por In.
1.2.3 Operac¸o˜es elementares com matrizes.
Resoluc¸a˜o de sistemas - Me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss
Vamos enta˜o simplificar sistemas de equac¸o˜es lineares na forma matricial aplicando
o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss. Vejamos a sucessa˜o de matrizes que se obteˆm
efectuando transformac¸o˜es sobre as linhas, equivalentes a`s que efectuamos sobre as
equac¸o˜es do Exemplo 1.1.2.
[A|B] =
 2 1 46 1 0
−1 2 −10
∣∣∣∣∣∣
2
−10
−4
−−−−−−−−−−−−−−→−3L1 + L2 −→ L2
1
2
L1 + L3 −→ L3
 2 1 40 −2 −12
0 5
2
−8
∣∣∣∣∣∣
2
−16
−3

−−−−−−−−−−−−→
5
4
L2 + L3 −→ L3
 2 1 40 −2 −12
0 0 −23
∣∣∣∣∣∣
2
−16
−23

16 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Compare cada uma das matrizes com os sistemas de equac¸o˜es lineares do exemplo
1.1.2.
Facilmente verificamos que as matrizes ampliadas de qualquer sistema se obteˆm umas
das outras aplicando operac¸o˜es elementares sobre linhas, equivalentes a`s operac¸o˜es
elementares ja´ referidas para equac¸o˜es:
i) Multiplicar uma linha por um escalar na˜o nulo;
ii) Adicionar a uma linha da matriz um mu´ltiplo de outra linha;
iii) Trocar a posic¸a˜o de duas linhas da matriz.
Estas operac¸o˜es designam-se por operac¸o˜es elementares de matrizes sobre li-
nhas. O mesmo pode acontecer com as colunas.
Definic¸a˜o 1.2.8 Duas matrizes dizem-se equivalentes se uma delas pode ser obtida
da outra, realizando-se um nu´mero finito de operac¸o˜es elementares de matrizes.
Exemplo 1.2.5 Podemos dizer que a matriz (1.8) e´ equivalente a` matriz: 2 1 40 −2 −12
0 0 −23

e a matriz ampliada (1.10) e´ equivalente a` matriz 2 1 40 −2 −12
0 0 −23
∣∣∣∣∣∣
2
16
−23
 .
Vimos, enta˜o, que a simplificac¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es lineares, aplicando
o me´todo de Gauss, se torna mais fa´cil se utilizarmos a notac¸a˜o matricial. No
entanto, se o nosso objectivo for determinar o conjunto soluc¸a˜o do sistema, temos
que reescrever a u´ltima matriz na forma de sistema de equac¸o˜es e resolveˆ-lo pelo
me´todo de substituic¸a˜o.
Contudo, o me´todo deeliminac¸a˜o de Gauss na˜o se aplica so´ para simplificar ma-
trizes que representam sistemas de equac¸o˜es lineares. Em geral, este me´todo, quando
aplicado a`s matrizes, tem por objectivo a obtenc¸a˜o de uma matriz que se designa por
matriz escalonada.
Definic¸a˜o 1.2.9 Designa-se por matriz escalonada uma matriz onde o nu´mero de
zeros precedentes ao primeiro elemento na˜o nulo da linha aumenta de linha para linha
ate´ que, se poss´ıvel, so´ sobrem linhas nulas.
1.2. MATRIZES 17
Por exemplo, a matriz 
∗ × × × × ×
0 ∗ × × × ×
0 0 0 ∗ × ×
0 0 0 0 ∗ ×
0 0 0 0 0 0
 ,
e´ uma matriz escalonada, onde ∗ e´ elemento pivot (primeiro elemento na˜o nulo em
cada linha) e × sa˜o elementos que podem, ou na˜o, ser nulos.
Por vezes, as matrizes escalonadas sa˜o designadas por matrizes condensadas,
da´ı que alguns autores designem o processo de transformar uma matriz numa matriz
escalonada, atrave´s das operac¸o˜es elementares de matrizes (me´todo de eliminac¸a˜o de
Gauss), por me´todo da condensac¸a˜o de matrizes.
Definic¸a˜o 1.2.10 Designa-se por matriz escalonada reduzida uma matriz escalonada
em que os seus elementos pivot sa˜o iguais a 1 e os u´nicos na˜o nulos das suas colunas.
Por exemplo, a matriz 
1 0 × 0 0 ×
0 1 × 0 0 ×
0 0 0 1 0 ×
0 0 0 0 1 ×
0 0 0 0 0 0
 ,
e´ uma matriz escalonada reduzida.
Podemos sempre atrave´s de operac¸o˜es elementares escalonar uma matriz, isto e´,
identificar sucessivamente o elemento pivot e anular todos os elementos da mesma
coluna que se encontrem abaixo deste - Me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss. E
ainda reescrever esta matriz escalonada como uma matriz escalonada reduzida ou
seja, transformar os elementos pivot no nu´mero real 1 e anular todos os elementos da
mesma coluna que se encontrem acima deste - Me´todo de Jordan.
1.2.4 Resoluc¸a˜o de sistemas - Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss-
Jordan
Tal como ja´ vimos, depois de aplicar o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss na re-
soluc¸a˜o de sistemas de equac¸o˜es lineares na forma matricial, transformamos a matriz
ampliada escalonada num sistema de equac¸o˜es lineares e, pelo me´todo de substituic¸a˜o
determinamos o conjunto soluc¸a˜o do sistema. Alternativamente a` segunda fase deste
processo de resoluc¸a˜o (me´todo de substituic¸a˜o) podemos, mantendo o sistema na forma
matricial, determinar o seu conjunto soluc¸a˜o. Para tal, basta transformar a matriz
ampliada escalonada numa matriz escalonada reduzida e retirar directamente, a partir
desta, a soluc¸a˜o do sistema. Este processo de resoluc¸a˜o designa-se por me´todo de
18 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan. Aplicando o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan
ao sistema do exemplo 1.1.2 temos
[A|B] =
 2 1 46 1 0
−1 2 −10
∣∣∣∣∣∣
2
−10
−4
−−−−−−−−−−−−−−→−3L1 + L2 −→ L2
1
2
L1 + L3 −→ L3
 2 1 40 −2 −12
0 5
2
−8
∣∣∣∣∣∣
2
−16
−3

−−−−−−−−−−−−→
5
4
L2 + L3 −→ L3
 2 1 40 −2 −12
0 0 −23
∣∣∣∣∣∣
2
−16
−23
−−−−−−−−−−−→− 123L3 −→ L3−1
2
L2 −→ L2
 2 1 40 1 6
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
2
8
1

−−−−−−−−−−−−−−→−6L3 + L2 −→ L2
−4L3 + L1 −→ L1
 2 1 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
−2
2
1
−−−−−−−−−−−−−→−1L2 + L1 −→ L1
 2 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
−4
2
1

−−−−−−−−→
1
2
L1 −→ L1
 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
−2
2
1
 .
Logo C.S. = {(−2, 2, 1)}
Estudamos enta˜o dois processos para a resoluc¸a˜o de sistemas de equac¸o˜es lineares
ambos com um princ´ıpio de resoluc¸a˜o comum, o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss. Este
me´todo consiste em transformar a matriz ampliada que define o sistema numa matriz
escalonada. Depois de obtida esta matriz, dois processos podem ser utilizados:
• Escrever a matriz escalonada na forma de um sistema de equac¸o˜es lineares e
terminar a resoluc¸a˜o do sistema utilizando o me´todo de substituic¸a˜o;
• Continuar a aplicar as operac¸o˜es elementares de matrizes, ate´ obter uma matriz
escalonada reduzida (me´todo de Jordan).
1.2.5 Discussa˜o de sistemas
Dado um sistema de equac¸o˜es lineares podemos, sem conhecer o seu conjunto soluc¸a˜o,
classifica´-lo.
Quando o sistema e´ indeterminado, ha´ um certo nu´mero de varia´veis, chamadas
varia´veis livres, que podem tomar valores arbitra´rios. O nu´mero de varia´veis deste
tipo definem o seu grau de indeterminac¸a˜o. Estas varia´veis sa˜o as correspondentes
a colunas que na˜o conteˆm pivots. As inco´gnitas que se exprimem em func¸a˜o das
varia´veis livres, chamadas inco´gnitas principais, sa˜o obviamente, as correspondentes
a colunas que conteˆm pivots. O nu´mero de pivots e´ igual ao nu´mero das inco´gnitas
principais e e´ igual ao nu´mero de linhas na˜o nulas, no final do processo de eliminac¸a˜o.
A este nu´mero chama-se caracter´ıstica da matriz do sistema. Formalmente,
podemos enta˜o definir:
1.2. MATRIZES 19
Definic¸a˜o 1.2.11 A caracter´ıstica de uma matriz A e´ o nu´mero de linhas na˜o nulas
da matriz na sua forma escalonada e representa-se por r(A) ou c(A).
Nota: Se todos os elementos de uma linha de uma matriz sa˜o nulos, diz-se que essa
linha e´ nula.
Exemplo 1.2.6 Consideremos os seguintes sistemas:
1.

