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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2012/13
Exame época de recurso – 31 - 1 - 2013
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso: Número de folhas extra :
Apresente os cálculos efectuados e os resultados nos locais indicados para esse efeito em
cada pergunta.
Nas perguntas 1-10 deve assinalar (sem justificar) apenas uma alternativa, a mais correcta
e completa; cada uma dessas perguntas vale 0,7 valores, à ausência de resposta é atribuída a
cotação de 0, e a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −1
3
de 0,7 valores.
As respostas às outras perguntas devem ser cuidadosamente justificadas.
1− 10 11a 11b 11c 12a 12b 12c 13a 13b 13c 13d 14a 14b 14c 14d 14e 14f
1. Qual das matrizes abaixo representa um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas que é possível e determi-
nado? 1 0 0 20 1 1 0
0 0 0 3
  1 0 0 0 10 1 0 0 2
0 0 1 0 3
  1 1 0 90 0 1 8
0 0 0 0
  1 0 0 50 1 0 8
0 0 1 3

2. Qual dos seguintes elementos de R4 é combinação linear dos vectores (1, 1, 1, 1), (−1, 0,−1, 1) e (0, 0, 0, 1)?
(1, 0, 0, 1) (1, 2, 3, 4) (1, 0, 1, 0) (−1, 0, 0, 1)
3. Qual dos conjuntos abaixo é uma base para o subespaço vectorial V = {p(x) ∈ R5[x] : p(x) = −p(−x)} do espaço
vectorial R5[x]?
{x+ x3, x− x3, x5} {x+ x3, x− x3, 2x+ x3, 2x− x3}
{x+ x3, x− x3, 2x+ x5, 2x− x5} {1, x, x2, x3, x4, x5}
4. A dimensão do subespaço E = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0 e x+ z = 0} de R3 é
0 1 2 3
5. As coordenadas de p(x) = 2x2 ∈ R2[x] na base B =
(
x2 + 1, x− 1, x2 − x) de R2[x] são:
p = (4,−1,−1)B . p = (1, 1, 1)B . p = (1, 2, 3)B . p = (2, 0, 0)B .
6. Sejam u, v e w vectores em R3 tais que u | v = √3 e w | v = √3, onde | representa o produto escalar usual. Então
(u+ w) | (v + w) vale:
3 u | w + ‖w‖2 0 2√3 + u | w + ‖w‖2
7. O produto vectorial (−2, 6, 4)× (1,−3,−2) vale:
-28 (-2,-18,-8) (0,0,0) nenhuma das outras alternativas está correcta
8. O subespaço vetorial V de R4 gerado por {(2, 1, 2,−1), (1, 0, 1, 0)} é:
V = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x− z = 0 e y + w = 0} V = {(x, y, z, w) ∈ R4 : 2x = z}
V = {(x, y, z, w) ∈ R4 : 2x− z = 0 e y + w = 0} V = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x = z}
9. Se f : R2[x] −→ R for uma aplicação linear tal que f(1 + x) = 1, f(1− x) = 2 e f(x2) = 3, então f(1 + x+ x2) vale:
1 + 2x+ 3x2 4 5 nenhuma das outras alternativas está correcta
10. Considere o espaço vectorial C2 munido da estrutura de espaço vectorial complexo. Dos conjuntos a seguir indicados,
diga qual é um subespaço vectorial de C2:
{(z, w) ∈ C : z + w2 = 0} {(z, w) ∈ C : z + iw = 0}
{(z, w) ∈ C : z = i− w} {(z, w) ∈ C : z2 + w2 = 0}
11. (Resolução no espaço abaixo)
Para cada a ∈ R considere os vectores u = (1, a, a), v = (a2, 2a2, 8) e w = (1, a, 2) de R3.
a) (0, 5 valores) Mostre que det
 1 a aa2 2a2 8
1 a 2
 = a2(2− a)2.
b) (0, 8 valores) Diga, justificando através de determinantes, para que valores de a é que u, v, w são linearmente indepen-
dentes.
c) (0, 7 valores) Diga, justificando, para que valores de a é que w ∈ G({u, v}).
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Exame época de recurso – 31-1-2013
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12. (Resolução no espaço abaixo e no verso)
Considere a aplicação f : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (4x− 3y − z, y, y − z)
.
a) (1, 4 valores) Mostre que f é um isomorfismo e determine f−1(x, y, z) usando matrizes.
b) (0, 7 valores) Mostre que f é diagonalizável.
c) (0, 7 valores) Determine uma base b de R3 formada por vectores próprios de f e indique Mb,b(f).
13. (Resolução no espaço abaixo e na página seguinte)
Sejam f : R2 −→ R3
(x, y) 7→ (2x+ 3y, x− 5y, x+ y)
, bc a base canónica de R2 e Bc a base canónica de R3.
a) (0, 5 valores) Determine Mbc,Bc(f).
b) (1, 5 valores) Determine Mb,Bc(f), usando matrizes de mudança de base, onde b = ((1, 2), (−1, 1)).
c) (1 valor) Determine uma base ortonormada de Im f .
d) (1 valor) Diga, justificando, se existe uma aplicação linear g : R3 −→ R2 tal que g ◦ f = idR2 .
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14. (Resolução no espaço abaixo)
Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são verdadeiras.
a) (0, 7 valores) Sejam A uma matriz de m linhas e n colunas e B1, B2 matrizes de m linhas e uma coluna; se o sistema
AX = B1 é impossível, então o sistema AX = B2 também é impossível.
b) (0, 7 valores) Se um sistema de m equações a n incógnitas é possível e determinado, então retirando qualquer equação
obtém-se um sistema possível e indeterminado.
c) (0, 7 valores) Se u, v, w são tais que u é combinação linear de v e w, então w é combinação linear de u e v.
d) (0, 7 valores) Se f : E1 −→ E2 e g : E2 −→ E3 são aplicações lineares, então ker f está contido em ker g ◦ f .
e) (0, 7 valores) Se f : E1 −→ E2 e g : E2 −→ E3 são aplicações lineares, então Im g ◦ f = Im g.
f) (0, 7 valores) Se f : E −→ E é uma aplicação linear bijectiva e dimE = n então existem bases b, B de E tais que
Mb,B(f) = In (matriz identidade).