Resolução teste 1

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2012/13
Teste 1 – 24-10-2012 – Resolução
1. (0, 5 val.) Qual das matrizes abaixo está na forma de Gauss? 1 i 0 0 2i0 1 0 −3i 0
0 0 1 0 −2i
  1 i 0 0 2i2 1 i −3i 0
3 0 1 i −2i

�
 1 0 0 0 2i0 1 0 0 −3i
0 0 0 1 −2i
  i 0 0 0 2i0 i 0 −3i 0
0 0 i 0 −2i

2. (0, 5 val.) Qual das matrizes abaixo representa um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas que é impossível?
�
 1 0 0 20 1 1 0
0 0 0 3
  1 0 0 0 10 1 0 0 2
0 0 1 0 3
  1 1 0 90 0 1 8
0 0 0 0
  1 0 0 50 1 0 8
0 0 1 3

3. (0, 5 val.) Se soubermos que um sistema de 5 equações lineares com 5 incógnitas é impossível e que a característica
da matriz do sistema é igual a 4, então podemos afirmar com certeza que:
a característica da matriz dos coeficientes é igual a 4;
a característica da matriz dos coeficientes é maior que 4;
� a característica da matriz dos coeficientes é menor que 4;
nenhuma das alternativas acima está correta.
4. (0, 8 val.) (Resolução no espaço abaixo)
Sejam A =
(
2 −1
3 1
)
e B =
 1 0−2 1
3 −1
; diga se estão definidos os produtos AB e BA e calcule cada um no caso
de estar definido.
O produto AB não está definido porque o número de colunas de A não é igual ao número de linhas de B.
O produto BA está definido porque o número de colunas de B é igual ao número de linhas de A.
BA =
 1 0−2 1
3 −1
( 2 −1
3 1
)
=
 2 −1−1 3
3 −4

5. Para cada a ∈ R, considere o sistema
 x+ ay + z = 2x+ 2ay + z = 2
x+ ay + a2z = a+ 1
, nas incógnitas x, y, z, e seja A a matriz dos coeficientes
do sistema.
a) (0, 9 val.) Calcule o determinante de A e diga para que valores de a é que é 0.
b) (0, 7 val.) Sem resolver o sistema, diga, justificando, para que valores de a é que se trata de um sistema possível e
determinado.
c) (0, 7 val.) Indique um valor de a para o qual o sistema é possível e indeterminado, e resolva o sistema nesse caso.
d) (0, 9 val.) Determine a inversa de A no caso a = 2.
e) (0, 9 val.) Resolva o sistema no caso a = 2.
a)detA = a3 − a a ∈ {−1, 0, 1} b) a ∈ R \ {−1, 0, 1} c) a = 0
conjunto de soluções:
{(1, b, 1), b ∈ R}
d)A−1 =
 73 −1 − 13− 12 12 0− 13 0 13
 e) conjunto de soluções:{( 53 , 0, 13 )}
a) detA = det
 1 a 11 2a 1
1 a a2
 = 2a3 + a+ a− 2a− a− a3 = a3 − a
detA = 0⇔ a3 − a = 0⇔ a(a2 − 1) = 0⇔ a = 0 ou a2 = 1⇔ a = 0 ou a = 1 ou a = −1
b) Uma vez que o número de equações do sistema é igual ao número de incógnitas, o sistema é possível e determinado
sse o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de 0, o que acontece sse a 6= −1 e a 6= 0 e a 6= 1 (consequência da
alínea anterior).
c) Para a = 0 a matriz do sistema é
 1 0 1 21 0 1 2
1 0 0 1
, e a sua forma de Gauss é
 1 0 0 10 0 1 1
0 0 0 0
, que corresponde ao
sistema indeterminado
 x = 1z = 1
0 = 0
. O conjunto das soluções é portanto {(1, b, 1), b ∈ R}.
Resposta alternativa:
Para a = 1 a matriz do sistema é
 1 1 1 21 2 1 2
1 1 1 2
, e a sua forma de Gauss é
 1 0 1 20 1 0 0
0 0 0 0
, que corresponde ao
sistema indeterminado
 x+ z = 2y = 0
0 = 0
. O conjunto das soluções é portanto {(2− b, 0, b), b ∈ R}.
d) Para a = 2, detA = 23 − 2 = 6; então
A−1 = 16

det
(
4 1
2 4
)
− det
(
2 1
2 4
)
det
(
2 1
4 1
)
−det
(
1 1
1 4
)
det
(
1 1
1 4
)
−det
(
1 1
1 1
)
det
(
1 4
1 2
)
− det
(
1 2
1 2
)
det
(
1 2
1 4
)
 =
 73 −1 − 13− 12 12 0− 13 0 13

e) Para a = 2, A
 xy
z
 =
 22
3
⇔
 xy
z
 = A−1
 22
3
⇔
 xy
z
 =
 73 −1 − 13− 12 12 0− 13 0 13
 22
3
 =
 530
1
3

6. (0, 6 val.)
Considere dois sistemas de equações lineares a três incógnitas tais que o conjunto de soluções do primeiro é {(a, a +
b, b), a, b ∈ R} e o conjunto de soluções do segundo é {(c + d, 2d,−c + d), c, d ∈ R}. Pode-se concluir que os sistemas são
equivalentes, que os sistemas não são equivalentes, ou não se pode tirar nenhuma conclusão?
Os sistemas são equivalentes sse os respectivos conjuntos de soluções são iguais, portanto trata-se de verificar se os
conjuntos U = {(a, a+ b, b), a, b ∈ R} e V = {(c+ d, 2d,−c+ d), c, d ∈ R} são iguais.
Ora
(x, y, z) ∈ U ⇔ existem a, b ∈ R tais que (x, y, z) = (a, a+ b, b)
⇔ existem a, b ∈ R tais que
 a = xa+ b = y
b = z
⇔ existem a, b ∈ R tais que
 a = xb = z
0 = y − x− z
⇔ y − x− z = 0
portanto U = {(x, y, z) ∈ R3 : y − x− z = 0}.
Por outro lado,
(x, y, z) ∈ V ⇔ existem c, d ∈ R tais que (x, y, z) = (c+ d, 2d,−c+ d)
⇔ existem c, d ∈ R tais que
 c+ d = x2d = y−c+ d = z ⇔ existem c, d ∈ R tais que
 c = x−
y
2
d = y2
0 = x+ z − y
⇔ x+ z − y = 0
⇔ y − x− z = 0
portanto V = {(x, y, z) ∈ R3 : y − x− z = 0}.
Conclui-se que U = V , portanto os sistemas são equivalentes.