2x + y + 4z = 2
6x + y = −10
−2x + 2y − 10z = −4
, cuja matriz ampliada escalonada pode ser,
como ja´ vimos,
 2 1 40 −2 −12
0 0 −23
∣∣∣∣∣∣
2
−16
−23
 e o conjunto soluc¸a˜o e´ {(−2, 2, 1)} .
2.

x − 2y − 3z = 2
x − 4y − 13z = 14
−3x + 5y + 4z = 0
, cuja matriz ampliada correspondente e´
 1 −2 −31 −4 −13
−3 5 4
∣∣∣∣∣∣
2
14
0
 . Aplicando as operac¸o˜es elementares de matrizes sobre
linhas, podemos obter a matriz ampliada escalonada
 1 −2 −30 1 5
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
2
−6
0
 , a
partir da qual obtemos o conjunto soluc¸a˜o:
{(−10− 7z,−6− 5z, z) : z ∈ R} .
3.

x − 2y − 3z = 2
x − 4y − 13z = 14
−3x + 5y + 4z = 2
, cuja matriz ampliada correspondente e´
 1 −2 −31 −4 −13
−3 5 4
∣∣∣∣∣∣
2
14
2
 e a matriz ampliada escalonada
 1 −2 −30 1 5
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
2
−6
2
 .
Deduz-se, enta˜o, que o conjunto soluc¸a˜o do sistema e´ o conjunto vazio, Ø, que
tambe´m se pode representar por {} .
Analisando as matrizes ampliadas escalonadas dos treˆs sistemas acima descritos, os
respectivos conjuntos soluc¸a˜o, e considerando que [A|B] representa a matriz ampliada,
A a matriz dos coeficientes, ambas escalonadas, e nincg o nu´mero de inco´gnitas do
sistema, temos:
20 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Sistema nincg r(A) r([A|B]) Conjunto soluc¸a˜o Classificac¸a˜odo sistema
1. 3 3 3 {(−2, 2, 1)} Sistema poss´ıvel
determinado
2. 3 2 2 {(−10− 7z,−6− 5z, 7) : z ∈ R} Sistema poss´ıvel
indeterminado
3. 3 2 3 Ø
Sistema
imposs´ıvel
Tabela 1.1: Classificac¸o˜es dos sistemas anteriores, atrave´s da caracter´ıstica e do
nu´mero de inco´gnitas.
Analisando criteriosamente, podemos concluir que:
• r([A|B]) =r(A) = nincg: sistema poss´ıvel e determinado,
• r([A|B]) =r(A) < nincg: sistema poss´ıvel e indeterminado,
• r([A|B]) 6=r(A): sistema imposs´ıvel.
O grau de indeterminac¸a˜o, ou seja, o nu´mero de varia´veis livres de um sistema de
equac¸o˜es linares e´ igual a nincg−r(A) .
1.2.6 Sistemas Homoge´neos
Definic¸a˜o 1.2.12 Um sistema homoge´neo e´ um sistema cujos termos independentes
de todas as equac¸o˜es sa˜o nulos, isto e´,
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
...
...
...
...
. . .
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
.
Os sistemas homoge´neos sa˜o sempre poss´ıveis, pois admitem sempre a soluc¸a˜o nula
(soluc¸a˜o trivial), podendo ser determinados ou indeterminados.
Teorema 1.2.1 Um sistema homoge´neo com mais inco´gnitas que equac¸o˜es e´ poss´ıvel
indeterminado.
Nota: Dado um sistema de equac¸o˜es lineares, designa-se por sistema homoge´neo
associado a ele o sistemaque resulta do anterior por substituic¸a˜o de todos os termos
independentes por zero.
1.2. MATRIZES 21
1.2.7 Operac¸o˜es com matrizes
E´, de todo, importante na˜o ficarmos com a noc¸a˜o de que as matrizes se utilizam
apenas para representar e resolver sistemas de equac¸o˜es lineares. Visto que o campo
de aplicac¸a˜o das matrizes e´ muito vasto, abrangendo na˜o so´ as diversas a´reas da
pro´pria Matema´tica, desde a Ana´lise ate´ a` Estat´ıstica e a` Investigac¸a˜o Operacional,
como as dos cursos de F´ısica, Engenharia, Economia, Agronomia, etc. Enta˜o, torna-se
necessa´rio fazer um estudo exaustivo sobre este novo conceito. No aˆmbito da disciplina,
vamos apenas considerar matrizes e escalares reais, embora todos os resultados que
vamos apresentar, no que diz respeito a`s matrizes, sejam tambe´m va´lidos no conjunto
dos nu´meros complexos.
Igualdade de matrizes
Definic¸a˜o 1.2.13 Sejam A = [aij] e B = [bij] matrizes do tipo m × n. Diz-se que A
e B sa˜o matrizes iguais se aij = bij, ∀i, j, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo 1.2.7 1. As matrizes A =
[
1 3 5
0 1 −1
]
e B =
[
1 3 5
0 1 −1
]
sa˜o ma-
trizes iguais do tipo 2× 3.
2. As matrizes C =
[
1 2
3 4
]
e D =
[
(−1)2 √4
3 16
4
]
sa˜o matrizes quadradas iguais
de ordem 2.
Adic¸a˜o de matrizes
Definic¸a˜o 1.2.14 Sejam A = [aij] e B = [bij] matrizes do tipo m×n. A matriz soma
S = A + B, e´ uma matriz do tipo m× n, onde S = [sij] e sij = aij + bij, 1 ≤ i ≤ m,
1 ≤ j ≤ n.
Exemplo 1.2.8 Sejam A =
 1 −13 0
4 1
 e B =
 3 20 0
1 0
 matrizes do tipo 3×2. Enta˜o
A + B =
 1 −13 0
4 1
 +
 3 20 0
1 0
 =
 4 13 0
5 1
 , em que A + B e´ uma matriz do tipo
3× 2.
22 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Propriedades da adic¸a˜o de matrizes:
Teorema 1.2.2 Seja Mm×n o conjunto de todas as matrizes reais do tipo m × n.
Enta˜o
(i) (A+B) + C = A+ (B + C) , ∀A,B,C ∈Mm×n
(ii) A+B = B + A, ∀A,B ∈Mm×n
(iii) ∃O ∈Mm×n : A+O = O + A = A, ∀A ∈Mm×n
(iv) ∀A ∈Mm×n, ∃A′ ∈Mm×n : A+ A′ = A′ + A = O
Nota: A matriz O e´ uma matriz do tipo m × n em que todos os seus elementos sa˜o
nulos e representa-se abreviadamente por O = [0]m×n .
Multiplicac¸a˜o de matrizes por um escalar
Definic¸a˜o 1.2.15 O produto de uma matriz A = [aij] do tipo m×n por um escalar λ
e´ uma matriz C = [cij] do mesmo tipo m× n, onde cij = λaij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo 1.2.9 Seja A =
 1 3 1−1 2 0
3 4 5
 do tipo 3× 3.
1. Para λ = 2, temos λA = 2
 1 3 1−1 2 0
3 4 5
 =
 2 6 2−2 4 0
6 8 10
 , em que 2A e´ uma
matriz do tipo 3× 3.
2. Para λ = −1, temos λA = −1
 1 3 1−1 2 0
3 4 5
 =
 −1 −3 −11 −2 0
−3 −4 −5
 = −A.
Nota: Subtrair duas matrizes A = [aij] e B = [bij] do tipo m× n, na˜o e´ mais do que
somar A = [aij] com −B = [−bij] , visto que A+ (−B) = A−B.
Propriedades da multiplicac¸a˜o de matrizes por um escalar:
Teorema 1.2.3 Seja Mm×n o conjunto de todas as matrizes reais do tipo m × n.
Enta˜o
(i) λ (A+B) = λA+ λB, ∀A,B ∈Mm×n, ∀λ ∈ R
(ii) (λ+ µ)A = λA+ µA, ∀A ∈Mm×n, ∀λ, µ ∈ R
1.2. MATRIZES 23
(iii) (λµ)A = λ (µA) , ∀A ∈Mm×n, ∀λ, µ ∈ R
(iv) 1A = A, ∀A ∈Mm×n
(v) 0A = O, ∀A ∈Mm×n
Multiplicac¸a˜o de matrizes
A multiplicac¸a˜o da matriz A pela matriz B so´ e´ poss´ıvel se o nu´mero de colunas
da matriz A e´ igual ao nu´mero de linhas da matriz B, sendo a matriz produto uma
matriz, cujo nu´mero de linhas e´ igual ao nu´mero de linhas da matriz A e o nu´mero de
colunas e´ igual ao nu´mero de colunas da matriz B.
Definic¸a˜o 1.2.16 Sejam A e B duas matrizes do tipo m×n e n×q, respectivamente.
A matriz produto, P = AB, e´ uma matriz do tipo m× q onde,
P = [pij] e pij =
n∑
k=1
aikbkj, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ q.
Exemplo 1.2.10 1. Sejam as matrizes A =
[
3 1 2
0 −1 4
]
do tipo 2× 3 e B = −2 01 7
1 −5
 do tipo 3× 2. Como o nu´mero de colunas de A e´ 3 e o nu´mero de
linhas de B e´ 3 o produto e´ poss´ıvel. Temos enta˜o
AB =
[
3× (−2) + 1× 1 + 2× 1 3× 0 + 1× 7 + 2× (−5)
0× (−2) + (−1)× 1 + 4× 1 0× 0 + (−1)× 7 + 4× (−5)
]
=
[ −3 −3
3 −27
]
,
onde AB e´ uma matriz do tipo 2× 2.
2. E´ importante tomarmos conscieˆncia que se considerarmos a matriz coluna for-
mada por todas as inco´gnitas do exemplo 1.1.2 , matriz X, designada por matriz
das inco´gnitas, a matriz dos coeficientes A e a matriz dos termos independentes
B, de acordo com a definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de matrizes, temos
AX = B ⇔
 2 1 46 1 0
−1 2 −10
 .
 xy
z
 =
 2−10
−4
⇔
⇔
 2x+ y + 4z6x+ y
−x+ 2y − 10z
 =
 2−10
−4
⇔

