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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2012/13
Exame época normal – 17 - 1 - 2013 – Parte 1
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso: Número de folhas extra :
Apresente os cálculos efectuados e os resultados nos locais indicados para esse efeito em
cada pergunta.
Nas perguntas 1-4 deve assinalar (sem justificar) apenas uma alternativa, a mais correcta
e completa; cada uma dessas perguntas vale 0, 6 valores, à ausência de resposta é atribuída a
cotação de 0, e a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 2 valores.
As respostas às outras perguntas devem ser cuidadosamente justificadas.
1− 4 5 6 7 8a 8b 8c 8d
1. Qual das matrizes abaixo não está na forma de Gauss? 1 0 0 0 2i0 1 0 −3i 0
0 0 1 0 −2i
  1 i 0 0 2i0 0 1 0 0
0 0 0 1 −2i

 1 0 0 0 2i0 1 0 0 −3i
0 0 0 1 −2i
 �
 1 i 2i 0 2i0 1 i −3i −3i
0 0 1 i −2i

2. O determinante
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 5
0 1 0 8
0 0 1 3
3 −1 0 7
∣∣∣∣∣∣∣∣ vale
� 0; 7; −1; 15.
3. Sejam A,B ∈M2×2(R). Tem-se:
(A+B)(A−B) = A2 −B2 quaisquer que sejam A e B.
(A+B)(A−B) 6= A2 −B2 quaisquer que sejam A e B.
� (A+B)(A−B) = A2 −B2 se e só se AB = BA.
(A+B)(A−B) = A2 −B2 se e só se AB = −BA.
4. Qual das matrizes abaixo é singular?(
1 0
0 i
)
�
(
1 1
1 1
) (
0 2i
1 0
) (
1 1
1 0
)
5. (0, 6 val.) (Resolução no espaço abaixo)
Considere a matriz A =
(
1 −2 3
0 1 −1
)
e calcule ATA.
ATA =
 1 0−2 1
3 −1
( 1 −2 3
0 1 −1
)
=
 1 −2 3−2 5 −7
3 −7 10

6. (0, 6 val.) (Resolução no espaço abaixo)
Resolva em C o seguinte sistema nas incógnitas x, y:
{
ix− (2 + i)y = 1
x+ 2iy = 1 + i
A matriz do sistema é
(
i −(2 + i) 1
1 2i 1 + i
)
. Fazendo sucessivamente as substituições L1 → 1iL1, L2 → L2 − L1,
L1 → L1 − (−1 + 2i)L2, obtemos(
1 −1 + 2i −i
1 2i 1 + i
)
,
(
1 −1 + 2i −i
0 1 1 + 2i
)
,
(
1 0 5− i
0 1 1 + 2i
)
Conclui-se que a única solução do sistema é (5− i, 1 + 2i).
7. (0, 6 val.) (Resolução no espaço abaixo)
Diga, justificando, se é verdadeira a afirmação seguinte: Se A é uma matriz quadrada invertível, então a matriz A + A
também é invertível.
A afirmação é verdadeira; se A é invertível, então 12A
−1 é inversa de 2A, e 2A = A+A.
8. (Resolução no espaço abaixo e no verso)
Para cada a ∈ R, considere o sistema
 x+ ay + z = 2ay = 0
ax+ a2z = a+ 6
, nas incógnitas x, y, z, e sejam A e B, respectivamente, a
matriz dos coeficientes e a matriz do sistema.
a) (1 val.) Determine, para cada a ∈ R, a característica de A e a característica de B.
b) (0, 6 val.) Diga, justificando, se existe algum valor de a para o qual o sistema seja impossível.
c) (0, 6 val.) Determine a inversa de A no caso em que a = 2.
d) (0, 6 val.) Resolva o sistema no caso em que a = 2.
a) Resumo:
a ∈ R \ {0, 1}
car A = 3
car B = 3
a = 0
car A = 1
car B = 2
a = 1
car A = 2
car B = 3
· · ·
b) Sim | 6 6 6Não
(riscar o que não interessa)
c)A−1 =
 2 −2 − 120 12 0−1 1 12
 d) conjunto de soluções:{(0, 0, 2)}
a) Tem-se A =
 1 a 10 a 0
a 0 a2
 e B =
 1 a 1 20 a 0 0
a 0 a2 a+ 6
.
Como detA = a2(a−1), conclui-se que detA = 0 sse a = 0 ou a = 1. Então, para a ∈ R\{0, 1} tem-se carA = carB = 3.
Para a = 0 tem-se A =
 1 0 10 0 0
0 0 0
, logo carA = 1 (uma vez que A é escalonada e tem uma linha não nula), e
B =
 1 0 1 20 0 0 0
0 0 0 6
, logo carB = 2 (uma vez que B é equivalente por linhas a
 1 0 1 20 0 0 6
0 0 0 0
, que é escalonada e tem
duas linhas não nulas).
Para a = 1 tem-se A =
 1 1 10 1 0
1 0 1
 e B =
 1 1 1 20 1 0 0
1 0 1 7
. A forma de Gauss de A é
 1 0 10 1 0
0 0 0
, logo carA = 2.
A forma de Gauss de B é
 1 0 1 20 1 0 0
0 0 0 1
, logo carB = 3.
b) O sistema é impossível sse a = 1 ou a = 0 uma vez que são os casos em que a característica da matriz dos coeficientes
é inferior à característica da matriz do sistema.
c) Para a = 2 tem-se A =
 1 2 10 2 0
2 0 4
, portanto
A−1 = 1detA

(
2 0
0 4
)
−
(
2 1
0 4
) (
2 1
2 0
)
−
(
0 0
2 4
) (
1 1
2 4
)
−
(
1 1
0 0
)
(
0 2
2 0
)
−
(
1 2
2 0
) (
1 2
0 2
)
 =
1
4
 8 −8 −20 2 0
−4 4 2
 =
 2 −2 − 120 12 0−1 1 12

d) O sistema é equivalente a A
 xy
z
 =
 20
8
, que é equivalente a
 xy
z
 = A−1
 20
8
, ou seja, xy
z
 =
 2 −2 − 120 12 0−1 1 12
 20
8
 =
 00
2
; a única solução é portanto (0, 0, 2).