ALGA1M143 1415exame r (1)

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2014/15
Exame época de recurso – 09-02-2015
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso:
Primeira parte
Total da primeira parte: 11 valores
As questões 1− 6 valem 0, 5 valores cada: deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de
resposta é atribuída a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 2 valores.
Cada pergunta da questão 7 vale 0, 5 valores: à ausência de resposta é atribuída a cotação de 0, a uma
resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 2 valores.
Cada pergunta da questão 8 vale 0, 5 valores e deve ser respondida sem justificação.
1− 6 7 8 9a b c 10 11 12 13 14a b Total
1. Considere dois sistemas lineares de coeficientes reais, com 3 equações e 3 incógnitas, ambos possíveis e determinados.
As matrizes dos coeficientes dos dois sistemas têm a mesma característica.
As matrizes dos coeficientes dos dois sistemas têm o mesmo determinante.
As formas de Gauss associadas às matrizes dos coeficientes dos dois sistemas podem não coincidir.
Os dois sistemas têm a mesma solução.
2. Considere os seguintes subconjuntos de R3: S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − z2 = 0} e S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 = 0}.
S1 e S2 são subespaços de R3.
S1 é subespaço de R3 mas S2 não é.
S1 não é subespaço de R3 mas S2 é.
S1 e S2 não são subespaços de R3.
3. Em R2[x] e R3[x], considere os subespaços S1 = {p(x) ∈ R2[x] : p(1) = 0} e S2 = {p(x) ∈ R3[x] : p(1) = 0}.
dimS1 = dimS2 = 2. dimS1 = dimS2 = 3. dimS1 = 2 e dimS2 = 3. dimS1 = 1 e dimS2 = 2.
4. Considere os seguintes subconjuntos de C2: A1 = {(1, 1), (i, i)} e A2 = {(1, 0), (0, 1)}.
Em C2 com a estrutura usual de espaço vetorial real, A1 é uma base de C2 e A2 também é.
Em C2 com a estrutura usual de espaço vetorial real, A1 não é uma base de C2 mas A2 é.
Em C2 com a estrutura usual de espaço vetorial complexo, A1 é uma base de C2 e A2 também é.
Em C2 com a estrutura usual de espaço vetorial complexo, A1 não é uma base de C2 mas A2 é.
5. Seja f : R3 → R2[x] linear tal que f(1, 0, 0) = 1− x, f(1, 1, 0) = (1− x)2 e f(1, 1, 1) = 1− x+ (1− x)2.
f é injectiva mas não é sobrejectiva. f é um isomorfismo. dim Imf = 2. dimker f = 2.
6. Seja f : R3 → R3 uma função linear não nula tal que f = f ◦ f .
1 é valor próprio de f .
f não tem dois vectores próprios linearmente independentes associados ao mesmo valor próprio.
det (Mbc,bc(f)) = 1.
car (Mbc,bc(f)) = 1.
7. Para cada uma das seguintes afirmações, diga, sem justificar, se é verdadeira ou falsa.
V F Qualquer sistema linear homogéneo com 5 equações e 10 incógnitas é indeterminado.
V F Dois sistemas lineares homogéneos de 3 equações a 3 incógnitas cujas matrizes dos coeficientes tenham o mesmo
determinante são ambos possíveis e determinados ou ambos possíveis e indeterminados.
V F Se A é uma matriz em M2,2(R) tal que detA = −5, então det((3A)−1) = − 145 e det(3A)t = −45.
V F Se A ∈M4,4(R) então A tem pelo menos dois valores próprios.
V F Se f é um endomorfismo de R3 cuja matriz relativamente à base canónica de R3 tem característica 1 e f(u) = 2u
para algum vetor não nulo u ∈ R3 então f é diagonalizável.
V F Se f é um endomorfismo de R3 cuja matriz relativamente à base canónica de R3 tem determinante não nulo então f
é bijectiva.
8. Considere as bases B =
(
1√
2
(0, 1, 1), 1√
2
(0, 1,−1), (1, 0, 0)
)
e bc = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) de R3. Seja f : R3 → R3
a função linear definida por f(x, y, z) = (x, x+ y + z, x+ y + z). Indique sem justificar:
a) As coordenadas de (1,
√
2,−√2) na base B: b) A matriz de mudança de base de B para bc:
c) Uma base de Imf : d) Uma base de ker f :
9. Seja g o endomorfismo de R3 definido por g(1, 0, 0) = (1, 0, 0), g(0, 1, 1) = (0,−1, 1), g(1, 0,−1) = (1, 1, 0) e a base
b = ((1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0,−1)) de R3. Nas seguintes questões deve justificar concisa, mas completamente.
(a) (1 val.) Sem determinar explicitamente g(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3, diga se g é injetiva.
(b) (1 val.) Determine explicitamente g(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3.
(c) (1 val.) Determine Mb,b(g ◦ g).
Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2014/15
Exame época de recurso – 09-02-2015
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso:
Segunda parte
Total da segunda parte: 9 valores
10. (1, 5 val.) Considere a base b = ((3i, 2), (1, i)) de C2 (com a estrutura de espaço vetorial complexo); determine a base
B de C2 sabendo que Mb,B(id) =
(
5 −1
−1 0
)
.
11. (1, 5 val.) Considere o subespaço E = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+2z = y+2t}; sabendo que 1√
5
(2, 0,−1, 0) e 1√
5
(0, 2, 0,−1)
são elementos ortogonais unitários de E, determine uma base ortonormada de E que contenha esses elementos.
12. (1, 5 val.) Dê um exemplo de um endomorfismo f de R3 tal que exista uma base de R3 formada por vetores próprios
de f mas não exista uma base ortogonal de R3 formada por vetores próprios de f .
13. (1, 5 val.) Mostre que se f : R2[x] −→ R2[x] é linear e f ◦ f é a aplicação nula então 0 é valor próprio de f e
dimE0 ≥ 2 (onde E0 é o subespaço próprio de f associado ao valor próprio 0).
14. Seja f : E −→ F uma aplicação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita.
(a) (1, 5 val.) Mostre que f é injetiva se e só se existe uma aplicação linear g : F −→ E tal que g ◦ f = idE .
(b) (1, 5 val.) Mostre que f é sobrejetiva se e só se existe uma aplicação linear g : F −→ E tal que f ◦ g = idF .