2x + y + 4z = 2
6x + y = −10
−x + 2y − 10z = −4
24 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Podemos enta˜o generalizar dizendo que, sendo A e B matrizes, do tipo n×n e n×1,
respectivamente e X uma matriz coluna n × 1, cujos elementos sa˜o as varia´veis do
sistema, facilmente se verifica que a equac¸a˜o AX = B representa um sistema de n
equac¸o˜es com n inco´gnitas, em que A e´ a matriz dos coeficientes, B a coluna dos
termos independentes e X a matriz coluna das varia´veis.
Analisemos algumas situac¸o˜es em que a multiplicac¸a˜o de matrizes se comporta de
modo diferente da multiplicac¸a˜o efectuada com nu´meros reais.
1. Dadas duas matrizes A e B, o facto de estar definido o produto AB na˜o sig-
nifica que esteja definido o produto BA. Por exemplo, para as matrizes A =[
3 2 1
0 −1 1
]
e B =
 01
2
 , temos
AB =
[
3 2 1
0 −1 1
] 01
2
 = [ 4
1
]
,
mas BA na˜o esta´ definido, porque a matriz B tem 1 coluna e A tem 2 linhas.
2. Dadas duas matrizes A e B, o facto dos produtos AB e BA estarem definidos
na˜o significa que AB = BA. Por exemplo, para as matrizes A =
[
1 0
−1 0
]
e
B =
[
0 1
−1 0
]
, temos que
AB =
[
1 0
−1 0
] [
0 1
−1 0
]
=
[
0 1
0 −1
]
e
BA =
[
0 1
−1 0
] [
1 0
−1 0
]
=
[ −1 0
−1 0
]
.
Portanto AB 6= BA. Ou seja, o produto de matrizes na˜o e´ comutativo.
3. Quando duas matrizes quadradas A e B sa˜o tais que AB = BA, dizem-se
permuta´veis. Por exemplo, as matrizes A =
[
1 1
1 2
]
e B =
[
2 1
1 3
]
sa˜o
permuta´veis, porque AB =
[
3 4
4 7
]
= BA.
4. O produto de duas matrizes pode ser nulo sem que nenhuma das matrizes
intervenientes o seja, isto e´, a lei do anulamento do produto na˜o e´ va´lida para
o produto de matrizes. Por exemplo, o produto das matrizes A =
[
1 1
1 1
]
e
B =
[
1 1
−1 −1
]
e´ AB =
[
1 1
1 1
] [
1 1
−1 −1
]
=
[
0 0
0 0
]
= O, sem que A e
B sejam matrizes nulas.
1.2. MATRIZES 25
5. O produto das matrizes A por B pode ser igual ao produto das matrizes A por C,
com A 6= O, sem que as matrizes B e C sejam iguais, isto e´, a lei do cancelamento
na˜o e´ va´lida para o produto de matrizes. Por exemplo, sendo A =
[
1 2
2 4
]
6= O2,
B =
[
2 1
3 2
]
e C =
[ −2 7
5 −1
]
temos que AB = AC =
[
8 5
16 10
]
e B 6= C
Propriedades da multiplicac¸a˜o de matrizes:
Teorema 1.2.4 Seja M o conjunto de todas as matrizes reais. Enta˜o, sempre que
fac¸am sentido as operac¸o˜es indicadas, temos que
(i) (AB)C = A (BC) , ∀A,B,C ∈M
(ii) A (B + C) = AB + AC, ∀A,B,C ∈M
(iii) (B + C)A = BA+ CA, ∀A,B,C ∈M
(iv) λ (AB) = (λA)B = A (λB) , ∀A,B ∈M, ∀λ ∈ R
(v) OA = O ∧BO = O, ∀A,B ∈M
(vi) IA = A ∧BI = B, ∀A,B ∈M
Definic¸a˜o 1.2.17 Seja A uma matriz quadrada, na˜o nula, de ordem n e k ∈ N0. As
poteˆncias de A definem-se do seguinte modo:
A0 = In,
A1 = A,
A2 = AA,
. . .
Ak+1 = AkA.
Exemplo 1.2.11 Consideremos a matriz 2× 2, A =
[
0 1
−1 0
]
. Temos que:
A2 = AA =
[
0 1
−1 0
] [
0 1
−1 0
]
=
[ −1 0
0 −1
]
,
A3 = A2A =
[ −1 0
0 −1
] [
0 1
−1 0
]
=
[
0 −1
1 0
]
,
A4 = A3A =
[0 −1
1 0
] [
0 1
−1 0
]
=
[
1 0
0 1
]
= I2.
26 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Definic¸a˜o 1.2.18 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir p ∈ N \ {1}
tal que Ap = A e para qualquer k ∈ N \ {1} , k < p, tem-se Ak 6= A, enta˜o A diz-
-se matriz perio´dica de per´ıodo p. No caso particular de p = 2, a matriz A diz-se
idempotente.
Exemplo 1.2.12 No Exemplo 1.2.11, vimos que A2 6= A, A3 6= A e A4 6= A. Mas
A5 = A4A =
[
1 0
0 1
] [
0 1
−1 0
]
=
[
0 1
−1 0
]
= A.
Logo, A e´ perio´dica de per´ıodo 5.
Exemplo 1.2.13 A matriz identidade e´ uma matriz idempotente, porque I2 = I · I,
e pela propriedade (vi) do teorema 1.2.4, temos I · I = I. Portanto I2 = I.
Definic¸a˜o 1.2.19 Se, para uma matriz quadrada A de ordem n, existe p ∈ N tal que
Ap = O e, para qualquer k ∈ N, k < p temos Ak 6= O, diz-se que A e´ nilpotente de
grau p.
Exemplo 1.2.14 Seja a matriz quadrada de ordem 2, A =
[
0 1
0 0
]
. Temos que
A2 = AA =
[
0 1
0 0
] [
0 1
0 0
]
=
[
0 0
0 0
]
= O.
Logo, A e´ uma matriz nilpotente de grau 2.
Transposta de uma matriz
Definic¸a˜o 1.2.20 Seja A = [aij] uma matriz do tipo m × n. A transposta da ma-
triz designa-se por AT e e´ uma matriz do tipo n × m, que se obte´m de A trocando
ordenadamente as linhas com as colunas, ou seja, AT = [aji] .
Exemplo 1.2.15 Seja A =

2 2
−3 1
0 0
6 −7
 . A matriz transposta de A e´
AT =
[
2 −3 0 6
2 1 0 −7
]
.
1.2. MATRIZES 27
Propriedades da transposta de uma matriz:
Teorema 1.2.5 Seja M o conjunto de todas as matrizes reais. Enta˜o, sempre que as
operac¸o˜es estejam definidas, temos que:
(i) (A+B)T = AT +BT , ∀A,B ∈M
(ii)
(
AT
)T
= A, ∀A ∈M
(iii) (λA)T = λAT , ∀A ∈M, ∀λ ∈ R
(iv) (AB)T = BTAT , ∀A,B ∈M
O conceito de transposta de uma matriz permite-nos definir mais dois tipos parti-
culares de matrizes:
Definic¸a˜o 1.2.21 Seja A uma matriz quadrada. A matriz A e´ sime´trica se e so´ se
A = AT .
Exemplo 1.2.16 1. Seja A =
 1 −2 5−2 2 0
5 0 3
 logo
AT =
 1 −2 5−2 2 0
5 0 3
 = A.
2. Como IT = I, a matriz I e´ uma matriz sime´trica.
Nota: Uma matriz quadrada e´ sime´trica quando os elementos situados simetricamente
em relac¸a˜o a` diagonal principal sa˜o iguais,
a11 a12 . . . a1n
a12 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
a1n a2n . . . ann
 .
Definic¸a˜o 1.2.22 Seja A uma matriz quadrada. A matriz A e´ anti-sime´trica se e so´
se A = −AT .
Exemplo 1.2.17 Consideremos a matriz A =
 0 1 2−1 0 6
−2 −6 0
 logo
−AT =
 0 1 2−1 0 6
−2 −6 0
 = A.
28 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Nota: Uma matriz quadrada e´ anti-sime´trica se os elementos da diagonal principal
sa˜o nulos e os elementos localizados simetricamente em relac¸a˜o a essa diagonal sa˜o
sime´tricos, 
0 a12 . . . a1n
−a12 0 . . . a2n
...
...
. . .
...
−a1n −a2n . . . 0
 .
Teorema 1.2.6 Para toda a matriz quadrada A, A + AT e´ uma matriz sime´trica e
A− AT e´ uma matriz anti-sime´trica.
Teorema 1.2.7 Seja A uma matriz do tipo m× n. Enta˜o r(A) =r(AT ) .
Exemplo 1.2.18 Consideremos a matriz escalonada
A =
 2 1 40 −2 −12
0 0 −23
 .
A transposta de A e´ a matriz
AT =
 2 0 01 −2 0
4 −12 −23
 .
Escalonando a matriz AT ,
 2 0 01 −2 0
4 −12 −23
−−−−−−−−−−−−−−→−23L1 + L2 −→ L2−2L1 + L3 −→ L3
 2 0 00 −2 0
0 −12 −23
−−−−−−−−−−−→6L2 + L3 −→ L3
 2 0 00 −2 0
0 0 −23

