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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2012/13
Exame época normal - prova complementar – 25-1-2013
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso: Número de folhas extra :
Sejam E, F espaços vectoriais sobre K (K = R ou K = C) e f : E −→ F uma aplicação linear.
1. Mostre que se b = (e1, . . . , en) é uma base de E, então b∗ = (e∗1, . . . , e∗n) é uma base de L(E,K), onde, para cada
i ∈ {1, . . . , n}, e∗i é a única aplicação linear em L(E,K) tal que e∗i (ej) =
{
1 se i = j
0 se i 6= j ; conclua que se E tem dimensão
finita então dimL(E,K) = dimE.
2. No caso em que E = R3, determine as coordenadas de ϕ: R3 −→ R
(x, y, z) 7→ 3x+ 2y + 5z
na base (e∗1, e∗2, e∗3) se
(a) (e1, e2, e3) é a base canónica de R3
(b) (e1, e2, e3) = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0))
3. Mostre que f∗: L(F,K) −→ L(E,K)
ϕ 7→ ϕ ◦ f
é uma aplicação linear e descreva
(a) ker f∗
(b) Im f∗
4. Descreva MB∗,b∗f∗ em função de Mb,B(f).
5. Mostre que no caso em que E = R[X] e b = (1, X,X2, . . .), b∗ não gera L(R[X],R).