ALGA1M143 1516 vf teste2 res

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2015/16
Teste 2 – 16-12-2015
Resolução
1. (Cada alínea vale 0, 4 valores.) Considere as aplicações lineares f : R3 → R3 e g : R2 → R3 tais que:
f(1, 0, 0) = (1, 1, 0), f(0, 1, 0) = (1, 0, 1), f(0, 0, 1) = (2, 1, 1);
g(a, b) = (a, a+ b, 2a+ b), (a, b) ∈ R2 .
Considere as bases b = ((1, 1), (1,−1)) de R2 e bc = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) de R3. Indique, sem justificar:
a) f(1, 2, 3) = (9, 4, 5) b) f(a, b, c) = (a+ b+ 2c, a+ c, b+ c) c) Mbc,bc(f) =
 1 1 21 0 1
0 1 1

d) Uma base de ker(f)
((1, 1,−1)) e)
Uma base de Im(f)
((1, 1, 0), (1, 0, 1))
f) ker(g) = {(0, 0)} g) Mb,bc(g) =
 1 12 0
3 1
 h) Uma base de Im(g)
((1, 1, 2), (0, 1, 1))
i) dim Im(f ◦ g) = 2 j) dimker(f ◦ g) = 0 k) Mb,bc(f ◦ g) =
 9 34 2
5 1

2. (Cada alínea vale 0, 4 valores.) Em R3, considere as bases bc = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) eB = ((0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)),
o vector u = (1, 1, 3) e o subespaço S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0}; indique sem justificar:
a) As coordenadas de u na base B
(2, 0, 1)B
b) MB,bc(idR3) =
 0 0 10 1 1
1 1 1

c) Mbc,B(idR3) =
 0 −1 1−1 1 0
1 0 0
 d) Uma base de R3 contendo uma base de S
((1,−1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0))
3. Cada alínea vale 0, 4 valores: deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de resposta é atribuída
a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 1 valores.
a) Considere os espaços vetoriais R3 e R6.
Existe uma aplicação f : R3 → R6 linear e sobrejetiva.
Existe uma aplicação f : R3 → R6 linear tal que dimker(f) = dim Im(f).
x Existem aplicações lineares f : R3 → R6 e g : R6 → R3 tais que a composta g ◦ f é injetiva.
Existem aplicações lineares f : R3 → R6 e g : R6 → R3 tais que a composta f ◦ g é sobrejetiva.
b) Considere a aplicação linear f : R3 → R3 tal que f(1, 1, 1) = (2, 2, 2), f(1, 2, 2) = (2, 4, 4), f(1, 1, 2) = (1, 1, 1).
f é diagonalizável e invertível.
x f é diagonalizável e det(f) = 0.
f não tem valores próprios.
f não é diagonalizável mas admite um valor próprio.
c) Considere os seguintes subespaços de R3: S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y+ z = 0} e S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = −z, y = 0}.
Seja f : R3 → R3 um endomorfismo cujo núcleo é S1 e conjunto imagem é S2. Seja bc a base canónica de R3 e A =Mbc,bc(f).
x car(A) = 1
car(A) = 2
car(A2) = 1
car(A2) = 2
d) Considere a aplicação linear f : R3 → R3 tal que f(1, 1, 1) = (1, 1, 1), f(1, 1, 0) = (0, 1, 1), f(0, 1, 1) = (1, 0, 1).
f é invertível e f−1(1, 2, 3) = (3, 1, 2).
x f é invertível e f−1(1, 2, 3) = (2, 3, 1).
f não é invertível e dimker(f) = 1.
f não é invertível e dim Im(f) = 1.
e) Em C, considere as funções f, g : C→ C tais que f(z) = Re(z) e g(z) = z.
f e g são aplicações lineares considerando C com a estrutura complexa usual.
x f e g são aplicações lineares considerando C com a estrutura real usual.
Considerando C com a estrutura real usual, f é linear mas g não é linear.
Considerando C com a estrutura complexa usual, f é linear mas g não é linear.
f) Seja f : R3 → R3 uma aplicação linear.
A soma de valores próprios de f é um valor próprio de f .
A soma de vetores próprios de f é um vetor próprio de f .
x Se 0 é valor próprio de f então f não é um isomorfismo.
ker(f) = ker(f ◦ f).
4. (1, 6 valores.) Nesta questão, deve responder e justificar em folha anexa.
a) Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita n > 0. Sejam V1, V2 dois subespaços de V tais que V = V1 + V2 e
dimV = dimV1 + dimV2. Mostre que V1 ∩ V2 = {0V }.
Suponhamos que n1 = dimV1, n2 = dimV2, logo, n1 + n2 = n. Sendo b1 e b2 bases de V1 e V2, respetivamente, segue
que b1 ∪ b2 gera V1 + V2 = V e tem n1 + n2 = n vetores. Portanto b1 ∪ b2 é uma base de V . Nesse caso, obtemos que
V1 ∩ V2 = {0V }, caso contrário, seria possível escolher bases b1 e b2, de V1 e V2, ambas contendo uma base de V1 ∩ V2, o que
é impossível, dado que sabemos que b1 ∪ b2 tem de ser base de V .
b) Sejam f : Rn → Rn e g : Rn → Rn duas aplicações lineares tais que f ◦ g = g ◦ f . Qual a relação entre ker(f ◦ g) e
ker(f), ker(g)?
Ambos ker(f), ker(g) têm de estar contidos em ker(f ◦ g): trivialmente, ker(g) ⊆ ker(f ◦ g) e ker(f) ⊆ ker(g ◦ f). Como
ker(g ◦ f) = ker(f ◦ g), obtemos que ker(f) está contido em ker(f ◦ g).