Logo r(AT ) = r(A) = 3.
Trac¸o de uma matriz
Definic¸a˜o 1.2.23 Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n. O trac¸o de uma
matriz A representa-se por tr(A) e e´ a soma dos elementos da sua diagonal principal
isto e´, tr(A) =
∑n
i=1 aii.
Exemplo 1.2.19 Seja A =
 −1 0 05 −2 4
3 3 3
 . O trac¸o da matriz A e´:
tr (A) = (−1) + (−2) + 3 = 0.
1.2. MATRIZES 29
Propriedades do trac¸o de uma matriz:
Teorema 1.2.8 Seja Mn o conjunto de todas as matrizes reais de ordem n. Enta˜o
(i) tr(A+B) =tr(B + A) =tr(B)+tr(A) , ∀A,B ∈Mn
(ii) tr(λA) = λtr(A) , ∀A,B ∈Mn, ∀λ ∈ R
(iii) tr(AB) =tr(BA) , ∀A,B ∈Mn
(iv) tr(ABC) =tr(BCA) =tr(CAB) , ∀A,B,C ∈Mn
(v) tr
(
AT
)
=tr(A) , ∀A ∈Mn
Matrizes invert´ıveis
Definic¸a˜o 1.2.24 Seja A uma matriz quadrada. Chama-se inversa de A a uma
matriz que se representa por A−1, tal que AA−1 = A−1A = I. Uma matriz que admite
inversa e´ normalmente designada por matriz invert´ıvel, mas tambe´m se pode designar
por matriz regular ou na˜o singular.
Toda a matriz invert´ıvel e´ quadrada, mas nem todas as matrizes quadradas sa˜o
invert´ıveis. De facto, recordando a definic¸a˜o 1.2.16, e´ fa´cil ver que so´ podem ser
invert´ıveis as matrizes quadradas.
Exemplo 1.2.20 A inversa de uma matriz pode ser determinada a partir da definic¸a˜o
1.2.24. Seja A =
[
1 2
0 0
]
. Procuremos A−1 =
[
a b
c d
]
, tal que:
AA−1 = I2, A−1A = I2.[
1 2
0 0
] [
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
a+ 2c b+ 2d
0 0
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Como podemos observar, estas duas matrizes nunca sera˜o iguais para quaisquer que
sejam a, b, c e d. Portanto a matriz A na˜o tem inversa.
Exemplo 1.2.21 Para calcular a inversa de uma matriz A =
[
1 2
−1 0
]
, consideran-
do a definic¸a˜o 1.2.24 temos que determinar B tal que AB = I e BA = I. Assim,[
1 2
−1 0
] [
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
a+ 2c b+ 2d
−a −b
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Pela igualdade de matrizes temos que:
a = 0, b = −1, c = 1
2
, e d =
1
2
.
30 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Logo a matriz
[
0 −1
1
2
1
2
]
e´ a “candidata”a inversa de A. Verifiquemos se para esta
matriz se verifica[
0 −1
1
2
1
2
]
.A = I ⇔
[
0 −1
1
2
1
2
] [
1 2
−1 0
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Logo
[
0 −1
1
2
1
2
]
e´ a inversa da matriz A, isto e´ A−1 =
[
0 −1
1
2
1
2
]
.
Imaginemos que se pretendia o ca´lculo da inversa de uma matriz de ordem 4. O
me´todo descrito anteriormente levaria a` resoluc¸a˜o de um sistema de 16 equac¸o˜es a
16 inco´gnitas. Facilmente se depreende que este e´ um me´todo muito trabalhoso para
matrizes de ordem superior a 3. O problema ultrapassa-se aplicando as operac¸o˜es
elementares de matrizes sobre linhas, de acordo com a seguinte regra pra´tica:
1. Dispor lado a lado a matriz An e a matriz identidade In, isto e´, considerar a
matriz ampliada [An|In] .
2. Efectuar operac¸o˜es elementares de matrizes sobre linhas na matriz [An|In] de
modo a transforma´-la na matriz ampliada equivalente [Cn|Dn], sendo C uma
matriz escalonada.
• Se Cn tem pelo menos uma linha nula, a matriz An na˜o admite inversa.
• Se Cn e´ uma matriz triangular superior continuamos a aplicar operac¸o˜es
elementares sobre a matriz ampliada [Cn|Dn] de modo a transformar Cn
numa matriz escalonada reduzida, isto e´, na matriz In. As operac¸o˜es que
simultaneamente se efectuam na matrizDn, transformam-na na matriz A
−1
n .
Ou seja, obtemos a matriz ampliada [In|A−1n ] e portanto a matriz An
admite inversa.
Esquematizando, se A e´ uma matriz invert´ıvel temos
[An|In] −→ . . . −→ [In|A−1n ]
(operac¸o˜es elementares de matrizes sobre linhas)
Tabela 1.2: Aplicac¸a˜o das operac¸o˜es elementares de matrizes sobre linhas no ca´lculo
da inversa.
Exemplo 1.2.22 Consideremos a matriz A =
 2 1 71 3 2
5 3 4
 . Determinemos, se exis-
tir, a matriz inversa A−1, aplicando operac¸o˜es elementares de matrizes sobre linhas.
[A|I] =
 2 1 71 3 2
5 3 4
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−−−−−→L1 ↔ L2
 1 3 22 1 7
5 3 4
∣∣∣∣∣∣
0 1 0
1 0 0
0 0 1

1.2. MATRIZES 31
−−−−−−−−−−−−−−→−2L1 + L2 −→ L2
−5L1 + L3 −→ L3
 1 3 20 −5 3
0 −12 −6
∣∣∣∣∣∣
0 1 0
1 −2 0
0 −5 1

−−−−−−−−−−−−−−→
−12
5
L2 + L2 −→ L3 1 3 20 −5 3
0 0 −66
5
∣∣∣∣∣∣
0 1 0
1 −2 0
−12
5
−1
5
1

−−−−−−−−−−→
− 5
66
L3 −→ L3
 1 3 20 −5 3
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
0 1 0
1 −2 0
2
11
1
66
− 5
66

−−−−−−−−−−−−−−→−3L3 + L2 −→ L3
−2L3 + L1 −→ L1
 1 3 00 −5 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
− 4
11
32
33
5
33
5
11
−45
22
15
66
2
11
1
66
− 5
66

−−−−−−−−−→
−1
5
L2 −→ L2
 1 3 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
− 4
11
32
33
5
33− 1
11
9
22
− 1
22
2
11
1
66
− 5
66

−−−−−−−−−−−−−→−3L2 + L1 −→ L1
 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
− 1
11
−17
66
19
66− 1
11
9
22
− 1
22
2
11
1
66
− 5
66
 .
Temos enta˜o que
A−1 =
 − 111 −1766 1966− 1
11
9
22
− 1
22
2
11
1
66
− 5
66
 .
Propriedades da inversa de matrizes:
Teorema 1.2.9 Seja MIn o conjunto de todas as matrizes reais invert´ıveis de ordem
n. Enta˜o
(i) (A−1)−1 = A, ∀A ∈MIn
(ii) (AB)−1 = B−1A−1, ∀A,B ∈MIn
(iii)
(
Ak
)−1
= (A−1)k , ∀A ∈MIn, ∀k ∈ N
(iv) (λA)−1 = 1
λ
A−1, ∀A ∈MIn, ∀λ ∈ R\ {0}
(v)
(
AT
)−1
= (A−1)T , ∀A ∈MIn
(vi) I−1 = I
No Teorema 1.2.9(ii) provamos que o produto de duas matrizes invert´ıveis ainda e´
uma matriz invert´ıvel, mas o mesmo na˜o se passa com a soma.
32 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Exemplo 1.2.23 Consideremos as matrizes I =
[
1 0
0 1
]
e A =
[ −1 0
0 −1
]
. Estas
duas matrizes sa˜o invert´ıveis. Mas
I + A =
[
1 0
0 1
]
+
[ −1 0
0 −1
]
=
[
0 0
0 0
]
na˜o e´ uma matriz invert´ıvel.
Aplicando o resultado que se segue, podemos saber a` priori se uma dada matriz
admite ou na˜o inversa.
Teorema 1.2.10 Uma matriz quadrada A de ordem n e´ invert´ıvel se e so´ se r(A) = n.
Definic¸a˜o 1.2.25 Seja A uma matriz quadrada invert´ıvel. A matriz A diz-se orto-
gonal se A−1 = AT .
Exemplo 1.2.24 Consideremos a matriz A =
[
1
2
√
3
2√
3
2
−1
2
]
.
Como A−1 =
[
1
2
√
3
2√
3
2
−1
2
]
= AT , a matriz A e´ uma matriz ortogonal.
1.2.8 Aplicac¸a˜o da inversa de matrizes na resoluc¸a˜o de sis-
temas de equac¸o˜es lineares
Vimos na subsecc¸a˜o 1.2.7 que um sistema pode ser representado matricialmente
pela equac¸a˜o AX = B. Caso A tenha inversa, a determinac¸a˜o do conjunto soluc¸a˜o
do sistema resume-se a` resoluc¸a˜o da referida equac¸a˜o matricial, ou seja, AX = B ⇔
A−1AX = A−1B ⇔ IX = A−1B ⇔ X = A−1B. Logo o conjunto soluc¸a˜o e´ {A−1B} .
Exemplo 1.2.25 Consideremos o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares:
2x + y + 7z = 1
x + 3y + 2z = 2
5x + 3y + 4z = 3
.
Na forma matricial este sistema toma a forma
AX = B ⇐⇒
 2 1 71 3 2
5 3 4
 xy
x
 =
 12
3
 .
1.2. MATRIZES 33
Do exemplo 1.2.22 sabemos que a matriz A e´ invert´ıvel e A−1 =
 − 111 −1766 1966− 1
11
9
22
− 1
22
2
11
1
66
− 5
66
 .
Logo
AX = B ⇐⇒
 2 1 71 3 2
5 3 4
 xy
x
 =
 12
3

⇐⇒
 − 111 −1766 1966− 1
11
9
22
− 1
22
2
11
1
66
− 5
66
 2 1 71 3 2
5 3 4
 xy
x
 =
 − 111 −1766 1966− 1
11
9
22
− 1
22
2
11
1
66
− 5
66
 12
3

