ALGAIM143 1314enunciado exame epocarecurso (1)

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2013/14
Exame época recurso – 03-02-2014
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso:
Primeira parte
Selecionar a opção pretendida apenas se ainda não obteve aprovação a ALGAI.
Pretendo que a primeira parte do exame seja corrigida.
Pretendo que a primeira parte do exame não seja corrigida e seja considerada a classificação que obtive no primeiro teste.
Nas perguntas 1-4 deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de
resposta é atribuída a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 2
valores.
As respostas às perguntas 5 e 6 devem ser cuidadosamente justificadas.
1− 4 5a b c 6a b c
1. (0, 6 val.) Considere em C os sistemas lineares nas incógnitas x, y:
S1 :
{
x+ iy = 1
x− iy = a ; S2 :
{
x+ iy = 1
(1 + i)x+ (−1 + i)y = b .
Para quaisquer a, b ∈ C os sistemas S1 e S2 são equivalentes.
Existem a, b ∈ C tais que S1 e S2 são ambos possíveis e indeterminados.
Os sistemas S1 e S2 nunca têm o mesmo conjunto solução.
Existem a, b ∈ C tais que S1 e S2 são ambos impossíveis.
2. (0, 6 val.) Considere as matrizes A =
 2 1 10 2 1
0 0 2
 e B =
 −1 0 01 −1 0
1 1 −1
.
car(AB) = carA carB car(AB) = carA car(A+B) = carA+ carB car(A+B) = carA
3. (0, 6 val.) Considere as matrizes A =
 0 1 0−1 −1 −1
0 1 1
 e B =
 0 0 1−1 −1 −1
0 1 1
.
det(A−B) = detA− detB
det
(
A−1B
)
= det
(
AB−1
)
det
(
A2B
)
= det
(
AB2
)
det(A+ 2B) = detA+ 2detB
4. (0, 6 val.) Em R3 considere u = (1, 1, 1), v = (1, 1,−2), w = (2, 2, 5).
u e v + w geram {(x, y, z) ∈ R3 : x = y}.
u, v, w geram R3.
u não é combinação linear de v e w.
G ({u, v}) = G ({v, w}) = G ({u,w}).
5. (3 val.) Para cada uma das seguintes afirmações, diga se é verdadeira, justificando.
a) V F Qualquer sistema linear homogéneo de 3 equações a 5 incógnitas é sempre possível e indeterminado.
b) V F Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 e entradas reais tal que A2 = id3 então A é invertível e A−1 = A.
c) V F Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem 3 e entradas reais com a mesma forma de Gauss. Então existe
k ∈ R tal que detA = k detB.
6. Em R3[x], considere S = {p(x) ∈ R3[x] : p(−1) = 0}.
a) (0, 6 val.) Mostre que S é um subespaço de R3[x].
b) (0, 5 val.) Escreva o polinómio −2− 5x+ 3x3 como combinação linear dos polinómios 1 + x e 1 + x3.
c) (0, 5 val.) Mostre que G
({1 + x, 1 + x3}) ⊆ S.
Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2013/14
Exame época recurso – 03-02-2014
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso:
Segunda parte
Selecionar a opção pretendida apenas se ainda não obteve aprovação a ALGAI.
Pretendo que a segunda parte do exame seja corrigida.
Pretendo que a segunda parte do exame não seja corrigida e seja considerada a classificação que obtive no segundo teste.
Nas perguntas 1-5 deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de
resposta é atribuída a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 2
valores.
As respostas às perguntas 7 e 8 devem ser cuidadosamente justificadas.
1− 5 6a b c d e f 7a b c 8a b c
1. (0, 6 val.) Considere os subespaços A = {p(x) ∈ R3[x] : p(1) = 0} e B = {p(x) ∈ R3[x] : p(x) = p(−x), ∀x ∈ R} de
R3[x] .
dimA = 3 e dimB = 2. dimA = 2 e dimB = 3. dimA = 3 e dimB = 3. dimA = 2 e dimB = 2.
2. (0, 6 val.) Em R4, considere os conjuntos A = {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} e B = {(1, 1, 2, 0), (2, 0, 1, 1)}.
G(A ∪B) = R4. G(A) ∩G(B) = ∅.
os elementos de A ∪B são linearmente dependentes. G(A ∪B) = {(a, b, c, d) ∈ R4 : a = b, c = d}.
3. (0, 6 val.) Considere o seguinte subespaço de R4: S = {(a, b, c, d) ∈ R4 : a+ b = c+ d = 0}.
dimS⊥ = 1 proj⊥S (2, 0, 2, 0) = (−1, 1, 1,−1)
proj⊥S (2, 0, 2, 0) = (1,−1, 1,−1) proj⊥S (2, 0, 2, 0) = (1,−1,−1, 1)
4. (0, 6 val.) Seja f : R3 → R3 a função linear cuja matriz relativamente à base canónica de R3 é
 0 1 00 0 1
0 0 0
.
dimker f = 2 e dimker f ◦f = 2. dimker f = 1 e dimker f ◦f = 2. f é diagonalizável. f ◦f = f ◦f ◦f .
5. (0, 6 val.) Considere os elementos u = (1, 0, i), v = (0, 1, 1) e w = (1, i, 2i) de C3.
u, v, w são linearmente independentes para a estrutura real e para a estrutura complexa em C3
u, v, w são linearmente independentes para a estrutura real mas não para a estrutura complexa em C3
u, v, w são linearmente independentes para a estrutura complexa mas não para a estrutura real em C3
u, v, w são linearmente dependentes para a estrutura real e para a estrutura complexa em C3
6. Seja Bc a base canónica de R3 e b uma outra base de R3 tal que MBc,b(id) =
 1 1 01 0 0
0 0 1
. Seja f : R3 −→ R3 a
aplicação linear tal que MBc,Bc(f) =
 1 −2 −1−2 1 −1
1 1 2
. Indique sem justificar:
a) (0, 5 val.) f(1, 1,−1) = b) (0, 7 val.) Uma base de Imf :
c) (0, 8 val.) ker f = d) (0, 8 val.) MBc,b(f) =
e) (0, 6 val.) Coordenadas de (1, 1, 1) na base b: f) (0, 8 val.) Mb,Bc(id) =
7. Seja f : R3 → R3 a função linear tal que f(x, y, z) = (y, x,−z).
a) (0, 6 val.) Determine a matriz de f relativamente à base canónica de R3.
b) (1, 0 val.) Determine os valores próprios e respetivos espaços próprios de f .
c) (1, 2 val.) Determine uma base ortonormada de R3 de vetores próprios de f e a matriz de f relativamente a essa base.
8. a) (1, 0 val.) Mostre que se f, g são endomorfismos invertíveis de um espaço vectorial E tais que f ◦ g = g ◦ f , então
f−1 ◦ g−1 = g−1 ◦ f−1.
b) Para cada θ ∈ [0, 2pi[ considere o endomorfismo gθ de R2 definido por gθ(x, y) = ((cos θ)x− (sen θ) y, (sen θ)x+ (cos θ) y),
para (x, y) ∈ R2.
b.i) (1, 0 val.) Dê exemplo de um endomorfismo f do espaço vetorial R2 que seja diferente de todos os gθ e tal que f◦gθ = gθ◦f ,
para todo θ ∈ [0, 2pi[.
b.ii) (1, 0 val.) Determine condições sobre a, b, c, d ∈ R, necessárias e suficientes para que o endomorfismo f de R2 definido
por f(x, y) = (ax+ by, cx+ dy) satisfaça f ◦ gθ = gθ ◦ f , para todo θ ∈ [0, 2pi[.