ALGAIM143 en compl

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2013/14
Exame época normal - prova complementar – 28-1-2014
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• Todas as respostas devem ser cuidadosamente justificadas.
• Em qualquer das questões podem ser usados os resultados das questões anteriores, mesmo que essas
questões não tenham sido resolvidas.
• No caso de não conseguir resolver as questões 3. e 4. no caso geral, tente resolver no caso n = 3.
Sejam E um espaço vectorial (real ou complexo) de dimensão n ≥ 3 e f : E −→ E uma aplicação
linear.
Para k ∈ N, designa-se f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸ ︷︷ ︸
k vezes
por fk.
1. Sejam i, j ∈ N e seja g: ker(f i+j) −→ E
u 7→ f j(u)
; mostre que Im(g) ⊂ ker(f i).
2. Mostre que, para i, j ∈ N, se tem dim(ker(f i+j)) ≤ dim(ker(f i)) + dim(ker(f j)).
Suponha a partir de agora que fn é a aplicação nula e que dim(Im f) = n− 1.
3. Mostre que, para m ∈ {1, . . . , n}, se tem dim(ker(fm)) = m.
4. Mostre que existe u ∈ E tal que fn−1(u) 6= 0E, e que, para qualquer u nessas condições,
(fn−1(u), fn−2(u), . . . , f(u), u)) é uma base de E.
5. Determine Mb,b(f), onde b é qualquer base da forma indicada na alínea anterior.