⇐⇒
 1 0 00 1 0
0 0 1
 xy
x
 =
 176613
22− 1
66
⇐⇒
 xy
x
 =
 176613
22− 1
66
⇐⇒ X = A−1B.
Portanto
C.S. =
{
A−1B
}
=
{(
17
66
,
13
22
,− 1
66
)}
.
Observe-se que este processo de resoluc¸a˜o de sistemas exige que a matriz A, de ordem
n, admita inversa. De acordo com o teorema 1.2.10 isso so´ acontece se r(A) = n e
esta condic¸a˜o so´ se verifica nos sistemas poss´ıveis e determinados.
34 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
1.3 Exerc´ıcios
Matrizes. Resoluc¸a˜o de Sistemas.
Exerc´ıcio 1.3.1 Deˆ exemplo de uma matriz real:
(a) Quadrada de ordem 3;
(b) Rectangular do tipo 4× 2;
(c) Linha do tipo 1× 6;
(d) Coluna do tipo 4× 1;
(e) Triangular superior de ordem 5;
(f) Diagonal de ordem 4;
(g) Escalar de ordem 3.
Exerc´ıcio 1.3.2
(a) Escreva por extenso a matriz de ordem m× n definida por:
i. A = [aij] e aij = i+ j (m = 5, n = 4);
ii. B = [bij] e bij =

2 sei = j
−1 se |i− j| = 1
0 caso contra´rio
(m = 5, n = 4);
iii. D = [dij] e dij = (−1)i+j (m = n = 3) .
(b) Para cada uma das matrizes quadradas determinadas na al´ınea anterior, indique
os elementos que constituem a diagonal principal.
Exerc´ıcio 1.3.3 * Seja o sistema de equac¸o˜es lineares
2x + y = 5
3x + 6y + z = 1
5x + 7y + z = 8
.
(a) Verifique se x = 2, y = 1 e z = −11 e´ uma soluc¸a˜o do sistema.
(b) Sem passar o sistema a` forma matricial, resolva-o usando o me´todo de eliminac¸a˜o
de Gauss.
(c) Escreva relativamente ao sistema apresentado, a matriz dos coeficientes, a matriz
dos termos independentes e a matriz ampliada.
(d) Resolva matricialmente o sistema, usando o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss.
1.3. EXERCI´CIOS 35
Exerc´ıcio 1.3.4 * Sejam os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares:
A :

3x + 2y − 5z = 8
2x − 4y − 2z = −4
x − 2y − 3z = −4
, B :

2x + 4y + 6z = −6
3x − 2y − 4z = −38
x + 2y + 3z = −3
e
C :

x + 2y = 4
−3x + 4y = 3
2x − y = −6
.
(a) Resolva os sistemas atrave´s do me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss ou Gauss-Jordan.
Classifique os sistemas.
(b) Determine a caracter´ıstica da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada de
cada sistema.
(c) Compare os valores da caracter´ıstica que obteve na al´ınea anterior, com a classi-
ficac¸a˜o dos respectivos sistemas. Que pode concluir?
Exerc´ıcio 1.3.5 Calcule a caracter´ıstica de cada uma das matrizes:
(a) A =

1 0 −1 2
2 3 1 −1
0 2 2 1
−3 1 4 1

(b) B =

1 0 −1 2
1 1 1 −1
0 −1 −2 3
5 2 −1 4
−1 2 5 −8

Exerc´ıcio 1.3.6 * Sejam as seguintes matrizes:
A =
 0 β 01 0 0
0 0 1
 , X =
 xy
z
 e H =
 α1
γ
 .
Discuta o sistema AX = H, em func¸a˜o de α, β e γ.
Exerc´ıcio 1.3.7 * (Exame escrito - 2o momento / 17-Fev-2000)
Discuta a caracter´ıstica da matriz A =

0 0 a 1
2 2 0 a
0 0 a b
3 0 6 a
, em func¸a˜o dos valores dos
paraˆmetros a e b.
36 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Exerc´ıcio 1.3.8 * Resolva e classifique os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares:
(a)

x + z = 2
y − z = 2
3x + y + z = 4
;
(b)
{
x + 4y + 6z = 0
−3
2
x − 6y − 9z = 0 ;
(c)

x + 2y − z = 1
2x − 3y + 6z = 2
3x − y + 5z = 3
;
(d)

x + z + w = 2
y − z − w = 2
3x + y + z − 2w = 4
;
(e)

x + y + 2z = 1
−x + 3y + 5z = 2
2y + z = −1
6y + 8z = 2
;
(f)

x + 2y + z = 1
2x − 3y − z = 2
− y + 2z = −3
3x − 2y + 2z = 0
3x − 2z = 6
.
Exerc´ıcio 1.3.9 Suponhamos que A e´ uma matriz quadrada escalonada reduzida por
linhas. Mostre que se A 6= I, sendo I a matriz identidade, enta˜o A tem uma linha
nula.
Exerc´ıcio 1.3.10 Considere o sistema de equac¸o˜es lineares nas inco´gnitas x1, x2, x3
e x4 cuja matriz ampliada e´
[A|b] =
 0 1 1 1−2 2 0 2
−2 3 1 3
∣∣∣∣∣∣
0
−1
−1

(a) Resolva o sistema homoge´neo associado.
(b) Verifique que
(
3
2
, 0,−1, 1) e´ soluc¸a˜o do sistema dado.
Exerc´ıcio 1.3.11 Considere o sistema cuja matriz ampliada tem a forma
[A|B] =
 1 2 12 5 3
−1 1 β
∣∣∣∣∣∣
0
0
0

1.3. EXERCI´CIOS 37
(a) Diga, justificando, se o sistema pode ser imposs´ıvel.
(b) Indique os valores de β para os quais o sistema tem uma infinidade de soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio 1.3.12 * Seja o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares:
αx + βy = γ
βy − 1z = 1
x + γz = 2
.
Que relac¸a˜o devem verificar α, β e γ para o sistema so´ admitir uma varia´vel livre?
Exerc´ıcio 1.3.13 * Seja o sistema de equac¸o˜es lineares representado pela matriz
ampliada quese segue: 
a 1 0
0 −2 1
−4 0 b
0 −1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
0
−1
−7
c
 .
(a) Para que valores de a, b e c, o vector (1, 2, 3) e´ soluc¸a˜o do sistema?
(b) Para que valores dos paraˆmetros a e b, o respectivo sistema homoge´neo associado
e´ indeterminado?
(c) Qual e´ a soluc¸a˜o do sistema homoge´neo que a` partida conhece, sem ter de resolver
o sistema? Este sistema homoge´neo tem mais soluc¸o˜es?
Operac¸o˜es com Matrizes.
Exerc´ıcio 1.3.14 * Calcule os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam
iguais.
(a) A =
[
8 15n
12 +m 3
]
e B =
[
8 75
6 3
]
;
(b) A =
[
m2 − 40 n2 + 4
6 3
]
e B =
[
41 13
6 3
]
.
Exerc´ıcio 1.3.15 * Calcule, se poss´ıvel:
(a)
[
1 2 −3 4
0 −5 1 −1
]
+
[
3 −5 6 −1
2 0 −2 −3
]
;
(b)
[
1 2 −3
0 −4 1
]
+
[
3 5
1 −2
]
;
38 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
(c) −3
[
1 2 −3
4 −5 5
]
.
Exerc´ıcio 1.3.16 * Dadas as matrizes:
A =
[
0 1
2 3
]
e B =
[
1 1
0 0
]
.
(a) Calcule A+B e B + A.
(b) Olhando para os resultados que obteve, que pode concluir?
Exerc´ıcio 1.3.17 * Dadas as matrizes:
A =
[ −1 2 3
4 0 1
]
, B =
[
2 3 −1
−2 0 −1
]
e C =
[
1 1 0
0 0 1
]
.
(a) Indique o tipo da matriz A e os elementos a11 e a23.
(b) Determine A+B, A−B e λA+ µ (B + C) .
(c) Verifique que (A+B) + C = A+ (B + C) e (λ+ µ)A = λA+ µA.
Exerc´ıcio 1.3.18 Prove que:
(a) A+B = B + A; ∀A,B ∈Mm×n
(b) A+O = O + A = A; ∀A ∈Mm×n
(c) (λ+ µ)A = λA+ µA; ∀A ∈Mm×n ∀λ, µ ∈ R
(d) (λµ)A = λ (µA) ; ∀A ∈Mm×n ∀λ, µ ∈ R
(e) 0A = O; ∀A ∈Mm×n
Exerc´ıcio 1.3.19 * Considerem-se as matrizes:
A =
[
1 0 −1
1 2 1
]
e B =
[
0 −1 1
1 2 1
]
.
Determine:
(a) A+ 1
2
B − 2 (A+B) ;
(b) A+B − 1
2
(A−B) .
Exerc´ıcio 1.3.20 * (Exame escrito - 2o momento / 17-Fev-2000) Verifique se exis-
tem escalares α, β e θ tais que:[
3 3
0 −2
]
= α
[
1 1
0 −1
]
+ β
[
0 1
1 1
]
+ θ
[ −1 0
1 1
]
.
1.3. EXERCI´CIOS 39
Exerc´ıcio 1.3.21 * Encontre x, y, z e w tais que:
3
[
x y
z w
]
=
[
x 6
−1 2w
]
+
[
4 x+ y
z + w 3
]
.
Exerc´ıcio 1.3.22 * Sejam as seguintes matrizes:
A =
[
1 1 1
2 1 3
]
, B =
[
5 1 0
0 2 4
]
e C =
[
0 0 0
1 3 4
]
.
(a) Determine a matriz X tal que: 1
2
(X + A) = 3 [X + (A−X)] + C.
(b) Determine as matrizes X e Y tais que:{
2X − Y = A − B
X + Y = B − A .
Exerc´ıcio 1.3.23 * Sejam as matrizes:
A =
 1 23 4
5 6
 e B =
 −3 −21 −5
4 3
 .
Determine a matriz D de modo a que se verifique A+B −D = O.
Exerc´ıcio 1.3.24 Considere as matrizes A, B, C e D do tipo 4 × 3, 4 × 3, 3 × 4, e
4 × 2, respectivamente. Diga quais das seguintes expresso˜es identificam matrizes, e
nesses casos indique o tipo da matriz resultado.
(a) AB;
(b) (A+B)C;
(c) ACD;
(d) 2ACA+B.
Exerc´ıcio 1.3.25 * Denote por (m× n) uma matriz com forma m × n. Encontre a
forma dos seguintes produtos, se o produto e´ definido:
(a) (4× 1) (1× 2) ;
(b) (1× 2) (3× 1) ;
(c) (3× 4) (3× 4) ;
(d) (2× 2) (2× 4) .
40 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Exerc´ıcio 1.3.26 Considere a matriz
A =
 3 −1 −11 1 −1
1 −1 1

