teste 2

Prévia do material em texto

Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2012/13
Teste 2 – 7-1-2013
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso: Número de folhas extra :
Apresente os cálculos efectuados e os resultados nos locais indicados para esse efeito em
cada pergunta.
Nas perguntas 1-8 deve assinalar (sem justificar) apenas uma alternativa, a mais correcta
e completa; cada uma dessas perguntas vale 0,7 valores, à ausência de resposta é atribuída a
cotação de 0, e a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −1
3
de 0,7 valores.
As respostas às outras perguntas devem ser cuidadosamente justificadas.
1− 8 9 10a b c 11 12a b c
1. Entre os sistemas de equações abaixo, indique aquele cujo conjunto de soluções forma um subespaço vectorial de R4.{
x− y + 2z + w = 1
2x− 2y + 4z + 2w = 2
{
x− y + 2z + w = 0
2x− 2y + 4z + 2w = 0 x− y + 2z + 3w = 0x+ y + 4z + w = 0
x+ 2y + 4z + w = 1

x− y + 2z + w = 0
x+ y + 4z = 0
y + w = 1
z + w = 2
2. Qual dos subconjuntos do espaço vectorial R3[x] abaixo é formado por elementos linearmente independentes?
{x+ x3, x+ x2 + x3, 1 + x+ x2 + x3}
{1 + x, 1 + x2, x+ x3, x+ x2 + x3, 1 + x+ x2 + x3}
ambas as afirmações acima estão correctas;
nenhuma das alternativas acima está correcta.
3. O subespaço vectorial V = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ w = 0 e y + z = 0} de R4 é gerado por:
{(1, 0, 0,−1), (0, 1,−1, 0)}
{(1,−1, 1,−1), (1, 1,−1,−1)}
ambas as afirmações acima estão correctas;
nenhuma das alternativas acima está correcta.
4. O polinómo p ∈ R2[x] cujas coordenadas na base B =
(
x2 + 1, x− 1, x2 − x) de R2[x] são (1, 2, 3) é:
(1, 2, 3).
4x2 − x− 1.
x2.
1 + 2x+ 3x2.
5. Se f : R2 −→ R2 for uma aplicação linear tal que f(1, 1) = (0, 2) e f(−1, 1) = (4, 2), então f(0, 2) vale:
(1, 1)
(−1, 1)
(−4, 4)
(4, 4)
6. Se f : R3 −→ R3 for uma aplicação linear cuja imagem é o subespaço vectorial
{(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0 e y + z = 0}, então é sempre verdade que:
Existem dois vectores linearmente independentes u e v em R3 tais que f(u) = f(v) = (0, 0, 0).
Se u e v forem dois vectores em R3 tais que f(u) = f(v) = (0, 0, 0) então u e v são linearmente dependentes.
f é sobrejectiva.
f é injectiva.
7. Qual das matrizes abaixo representa a aplicação f : R3 −→ R2
(x, y, z) 7→ (x+ z, y)
relativamente à base
((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)) de R3 e à base canónica de R2?(
1 2 1
1 0 1
) (
1 1 1
1 1 2
)  1 12 0
1 1
 ( 1 2 1
0 0 1
)
8. Se MBc,B1(f) for a matriz da aplicação linear f : R3 −→ R3 relativamente à base canónica Bc de R3 e à base
B1 = ((2, 1, 0), (−1, 0, 1), (0, 1, 2)) de R3, e se P =
 2 −1 01 0 1
0 1 2
 então:
MBc,B1(f)P é a matriz de f relativamente à base B1.
MBc,B1(f)P é a matriz de f relativamente à base canónica Bc
MBc,B1(f)P é a matriz de f relativamente à base B1 e à base canónica Bc.
MBc,B1(f)P é a matriz de f relativamente à base canónica Bc e à base B1.
9. (1,1 valores) (Resolução no espaço abaixo)
Seja f : R2 −→ R2 uma aplicação linear; determine f(x, y) sabendo que (1, 3) pertence ao núcleo de f e que (1, 2) é um
vector próprio de f associado ao valor próprio −2.
Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2012/13
Teste 2 – 7-1-2013
Nome completo: Número mecanográfico:
10. (Resolução no espaço abaixo e no verso)
Seja E = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y = z + t e x+ z = y + t}, e considere em R4 o produto escalar usual
((x1, y1, z1, t1)|(x2, y2, z2, t2) = x1x2 + y1y2 + z1z2 + t1t2).
a) (1,5 valores) Determine uma base ortonormada b de E, a dimensão de E, e uma base B de R4 que contenha b.
b) (0,5 valores) Determine as coordenadas de (2, 3, 3, 2) em b e em B.
c) (0,8 valor) Determine a projecção ortogonal de (x, y, z, t) sobre E.
11. (1,4 valores) (Resolução no espaço abaixo e na folha seguinte)
Diga, justificando, se f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (x− 3y + 3z,−3x+ y + 3z, 4z)
é diagonalizável.
Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2012/13
Teste 2 – 7-1-2013
Nome completo: Número mecanográfico:
11.
12. (Resolução no espaço abaixo)
Diga justificando quais das seguintes afirmações são verdadeiras.
a) (0,7 valores) Se u, v são vectores próprios de um endomorfismo, então u+ v também é um vector próprio de f .
b) (0,7 valores) Se u, v são linearmente independentes, então u+ v, 2u− v são linearmente independentes.
c) (0,7 valores) Se E é um espaço vectorial complexo e u, v, w são elementos linearmente independentes de E, então u, v, w
também são linearmente independentes para a estrutura de espaço vectorial real associada.