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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2012/13 Exame época normal – 17-1-2013 – Parte 2 Nome completo: Número mecanográfico: Curso: Número de folhas extra : Assinale claramente o quadrado que se aplica à sua situação: Em relação a esta parte do exame quero que seja usada a classificação do teste correspondente; nada do que escrevi a partir daqui será considerado. Em relação a esta parte do exame não quero que seja usada a classificação do teste correspondente; a classificação final será a do exame, mesmo que seja inferior à obtida no teste. Apresente os cálculos efectuados e os resultados nos locais indicados para esse efeito em cada pergunta. Nas perguntas 1-7 deve assinalar (sem justificar) apenas uma alternativa, a mais correcta e completa; cada uma dessas perguntas vale 0,7 valores, à ausência de resposta é atribuída a cotação de 0, e a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −1 3 de 0,7 valores. As respostas às outras perguntas devem ser cuidadosamente justificadas. 1− 7 8 9a b c 10 11a b c 1. Qual dos seguintes elementos de R[x] não é combinação linear de x+ x3, 2x− x3, 1− x? −x+ x3 2x+ 3x2 + 4x3 x3 −1 + x3 2. Considere o espaço vectorial real R2[x] dos polinónimos em x com coeficientes reais e grau não superior a 2. Dos conjuntos a seguir indicados, diga qual é um subespaço vetorial de R2[x]: {a+ bx+ cx2 ∈ R2[x] : a2 + c2 = 0} {a+ bx+ cx2 ∈ R2[x] : a = b2} {a+ bx+ cx2 ∈ R2[x] : a− b = 1} {a+ bx+ cx2 ∈ R2[x] : a+ b+ c = 1} 3. Qual das matrizes abaixo tem colunas linearmente independentes? 1 2 31 0 −1 2 2 2 1 2 31 0 −1 0 2 0 1 1 22 0 4 3 −1 6 1 2 32 4 6 2 2 2 4. Sejam v = (i, i) e w = (1, i) vetores de C2. Então: v e w são linearmente independentes para a estrutura real e também para a estrutura complexa. v e w são linearmente dependentes para a estrutura real e são linearmente independentes para a estrutura complexa. v e w são linearmente dependentes para a estrutura complexa e são linearmente independentes para a estrutura real. v e w são linearmente dependentes para a estrutura real e também para a estrutura complexa. 5. Seja A = a 0 01 a+ 1 0 1 1 a+ 2 , a ∈ R. Para qualquer a ∈ R, a matriz A é diagonalizável. Para qualquer a ∈ R \ {1}, a matriz A é diagonalizável. A matriz A só é diagonalizável se a = 0. Para qualquer a ∈ R, a matriz A não é diagonalizável. 6. Sejam u, v e w vetores em R3 tais que u× v = (1, 0,−1) e w× u = (−1, 0, 0). Então a área do paralelogramo definido por u e por v + w é: -1 1√ 5 5 7. Qual dos seguintes pares ordenados é uma base ortonormada para o subespaço vectorial {(x, y, z) ∈ R3 : x+ z = 0} de R3?((√ 2 2 , 0,− √ 2 2 ) , (0, 1, 0) ) ( (1, 0,−1) , ( 0, √ 6 6 , 0 )) ((√ 2 2 , 0, √ 2 2 ) , (0, 1, 0) ) ((√ 6 6 , √ 6 6 ,− √ 6 3 ) , (0, 1, 0) ) 8. (1, 2 valores) (Resolução no espaço abaixo) Diga, justificando, se existe uma aplicação linear f : R2 −→ R2 tal que f(1, 2) = (1, 1) e f ◦ f é a aplicação nula. Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2012/13 Exame época normal – 17-1-2013 – Parte 2 Nome completo: Número mecanográfico: 9. (Resolução no espaço abaixo) Seja f : R2[X] −→ R1[X] a+ bX + cX2 7→ a+ 2c+ (b− c)X ; seja g : R1[X] −→ R1[X] a aplicação linear tal que MB,B(g) = ( 1 0 −1 5 ) , em que B = (2 + 3X, 1 +X). a) (1, 1 valores) Utilizando matrizes de mudança de base, determine as coordenadas de 3 + 5X na base B. b) (1, 5 valores) Determine MBc,bc(f) e MBc,B(g ◦ f) (em que Bc é a base canónica de R2[X] e bc é a base canónica de R1[X]). c) (1 valor) Determine ker f e diga se f é sobrejectiva. 10. (1, 2 valores) Considere em R3 o produto escalar usual, e determine uma base de E⊥, onde E = G({(1, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 1, 1), (0, 1,−1)}) 11. (Resolução no espaço abaixo) Diga justificando quais das seguintes afirmações são verdadeiras. a) (0, 7 valores) Sejam E um espaço vectorial real e (u1, . . . , un) uma base de E; se α1u1 + · · ·+αnun 6= 0E , então existe i ∈ {1, . . . , n} tal que αi 6= 0. b) (0, 7 valores) Considere em C3 a estrutura de espaço vectorial complexo; se f : C3 −→ C3 é linear e f ◦f é sobrejectiva, então dimker f = 0. c) (0, 7 valores) Se f : R2 −→ R2 não é sobrejectiva então 0 é um valor próprio de f .
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