Verifique que:
(a) A2 − 3A+ 2I3 = O3
(b) AI3 = A = I3A
(c) AO3 = O3
(d) 2A− 3A = −A
Exerc´ıcio 1.3.27 * Sejam A =
[
2 −1 0
1 0 −3
]
e B =
 1 −4 0 12 −1 3 −1
4 0 −2 0
 .
(a) Determine a forma de AB.
(b) Seja cij o elemento da i-e´sima linha e j-e´sima coluna do produto matricial AB,
isto e´, AB = [cij] . Determine c23, c14 e c21, sem calcular a matriz produto AB.
Exerc´ıcio 1.3.28 * Seja A =
[
1 3
4 −3
]
. Encontre U =
[
x
y
]
, na˜o nulo, tal que
AU = 3U.
Exerc´ıcio 1.3.29 * Dadas as matrizes:
A =

1 −2
3 1
7 −4
5 9
 , B = [ 1 3 −5 −76 2 −8 3
]
, C =
[
2 4
−3 5
]
e D =

2 1
−3 4
1 2
0 1
 .
Determine:
(a) AB;
(b) (BA)C;
(c) (A+D)B;
(d) BA;
(e) (λA)B;
(f) A (λB) ;
1.3. EXERCI´CIOS 41
(g) AB +DB;
(h) B (AC) ;
(i) λ (AB) .
Exerc´ıcio 1.3.30 Demonstre, sempre que fac¸am sentido as operac¸o˜es indicadas:
(a) A (B + C) = AB + AC; ∀A,B,C ∈M
(b) (B + C)A = BA+ CA; ∀A,B,C ∈M
(c) k (AB) = (kA)B = A (kB) ; ∀A,B ∈M, ∀k ∈ R
(d) OA = O ∧BO = O; ∀A,B ∈M
(e) IA = A = AI; ∀A ∈M
Exerc´ıcio 1.3.31 Simplifique a expressa˜o seguinte onde A, B e C representam ma-
trizes quadradas com a mesma ordem,
A (B + C) +B (C − A)− (A+B)C
Exerc´ıcio 1.3.32 * Diz-se que as matrizes A e B comutam se AB = BA. Encontre
as matrizes
[
x y
z w
]
que comutam com
[
1 1
0 1
]
.
Exerc´ıcio 1.3.33 Considere um sistema AX = B, com duas soluc¸o˜es distintas, x1
e x2. Prove que, sendo α1 e α2 dois nu´meros reais, tais que α1 + α2 = α, enta˜o
α1x1 + α2x2 e´ soluc¸a˜o do sistema AX = αB.
Exerc´ıcio 1.3.34 Se o sistema de equac¸o˜es AX = B possui duas soluc¸o˜es distintas
x1 e x2, prove que αx1 + (1− α)x2 tambe´m e´ soluc¸a˜o, qualquer que seja o nu´mero α.
Aproveite este resultado para mostrar que, se o sistema AX = B admite duas soluc¸o˜es
distintas, enta˜o existe uma infinidade de soluc¸o˜es.
Exerc´ıcio 1.3.35 Considere o sistema AX = B, onde A e´ uma matriz tal que
A2 = A. Sendo x1 e x2 duas soluc¸o˜es deste sistema, prove que x3 = Ax1 − x2 e´
uma soluc¸a˜o do sistema homoge´neo associado.
Exerc´ıcio 1.3.36 * Em cada uma das al´ıneas, deˆ exemplos de matrizes 2 × 2, com
componentes reais e com a propriedade indicada:
(a) A2 = −I;
(b) B2 = O, com B 6= O;
(c) CD = −DC, com CD 6= O;
42 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
(d) EF = O, sendo as componentes de E e de F todas diferentes de zero.
Exerc´ıcio 1.3.37 Desenvolva a expressa˜o (A+B)3 no caso de:
(a) A e B serem matrizes de ordem n quaisquer.
(b) A e B serem permuta´veis.
Exerc´ıcio 1.3.38 *
(a) Verifique que as igualdades indicadas na˜o sa˜o va´lidas para todas as matrizes 2×2 :
(A+B)2 = A2 + 2AB +B2 e (A+B) (A−B) = A2 −B2.
(b) Corrija os lados direitos destas igualdades de forma a obter fo´rmulas correctas
para todas as matrizes.
(c) Para que matrizes A, B sa˜o va´lidas as formulas indicadas na al´ınea (a)?
Exerc´ıcio 1.3.39 Dada a matriz
A =
[
2 −1
2 −1
]
(a) Determine uma matriz B quadrada de ordem 2, na˜o nula, tal que AB = O2.
(b) Deˆ exemplo de matrizes na˜o nulas X e Y tais que
AX = AY mas X 6= Y
Exerc´ıcio 1.3.40 Dadas as matrizes:
I =
[
1 0
0 1
]
e Y =
[
0 1
−1 0
]
,
mostre que:
(a) Y 2 = −I;
(b) Y 4 = I;
(c) (aI + bY ) (aI − bY ) = (a2 + b2) I, a, b ∈ R.
Exerc´ıcio 1.3.41 Determine a matriz X tal que
A+ 3X = B
onde A = [2i− 3j] e B = [i+ j] , com i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2.
1.3. EXERCI´CIOS 43
Exerc´ıcio 1.3.42 * Determine todas as matrizes A quadradas de ordem 2, tais que
A2 = O.
Exerc´ıcio 1.3.43 * Considere a matriz:
A =
 0 0 12 1 0
1 0 0
 .
(a) Calcule as matrizes A2 e A3;
(b) Determine a matriz A2 + A− I (sendo I a matriz identidade de ordem 3);
(c) Deduza A4, A5 e A6 em func¸a˜o de A2, A e I.
Exerc´ıcio 1.3.44 Mostre que a matriz
B =
 0 1 −14 −3 4
3 −3 4

e´ perio´dica de per´ıodo 3.
Exerc´ıcio 1.3.45 Sendo A, B matrizes quaisquer, demonstre:
(a) Se A tem uma linha nula, enta˜o AB tem uma linha nula;
(b) Se B tem uma coluna nula, enta˜o AB tem uma coluna nula.
Exerc´ıcio 1.3.46 * Determine a matriz transposta, AT , da matriz
A =
[
2 3 −5 8
3 −7 1 9
]
.
Exerc´ıcio 1.3.47 * Seja A uma matriz arbitra´ria. Sob que condic¸o˜es o produto AAT
e´ definido?
Exerc´ıcio 1.3.48 * Sejam
A =
[
1 −1 2
0 3 4
]
, B =
[
4 0 −3
−1 −2 3
]
, C =
 2 −3 0 15 −1 −4 2
−1 0 0 3
 e D =
 2−1
3
 .
Determine, se poss´ıvel:
(a) (A+B)T ;
(b) (AC)T ;
44CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
(c) (λD)T ;
(d)
(
BT
)T
;
(e) ATCT ;
(f) AT +BT ;
(g) λDT ;
(h) CTAT .
Exerc´ıcio 1.3.49 Considere a matriz A =
 1 0 1 2−1 2 −2 3
2 −2 3 1

(a) Determine a caracter´ıstica de A.
(b) Qual a caracter´ıstica de AT?
(c) Qual a caracter´ıstica de P = 2A?
Exerc´ıcio 1.3.50 Prove que:
(a) (A+B)T = AT +BT ; ∀A,B ∈Mm×n
(b) (kA)T = kAT ;∀A ∈Mm×n, ∀k ∈ R
Exerc´ıcio 1.3.51 * (1a frequeˆncia / 11-Dez-99)
Dadas as matrizes reais A =
 2 13 1
0 1
 e B = [ 1 −2 1
0 1 1
]
, determine a matriz X
tal que
(
ATBTX
)T
=
[
2 0
−1 2
3
]
.
Exerc´ıcio 1.3.52 (Exame escrito - 2o momento / 17-Fev-2000) Considere a seguinte
matriz:
A = I − 1
3
MTM, com M =
[
1 1 1
]
.
Mostre que A2 = A.
Exerc´ıcio 1.3.53 * Sejam as matrizes:
[
0 −9 3
4 8 1
]
,
 4 3−1 2
8 1
 e
 2 −7 13 4 2
5 −9 6
 .
1.3. EXERCI´CIOS 45
(a) Determine S = A+ AT , tomando para matriz A uma das matrizes anteriores de
modo que S esteja definida;
(b) Determine ST . Compare o resultado obtido com o da al´ınea anterior. O que pode
concluir sobre a matriz S?
Exerc´ıcio 1.3.54 Sejam A e B duas matrizes quadradas, de ordem 3, sime´tricas.
Prove que AB e´ sime´trica se e so´ se A e B sa˜o permuta´veis. (Observac¸a˜o: O resultado
e´ va´lido para matrizes de ordem n).
Exerc´ıcio 1.3.55 * Sendo:
A =
[
1 0
1 1
]
, B =
[
1 0
0 −1
]
e C =
[
0 0
β −1
]
e supondo que X e´ uma matriz sime´trica, estude em que condic¸o˜es a equac¸a˜o:
XAB +
(
BTCX
)T
= I
tem apenas uma soluc¸a˜o. Resolva a equac¸a˜o.
Exerc´ıcio 1.3.56 * Sejam as matrizes quadradas
A =
 2 1 10 1 3
1 −1 4
 e B =
 1 1 1−1 0 −1
5 4 −3
 .
Determine:
(a) tr(A) ;
(b) tr(A+B) ;
(c) tr(AB) ;
(d) tr(A) + tr (B) ;
(e) tr
(
AT
)
;
(f) tr(BA) .
Exerc´ıcio 1.3.57 Sendo A e B matrizes tais que AB e BA existem, prove que
tr(AB) =tr(BA) .
Exerc´ıcio 1.3.58 Sendo
A =
[
1 0
0 0
]
e B =
[ −1 1
0 −1
]
verifique que tr (A) tr (B) 6= tr (AB) .
46 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Exerc´ıcio 1.3.59 * Determine, caso exista, a inversa das matrizes:
(a) A =
 1 1 10 1 1
0 1 1
 ;
(b) B =
 1 2 22 −1 1
1 3 2
 ;
(c) C =
 1 0 21 2 3
1 3 7
3
 ;
(d) D =
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
]
.
Exerc´ıcio 1.3.60 Determine a inversa da matriz sime´trica
1 0 1 1
0 0 1 0
1 1 1 0
1 0 0 2

Exerc´ıcio 1.3.61 * Sejam
A =
 −2 3 −11 −3 1
−1 2 −1
 e B =
 1 0 00 1 0
0 0 1

Determine as seguintes matrizes:
(a) (A−1)−1 ;
(b) B−1;
(c)
(
AT
)−1
;
(d) (A−1)T ;
(e) (AB)−1 ;
(f) B−1A−1.
Exerc´ıcio 1.3.62 Considere a seguinte matriz:
H =
[
1
5
−2√6
5
2
√
6
5
1
5
]
Mostre que H e´ uma matriz ortogonal.
1.3. EXERCI´CIOS 47
Exerc´ıcio 1.3.63 Prove que:
(a) O produto de duas matrizes ortogonais e´ ainda uma matriz ortogonal.
(b) A transposta de uma matriz ortogonal e´ ainda uma matriz ortogonal.
Exerc´ıcio 1.3.64 * Sendo A uma matriz quadrada invert´ıvel que verifica a relac¸a˜o:
A2 + A+ I = O,
determine a sua inversa, A−1.
Exerc´ıcio 1.3.65 * Considere a matriz A =

2 0 1 k
0 k + 2 0 k + 1
1 0 2 k
0 1 0 2
 .
(a) Determine k de modo a que A seja invert´ıvel.
(b) Para k = 0 resolva a equac¸a˜o matricial AXA − B = AX, sendo B a matriz tal
que bij = 1 se i+ j e´ par e bij = 0 se i+ j e´ ı´mpar.
Exerc´ıcio 1.3.66 Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n, permuta´veis, e C
uma matriz tal que CT = C−1, prove que CTAC permuta com CTBC.
Exerc´ıcio 1.3.67 Mostre que se A e´ sime´trica e invert´ıvel, enta˜o A−1 e´ sime´trica.
Exerc´ıcio 1.3.68 Sendo A e B duas matrizes invert´ıveis e C = AB, prove que
A−1CB−1 = I.
Exerc´ıcio 1.3.69 * Sejam A, B e C matrizes reais sime´tricas de ordem n. As ma-
trizes A e B sa˜o tais que:
aij − bij =
{
1, i = j
0, i 6= j .
Sabendo que a matriz A e´ invert´ıvel, determine a matriz X que verifica a seguinte
equac¸a˜o matricial:
A
(
C−1XTC +B
)T
= A2.
48 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Aplicac¸a˜o da Inversa de uma Matriz na Resoluc¸a˜o de Sistemas.
Exerc´ıcio 1.3.70 * Utilizando a inversa da matriz dos coeficientes, resolva o seguinte
sistema de equac¸o˜es lineares:
x + 2y + z = 0
x + y + z = 0
3x − y + z = 6
.
Exerc´ıcio 1.3.71 * Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares:
2x + y − z = 4
−x + y + z = 2
y + 2z = 3
.
Resolva-o, invertendo a matriz dos coeficientes.
Exerc´ıcios de Exame - 2003/2004.
Exerc´ıcio 1.3.72 * (Frequeˆncia - Gesta˜o / 13-Jan-2004) Considere o seguinte sis-
tema:
S1 :

x + 2y = 1
−x + αy + z = 2
x + y + z = β
Classifique o sistema S1 em func¸a˜o dos paraˆmetros reais α e β.
Exerc´ıcio 1.3.73 * (Frequeˆncia - Gesta˜o / 13-Jan-2004) Considere as matrizes:
A =
[ −1 1
−2 1
]
, B =
[
1 −1
0 1
]
e C =
 1 −11 2
0 1

(a) Resolva a equac¸a˜o matricial XA+ 2B = (DC)T , em ordem a X;
(b) Determine a matriz X, sendo D a matriz tal que:
di1 = 2, di3 = 0 e di2 =
{
1 se i e´ par
−1 se i e´ impar .
Exerc´ıcio 1.3.74 * (Frequeˆncia - Gesta˜o / 13-Jan-2004) Seja AX = B um sistema
de n equac¸o˜es em n inco´gnitas. Indique o valor lo´gico das seguintes afirmac¸o˜es:
(a) Se AX = B e´ um sistema poss´ıvel e determinado, enta˜o a u´nica soluc¸a˜o do
sistema homoge´neo associado e´ a soluc¸a˜o nula.
(b) Se A admite inversa, a soluc¸a˜o do sistema AX = B e´ X = BA−1.
1.3. EXERCI´CIOS 49
Exerc´ıcio 1.3.75 * (Frequeˆncia - Gesta˜o / 13-Jan-2004) Sejam A =
 −1 0 01 2 0
1 1 1

e H =
[
2a 2b
6a 6b
]
. Indique o valor lo´gico das seguintes afirmac¸o˜es:
(a) A matriz AAT e´ sime´trica e tr(AAT ) = 15.
(b) A matriz H e´ invert´ıvel.
Exerc´ıcio 1.3.76 (Exame Normal / 03-Fev-2004) Sejam A = (aij), B = (bij) ma-
trizes regulares e C = (cij) tal que:{
cij = 1 − bij se i = j
cij = − bji se i 6= j
Supondo que X e´ uma matriz sime´trica de ordem n e B = A−1, resolva a equac¸a˜o
X(AB−1)−1 + (BTCX)T = I, onde I e´ a matriz identidade de ordem n.
Exerc´ıcio 1.3.77 * (Exame Recurso - Gesta˜o / 17-Fev-2004) Sejam A, B e C ma-
trizes quadradas invert´ıveis, de ordem n tais que A2 = A, B e´ uma matriz sime´trica
e C uma matriz ortogonal. Considere-se ainda que A+ B = I. Resolva, em ordem a
X, a equac¸a˜o matricial A(C−1XTC +B)T = A2.
Exerc´ıcio 1.3.78 * (Exame Trabalhador-Estudante - Gesta˜o / 06-Mar-2004) Con-
sidere o sistema em func¸a˜o dos paraˆmetros reais a e b:
x + y + w = 0
x + 2y + z = 2
az + w = b
4z + aw = 1
(a) Determine os valores dos paraˆmetros a e b para os quais o sistema e´ imposs´ıvel.
(b) Tomando a = 1, b = −1 e considerando A a matriz dos coeficientes do sistema
dado:
i. Determine a inversa da matriz A.
ii. Calcule a soluc¸a˜o do sistema, usando a matriz calculada em i.
iii. Verifique se a matriz A e´ ortogonal.
Exerc´ıcio 1.3.79 * (Exame Especial - Gesta˜o / 06-Set-2004) Considere o sistema
em func¸a˜o dos paraˆmetros reais a e b:
x+ y + z = 1
x+ ay + z = 2
3x− 3y + az = b
Discuta o sistema em func¸a˜o dos paraˆmetros reais a e b.
50 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
Exerc´ıcio 1.3.80 * (Exame Especial - Gesta˜o / 06-Set-2004) Supondo que A e B
sa˜o matrizes invert´ıveis, resolva em ordem a X a seguinte equac¸a˜o matricial.
[(AT )−1X]T + 6(AB)−1 = A
Exerc´ıcios Aplicados
1. Um grande edif´ıcio de apartamentos devera´ ser constru´ıdo usando te´cnicas
modulares de construc¸a˜o. A distribuic¸a˜o de apartamentos por andar deve ser
feita segundo treˆs plantas ba´sicos. A planta A tem dois apartamentos T3, dois
apartamentos T2 e um apartamento T1. A planta B tem dois apartamentosT3, um apartamento T2 e nenhum apartamento T1. A planta C tem dois
apartamentos T3, treˆs apartamentos T2 e quatro apartamentos T1.
a. E´ poss´ıvel planear um edif´ıcio com exactamente 60 apartamentos T3, 44
apartamentos T2 e 22 apartamentos T1? Se for poss´ıvel, quantos andares
seguem cada uma das plantas?
Foram alteradas as dimenso˜es dos apartamentos T1 no plano C, sendo
apenas via´vel construir dois apartamentos T1 no plano C.
b. E´ poss´ıvel planear um edif´ıcio com o nu´mero de apartamentos T1, T2,
e T3, exigido na al´ınea a) ?
c. Se forem constru´ıdos apenas 14 apartamentos T1, e´ poss´ıvel planear um
edif´ıcio nas condic¸o˜es exigidas? Se for poss´ıvel, existe mais do que uma
forma de o fazer?
1.3. EXERCI´CIOS 51
2. Na caixa de um cereal para o pequeno almoc¸o esta´ indicado o nu´mero de
calorias e as quantidades de prote´ınas, carboidratos e gordura contidos numa
porc¸a˜o (100g) de cereal. As quantidades para dois cereais sa˜o dadas na tabela.
Suponha que queremos preparar uma mistura dos dois cereais que contenha
exactamente 295 calorias, 9g de prote´ınas, 48g de carboidratos e 8g de gordura.
a. Quantas varia´veis tem o problema? Indique o que elas representam.
b. Determine se a mistura desejada dos dois cereais pode ser preparada.
3. Uma considerac¸a˜o importante no estudo da transfereˆncia de calor e´ a de
se determinar a distribuic¸a˜o de temperatura assimpto´tica de uma placa fina
quando a temperatura no seu bordo e´ conhecida. Suponha que a placa da
figura representa uma secc¸a˜o transversal de uma barra de metal, com fluxo de
calor despres´ıvel na direcc¸a˜o perpendicular a` placa. Sejam T1, T2, T3, T4, T5, T6
as temperaturas em seis ve´rtices interiores.
A temperatura num ve´rtice e´ aproximadamente igual a` me´dia dos quatro ve´rtices
vizinhos mais pro´ximos (a` esquerda, acima, a` direita e abaixo). Por exemplo,
T1 =
1
4
(10 + 20 + T2 + T4) ou 4T1 − T2 − T4 = 30.
a. Escreva um sistema de seis equac¸o˜es cuja soluc¸a˜o fornece a estimativa
para as temperaturas T1, T2, T3, T4, T5, T6.
b. Determine as temperaturas nos seis ve´rtices interiores da placa.
52 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
4. No centro de uma cidade, dois conjuntos de ruas, com apenas um sentido
cruzam-se, como ilustra a figura:
A me´dia do nu´mero de ve´ıculos que por hora entram e saem do centro da cidade,
em hora de ponta, e´ dada no diagrama. Determine, se poss´ıvel, a quantidade de
ve´ıculos entre cada um dos quatro cruzamentos.
5. Uma empresa fabrica treˆs produtos. As suas despesas de produc¸a˜o sa˜o divi-
didas em treˆs categorias. Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa
do custo de produc¸a˜o de um u´nico exemplar de cada produto. Faz-se tambe´m
uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por trimestre,
em cada ano. Essas estimativas sa˜o dadas nas tabelas seguintes.
Gastos A B C
Mate´ria-prima 0,10 0,30 0,15
Pessoal 0,30 0,40 0,25
Despesas gerais 0,10 0,20 0,15
Tabela 1.3: Custo de produc¸a˜o
Produto Vera˜o Outono Inverno Primavera
A 4000 4500 4500 4000
B 2000 2600 2400 2200
C 5800 6200 6000 6000
Tabela 1.4: Quantidade produzida por trimestre em 2004
a. Represente em matrizes as quantidades produzidas trimestralmente pela
empresa, em cada ano.
1.3. EXERCI´CIOS 53
Produto Vera˜o Outono Inverno Primavera
A 3000 4000 3500 5000
B 2500 2400 2400 2000
C 6000 5000 5500 6800
Tabela 1.5: Quantidade produzida por trimestre em 2005
b. Escreva a matriz que nos indique as quantidades totais de cada produto
produzidas nos dois anos, em cada trimestre.
c. Escreva a matriz que nos permita analisar as variac¸o˜es (trimestrais) da
produc¸a˜o em 2005, relativamente a 2004.
d. Escreva a matriz que permita a` empresa mostrar aos seus accionistas, o
custo total por trimestre de cada uma das treˆs categorias: mate´ria-prima,
pessoal e despesas gerais, em 2004.
6. O Joa˜o pesa 81 Kg. Ele quer perder peso atrave´s de um programa de dieta
e exerc´ıcios. Apo´s consultar a tabela 4, ele cria o seu programa de exerc´ıcios na
tabela 5. Quantas calorias vai queimar por dia, se seguir esse programa?
Peso Andar (3 Km/h) Correr (9 Km/h) Andar bicicleta (9 Km/h) Jogar te´nis
69 213 651 304 420
73 225 688 321 441
77 237 726 338 468
81 249 764 356 492
Tabela 1.6: Calorias queimadas por hora
Andar Correr Andar bicicleta Jogar te´nis
Segunda-feira 1 0 1 0
Terc¸a-feira 0 0 0 2
Quarta-feira 0,4 0,5 0 0
Quinta-feira 0 0 0,5 2
Sexta-feira 0,4 0,5 0 0
Tabela 1.7: Horas por dia para cada actividade
7. Numa determinada cidade, por ano, 30ℵ das mulheres casadas divorciam-
-se e 20ℵ das mulheres solteiras casam-se. Existem 8000 mulheres casadas e
2000 mulheres solteiras. Supondo que a populac¸a˜o total de mulheres permanece
constante, quantas mulheres estara˜o casadas e e quantas estara˜o solteiras ao fim
de um ano? E de dois? E de treˆs?
54 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
1.4 Soluc¸o˜es.
So´ os exerc´ıcios com * teˆm soluc¸a˜o.
Matrizes. Resoluc¸a˜o de Sistemas.
1.3.3
(a) (x, y, z) = (2, 1,−11) na˜o e´ soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es lineares.
(c) A =
 2 1 03 6 1
5 7 1
 ; b =
 51
8
 ; Matriz ampliada (completa):
 2 1 03 6 1
5 7 1
∣∣∣∣∣∣
5
1
8
 .
1.3.4
(a) SA = {(3, 2, 1)} - sistema poss´ıvel e determinado;
SB =
{
(x, y, z) : x = −41+z
4
, y = 29−13z
8
e z ∈ R} - sistema poss´ıvel e indeter-
minado; (Nota: Este sistema de equac¸o˜es lineares tem uma varia´vel livre: z)
SC = Ø - sistema imposs´ıvel.
(b) r(A) =r[A|B] = 3; r(A) =r[A|B] = 2; r(A) = 2 e r[A|B] = 3.
(c) Quando o sistema e´ poss´ıvel e determinado, r(A) =r[A|B] = n, sendo n o nu´mero
de inco´gnitas;
Quando o sistema e´ poss´ıvel e indeterminado, r(A) =r[A|B] < n;
Quando o sistema e´ poss´ıvel e indeterminado, r(A) <r[A|B] .
1.3.6 O sistema e´:
• poss´ıvel e determinado se β 6= 0, ∀α, γ ∈ R;
• poss´ıvel e indeterminado com grau de indeterminac¸a˜o d = 1, para α = 0, β = 0,
∀γ ∈ R;
• imposs´ıvel se β = 0 e α 6= 0, ∀γ ∈ R.
1.3.7 r(A) = 4, se b 6= 1, a 6= 0; r(A) = 3, se b = 1, a ∈ R\ {0} ou se b ∈ R e a = 0.
1.3.8
(a) Sistema poss´ıvel e determinado,S = {(−2, 6, 4)} ;
1.4. SOLUC¸O˜ES. 55
(b) Sistema poss´ıvel e indeterminado com grau de indeterminac¸a˜o 2,
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x = −4y − 6z} ;
(c) Sistema poss´ıvel e indeterminado com grau de indeterminac¸a˜o 1;
S =
{(
1− 9
7
z, 8
7
z, z
)
: z ∈ R} ;
(d) Sistema poss´ıvel e indeterminado com grau de indeterminac¸a˜o 1,
S = {(−2 + 3w, 6− 3w, 4− 4w,w) : w ∈ R} ;
(e) Sistema poss´ıvel e determinado; S = {(0,−1, 1)} ;
(f) Sistema poss´ıvel e determinado, S =
{(
20
17
, 9
17
,−21
17
)}
.
1.3.12 A relac¸a˜o que α, β e γ devem verificar para o sistema so´ admitir uma varia´vel
livre e´: α = −1, γ = −1, ∀β ∈ R\ {0} ou α = 1
2
, γ = 2, ∀β ∈ R\ {0} ou β = 0,
α = γ
2+γ
, γ 6= −2.
1.3.13
(a) O vector e´ soluc¸a˜o do sistema para: a = −2, b = −1 e c = 4.
(b) O respectivo sistema homoge´neo associado na˜o e´ indeterminado para nenhum
valor dos paraˆmetros a e b.
(c) A soluc¸a˜o que a` partida se conhece e´ a soluc¸a˜o nula. Na˜o ha´ mais nenhuma
soluc¸a˜o, uma vez que o sistema e´ poss´ıvel e determinado.
Operac¸o˜es com Matrizes.
1.3.14
(a) (m,n) = (−6, 5) ;
(b) (m,n) = (−9,−3) ∨ (m,n) = (−9, 3) ∨ (m,n) = (9, 3) ∨ (m,n) = (9,−3) .
56 CAPI´TULO 1. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES. MATRIZES
1.3.15
(a)
[
4 −3 3 3
2 −5 −1 −4
]
;
(b) Na˜o e´ poss´ıvel efectuar a adic¸a˜o entre as duas matrizes, porque elas teˆm tipos
diferentes. Os seus tipos sa˜o 2× 3 e 2× 2, respectivamente.
(c)
[ −3 −6 9
−12 15 −15
]
.
1.3.16
(a) A+B =
[
1 2
2 3
]
; B + A =
[
1 2
2 3
]
;
(b) Estas matrizes verificam a propriedade comutativa da adic¸a˜o.(Obs: Caso geral -
A propriedade